Математические методы в экономике

Вариант 26

1. Решить графическим методом задачи с двумя переменными (табл. 1).

Решение:

построим многоугольник допустимых значений, для этого построим на плоскости прямые:

и отметим полуплоскости, которые обозначают неравенства ограничения:

Далее, построим вектор-градиент целевой функции и линии уровня целевой функции. Т.к. минимум целевая функция достигает в самой крайней точке многоугольника допустимых значений, которую проходит линия уровня, если перемещать ее в направлении противоположном направлению вектора-градиента:

Таким образом, задача не имеет решений, т.к. область допустимых значений не ограничена.

2. Решить графическим методом задачи с п переменными (табл. 2).

Решение:

для того чтобы решить данную задачу графическим методом составим двойственную задачу к данной:

т.к. исходная задача на максимум содержит 4 переменные и два равенства-ограничения, то двойственная задача будет задачей на минимум и содержать 4 неравенства-ограничения и две переменные, итак получим:

Решим полученную задачу графически:

построим многоугольник допустимых значений, для этого построим на плоскости прямые:

и отметим полуплоскости, которые обозначают неравенства ограничения, а также построим вектор-градиент целевой функции и линии уровня целевой функции. Т.к. минимум целевая функция достигает в самой крайней точке многоугольника допустимых значений, которую проходит линия уровня, если перемещать ее в направлении противоположном направлению вектора-градиента:

следовательно, в точке М минимум, найдем ее координаты:

т.е. и .

Тогда по первому критерию (теореме) оптимальности планов двойственных задач.

Оптимальный план исходной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальности допустимых решений и пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий:

и

т.е. из первой системы имеем, подставив в нее :

следовательно, из второй системы получим:

тогда .

Итак, искомое решение исходной задачи, где .