Составление данной формулы с использованием мастера функций изображено на рис. 11.
Рис. 11. Создание формулы для прерывания вычислений Полученная формула распространяется вниз по появления слова «Стоп».
В последней формуле использован $ - знак абсолютной адресации ячеек (устанавливается с помощью клавиши F4). Указанный знак позволяет зафиксировать ссылку в формуле при распространении ее на соседние ячейки.
Затем в ячейку С6 вводится формула вычисления функции при значении аргумента х, записанном в ячейке В6, и распространяется вниз.
После этого вводится комментарий. Комментарий поможет определить отрезки, на концах которых функция принимает значения разных знаков: y (x)xy (x + h)<0 .
Так как для проверки данного условия требуется два значения у, то формула
=ЕСЛИ (C6*C7<=0;" Корень на отрезке «&B6&» ." &B7;" ——") вводится на строку ниже, в ячейку D7 и распространяется вниз.
Следует обратить особое внимание на знак амперсанда «&», который позволяет вывести в надписи «Корень на отрезке» значения x из соответствующего столбца.
Далее в столбцах Е и F записываются формулы вычисления значений первой и второй производных:
Вывод. Таким образом, в результате решения задачи найден отрезок [a, b]=[-1; -0,5], который содержит ровно один корень уравнения
.
Вычислены значения первой производной y'(x=-1) = 12,09 и y'(x=-0,5) = 12,74, проверено условие y'(-1)xy'(-0,5)>0, которое с некоторыми допущениями показывает, что отрезок [a, b]=[-1,-0,5] содержит единственный корень уравнения .
Графический метод.
Используя ячейки B6: C26 с помощью Мастера диаграмм построим график функции и найдем отрезок оси Ох, на котором график пересекает эту ось. В Мастере функций выберем тип диаграммы: Точечная со сглаживающими линиями.
Рис. 12. График функции На графике четко видно, что отрезок [a, b]=[-1,-0,5] содержит единственный корень уравнения .
2. Решить уравнение методом Ньютона.
Изначально необходимо определиться с тем, чему равно x0: либо a, либо b. Для этого необходимо выполнить следующие действия:
Заполнить ячейки на Листе2 следующим образом: в ячейку I2 заносим формулу:
=ЕСЛИ ('Отделение корней'!C14*'Отделение корней'!F14>0;" x0=a" ;" x0=b")
Таким образом условие метода выполняется для левого конца отрезка, а значит в качестве начального приближения к решению выберем х0=-1.
В итоге получается следующее:
Выбор x0 ε x0=a 0,0001
Так как x0=а, то необходимо выполнить следующие действия:
Заполнить ячейки следующим образом:
C2=СТЕПЕНЬ (B2;3)+2,9*СТЕПЕНЬ (B2;2)+14,89*B2+6,85;
D2=3*СТЕПЕНЬ (B2;2)+2,9*2*B2+14,89
E2=B2-C2/D2
F2==ЕСЛИ (ABS (C2)<='Метод Ньютона'!$J$ 2;B2;" -")
В ячейку B3 ввести формулу =E2.
Выделить диапазон ячеек C2: E2 и методом протягивания заполнить диапазон нижерасположенных ячеек до получения в одной из ячеек столбца E результата (диапазон ячеек A6: E9).
Выделить диапазон ячеек A6: E5 и методом протягивания заполнить диапазон нижерасположенных ячеек до получения в одной из ячеек столбца E результата (диапазон ячеек В3: F4).
В итоге получаем следующее:
Ответ: Корень уравнения равен -0,5 003 925.
5. Выводы
5.
1. Сравнение результатов.
№ xn y y' xn+1=xn-y/y' y (xn)≤ε 0 -1,0 -6,1 400 000 12,900 000 -0,4 921 423 — 1 -0,4 921 423 0,1 051 945 12,7 621 869 -0,5 003 849 — 2 -0,5 003 849 0,962 12,7 389 226 -0,5 003 925 -0,5 003 925 количество итераций 2
Анализируя результаты, можно сказать, что в обеих методиках получен одинаковый результат за одно и то же количество итераций.
5.
2. Сравнение методов решения: написанием программы и составление таблицы (по трудоемкости разработки, трудоемкости применения, универсальности применения) При анализе методов решения можно сделать следующие выводы:
по трудоемкости разработки: более трудоемкий метод программирования — составление блок-схемы, общего алгоритма, написание программы в среде программирования.
по трудоемкости применения: более трудоемкий метод применения электронных таблиц — необходимо каждый шаг итерации просчитывать вручную — копирование формул.
по универсальности применения методы одинаковы: и в том и в другом случае необходимо менять вид функции, ее производных, точность.
5.
3. Рекомендации по области применения методов.
Данный метод применим для решения любого типа трансцендентных уравнений вида y (x)=0.
Список литературы
Бахвалов Н.С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы: учеб. пособие для студ. физ.-мат. спец. вузов — 5-е изд. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. — 637с.
Вержбицкий В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения: Учеб. пособие для студ. вузов, обучающихся по мат. спец. и направлениям подгот. дипломир. специалистов в обл. техники и технологии — 2.изд., испр. — М.: ОНИКС 21 век, 2005. — 399с.
Воробьев Г. Н. Практикум по численным методам./ Воробьев Г. Н., Данилова А. Н. ;
М.:Высш. шк., 2007 г. -184 с.
Демидович Б.П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения: учеб. пособие / Б. П. Демидович (ред.). — Изд.
4-е, стер. — М.; СПб.; Краснодар: Лань, 2008. — 400с.
Зализняк В. Е. Основы научных вычислений.
Введение
в численные методы для физиков и инженеров — М.: Институт комбинированных исследований, 2006. — 263с.
Калиткин Н. Н. Вычисления на квазиравномерных сетках. / Н. Н.
Калиткин, А. Б. Альшин, Е. А. Альшина, В.
Б. Рогов. — М.: Наука, Физматлит, 2005.- 224 с.
Рыжиков Ю. «Вычислительные методы"/Ю. Рыжиков — М.: изд. BHV, 2007 г. — 400 с.
Самарский А.А.
Введение
в численные методы: Учеб. пособие для вузов / Московский гос. ун-т им.
М.В.Ломоносова. — 3-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2005. — 288с.
Самарcкий А. А. Задачи и упражнения по численным методам. /Самарcкий А.А., Вабищевич П. Н., Самарская Е. А. — 4-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2009. — 208с.
Численные методы и их реализация в Microsoft Excel. Ч.1: лабораторный практикум по информатике / Сост. Е. В. Башкинова, Г. Ф. Егорова, А. А. Заусаев. — Самара; Самар. гос. техн. ун-т, 2009. 44 с.
http://www.tgspa.ru/
Вывод: Ввод корректен
F :=x * x * x + 2.9 * x * x + 14.89 * x + 6.85
Вывод: «Введите точность»
Вывод: «Введите границы»
Вывод: «Результат метода Ньютона:
Вывод: Количество итераций
dF:=3 * x * x + 5.8 * x + 14.89
