Применим теперь метод инструментальных переменных X, Z1, Z2. полученные при этом оценки имеют вид:
1 = 3,65; = 0,239; = 0,518;
2 = - 1,795; 2 = 0,675 (17.1)
и, как видно, значительно отличаются от оценок (17). Наилучшие оценки можно получить с помощью двухшагового метода наименьших квадратов. Они имеют вид:
1 = 3,632; = 0,241; = 0,522;
2 = - 1,783; 2 = 0,675.
2.4 Одновременное оценивание регрессионных уравнений.
Внешне не связанные уравнения
Косвенный метод наименьших квадратов, по сути, сводится к оцениванию по отдельности уравнений приведенной формы.
Y1 = a1 + b1X1 + ν1, (18)
Y2 = a2 + b2X2 + ν2. (19)
При этом, вообще говоря, Cov (ν1, ν2) ≠ 0. Отсюда следует, что эффективность оценивания можно повысить, если объединить уравнения (18), (19) в одно и применить к нему обобщенный метод наименьших квадратов.
Пусть
Y1 β1 ν1
X = X1 0; Y = …; β = …; ν = …
0 X2
Y2 β2 ν2
Тогда уравнения (18) — (19) можно записать в виде:
Y=Xβ + ν. (20)
Пусть
Σ11 = Cov (ν1, ν1), Σ12 = Cov (ν1, ν2), Σ22 = Cov (ν2, ν2). (21)
Если уравнения (18), (19) по отдельности удовлетворяют условиям классической модели, матрицы Σij — скалярные.
Тогда Σ11 Σ12
Σ = Σ12 Σ22
Есть ковариационная матрица ошибок регрессии уравнения (20). Соответственно, оценка обобщенного метода наименьших квадратов уравнения (20) имеет вид (20.1):
b* = (x' + Σ-1 x)-1 x' ΣY.
Для практического применения обобщенного метода наименьших квадратов следует оценить матрицу Σ. Это можно сделать, применив метод наименьших квадратов сначала к уравнениям (18), (19) по отдельности, найти остатки регрессии и принять, а качестве оценок матриц Σij выборочные ковариации Cv (ei, ej). Очевидно, эти оценки будут состоятельными.
Применяя метод одновременного оценивания, можно повысить эффективность косвенного метода наименьших квадратов. Заметим, однако, что если наборы экзогенных переменных в обоих уравнениях совпадают, то оценка одновременного оценивания совпадает с оценкой метода наименьших квадратов, примененного к уравнениям по отдельности.
Процедура одновременного оценивания регрессионных уравнений системы как внешне не связанных реализована в стандартных компьютерных пакетах. В западных эконометрических пакетах соответствующий метод оценивания называется Seemingly Unreleased Regression (SUR) (внешне не связанные уравнения).
Рассмотрим пример модели вида:
Y = α + γX + ε, (22)
Где X — стоимость полуфабрикатов; Y — цена конечной продукции.
Применяя метод инструментальных переменных, получили следующее уравнение:
= 16,72 + 1,408х. (23)
Далее мы усложним модель, составив систему регрессионных уравнений. Будем считать, что стоимость полуфабриката Х зависит от суммы цен на сырье, т. е. от величины W = Z1 + Z2 (предполагается, что оба вида сырья расходуются в равной пропорции — очевидно, это не есть ограничение, а лишь вопрос выбора единиц измерения). Пусть также Z — обобщенный фактор производства конечного продукта. Следующая диаграмма показывает выборочное распределение признака Z.
Рассмотрим модель вида
X = α1 + β1W + ε1,
Y = α2 + β2 Z + γX + ε2. (24)
При этом ε1, ε2 коррелируют (на них действуют общие факторы, связанные со стоимостью перевозок), так что Х — эндогенная переменная. Приведенная форма системы (24) имеет вид:
X = α1 + β1W + ε1,
Y = (α2 + γ α1) β2 Z + γβ1W + (γε1 + ε2). (25)
Косвенный метод наименьших квадратов (уравнения (25) оцениваются по отдельности) дает следующие значения оценок:
1 = 19,31; 1= 1,77;
2 = 18,0; 2= 0,55;
= 1,325. (26)
Теперь оценим уравнения (25) одновременно как внешне не связанные. Результатом оказываются следующие уравнения:
=19,31 + 1,77W, d =1,9, R2=0,984;
(6,98) (0,03)
= 44 + 0,077Z + 2,47W, d =2,0, R2=0,97.
(13,01) (0,1) (0,06)
Отсюда получаем следующие значения оценок:
1 = 19,31; 1= 1,77;
2 = 17,0; 2= 0,08;
= 1,40. (27)
Очевидно, мы должны считать оценки (27) более точными. Заметим при этом, что коэффициент 2 незначим.
