ЭММ и модели в экономике и управлении (предпочтительно на водном транспорте)

Пользуясь геометрическими соображениями, найти возможные решения системы:

3×1+4×2  12

x12

х1 0 и х2  0

Каждое из неравенств системы определяет полуплоскость, отмеченную на Рис. 3 штрихами.

Полученный многоугольник является выпуклым, ибо вместе с любыми двумя точками содержит весь соединяющий их отрезок. таким образом, мы видим, что выпуклый многоугольник можно задать аналитически, с помощью системы линейных неравенств. Линейное уравнение с тремя переменными: a11×1+a12×2+a13×3=b1 определяет в пространстве некоторую плоскость, которая рассекает все пространство на два полупространства.

В связи с этим неравенство a11×1+a12×2+a13×3  b1 определяет одно из полупространств, к которому принадлежит также и сама граничная плоскость. В общем случае, когда система неравенств совместна, пространство решений образует некоторый выпуклый многогранник — многогранник решений. Частным случаем его могут быть: отдельная грань, ребро или точка. Последнее имеет место, когда система неравенств имеет одно единственное решение. Дальнейшие обобщения приводят нас к рассмотрению m линейных неравенств с n неизвестными. Каждое уравнение ai1x1+ai2x2+ … +ainxn=bi является уравнением некоторой гиперплоскости в n-мерном пространстве, которая как бы рассекает все пространство на два полупространства.

ГЛАВА IV. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Методы решения задач линейного программирования относятся к вычислительной математике, а не к экономике и менеджменту. Однако инженеру, менеджеру и экономисту полезно знать о свойствах интеллектуального инструмента, которым он пользуется.

С ростом мощности компьютеров необходимость применения изощренных математических методов снижается, поскольку во многих случаях время счета перестает быть лимитирующим фактором, оно весьма мало (доли секунд). Поэтому разберем лишь три метода.

Простой перебор. Возьмем некоторый многомерный параллелепипед, в котором лежит многогранник, задаваемый ограничениями. Как его построить? Например, если имеется ограничение типа 2Х1 + 5Х2 ≤ 10, то, очевидно, 0 ≤ Х1 ≤ 10/2 = 5 и 0 ≤ Х2 ≤ 10/5 = 2. Аналогичным образом от линейных ограничений общего вида можно перейти к ограничениям на отдельные переменные. Остается взять максимальные границы по каждой переменной. Если многогранник, задаваемый ограничениями, неограничен, как было в задаче о диете, можно похожим, но несколько более сложным образом выделить его «обращенную» к началу координат часть, содержащую решение, и заключить ее в многомерный параллелепипед.

Проведем перебор точек параллелепипеда с шагом 1/10n последовательно при n=2,3,…, вычисляя значения целевой функции и проверяя выполнение ограничений. Из всех точек, удовлетворяющих ограничениям, возьмем ту, в которой целевая функция максимальна. Решение найдено! (Более строго выражаясь, найдено с точностью до 1/10n.)

Направленный перебор. Начнем с точки, удовлетворяющей ограничениям (ее можно найти простым перебором). Будем последовательно (или случайно — с помощью т.н. метода случайного поиска) менять ее координаты на определенную величину ∆, каждый раз в точку с более высоким значением целевой функции. Если выйдем на плоскость ограничения, будем двигаться по ней (находя одну из координат по уравнению ограничения). Затем движение по ребру (когда два ограничения-неравенства переходят в равенства)… Остановка — в вершине линейного многогранника. Решение найдено! (Более строго выражаясь, найдено с точностью до ∆. Если необходимо, в окрестности найденного решения проводим направленный перебор с шагом ∆/2, ∆/4 и т. д.)

Симплекс-метод. Этот один из первых специализированных методов оптимизации, нацеленный на решение задач линейного программирования, в то время как методы простого и направленного перебора могут быть применены для решения практически любой задачи оптимизации. Симплекс-метод был предложен американцем Г. Данцигом в 1951 г. Основная его идея состоит в продвижении по выпуклому многограннику ограничений от вершины к вершине, при котором на каждом шаге значение целевой функции улучшается до тех пор, пока не будет достигнут оптимум.

