Задача 1
С целью проведения реформы жилищно-коммунального хозяйства осуществлено обследование доходов населения по данным Государственной налоговой инспекции города. В результате обследования получено следующее распределение населения по величине среднемесячных доходов в расчете на одного человека:
Среднемесячный доход на одного человека, тыс. руб. Численность населения, тыс. чел.
до 1,0 2,3
1,0−2,0 4,2
2,0−3,0 5,8
3,0−4,0 6,6
4,0−5,0 7,0
5,0−6,0 7,4
6,0−7,0 6,1
7,0−8,0 5,0
8,0−9,0 4,9
9,0−10,0 4,2
10 и более 3,5
Итого: 57,0
По результатам обследования необходимо:
1) рассчитать средний, модальный и медианный доход;
2) при помощи коэффициента вариации оценить однородность совокупности и сделать вывод о надежности средней;
3) используя коэффициент децильной дифференциации оценить степень дифференциации населения по доходам.
4) Сформулировать выводы.
Решение:
Определим средний доход по формуле:
где х — средние уровни интервала; f — частота интервала.
Построим таблицу:
Среднемесячный доход на одного человека, тыс. руб. хi Численность населения, тыс. чел. (f) x*f (хi-xcp)2f
до 1,0 0,5 2,3 1,15 57,27
1,0−2,0 1,5 4,2 6,3 66,86
2,0−3,0 2,5 5,8 14,5 51,85
3,0−4,0 3,5 6,6 23,1 26,14
4,0−5,0 4,5 7 31,5 6,86
5,0−6,0 5,5 7,4 40,7 0,00
6,0−7,0 6,5 6,1 39,65 6,22
7,0−8,0 7,5 5 37,5 20,20
8,0−9,0 8,5 4,9 41,65 44,39
9,0−10,0 9,5 4,2 39,9 67,54
10 и более 10,5 3,5 36,75 87,85
Итого: 57 312,7 435,19
Получаем:
тыс.руб.
Рассчитаем модальный доход.
Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:
где хМo — нижняя граница модального интервала,
h -величина модального интервала,
fMo — частота модального интервала,
fMo-1 — частота интервала, предшествующего модальному,
fMo+1 — частота интервала, следующего за модальным.
Модальным интервалом в нашем случае признака является шестой интервал, так как его частота максимальна (f6 =7,4).
Расчет моды:
тыс.р.
Определим медиану:
где хМе- нижняя граница медианного интервала,
h — величина медианного интервала,
— сумма всех частот,
fМе — частота медианного интервала,
SMе-1 — кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.
Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты (или частости). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).
В нашем случае признака медианным интервалом является шестой интервал, так как именно в этом интервале накопленная частота Sj впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности (=).
Расчет значения медианы:
тыс.р.
Для оценки однородности совокупности определим:
1. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение;
2. Коэффициент вариации.
Рассчитаем дисперсию:
Получаем:
Среднее квадратическое отклонение определим по формуле:
тыс.р.
Коэффициент вариации определим по формуле:
Получаем:
%.
Таким образом, среднее значение дохода составило 5,49 тыс.р. Медиана составила 5,35 тыс.р. В рассматриваемой совокупности наблюдений половина единиц имеют в среднем доход не более 5,24 тыс.р., а другая половина — не менее 5,24 тыс.р. Для рассматриваемой совокупности единиц наблюдения наиболее распространенная величина дохода характеризуется средней величиной 5,49 тыс.р. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средняя величина дохода составляет 5,49 тыс.р., отклонение от средней в ту или иную сторону составляет в среднем 2,76 тыс.р. (или 50,3%), наиболее характерные значения находятся в пределах от 2,73 тыс.р. до 8,25 тыс.р. (диапазон).
Значение Vσ = 50,3% превышает 33%, следовательно, вариация в исследуемой совокупности значительна и совокупность по данному признаку качественно неоднородна. Расхождение между значениями, Мо и Ме значительно (=5,49 тыс.р., Мо=5,24 тыс.р. Ме=5,35 тыс.р.), что подтверждает вывод о неоднородности совокупности. Таким образом, найденное среднее значение (5,49 тыс.р.) является нетипичной, ненадежной характеристикой исследуемой совокупности.
Используя коэффициент децильной дифференциации оценим степень дифференциации населения по доходам.
где
х0 — нижняя граница интервала или группы, содержащей дециль;
ND i — номер децили;
f’Q-1 — сумма накопленных частот к интервалу предшествующему децильному;
fQ — частота децильного интервала.
Получаем:
Рассчитаем коэффициент децильной дифференциации:
(8)
Такой показатель характеризует соотношение между крайними значениями признака. Другими словами, инструмент анализа дифференциации позволяет выявить во сколько раз среднее значение дохода, полученное из 10% наибольших значений признака превышает среднее значение дохода, полученное из 10% наименьших значений признака.
