Математические методы теории принятия решений

Сравнение этого интегрального показателя по отдельным альтернативам позволяет избрать для реализации ту из них, которая приводит к избранной цели (заданному показателю эффективности) с наименьшим уровнем риска. Оценка вероятности реализации отдельных ситуаций развития событий может быть получена экспертным путем. Исходя из матрицы решений, построенной в условиях риска с учетом вероятности реализации отдельных ситуаций, рассчитывается интегральный уровень риска по каждой из альтернатив принятия решений.II. Принятие решений в условиях неопределенности основано на том, что вероятности различных вариантов ситуаций развития событий субъекту, принимающему рисковое решение, неизвестны. В этом случае при выборе альтернативы принимаемого решения субъект руководствуется, с одной стороны, своим рисковым предпочтением, а с другой — соответствующим критерием выбора из всех альтернатив по составленной им «матрице решений». Основные критерии, используемые в процессе принятия решений в условиях неопределенности, представлены ниже.

критерий Вальда (критерий «максимина») критерий «максимакса» критерий Гурвица (критерий «оптимизма-пессимизма» или «альфа-критерий») критерий Сэвиджа (критерий потерь от «минимакса») 1. Критерий Вальда (или критерий «максимина») предполагает, что из всех возможных вариантов «матрицы решений» выбирается та альтернатива, которая из всех самых неблагоприятных ситуаций развития события (минимизирующих значение эффективности) имеет наибольшее из минимальных значений (т.е. значение эффективности, лучшее из всех худших или максимальное из всех минимальных).Критерием Вальда (критерием «максимина») руководствуется при выборе рисковых решений в условиях неопределенности, как правило, субъект, не склонный к риску или рассматривающий возможные ситуации как пессимист.

2. Критерий «максимакса» предполагает, что из всех возможных вариантов «матрицы решений» выбирается та альтернатива, которая из всех самых благоприятных ситуаций развития событий (максимизирующих значение эффективности) имеет наибольшее из максимальных значений (т.е. значение эффективности лучшее из всех лучших или максимальное из максимальных).Критерий «максимакса» используют при выборе рисковых решений в условиях неопределенности, как правило, субъекты, склонные к риску, или рассматривающие возможные ситуации как оптимисты.

3. Критерий Гурвица (критерий «оптимизма-пессимизма» или «альфа-критерий») позволяет руководствоваться при выборе рискового решения в условиях неопределенности некоторым средним результатом эффективности, находящимся в поле между значениями по критериям «максимакса» и «максимина» (поле между этими значениями связано посредством выпуклой линейной функции). Оптимальная альтернатива решения по критерию Гурвица определяется на основе следующей формулы:

Аi=а *Э MAXi+ (1 — а) * Э MINi, где Ai — средневзвешенная эффективность по критерию Гурвица для конкретной альтернативы;

а — альфа-коэффициент, принимаемый с учетом рискового предпочтения в поле от 0 до 1 (значения, приближающиеся к нулю, характерны для субъекта, не склонного к риску; значение равное 0,5 характерно для субъекта, нейтрального к риску; значения, приближающиеся к единице, характерны для субъекта, склонного к риску);Э MAXi — максимальное значение эффективности по конкретной альтернативе;

Э MINi — минимальное значение эффективности по конкретной инициативе. Критерий Гурвица используют при выборе рисковых решений в условиях неопределенности те субъекты, которые хотят максимально точно идентифицировать степень своих конкретных рисковых предпочтений путем задания значения альфа-коэффициента.

4. Критерий Сэвиджа (критерий потерь от «минимакса») предполагает, что из всех возможных вариантов «матрицы решений» выбирается та альтернатива, которая минимизирует размеры максимальных потерь по каждому из возможных решений. При использовании этого критерия «матрица решения» преобразуется в «матрицу потерь» (один из вариантов «матрицы риска»), в которой вместо значений эффективности проставляются размеры потерь при различных вариантах развития событий. Критерий Сэвиджа используется при выборе рисковых решений в условиях неопределенности, как правило, субъектами, не склонными к риску.