2.5 Трехшаговый метод наименьших квадратов
Наиболее эффективная процедура оценивания систем регрессионных уравнений сочетает метод одновременного оценивания и метод инструментальных переменных. Соответствующий метод называется трехшаговым методом наименьших квадратов. Он заключается в том, что на первом шаге к исходной модели (2) применяется обобщенный метод наименьших квадратов с целью устранения корреляции случайных членов. Затем к полученным уравнениям применяется двухшаговый метод наименьших квадратов.
Очевидно, что если случайные члены (2) не коррелируют, Трехшаговый метод сводится к двухшаговому, в то же время, если матрица B — единичная, Трехшаговый метод представляет собой процедуру одновременного оценивания уравнений как внешне не связанных.
Применим Трехшаговый метод к рассматриваемой модели (24):
a1 = 19,31; β1= 1,77; a2 = 19,98; β2= 0,05; γ = 1,4
(6,98) (0,03) (4,82) (0,08) (0,016)
Так как коэффициент β2 незначим, то уравнение зависимости Y от X имеет вид:
= 16,98 + 1,4х.
Заметим, что оно практически совпадает с уравнением (23).
Как известно, очищение уравнения от корреляции случайных членов — процесс итеративный. В соответствии с этим при использовании трехшагового метода компьютерная программа запрашивает число итерации или требуемую точность. Отметим важное свойство трехшагового метода, обеспечивающего его наибольшую эффективность.
При достаточно большом числе итераций оценки трехшагового метода наименьших квадратов совпадают с оценками максимального правдоподобия.
Как известно, оценки максимального правдоподобия на больших выборках являются наилучшими.
Выводы по главе 2
Таким образом, в данной главе был сделан сравнительный анализ методов оценки систем одновременных уравнений: Косвенный метод наименьших квадратов; Метод инструментальных переменных; Одновременное оценивание регрессионных уравнений; Трехшаговый метод наименьших квадратов; Проблема идентифицируемости.
Проблема сверхидентифицируемости — проблема количества наблюдений: с увеличением объема выборки все различные состоятельные оценки параметра стремятся к одному и тому же истинному значению. Между тем проблема неидентифицируемости — это проблема структуры модели. Неидентифицируемость не исчезает с ростом количества наблюдений и означает, что существует бесконечное число структурных моделей, имеющих одну и ту же приведенную форму.
Заключение
Таким образом, в результате проведенных исследований цель курсовой работы была достигнута посредством проведения обзора и сравнительного анализа методов оценки систем одновременных уравнений. В работе была раскрыта суть систем одновременных уравнений. Приведены методы оценки.
Также мы выяснили, что экономическая составляющая эконометрики, безусловно, является первичной. Именно экономика определяет постановку задачи и исходные предпосылки, а результат, формируемый на математическом языке, представляет интерес лишь в том случае, если удается его экономическая интерпретация. В то же время многие эконометрические результаты носят характер математических утверждений (теорем).
Широкому внедрению эконометрических методов способствовало появление во второй половине ХХ в. электронных вычислительных машин и в частности персональных компьютеров. Компьютерные экономические пакеты сделали эти методы более доступными и наглядными, так как наиболее трудоемкую (рутинную) работу по расчету различных статистик, параметров, характеристик, построению таблиц и графиков в основном стал выполнять компьютер, а эконометристу осталась главным образом творческая работа: постановка задачи, выбор соответствующей модели и метода ее решения, интерпретация результатов.
Библиографический список Бережная Е. В. Математические методы моделирования экономических систем: учебное пособие для вузов/ Е. В. Бережная, В.
И. Бережной. — М.: Финансы и статистика 2004. — 366 с.
Елисеева И. И. Эконометрика: учеб. для вузов/ под ред. И. И. Елисеевой — 2-е изд., переработанное и дополненное — М.: Финансы и статистика, 2005. — 576 с.
Колемаев В. А. Эконометрика: учеб. Для вузов/ В. А. Колемаев; Министерство Образования Российской Федерации, Государственный университет управления — М.: Инфра — М, 2005. — 160 с.
Кремер Н. Ш. Эконометрика: учебник для студентов вузов/ Н. Ш. Кремер, Б. А.
Путко; под ред. Н. Ш. Кремера.
— 2-е изд., стереотип. — М.: Юнити — Дана, 2008. — 311 с.
Новая экономика и информационные системы/ Стрелец И. А. — М.: Экзамен, 2004. — 256 с.
Орлов А. И. Эконометрика: Учебник для вузов/ Орлов А. И. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М.: Экзамен 2005. — 576 с.
Романов А. Н. Информационные системы в экономике: (лекции, упражнения, задачи): учеб. пособие для вузов/ А. Н.
Романов, Б. Е. Одинцов. — М.: Инфра., 2006. — 299 с.
Эконометрика: учебник/ под ред. В. Б. Уткина. — М.: Дашкова и К, 2007. — 561 с.
Эконометрика: учебник для вузов/ Н. П. Тихомиров, Е. Ю. Дорохина — 2-е издание, стереотипное — М.: Экзамен 2007. — 510 с.
