Моделирование движения свободной поверхности жидкого топлива в баке космического аппарата

Для того чтобы удовлетворить граничным условиям на стенках бака решение уравнения Лапласса можем искать в виде [6] произведения sin (η) на функцию зависящую только от xи r и которую можно представить в виде ряда произведений гиперболических функций на функциии Бесселя первого порядкаJ1.=sin (η){[ 2r0 + r (L+x)] +r}+ φ(x, r,η, t). В этом выражении введены обозначения= -(),. — корни уравнения =0. Функция φ(x, r,η, t) должна тоже быть решением уравнения Лапласа и удовлетворять нулевым граничным условиям на стенках и на дне бака. Эта функция подбирается так, чтобы выполнялись условия на свободной границе жидкости в баке. Эту функцию можно искать в видеφ(x, r,η, t) = sin (η)2r0 ,=. подбирается таким образхом чтобы выполнялось условие на свободной границе (14). Не трудно убедится, что функция φ(x, r,η, t) является решением уравнения Лапласа и удовлетворяет граничным условиям (13) на стеках и дне бака. Условие на свободной границе (14) выполняется если если удовлетворяет уранениям для вынужденных колебаний g (15)Здесь введены обозначенияth (), L — th ().Запишем уравнение свободной поверхности в данном приближенииζ(z, y, t)== 2r0sin (η) [ th ()-Это соотношение можно упростить, если воспользоваться разложением2r0=rТогда ζ(z, y, t) = -r+2sin (η) th ()С точностью до малых величин первого порядка выражение-rописывает уравнение плоскости 01y1z1. Оставшие члены в вышеприведенном уравнении представляют собой отклонение свободной поверхности в подвижной, связанной с космическим аппаратом, системе координат x1y1z1. Вид свободной поверхности в этом выражении представлен в виде бесконечного ряда Фурье по функциям Бесселя; в направлении отсчета угла он изменяется по закону синуса. Каждому члену этого ряда соответствует своя амплитуда движения свободной поверхности, которая в свою очередь определяется из уравнений вынужденных гормонических колебаний (15). Рассмотрим вид этой поверхности при некоторых упрощающих предположениях.

3Свободная поверхность в потенциальном приближении

Если параметр ≥1, что всегда обычно выполняется, то th () ~ 1. В этом случае уравнение свободной поверхности в подвижной системе координат x1y1z1 имеет видζ(, t) = 2sin (η) .Амплитуды колебаний будут определятся из уравнений g;; LПриведем эти уравнения к безразмерному виду, поделив все размерные величины на характерный размер r0 и характерное време τ0=. = 2sin (η) (τ);; -; Υ=;; Из безразмерного вида уравнений для возмущений свободной поверхности жидкости можно сделать следующие выводы. На свободной поверхности жидкого топлива в двигающем баке возникают незатухающие, вынужденные прстранственные моды колебаний. На рисунках 2−5 приведен явный вид этих мод колебаний для =1,84; =5,33;=8,54;=11,71. Здесь нами введено обозначениеSn () = .Условие применения данного приближения очевидно < 1, кроме того должно выполнятся условие пренебрежения квадратичным членом по скорости в уравнении Эйлера. Следует отметить, что на все моды колебаний действует почти одна и тажа вынуждающая сила. Для того, чтобы не возникали резонансные эффекты, необходимо ограничивать спектр частот вынуждающей силы полосой частот < Рис. 2 Первая пространственная мода колебаний свободной поверхности топлива в баке

Рис. 3 Вторая пространственная мода колебаний свободной поверхности топлива в баке

Рис. 4 Третья пространственная мода колебаний свободной поверхности .Рис.5 Четвертая пространственная мода колебаний свободной поверхности. Заключение

Приведенный анализ, в рамках потенциального приближения с линеризованными уравнениями движения и граничными условия на свободной поверхности жидкого топлива качественно показал что в топливном баке космического аппарата возникают пространственные моды незатухающих вынужденных колебаний с неограниченным дискретным набором частот. Для дальнейшего как качественного так и количественногоулучшения описания этих явлений необходимо провести учет нелинейностейуравнений движения и граничных условий на свободной поверхности. Учет этих нелинейностей возможно позчволит предовратить неограниченный рост амплитуд пространственных мод при описание движения свободной поверхности. Кроме того необходимо учитыватьь и вязкость жидкого топлива. Учет вязкости очевидно приведет к затуханию вынужденных колебаний. В решение этих проблем может помочь применение эффективных численных методов решения нелинейных задач гидродинамики со свободными границами.

Список литературы

1 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 19 862

Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир 19 813

Уизем

Линейныеинелинейныеволны. М.: Мир 19 774.StokesG. MathematicalandPhysicalPapers. vol. 1, Cambridge, 18 805

Жуковский Н.Е. О движение твердого тела, имеющего полость, наполненной однородной капельной жидкостью // Собрание сочинений Т.2 Гидродинамика. М.: Гостехиздат, 1949. 6. Колесников Н. С. Динамика ракет.М.: Машиностроение, 2003.

7. Черноусько Ф. А. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость.М.: ВЦ АН СССР. 19 688

Алексеев А.В., Асланов В. С. Движение твердого тела с жидкостью малой вязкости // Известия Саратовского университета 2007, Т.7 сер. Математика, механика, информатика Вып.2 с 44−489. Будак Б. М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. М.:Наука 1965.

10. Франк А. М. Дискретные модели несжимаемой жидкости. М.: Физмаатлит.

2001.