2.4. Решение задачи

Найти решение игры, платежная матрица которой представлена таблицей. Определить нижнюю цену игры, верхнюю цену игры, седловую точку (если она есть) и оптимальные стратегии. ИгрокиB1B2B3A10−1-2A2−210A32−1-21. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях. Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I. ИгрокиB1B2B3a = min (Ai)A10−1-2−2A2−210−2A32−1-2−2b = max (Bi)2100

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max (ai) = -2, которая указывает на максимальную чистую стратегию A1. Верхняя цена игры b = min (bj) = 0. Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах -2 ≤ y ≤ 0. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).

2. Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы. Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать, что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью. Говорят, что i-я стратегия 1-го игрока доминирует его k-ю стратегию, если aij ≥ akj для всех j Э N и хотя бы для одного jaij > akj. В этом случае говорят также, что i-я стратегия (или строка) — доминирующая, k-я — доминируемая. Говорят, что j-я стратегия 2-го игрока доминирует его l-ю стратегию, если для всех j Э Maij ≤ ail и хотя бы для одного iaij < ail. В этом случае j-ю стратегию (столбец) называют доминирующей, l-ю — доминируемой. В платежной матрице отсутствуют доминирующие строки. В платежной матрице отсутствуют доминирующие столбцы. Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш. Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I. В матрице присутствуют отрицательные элементы. Для упрощения расчетов добавим к элементам матрицы (2). Такая замена не изменит решения игры, изменится только ее цена (по теореме фон Неймана).

Находим решение игры в смешанных стратегиях. Запишем систему уравнений. Для игрока I2p1+4p3 = yp1+3p2+p3 = y2p2 = yp1+p2+p3 = 1Для игрока II2q1+q2 = y3q2+2q3 = y4q1+q2 = yq1+q2+q3 = 1Решая эти системы методом Гаусса, находим: y = 0p1 = 3 (вероятность применения 1-ой стратегии).p2 = -½ (вероятность применения 2-ой стратегии).p3 = -11/2 (вероятность применения 3-ой стратегии).Вероятность получилась отрицательная. Следовательно, данный метод не применим при решении игры для исходных данных. Необходимо решать симплекс-методом.q1 = 0 (вероятность применения 1-ой стратегии).q2 = 0 (вероятность применения 2-ой стратегии).q3 = 0 (вероятность применения 3-ой стратегии).Оптимальная смешанная стратегия игрока II: Q = (0; 0; 0) Поскольку ранее к элементам матрицы было прибавлено число (2), то вычтем это число из цены игры.

0 — 2 = -2Цена игрыy = -2Заключение

Обоснование и выбор конкретных управленческих решений, связанных с финансовыми рисками, базируется на концепции и методологии теории принятия решений. Эта теория предполагает, что решениям, связанным с риском, всегда свойственны элементы неизвестности конкретного поведения исходных параметров, которые не позволяют четко детерминировать значения конечных результатов этих решений. В зависимости от степени неизвестности предстоящего поведения исходных параметров принятия решений различают условия риска, в которых вероятность наступления отдельных событий, влияющих на конечный результат, может быть установлена с той или иной степенью точности, и условия неопределенности, в которых из-за отсутствия необходимой информации такая вероятность не может быть установлена. Списоклитературы

Сельцовский В.Л., Экономико-статистические методы анализа внешней торговли, М.: Финансы и статистика, 2004 г. Елисеева И. И. Общая теория статистики: Учебник для ВУЗов. — М.: Финансы и статистика, 1999

Ефимова М. Р. Общая теория статистики: Учебник.

М.: Финансы и статистика, 1999

Козлов В.С., Эрлих Я. М., Долгушевский Ф. Г. Общая теория статистики: Учебник.

М.: Статистика, 1975

Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности. Учебник для ВУЗов.

М.: Финансы и статистика, 1999

Общая теория статистики: Учебник/ Под ред. А. А. Спирина, О. Э. Башиной.

М.: Финансы и статистика, 1996

Общая теория статистики: Учебник/ Под ред. А. М. Гольдберга, В. С. Козлова.

М.: Финансы и статистика, 1985

Ряузов Н. Н. Общий курс статистики.

М.: Статистика, 1979.