Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Метод функционального интегрирования и представление решений некоторых эволюционных уравнений

Диссертация: Метод функционального интегрирования и представление решений некоторых эволюционных уравнений
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Метод функционального интегрирования исследуется и применяется в работах С. Альбеверио, М. Атьи, Ф. А. Березина, З. Вжезняка, Э. Виттена, В. С. Владимирова, И. В. Воловича, И. М. Гельфанда, Дж. Глимма, Ю.Л. Да-лецкого, С. ДеВитт-Моритт, А. Джаффе, Г. Джонсона, М. А. Евграфова, Р. Камерона, П. Картье, М. Каца, А. И. Кириллова, В. Н. Колокол ьцова, М. Ляпидуса, Мартина, В. П. Маслова, P.A. Минлоса… Читать ещё >

Метод функционального интегрирования и представление решений некоторых эволюционных уравнений (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • 1. Некоммутативный аналог формулы Березина
    • 1. 1. Некоторые обозначения
    • 1. 2. Интегралы по векторнозначным мерам
    • 1. 3. Функциональные интегралы
    • 1. 4. Основные меры, их преобразования Фурье и свойства
    • 1. 5. Основные понятия метода вторичного квантования
    • 1. 6. Теорема о представлении решений
  • 2. Доказательство формулы Фейнмана в фазовом пространстве, основанное на теореме Чернова
    • 2. 1. Основные определения
    • 2. 2. Формулы Фейнмана в конечномерном фазовом пространстве
    • 2. 3. Разложение Смолянова — Шавгулидзе
  • 3. Контрпримеры к формуле Троттера в локально выпуклых пространствах
    • 3. 1. Определения и терминология
    • 3. 2. Предварительные результаты
    • 3. 3. Бесконечные топологические суммы
    • 3. 4. Пространства Фреше

Метод функциональных интегралов является одним из основных методов математической физики, так как он позволяет представлять решения эволюционных, дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений в «явном виде» — в виде интегралов известных функций по бесконечномерному пространству (траекторий) с обычной или обобщенной мерой (= «распределением Соболева-Шварца»). Типичным и наиболее важным примером последней является «эвристическая» мера Фейнмана, так что получающийся интеграл Фейнмана имеет лишь эвристический смысл. Тем не менее многие формулы, содержащие функциональные интегралы, имеют ясный интуитивный смысл и в ряде случаев именно интуиция позволяет выводить такие формулы.

Метод функциональных интегралов не сводится только к представлению решений эволюционных уравнений, область его применения постоянно расширяется. В частности, этот метод проникает в дифференциальную геометрию (интеграл Виттена), теорию узлов (интеграл Концевича), теорию стохастических дифференциальных уравнений (формулы Смолянова) и позволяет получать там нетривиальные результаты.

Метод функционального интегрирования исследуется и применяется в работах С. Альбеверио, М. Атьи, Ф. А. Березина, З. Вжезняка, Э. Виттена, В. С. Владимирова, И. В. Воловича, И. М. Гельфанда, Дж. Глимма, Ю.Л. Да-лецкого, С. ДеВитт-Моритт, А. Джаффе, Г. Джонсона, М. А. Евграфова, Р. Камерона, П. Картье, М. Каца, А. И. Кириллова, В. Н. Колокол ьцова, М. Ляпидуса, Мартина, В. П. Маслова, P.A. Минлоса, В. Н. Попова, Б. Саймона, A.A. Славнова, О. Г. Смолянова, Д. Сторвика, A.B. Угланова, Л.Д. Фадде-ева, Р. Фейнмана, С. В. Фомина, Р. Хеэг-Крона, А. Ю. Хренникова, A.M. Чеботарева, Е. Т. Шавгулидзе, А. М. Яглома и других исследователей. В настоящее время этот метод является одним из основных методов теории бесконечномерных систем, в частности, квантовой механики, квантовой теории поля, статистической физики и гидродинамики.

Таким образом, сложилась следующая ситуация. Имеются эвристические формулы, описывающие эволюцию бесконечномерных систем и содержащие функциональные интегралы. Эти формулы позволяют судить о поведении системы и предсказывать ее свойства. Однако они нередко не имеют строгого математического обоснования. Кроме того, несмотря на богатые возможности интуиции в методе функционального интеграла, получение с его помощью новых формул также часто является далеко не простым делом. Поэтому дальнейшее развитие математического аппарата метода функционального интегрирования и расширение области его применимости является весьма актуальной задачей.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

Заключение

.

В главе 1 получен некоммутативный аналог формулы Березина.

В главе 2 получены новое доказательство и новые достаточные условия справедливости формулы Фейнмана, а также усиление и прямой вывод формулы Смолянова-Шавгулидзе.

В главе 3 построена серия (контр)примеров, показывающих, что требование непрерывности операторов в локально выпуклом пространстве не может гарантировать справедливость формулы Троттера для широкого класса локально выпуклых пространств.

Все эти результаты связаны с проблемой представления решений эволюционных уравнений с помощью функциональных интегралов.

