Задача 1
В таблице представлены данные, отражающие объем выпуска продукции в тыс. руб. (у), и среднегодовая стоимость основных производственных фондов в тыс. руб. (х).
Таблица 1
Номер предприятия Х Y
1 6,6 5,1
2 2,0 5,2
3 4,7 6,6
4 2,7 4,7
5 3,0 3,8
6 6,1 10,2
7 3,5 2,0
8 4,0 3,9
9 7,0 3,3
10 4,9 3,1
Требуется:
1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
2. Рассчитать параметры парной линейной регрессии.
3. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и коэффициент эластичности.
4. Оценить качество модели по средней ошибке аппроксимации и коэффициенту детерминации.
5. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и коэффициента парной корреляции.
6. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня.
7. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05.
Решение:
Построим поле корреляции на рисунке 1.
Рисунок 1 Поле корреляции
Согласно корреляционному полю можно выдвинуть гипотезу о линейной связи.
Параметры уравнения регрессии найдем, решив следующую систему уравнений:
∑y = an + b∑x
∑yx = a∑x + b∑x2
Таблица 2
Номер предприятия х у ху Х2 У2 Ух
1 6,6 5,1 33,66 43,56 26,01 5,53
2 2,0 5,2 10,4 4 27,04 3,94
3 4,7 6,6 31,02 22,09 43,56 4,88
4 2,7 4,7 12,69 7,29 22,09 4,19
5 3,0 3,8 11,4 9 14,44 4,29
6 6,1 10,2 62,22 37,21 104,04 5,36
7 3,5 2,0 7 12,25 4 4,46
8 4,0 3,9 15,6 16 15,21 4,64
9 7,0 3,3 23,1 49 10,89 5,67
10 4,9 3,1 15,19 24,01 9,61 4,95
Итого 44,5 47,9 222,28 224,41 276,89 47,91
Решив систему уравнений, получим: а = 3,251; b = 0,346.
Следовательно, уравнение регрессии будет выглядеть следующим образом:
Y = 3,251 + 0,346 * X.
Определим линейный коэффициент парной корреляции:
где xi и yi — значения признаков х и у соответственно для i-ro объекта, i=1, ., n; n — число объектов; и — средние арифметические значения признаков х и у соответственно.
Ryx = 9,125 / 35,383 = 0,258
Определим коэффициент эластичности:
Е = (10,2 — 3,8) / 10,2: (6,1 — 3,0) / 6,1 = 0,6275 / 0,5082 = 1,2348.
Средняя ошибка аппроксимации — среднее отклонение расчетных значений от фактических:
1 y-ỹ
А= ∑ ∙100% = 40,35%
n y
Определим коэффициент детерминации:
R2 = 3,1587 / 47,449 = 0,065.
