При повторном отборе для доли необходимая численность выборочной совокупности равна произведению квадрата коэффициента доверия и дисперсии доли, деленному на квадрат предельной ошибки выборки.
Так, для случайного повторного объема выборки (n) имеем:
Откуда .
Смысл этой формулы в том, что при случайном повторном отборе необходимой численности объем выборки прямо пропорционален квадрату коэффициента доверия (t2) и дисперсии вариационного признака (σ2) и обратно пропорционален квадрату предельной ошибки выборки (∆2). В частности, с увеличением предельной ошибки в 2 раза необходимая численность выборки может быть уменьшена в 4 раза. Из трех параметров два (t и ∆) задаются исследователем. При этом исследователь исходя из цели и задач выборочного обследования должен решить вопрос, в каком количественном сочетании лучше включить эти параметры для обеспечения оптимального варианта. В одном случае его может устраивать в большей мере надежность полученных результатов (t), нежели мера точности (∆), в другом — наоборот.
Сами формулы необходимой численности выборки выводятся из формул предельной ошибки выборки.
В математической теории выборочного метода сравниваются средние характеристики признаков выборочной и генеральной совокупностей и доказывается, что с увеличением объема выборки вероятность появления больших ошибок и пределы максимально возможной ошибки уменьшаются. Чем больше исследуется единиц, тем меньше будет величина расхождений выборочных и генеральных характеристик. На основании теоремы Чебышева—Ляпунова—Лапласа предельную величину ошибки простой случайной выборки для средней при достаточно большом объеме выборки (n) и повторном отборе можно определить по формуле:
(10)
где — предельная ошибка, а t — коэффициент доверия из формулы (11) см. ниже. Фактически, где знаменатель дроби весьма близок к S2 .
Из этой формулы средней ошибки простой случайной выборки видно, что величина ее зависит от изменчивости признака в генеральной совокупности (чем больше вариация признака, тем больше ошибка выборки) и от объема выборки n (чем больше исследуется единиц, тем меньше будет величина расхождений выборочных и генеральных характеристик).
Академик A.M. Ляпунов доказал, что вероятность появления случайной ошибки выборки при достаточно большом ее объеме подчиняется закону нормального распределения. Эта вероятность определяется по формуле:
(11)
численные значения которой уже приводились в формуле (5).
Таким образом, величина предельной ошибки выборки может быть установлена с определенной вероятностью. Вероятность появления ошибки, равной или большей утроенной средней ошибки выборки, т. е. Δ ≤ 3μ, крайне мала и равна 0,003 (1 — 0,997). Такие маловероятные события считаются практически невозможными, а потому величину Δ = 3μ можно принять за предел возможной ошибки выборки.
Выборочное наблюдение дает возможность определить среднюю арифметическую выборочной совокупности и величину предельной ошибки этой средней Δ, которая показывает (с определенной вероятностью), насколько выборочная величина может отличаться от генеральной средней в большую или меньшую сторону. Тогда величина генеральной средней будет представлена интервальной оценкой, для которой нижняя граница будет равна (), а верхняя граница — (), т. е. имеем:
. (12)
Интервал, в котором с данной степенью вероятности будет заключена неизвестная величина оцениваемого параметра, называют доверительным, а вероятность Р — доверительной вероятностью. Чаще всего доверительную вероятность принимают равной 0,95 или 0,99, тогда коэффициент доверия t равен соответственно 1,96 и 2,58. Это означает, что доверительный интервал с заданной вероятностью заключает в себе генеральную среднюю.
Сложнее решить вопрос в отношении величины предельной ошибки выборки, так как этим показателем исследователь на стадии проектировки выборочного наблюдения не располагает. Поэтому в практике принято задавать величину предельной ошибки выборки, как правило, в пределах до 10% предполагаемого среднего уровня признака. К установлению предполагаемого среднего уровня можно подходить по-разному: использовать данные подобных ранее проведенных обследований или же воспользоваться данными основы выборки и произвести небольшую пробную выборку.
Вопрос об определении необходимой численности выборки усложняется, если выборочное обследование предполагает изучение нескольких признаков единиц отбора. В этом случае средние уровни каждого из признаков и их вариация, как правило, различны, и поэтому решить вопрос о том, дисперсии какого из признаков отдать предпочтение, возможно лишь с учетом цели и задач обследования.
При проектировании выборочного наблюдения предполагаются заранее заданной величина допустимой ошибки выборки в соответствии с задачами конкретного исследования и вероятность выводов по результатам наблюдения.
В целом формула предельной ошибки выборочной средней позволяет решать следующие задачи:
1) определять величину возможных отклонений показателей генеральной совокупности от показателей выборочной совокупности;
2) определять необходимую численность выборки, обеспечивающую требуемую точность, при которой пределы возможной ошибки не превысят некоторой, наперед заданной величины;
3) определять вероятность того, что в проведенной выборке ошибка будет иметь заданный предел.
Заключение
Одним из научных принципов в теории выборочного метода является обеспечение достаточного числа отобранных единиц.
Обеспечение достаточного числа отобранных единиц тесно связано с понятием репрезентативности выборки. Отобранная из всей изучаемой совокупности часть должна быть репрезентативной прежде всего в отношении тех признаков, которые изучаются или оказывают существенное влияние на формирование сводных обобщающих характеристик.
Теоретически необходимость соблюдения этого принципа представлена в доказательствах предельных теорем теории вероятностей, которые позволяют установить, какой объем единиц следует выбрать из генеральной совокупности, чтобы он был достаточным и обеспечивал репрезентативность выборки.
Уменьшение стандартной ошибки выборки (а следовательно, увеличение точности оценки) всегда связано с увеличением объема выборки. Поэтому уже на стадии организации выборочного наблюдения приходится решать вопрос о том, каков должен быть объем выборочной совокупности, чтобы была обеспечена требуемая точность результатов наблюдений.
Адамова В.Е., Ильенкова С. Д., Сиротина Т. П. и др. Экономика и статистика фирм: Учебник / Под ред. д-ра э.н. С. Д. Ильенковой. — М.: Финансы и статистика, 2005. — 890с.
Ефимова М.Р., Петрова Е. В., Румянцев В. Н. Общая теория статистики. М. ИНФРА — М., 2000. 412с.
Елисеева И.И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики. М.: Финансы и статистика, 1996. 366с.
Коник Н. В. Общая теория статистики. Конспект лекций. — М.: Издательство itteachvideo, 2008. — 160с.
Статистика. Показатели и методы анализа. Справочное пособие. Под ред. М. М. Новикова. Мн.: «Современная школа», 2005. 628с.
Теслюк И.Е., Тарловская В. А., Терлиженко Н. Статистика. Мн., 2000.
Эконометрика: Учебник/ И. И. Елисеева, С. В. Курышева, Т. В. Костеева и др.; Под ред. И. И. Елисеевой. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Финансы и статистика, 2005. 576 с.
Харченко Л.П. и др. Статистика. М.: ИНФРАМ, 2002.
Степанов В. Г. Статистика. Часть 1. Учебный курс (учебно-методический комплекс):
http://www.e-college.ru/xbooks/xbook007/book/index/index.html?part-010*page.htm
http://chaliev.ru/statistics/vyborochnoe-nablyudenie.php
