Генератор случайных чисел, иллюстрация закона больших чисел

Устройство состоит из 100 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,03. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом (математическом ожиданием) отказов за время Т окажется: а) меньше двух; б) не меньше двух.

Решение. а). Обозначим через Х число отказавших элементов за время Т. Тогда М[Х] = np = 100? 0,03 = 3 и D[X] = npq = 100? 0,03? 0,97 = 2,91 (см. пример). Воспользуемся неравенством Чебышева:

подставив в него M[X] = 3, D[X] = 2,91, = 2, получим

б). События и противоположны, поэтому сумма их вероятностей равна единице. Следовательно,

Пример. Оценить вероятность события — M[X]< 3, где — среднее квадратичное отклонение случайной величины X.

Решение. Полагая = 3, получим в правой части неравенства число Таким образом, вероятность события не меньше, чем В действительности для подавляющего большинства встречающихся на практике случайных величин эта вероятность значительно ближе к единице, чем В теореме Чебышева (справедлива как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин) утверждается, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

Формулируя теорему Чебышева, мы предполагали, что случайные величины имеют различные математические ожидания. На практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. Очевидно, что если вновь допустить, что дисперсии этих величин ограничены, то к ним будет применима теорема Чебышева.

Пример. Обычно для измерения некоторой физической величины производят несколько измерений и их среднее арифметическое принимают в качестве искомого размера. При каких условиях этот способ измерения можно считать правильным?

Решение. Ответ на этот вопрос даст теорема Чебышева (ее частный случай). Рассмотрим результаты каждого измерения как случайные величины X1, X2, …Xn. К этим величинам можно применить теорему Чебышева, если: 1) они попарно независимы; 2) имеют одно и то же математическое ожидание; 3) дисперсии их ограничены.

Первое требование выполняется, если результат каждого измерения не зависит от результатов остальных. Второе требование выполняется, если измерения проведены без систематических (одного знака) ошибок. В этом случае математические ожидания всех случайных величин одинаковы и равны истинному размеру. Третье требование выполняется, если прибор обеспечивает определенную точность измерений. Хотя при этом результаты отдельных измерений различны, но рассеяние их ограничено. Если все указанные требования выполнены, мы вправе применить к результатам измерений теорему Чебышева: при достаточно большом n вероятность неравенства

как угодно близка к единице. Другими словами, при достаточно большом числе измерений почти достоверно, что их среднее арифметическое как угодно мало отличается от истинного значения измеряемой величины.

Итак, теорема Чебышева указывает условия, при которых описанный способ измерения может быть применен. Однако, ошибочно думать, что увеличивая число измерений, можно достичь сколь угодно большой точности. Дело в том, что сам прибор дает показания лишь с точностью; поэтому каждый из результатов измерений, а следовательно, и их среднее арифметическое будут получены лишь с точностью, не превышающей точности прибора.

На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят обо всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A равна. Можно ли предвидеть, какова примерно будет относительная частота появлений события? Положительный ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Якобом Бернулли (опубликована в 1713 г.), которая получила название «закона больших чисел» и положила начало теории вероятностей как науке. Доказательство Бернулли было сложным; простое доказательство дано П. Л. Чебышевым в 1846 г.

Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний вероятность появления события A постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.(3,56) Другими словами, если сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

При доказательстве теоремы Бернулли получаем оценку

Как видим, теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности (см. § 12)

Пример. Оценим вероятность того, что при подбрасывании игральной кости 300 раз относительная частота появления шести очков отклонится от вероятности этого события не более чем на 0,01.

Решение. Для оценки события применим неравенство из доказательства теоремы Бернулли, где

Пример. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,1. Найти вероятность того, что среди 200 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 10 до 30 деталей.

Решение. Воспользуемся неравенством Чебышева, определив M[X] и .

M[X] = np = 200*0,1 = 20 и откуда = 10. Следовательно, Программа использование закона больших чисел

X=(е (i)Ri-6)s+m, i=1…12

A B С D m s X Размер: 35, D

100 C=-6:FOR D=1 TO 12: C=C+RAN#:NEXT D: C=C*B+A:RETURN

Список литературы

Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969 576 с.

Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика — М., Высш.

шк., 2003. 479 с.

Зарубин, Крищенко. Теория вероятностей: Учебник для вузов. — МГУ имени Баумана 449 стр Козлов М. В. Элементы теории вероятности в примерах и задачах. — М., Изд. МГУ, 1990. — 344 c.

Чернова Н. И. Теория вероятностей: курс лекций. — Новосибирск: НГУ, 2006. — 139 с.