Рассмотрим гладкую кривую. Угол называется углом смежности дуги. Отношение угла смежности дуги к ее длине называется средней кривизной дуги (рис. 1.11).Рис. 1.
11. Кривизна кривой
Кривизной кривой в ее точке называется предел (конечный или бесконечный) отношения угла смежности дуги кривой к ее длине, когда последняя стремится к нулю. (1.18)Таким образом. По определению, величина называется радиусом кривизны в точке .Угол смежности дуги равен углу между векторами и. Из векторной алгебры известно, что. (1.19)Знаменатель в выражении (1.19) не равен нулю. Поэтому при знаменатель стремится к, а числитель стремится к нулю. Будем теперь предполагать, что радиус−векторкривой имеет вторую производную, и при этом условии докажем существование конечной кривизны в точке .В силу (1.18), (1.19) кривизна в точке равна, (1.20).(1.21)Кручением кривой называется величина равная.(1.22)Соприкасающаяся плоскость. Естественный трехгранник Френе
Соприкасающейся плоскостью к кривой в ее точке называется предельное положение касательной. Если кривая имеет непрерывную производную в окрестности точки и вторую производную такую, что, то соприкасающаяся плоскость к этой кривой в точке существует и имеет уравнение,(1.22)Из точки кривой можно выпустить три единичных вектора, определяющих естественную прямоугольную систему координат в окрестности точки, ,, (1.23)где, , .Здесь − единичный вектор касательной, направление зависит от от параметра; − единичный вектор главной нормали, направлен в сторону вогнутости кривой; − единичный вектор бинормали, определяется как перпендикуляр к векторам и, и направлен так, что вектора образуют правую тройку векторов. Приложенные к движущейся по кривой точке векторы образуют естественный трехгранник Френе. Примеры векторных функций
Пример. Рассмотрим кривую, заданную параметрически с помощью уравнений,, .Эта кривая называется винтовой линией. Ее векторное уравнение. При любом значении параметра получим, что. Это означает, что винтовая линия расположена на цилиндре. Отсюда следует, что, когда точка движется по винтовой линии, ее проекция на плоскости перемещается по окружности радиуса и с центром в начале координат, причем является полярным углом точки .
Когда точка описывает полную окружность, аппликата точки винтовой линии увеличивается на. Эта величина называется шагом винтовой линии.Пример. Дан радиус-вектор движущийся в пространстве точки (- время, и — постоянные). Найти годографы скорости и ускорения. Скорость движущейся точки вычисляется по формуле Чтобы построить годограф положим, что, это параметрическое задание винтовой линии, т. е. годограф − винтовая линия. Найдем годограф ускорения. Следовательно, годограф линия заданная параметрически следующим образом, это параметрические задание окружности, т. е. годограф ускорения — окружность.Пример. Дано. Найти производныеа); б); в) а) Используем правило дифференцирования скалярного произведения, т. к., следовательно .б)
Аналогично примеру а) получаемв) Используем правило дифференцирования векторного произведения, тогдатак как Пример. Построить линии уровня плоского поля, где, , (2-х мерный аналог потенциала электрического диполя).Решение. Уравнение линий уровня имеет вид: Рис.
1.12. Линии уровня плоского поля. Для различных значений получается семейство окружностей с единственной общей точкой в начале координат (рис. 1.12). В левой полуплоскости значения поля положительно, в правой — отрицательно, а в точке поле имеет особенность и неопределено.Пример. Построить векторные линии поля, где - постоянный вектор, направленный вдоль оси, .Решение. Согласно правилу вычисления векторного произведения в декартовой системе координат, компоненты поля имеют вид:
и уравнение векторных линий (66) принимает вид откуда
Полученная система определяет два семейства поверхностей: цилиндры с направляющей, параллельно оси и плоскости, перпендикулярные оси, следовательно, векторные линии поля имеют вид окружностей, лежащих в плоскости. Вид этого семейства для значения представлен на рис. 1.
13.Рис.
1.13. Векторные линии.Пример. Построить силовые линии электрического плоского диполя с моментом.Решение. Напряженность поля плоского диполя имеет вид. Так как, , то выражение для вектора поля в декартовой можно записать каки тогда уравнение векторных линий
После разделения переменных получим
Полученное уравнение после замены сводится к неоднородному уравнению Эйлера, общее решение которого имеет вид
Для удобства построения преобразуем решение:
Таким образом, векторные линии поля представляют собой семейство окружностей, касающихся друг друга в начале координат (рис. 1.14). Рис.
1.14. Векторные линии поля плоского диполя. Заключение
Векторная функция — функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть:
одна скалярная переменная — тогда значения вектор-функции определяют в некоторую кривую;m скалярных переменных — тогда значения вектор-функции образуют в, вообще говоря, m-мерную поверхность;
векторная переменная
Анчиков, А. М. Основы векторного и тензорного анализа: учеб.
метод. пособие / А. М. Анчиков. — Казань: Изд-во Казан.
ун-та, 1988. — 130 с. Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. 3-е изд. М.: Высшая школа, 1966
Борисенко, А. И. Векторный анализ и начала тензорного исчисления: учеб.
пособие для вузов / А. И. Борисенко, Е. Н.
Тарапов. — 5-е изд. Харьков: Вища школа.
1978. — 24 с. Гострем, Р. В. Тензорное исчисление и векторный анализ / Р.
В. Гострем, Г. С. Соколова.
— Калининград: Калиниградск. ун-т, 1976. — 144 с. Злотникова, Е. В.
Элементы векторного и тензорного анализа: учеб.
пособие / Е. В. Злотникова, Г. А. Либерман, Л. С. Милославская. — Воронеж: Изд-во Воронеж.
ун-та, 1978. — 76 с. Кожамкулов, Т. А. Элементы тензорного исчисления в евклидовом пространстве: учеб.
пособие / Т. А. Кожамкулов, Г. Д. Мурзагалиев. — Алма-Ата: Каз
ГУ, 1981. — 119 с. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. 9-е изд. М.: Наука, 1965
Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-е изд. УРСС, 2002) Краснов, М. Л. Векторный анализ: Задачи и примеры с подробными решениями: учеб.
пособие / М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г.
И. Макаренко. Изд. 2-е испр. — М.: Едиториал УРСС, 2002. — 144 с. Кручек, М.
П. Основы векторного и тензорного исчисления: учеб.
пособие / М. П. Кручек. — Петрозаводск: ПГУ, 1983.
— 88 с. Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа / Л. Д. Кудрявцев. ;
М.: Высш. школа, 1981. — Т. 1.
— 687 с. Лаптев, Г. Ф. Элементы векторного исчисления.
/ Г. Ф. Лаптев. — М.: Наука, 1975. ;
335 с. Полыгалов, Ю. И. Методические указания по курсу «Основы векторного и тензорного анализа» / Ю. И.
Полыгалов. — Кемерово: изд-во Кем
ГУ, 1988. — 82 с. Рашевский, П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П.
К. Рашевский. — М.: Наука, 1976. — 664 с.