Показать весь текст

Список литературы

  1. А.Л. О связи между континуальными интегралами и дифференциальными уравнениями// ТМФ. 1972. Т. И, № 2. С. 182−189.
  2. Ф.А. Метод вторичного квантования. М.:Наука 1965.
  3. Ф.А. Дальнейшее развитие метода вторичного квантования// ТМФ. 1971. Т. 6, № 2. С. 194−212.
  4. Ф.А. Континуальный интеграл по траекториям в фазовом пространстве// УФН. 1980. Т. 132, вып. 3. С. 497−548.
  5. Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. Т. 1. М.: ИЛ 1962.
  6. М.А. Об одной формуле для представления фундаментального решения дифференциального уравнения континуальным интегралом// ДАН СССР. 1970. Т. 191, № 5. С. 979−982.
  7. Д.В. Формула Фейнмана в фазовом пространстве для одного класса систем псев до дифференциальных уравнений //Матем. заметки. 1987. Т. 42, № 1. С. 40−49.
  8. С.Г., Смолянов О. Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах// УМН. 1994. Т. 49, № 3, С. 93−168.
  9. В.П. Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнмана. М.: Наука, 1976.
  10. В.П., Чеботарев А. М. Обобщенная мера в континуальном интеграле Фейнмана// Теоретическая и математическая физика. 1976. Т. 28, № 3, С. 291−307.
  11. В.П., Шишмарев И. А. О Т-произведении гипоэллиптических операторов// Итоги науки. Совр. проблемы математики. 1977. № 8, С. 137−197.
  12. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. М.: Мир 1978.
  13. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. М.: Мир 1978.
  14. О.Г. Анализ на топологических линейных пространствах и его приложения. М.: Изд-во МГУ, 1979.
  15. О.Г. Бесконечномерные псевдодифференциальные операторы и квантование по Шредингеру// ДАН. 1982. Т. 263, № 3. С. 558−561.
  16. О.Г., Хренников А. Ю. Алгебра бесконечномерных псевдодифференциальных операторов// ДАН. 1987. Т. 292, № 6. С. 1310−1314.
  17. О.Г., Шавгулидзе Е. Т. Континуальные интегралы. М.: МГУ 1990.
  18. A.B. Об одной конструкции феймановского интеграла// ДАН. 1978. Т. 243, № 6. С. 1400−1409.
  19. A.B. Феймановские меры со знаконеопределенным корреляционным оператором// ДАН. 1982. Т. 262, № 1. С. 37−40.
  20. A.C. Стохастические представления квантовых динамических полугрупп // Тр. МИАН. 1989. Т. 191. С. 130−139.
  21. A.M. Симметризованная форма стохастического уравнения Хадсона Партасарати // Матем. заметки. 1996. Т. 60, № 5, С. 726−750.
  22. A.M. Квантовое стохастическое уравнение унитарно эквивалентно симметричной краевой задаче для уравнения Шредингера // Матем. заметки. 1997. Т. 61, № 4. С. 612−622.
  23. X. Топологические векторные пространства. М.: Мир 1971.
  24. Accardi L., Frigerio A., Lu Y.G. The Weak Coupling Limit as a Quantum Functional Central Limit // Commun. Math. Phys. 1990. V. 131. p. 537−570.
  25. Albeverio S., Hoegh-Krohn R. Mathematical theory of Feynman path integrals. Lecture notes in math 523. Berlin: Springer, 1976.
  26. Chebotarev A.M., Victorov D.V., Quantum stochastic processes arising from the strong resolvent limits of the Schrodinger evolution in Fock space // Banach center publications, v.43, Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences, Warszava, 1998.
  27. Chernoff P.R., Note on Product Formulas for Operator Semigroups //J. Funct. Anal. 1968. V. 2. P. 238−242.
  28. Feynman R.P., Space-time approuch to nonrelativistic quantum mechanics // Rev.Mod.Phys. 1948. V. 20, P. 367−387.
  29. Feynman R.P., An operation calculus having applications in quantum electrodinamics // Phys.Rev. 1951. V. 84. p. 108−128.
  30. Hudson R.L., Partasarathy K.R. Quantum Ito’s formula and stochastic evolutions // Commun. Math. Phys. 1984. V. 93. P. 301−323.
  31. Parthasarathy K.R. An introduction to quantum stochastic calculus, Birkhauser, Basel, 1992.
  32. Smolyanov O.G., Shavgulidze E.T., Some properties and applications of Feynman measures in the phase space// Proc. of the Fourth Vilnius Conference. 1987. V. 2. p. 595−608.
  33. Smolyanov O.G., H.v.Weizsaecker, Smooth probability measures and assosiated differential operators // Infinitely dimentional analysis, quantum probability and related topics. 1999. V. 2, № 1. P. 51−79.
  34. А.Г. Некоммутативный аналог формулы Березина// Труды московского математического общества. 2001. Т. 62. С. 229−261.
  35. А.Г. Обобщение формулы Березина на некоммутативный случай// Математические заметки. 2001. Т. 69, вып. 2. С. 295−302.
  36. А.Г. Доказательство формулы Фейнмана в фазовом пространстве, основанное на теореме Чернова// Вестник московского университета. Сер. 1, Математика. Механика. 2001. № 2. С. 16−21.
  37. А. Г. Контрпримеры к формуле Троттера в локально выпуклых пространствах// Математические заметки. 1996. Т. 59, вып. 6. С. 947 950.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!