ГЛАВА V. ПРИМЕР ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Транспортная задача

Различные технико-экономические и экономические задачи менеджмента, от оптимальной загрузки станка и раскройки стального листа или полотна ткани до анализа межотраслевого баланса и оценки темпов роста экономики страны в целом, приводят к необходимости решения тех или иных задач линейного программирования.

В качестве очередного примера рассмотрим т.н. транспортную задачу. Имеются склады, запасы на которых известны. Известны потребители и объемы их потребностей. Необходимо доставить товар со складов потребителям. Можно по-разному организовать «прикрепление» потребителей к складам, т. е. установить, с какого склада какому потребителю и сколько вести. Кроме того, известна стоимость доставки единицы товара с определенного склада определенному потребителю. Требуется минимизировать издержки по перевозке.

Например, может идти речь о перевозке песка — сырья для производства кирпичей. В Петербург песок обычно доставляется самым дешевым транспортом — водным. Поэтому в качестве складов можно рассматривать порты, а в качестве запасов — их суточную пропускную способность. Потребителями являются кирпичные заводы, а их потребности определяются суточным производством (в соответствии с имеющимися заказами). Для доставки необходимо загрузить автотранспорт, проехать по определенному маршруту и разгрузить его. Стоимость этих операций рассчитывается по известным правилам, на которых не имеет смысла останавливаться. Поэтому затраты на доставку товара с определенного склада тому или иному потребителю можно считать известными.

Рассмотрим пример транспортной задачи, исходные данные к которой представлены в табл. 1. В ней, кроме объемов потребностей и величин запасов, приведены стоимости доставки единицы товара со склада i, i = 1,2,3, потребителю j, j = 1,2,3,4. Например, самая дешевая доставка — со склада 2 потребителям 1 и 3, а также со склада 3 потребителю 2. Однако на складе 2 имеется 80 единиц товара, а потребителям 1 и 3 требуется 50+70 =120 единиц, поэтому к ним придется вести товар и с других складов. Обратите внимание, что в табл.

1 запасы на складах равны суммарным потребностям. Для примера с доставкой песка кирпичным заводам это вполне естественное ограничение — при невыполнении такого ограничения либо порты будут засыпаны горами песка, либо кирпичные заводы не выполнят заказы.

Таблица 1.

Исходные данные к транспортной задаче.

Потреби-тель 1 Потреби-тель 2 Потреби-тель 3 Потреби-тель 4 Запасы на складах Склад 1 2 5 5 5 60 Склад 2 1 2 1 4 80 Склад 3 3 1 5 2 60 Потреб-ности 50 40 70 40 200 Надо спланировать перевозки, т. е. выбрать объемы Хij поставок товара со склада i потребителю j, где i = 1,2,3; j = 1,2,3,4. Таким образом, всего в задаче имеется 12 переменных. Они удовлетворяют двум группам ограничений. Во-первых, заданы запасы на складах:

X11 + Х12 + Х13 + Х14 = 60 ,

X21 + Х22 + Х23 + Х24 = 80 ,

X31 + Х32 + Х33 + Х34 = 60 .

Во-вторых, известны потребности клиентов:

X11 + Х21 + Х31 = 50 ,

X12 + Х22 + Х32 = 40 ,

X13 + Х23 + Х33 = 70 ,

X14 + Х24 + Х34 = 40 .

Итак, всего 7 ограничений типа равенств. Кроме того, все переменные неотрицательны — еще 12 ограничений.

Целевая функция — издержки по перевозке, которые необходимо минимизировать:

F = 2 X11 + 5 Х12 + 4 Х13 + 5 Х14 + X21 + 2 Х22 + Х23 + 4 Х24 +

+ +3 X31 + Х32 + 5 Х33 + 2 Х34 → min .

Кроме обсуждаемой, рассматриваются также различные иные варианты транспортной задачи. Например, если доставка производится вагонами, то объемы поставок должны быть кратны вместимости вагона.

Количество переменных и ограничений в транспортной задаче таково, что для ее решения не обойтись без компьютера и соответствующего программного продукта.

