Экономическая статистика

Задание 1

1. Произведите аналитическую группировку 20 предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, образовав не более четырех групп с равными закрытыми интервалами.

2. По каждой группе приведите структуру среднегодовой стоимости основных производственных фондов, а также определите средние абсолютные и относительные показатели — фондоотдачу и выработку на 1-го работающего.

3. Составьте таблицу с системой абсолютных и относительных показателей и сделайте выводы.

Исходные данные представлены в таблице 1.

Таблица 1 — Показатели работы предприятий

Решение:

Определяем величину равного интервала i:

(1)

где xmax, xmin — максимальное и минимальное значение группировочного признака в совокупности;

n — количество интервалов (групп).

Максимальное значение среднегодовой стоимости основных производственных фондов по данным таблицы 1 составляет 51,26 млрд руб.

Минимальное значение среднегодовой стоимости основных производственных фондов по данным таблицы 1 составляет 1,716 млрд руб.

По условию задачи необходимо образовать не более четырех групп с равными закрытыми интервалами. Таким образом, примем n = 2.

Величина равного интервала i составит: млрд. руб.

Итак, равные закрытые интервалы составят:

1) 1,716 — 26,486

2) 26,486 — 51,26

Группировка предприятий по рассчитанным интервалам представлена в таблице 2.

Таблица 2 — Группировка предприятий по рассчитанным интервалам

Итак, пустых интервалов в данной группировке нет, можно продолжить расчеты.

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов в среднем на один завод рассчитывается по формуле:

(2)

где ОПФ — среднегодовая стоимость основных производственных фондов по группе заводов, n — количество заводов в группе.

Фондоотдача рассчитывается по формуле:

(3)

где В — стоимость валовой продукции.

Для определения выработки на одного работающего количество произведенной продукции делится на численность всего персонала:

(4)

где Ч — численность всего персонала.

Таблица 3 — Итоговая таблица

Структура среднегодовой стоимости основных производственных фондов, а также средние абсолютные и относительные показатели — фондоотдача и выработка на 1-го работающего, по каждой группе предприятий представлены в таблице 3.

Итак, по данным таблицы 3 можно сделать следующие выводы:

Наибольшая по числу предприятий группа № 1. В данной группе в совокупности произведено больше всего валовой продукции.

Наибольший выпуск валовой продукции в расчете на одно предприятие приходится на группу № 2 и составляет 70,23 млрд руб., что значительно превышает показатель валовой продукции на 1 предприятие в группе № 1.

Наибольшая среднегодовая численность персонала в расчете на одно предприятие соответствует группе № 2 и составляет 4973 человек, что значительно больше первой группы.

Если рассматривать показатель среднегодовой численности персонала в целом по группам, то наибольший показатель приходится на группу № 1.

Наибольший показатель фондоотдачи соответствует группе № 1, и составляет 28,66.

Наибольшая выработка на 1-ого работающего наблюдается в группе № 1 и составляет 0,16 млрд руб. на 1-ого работающего.

Задание 2

1. Постройте секционные диаграммы для двух фирм по дискретным вариационным рядам.

2. Сделайте выводы об эффективности работы этих фирм и акции какой фирмы вы бы приобрели. Обоснуйте ваш выбор.

3. Определите коэффициенты, обратные коэффициентам вариации по каждой фирме. Сравните ваши выводы с полученными коэффициентами и дайте интерпретацию этим коэффициентам.

Исходные данные представлены в таблице 4.

Таблица 4 — Годовая норма прибыли (%)

Решение:

Определим Q1 для первой фирмы:

Так как n*q — дробное число, то принимаем n*q =2, тогда:

(5)

где x3 означает, что в ранжируемом дискретном ряду нижний квартиль по счету от минимального значения дискретного ранжированного ряда стоит на третьем месте, т. е. Q1 = 4.

Определим Q1 для второй фирмы:

Так как n*q — дробное число, то принимаем n*q =2, тогда:

где x3 означает, что в ранжируемом дискретном ряду нижний квартиль по счету от минимального значения дискретного ранжированного ряда стоит на третьем месте, т. е. Q1 = 15.

Определим Q2 для первой фирмы:

Так как n*q — целое число, то используем формулу:

(6)

т.е. Q2 = 12,5

Определим Q2 для второй фирмы:

Так как n*q — целое число, то используем формулу (6):

т.е. Q2 = -6

Определим Q3 для первой фирмы:

Так как n*q — дробное число, то принимаем n*q = 7, тогда:

где x8 означает, что в ранжируемом дискретном ряду верхний квартиль по счету от минимального значения дискретного ранжированного ряда стоит на восьмом месте, т. е. Q3 = 18.

