Границы критической области tкр определяют по интегральной функции Лапласа Ф (t) из условий:
в случае правосторонней и левосторонней критической областей Ф (tкр) = 1 — 2α,
где
интегральная функция Лапласа;
в случае двусторонней критической области Ф (tкр) = 1 — α.
При проверке гипотезы о значении генеральной средней H0: μ = μ0 при неизвестной генеральной дисперсии σ2 используют статистику
t
которая при выполнении нулевой гипотезы H0 имеет распределение Стьюдента (tраспределение) с ν = n-1 степенями свободы.
Границы критической области tкр определяют по таблице t — распределения для заданного уровня значимости α (при двусторонней симметричной критической области) или 2α (при правосторонней и левосторонней критических областях) и числа степеней свободы ν = n — 1.
Правила проверки гипотезы сводятся к следующему:
1) при левосторонней критической области, если tH ≥ -tкр, нулевая гипотеза H0 не отвергается;
2) при правосторонней критической области, если tH < -tкр, нулевая гипотеза H0 не отвергается;
3) при двусторонней критической области, если tH≤ -tкр, нулевая гипотез H0 не отвергается;
В противном случае нулевая гипотеза H0 отвергается с вероятностью ошибки α.
Примеры Пример 1
Точность работы автоматической линии проверяют по дисперсии контролируемого признака, которая не должна превышать 0,1 мм². По результатам выборочного контроля получены следующие данные:
Требуется проверить на уровне значимости 0,01, обеспечивает ли линия требуемую точность Решение. Задача состоит в проверке гипотезы о значении генеральной дисперсии. Автоматическая линия не обеспечивает требуемой точности, если, следовательно, в данном случае строится правостороння критическая область.
Наблюдаемое значение критерия вычисляем по формуле
следовательно, по данным вариационного ряда сначала необходимо вычислить выборочную дисперсию, для чего определяем среднюю арифметическую и средний квадрат по условным вариантам, принимая x0 = 43,0 .
Вычисляем наблюдаемое значение критерия
По таблице χ2 — распределения при заданном уровне значимости
α = 0,01 и ν =n — 1 = 30 — 1 = 29
определяем χ кр. = 49,588.
Сравнивая и, получаем
т. е. нулевая гипотеза Ho отвергается; так как генеральная дисперсия не равна 0,1, автоматическая линия не обеспечивает заданную точность и требуется ее регулировка.
Пример 2
Во время экзамена студентам были предложены задачи из семи разделов изучаемого курса. Результаты экзамена представлены в таблице.
Требуется на уровне значимости 0,1 проверить гипотезу о том, что вероятность решения задачи не зависит от того, к какому разделу он относится.
Решение. Задача заключается в проверке гипотезы об однородности ряда вероятностей:
Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле: сначала не;
обходимо определить среднюю частность решенных задач по всем семи разделам курса:
Вычисляем необходимое значение критерия По таблице χ2 — распределения при заданном уровне значимости
α = 0,1 и ν =n — 1 = 6 определяем χ2кр. = 10,645.
Так как
нулевая гипотеза отвергается, т. е. ряд вероятностей неоднороден, разделы данного курса студентами усвоены с разной вероятностью.
Заключение
Следует иметь в виду, что статистическая проверка гипотез имеет вероятностный характер. С помощью статистической проверки гипотез можно определить вероятность принятия ложного решения по тем или иным результатам статистического изучения данного явления. Если вероятность ошибки невелика, то статистические показатели исчисленные при изучении явления, могут быть использованы для практических целей при малом риске ошибки.
При проведении экономико-статистических исследований в первую очередь приходится решать задачи статистической проверки гипотез о:
1) принадлежности «выделяющихся» единиц исследуемой выборочной совокупности генеральной совокупности;
2) виде распределения изучаемых признаков;
3) величине средней арифметической и доли;
4) наличии и тесноте связи между изучаемыми признаками;
5) о форме корреляционной связи. [2]
Список литературы
Елисеева
И. И. Общая теория статистики: Учебник для ВУЗов. — М.: Финансы и статистика, 2004.
Ефимова М. Р. Общая теория статистики: Учебник.
М.: Финансы и статистика, 2006.
Ефимова М. Р. Практикум по общей теории статистики: Учебн. пособие.
М.: Финансы и статистика, 2007.
Козлов В.С., Эрлих Я. М., Долгушевский Ф. Г. Общая теория статистики: Учебник.
М.: Статистика, 2005.
Ряузов Н. Н. Общий курс статистики.
М.: Статистика, 2005.
Ряузов Н. Н. Практикум по общей теории статистики.
М.: Финансы и статистика, 2005.
Теория статистики: Учебник/ Под ред. проф. Р. А. Шмойловой.
М.: Финансы и статистика, 2004.