Линейное программирование имеет дело с числовыми переменными. Если вспомнить общую постановку оптимизационной задачи, приведенную в начале главы, то Х — вектор в конечномерном линейном пространстве, А — многогранник в таком пространстве.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Из данной курсовой работы мы узнали, что внедрение экономико-математических методов помогает совершенствовать анализ финансового-хозяйственной деятельности. Их применение повышает эффективность экономического анализа за счет расширения факторов, обоснования принимаемых управленческих решений, выбора оптимального варианта использования хозяйственных ресурсов, выявления и мобилизации резервов повышения эффективности производства.

Так же в этой курсовой были рассмотрены некоторые экономико-математические методы и приведены примеры их использования.

Алесинская Т.В. Экономико-математические методы и модели./ Учебное пособие. Таганрог: ТРТУ, 2002, — 153 с.

Багриновский К.А., Матюшок В. С. Экономико-математические методы и модели (микроэкономика).М.: РУДН. Экономическая литература. 2002. — 245 с.

Заичкин Н.И. Экономико-математические модели и методы принятия решений в управлении производством. Уч.пос. — М.:ГУУ, 2000.-107 с.

Монахов А. В. Математические методы анализа экономики. — Спб: Питер, 2002. — 176 с.

Немчинов В. С., Экономико-математические методы и модели, [2 изд.], М., 1985. — 229 с.

Орлов А. И. Менеджмент,/ Учебник. М.: Изумруд, 2003, 241 с.

Орлов А. И. Эконометрика. Учебник. — М.: Экзамен, 2002 (1-е изд.), 2003 (2-е изд.). — 576 с.

Пелих Н.П., Терехов С. А., Терехова М. В. Экономико-математические методы и модели в управлении производством: Учеб.

пособие для вузов. — М.: Феникс. Экономическая литература. 2003. — 215 с.

Поттосина С.А.Экономико-математические модели и методы./ Методические указания. Задачи и решения. — М.:Наука. 1999. — 141с.

Смирнов Э. А. Разработка управленческих решений: Учебник для вузов. — М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2000. — 272 с.

Шалобаев С.И. Экономико-математические методы и модели. М.:ЮНИТИ. 2005. — 286 с.

Багриновский К.А., Матюшок В.С.Экономико-математические методы и модели (микроэкономика).М.: РУДН. Экономическая литература. 2002. с. 87

Алесинская Т.В. Экономико-математические методы и модели./ Учебное пособие. Таганрог: ТРТУ, 2002. c.121

Орлов А.И. Менеджмент/ Учебник. М.: Изумруд, 2003. c.89

Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели. ЮНИТИ. 2005. с.164

Немчинов В. С., Экономико-математические методы и модели, [2 изд.], М., 1985. с.118

Поттосина С.А. Экономико-математические модели и методы. Методические указания. Задачи и решения. — М.:Наука. 1999. с.49

Заичкин Н.И. Экономико-математические модели и методы принятия решений в управлении производством. Уч.пос. — М.:ГУУ, 2000. с.134

Алесинская Т.В. Экономико-математические методы и модели./ Учебное пособие. Таганрог: ТРТУ, 2002. c.56

Монахов А. В. Математические методы анализа экономики. — Спб: Питер, 2002. c.96

Орлов А. И. Менеджмент,/ Учебник. М.: Изумруд, 2003. c.112

Багриновский К.А., Матюшок В. С. Экономико-математические методы и модели (микроэкономика).М.: РУДН. Экономическая литература. 2002. с.97

Пелих Н.П., Терехов С. А., Терехова М. В. Экономико-математические методы и модели в управлении производством: Учеб.

пособие для вузов. — М.: Феникс. Экономическая литература. 2003. с.115

Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели. ЮНИТИ. 2005. с.67

Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели. ЮНИТИ. 2005. с.35

Орлов А. И. Эконометрика. Учебник. — М.: Экзамен, 2003 (2-е изд.). c.118

Пелих Н.П., Терехов С. А., Терехова М. В. Экономико-математические методы и модели в управлении производством: Учеб.

пособие для вузов. — М.: Феникс. Экономическая литература. 2003. с.178