Решение транспортной задачи линейного программирования. 
Решение задачи нелинейного программирования. 
Применение критериев Лапласа, В

3. Для предложенной задачи дайте математическую ее постановку. Найдите оптимальное решение с позиций критериев Лапласа, Вальда, Гурвица, Сэвиджа и дайте соответствующие комментарии к их применению.

Ежедневный спрос на булочки в продовольственном магазине колеблется от 1000 до 1500. Булочки покупаются лотками по 100 штук по цене 0,25 и продаются по цене 0,49 за штуку. Непроданные булочки распродаются по цене 0,15 на следующее утро. Ваши рекомендации?

Решение:

Несомненно, что имеет смысл рассматривать количество закупаемых лотков с булочками в диапазоне от 10 до 15 (6 вариантов) и количество непроданных в первый день булочек от 0 до 5. Итак:

х = { xi} = (10, 11, 12, 13, 14, 15) — количество закупленных лотков (i = 1,2,3,4,5,6);

S = { Sj} =(0, 1, 2, 3, 4, 5) — количество непроданных лотков в первый день (j = 1,2,3,4,5,6).

Для того чтобы начать поиск решения, построим матрицу полезности, элементы которой показывают прибыль при принятии iго решения при j -ом количестве проданных лотков:

Wij = или Wij =

т.е. решающее правило в задаче формулируется как «доход — затраты».

Выполнив расчеты, заполним матрицу полезности {Wij}:

S0 = 0 S1 = 1 S2 = 2 S3 = 3 S4 = 4 S5 = 5

x1 = 10 240 — - - - ;

x2 = 11 264 230 — - - ;

x3 = 12 288 254 220 — - ;

x4 = 13 312 278 244 210 — ;

x5 = 14 336 302 268 234 200 ;

x6 = 15 360 326 292 258 224 190

Принятие решения в ситуации неопределенности.

А. Для применения критерия Лапласа находим:

W1 = 240 / 1 = 240;

W2 = (264+230) /2 =247;

W3 = 254; W4 = 261, W5 = 268, W6 = 275.

Вывод: в условиях равновероятности возникновения той или иной величины спроса следует закупить 1500 булочек и при этом можно рассчитывать на прибыль в размере 275 д.е.

Б. Критерий Вальда (выбор осторожной, пессимистической стратегии) — для каждой альтернативы (количество закупаемых булочек) выбирается самая худшая ситуация (наименьшее значение величины прибыли) и среди них отыскивается гарантированный максимальный эффект:

W = max (240; 230; 220; 210; 200; 190) = 240 .

Вывод: принимая решение по критерию Вальда, продовольственному магазину следует закупить 1000 булочек и минимум ожидаемой прибыли составит 240 д.е.

В. Критерий Гурвица (компромиссное решение между самым худшим исходом и излишне оптимистическим). Рассмотрим изменение решения нашей задачи в зависимости от значений коэффициента оптимизма (в таблице выделены значения, удовлетворяющие критерию Гурвица при различных ): W =

 = 0,2  = 0,5  = 0,8

x1 = 10 240 240 240

x2 = 11 236,8 247 257,2

x3 = 12 233,6 254 274,4

x4 = 13 230,4 261 291,6

x5 = 14 227,2 268 308,8

x6 = 15 224 275 326

Вывод: при  0,5 следует закупить 1500 булочек и ожидать прибыль порядка, не меньшую 275 д.е. (надеемся на широкую популярность булочек и определенную финансовую состоятельность покупателей), при  = 0,2 не следует закупать более 1000 булочек (мы более осторожны в своих прогнозах и, скорее всего, предпочтем отказаться от закупки более 1000 булочек).

Г. Критерий Сэвиджа (нахождение минимального риска). При выборе решения по этому критерию сначала матрице полезности сопоставляется матрица сожалений D:

S0 = 0 S1 = 1 S2 = 2 S3 = 3 S4 = 4 S5 = 5

x1 = 10 -120 — - - - ;

x2 = 11 -96 -96 — - - ;

x3 = 12 -72 -72 -72 — - ;

x4 = 13 -48 -48 -48 -48 — ;

x5 = 14 -24 -24 -24 -24 -24 ;

x6 = 15 0 0 0 0 0 0

Наибольшее значение среди минимальных элементов строк (выделенные в таблице значения) равно:

max (-120; -96; -72; -48; -24; 0) = 0

Вывод: закупая 1500 булочек, мы уверены, что в худшем случае ни убытков ни прибыли не ожидается.

Общий вывод. Рассмотренные критерии приводят к различным решениям и дают тем самым информацию к размышлению (принятое решение здесь будет существенно зависеть от психологии и интуиции субъекта решения