Производная и ее изменение

Но угол наклона касательной задает именно производная!

Рисунок 2 — Локальные экстремумы функции Итак, найдены все корни уравнения. Чтобы проверить, является ли данная стационарная точка локальным экстремумом или не является, требуется исследовать знак производной слева и справа от точки. Достаточное условие экстремума можно сформулировать так: если — это стационарная точка и производная, переходя через, меняет знак с «-» на «+», то — локальный минимум. А если с «+» на «-», то — локальный максимум. Если же производная не меняет знак, то не является локальным экстремумом.

Пример 1

Найти максимально возможную площадь прямоугольного треугольника, сумма длин катетов которого равна d.

Обозначим длины катетов через, а и b. Тогда площадь прямоугольного треугольника равна:

.

Известно, что, значит:

.

Получили функцию. Найдем, при каких, а эта функция принимает максимальное значение. Для этого найдем корни уравнения :

.

Значит, максимальная площадь будет у того треугольника, катеты которого одинаковы и равны .

4.

3. Построение графиков функций

Предположим, требуется построить график какой-либо функции. Составляя соответствующие алгебраические уравнения, мы сможем найти точки пересечения этой функции с осями OX и OY. Но этого явно недостаточно для построения графика!

Методы дифференциального исчисления предлагают стандартные приемы для построения графиков, и немаловажную роль при этом играет производная. Прежде всего, требуется найти корни уравнения. Далее следует провести исследование, описанное выше, и узнать, являются ли полученные стационарные точки экстремумами. После того, как экстремумы найдены (или доказано их отсутствие), требуется исследовать вторую производную, которая позволяет узнать, выпуклый или вогнутый график функции следует рисовать на данном промежутке, и есть ли у функции точки перегиба. Также производная позволяет построить асимптоты к графику функции (прямые, к которым график неограниченно приближается при бесконечном возрастании аргумента).

Далеко не всегда приходится выполнять в полном объеме все исследование функции для построения ее графика. Тем не менее, даже в простейших случаях часто бывает не обойтись без нахождения производной.

Пример 1

Пусть требуется построить график. Для того, чтобы определить точки, «подозрительные на экстремум», найдем корни производной:

.

Выясним, как меняется знак производной при переходе через точки :

х -1 1 + 0 — 0 + 2 -2

Значит, точка максимума — это (-1; 2), точка минимума — это (1; -2). График функции приведен на рисунке 3.

Рисунок 3 — График функции

4.

4. Различные физические понятия

С помощью производных вводят очень многие физические понятия. Например, как уже упоминалось в разделе 2, скорость есть первая производная от пути по времени. Ускорение есть первая производная от скорости по времени, или, что тоже самое, вторая производная от пути по времени.

Угловые скорость и ускорение, различные теплоемкости, поверхностные и объемные плотности заряда — все они выражаются через те или иные производные. Этот список можно продолжать еще долго!

Пример 1

Сила тока есть первая производная по времени от заряда, а ЭДС индукции пропорциональна первой производной по времени от силы тока (или второй производной от заряда):

. 5. Выводы

Таким образом, производная — это одно из базисных понятий современной науки. Производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента. За разработку основ дифференциального и интегрального исчисления мы должны быть благодарны Ньютону и Лейбницу.

Производные имеют чрезвычайно широкую область применения. В частности, вычисление производной необходимо для отыскания локальных максимумов и минимумов функции. Производная задает наклон касательной к графику функции в некоторой точке. Без знания того, где расположены максимумы и минимумы, невозможно построить график даже простой функции. Огромное количество физических понятий определено через производные. Самые часто встречающиеся из них — это скорость и ускорение, сила тока, теплоемкости.

Можно утверждать наверняка, что ни одна ныне существующая область науки не обходится без использования дифференциального и интегрального исчисления.

6.

Литература

и источники

Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: изд-во МЦНМО. — 2007. — 564 с.

Математика. Энциклопедия для детей. Том 11.- М.: «Аванта+». — 2002. — 686 c.

Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. М.: «Просвещение». — 1990. — 416 с.

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — СПб: изд-во «Санкт-Петербург оркестр». — 1994. — 416 с.