Определим Q3 для второй фирмы:

Так как n*q — дробное число, то принимаем n*q = 7, тогда:

где x8 означает, что в ранжируемом дискретном ряду верхний квартиль по счету от минимального значения дискретного ранжированного ряда стоит на восьмом месте, т. е. Q3 = 15.

Секционные диаграммы для фирм № 1 и № 2 представлены на рисунках 1−2.

Рисунок 1 — Секционная диаграмма для фирмы № 1

Рисунок 2 — Секционная диаграмма для фирмы № 2

Для характеристики меры колеблемости в относительных величинах используют коэффициент вариации, определяемый по формуле, где S — стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение); x — среднее значение признака.

Среднее значение признака для первой фирмы составляет 9,6, для второй фирмы — 6,8.

Для первой фирмы стандартное отклонение составляет:

Для второй фирмы стандартное отклонение составляет:

Таким образом, коэффициент вариации для первой фирмы составит:

Коэффициент вариации для второй фирмы составит:

Рассчитанные коэффициенты вариации говорят о неоднородности информации и необходимости исключения самых больших и самых маленьких значений.

Задание 3

1. Определите взаимосвязь между среднегодовой стоимостью основных производственных фондов (факторный признак x) и выработкой на 1-го работающего (результативный признак y), рассчитав коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Сделайте выводы.

Решение:

Исходные данные представлены в таблице 5.

Таблица 5 — Исходные данные

Коэффициент детерминации вычисляется по формуле:

(7)

где — межгрупповая дисперсия,

— общая дисперсия.

Межгрупповая дисперсия рассчитывается по формуле:

(8)

где mJ — количество единиц в j группе.

Общая дисперсия рассчитывается по формуле:

(9)

Эмпирическое корреляционное отношение определяется по формуле:

(10)

Определим среднюю выработку на 1-ого работающего:

млрд. руб.

Строим расчетную таблицу:

Таблица 6 — Расчетная таблица

Рассчитаем межгрупповую дисперсию по формуле 8:

Рассчитаем общую дисперсию по формуле 9:

Тогда коэффициент детерминации составит:

Коэффициент детерминации показывает, что среднегодовая стоимость ОПФ на 64% зависит от выработки на одного работающего и на 36% от неучтенных факторов.

Рассчитаем эмпирическое корреляционное отношение по формуле 10:

Это говорит о том, что связь между факторным и результативным признаками очень тесная.

Задание 4

1. Произведите 25% механический отбор предприятий (объем генеральной совокупности N = 20).

2. По отобранным данным рассчитайте среднегодовой фонд заработной платы.

3. С вероятностью 0.954 определите границы среднего фонда заработной платы для всех 20 предприятий.

Исходные данные представлены в таблице 7.

Таблица 7 — Показатели работы предприятий

Решение:

Расстояние между отбираемыми единицами определяется делением численности генеральной совокупности (N) на численность выборочной совокупности (n).

Численность выборочной совокупности в данном случае составит:

единиц В выборочную совокупность будут отобраны каждая четвертая единица генеральной совокупности (1:0,25=4).

Таким образом, можно организовать пять групп (20:4=5) с численностью в каждой группе по четыре единицы.

Так как генеральная совокупность упорядочена по нейтральному признаку, то в выборку может быть взята из группы любая единица, но для соблюдения принципа случайного отбора во всех последующих группах берутся те же единицы, которые соответствуют порядковому номеру первой группы.

Итак, берем каждое третье предприятие в группе, т. е. предприятия № 18, 22, 26, 30, 34. Результаты выборки представлены в таблице 8.

Таблица 8 — Результаты выборки

Среднегодовой фонд заработной платы по отобранным предприятиям рассчитаем по формуле средней арифметической:

(11)

Итак, среднегодовой фонд заработной платы по отобранным предприятиям составит:

тыс. руб.

Выборка при n < 30 называются малой выборкой и ее характеристики определяются по формулам 12−13:

(12)

(13)

Итак, рассчитаем дисперсию для выборочной совокупности:

Средняя ошибка выборки составит:

Предельная ошибка выборки определяется по формуле:

(14)

Так вероятность равна 0,954, то коэффициент доверия t равен 2,776 (по таблице значений критерия Стьюдента (t-критерия), с вероятностью 0,954 и числом степеней свободы v=n-1=5−1=4), следовательно, предельная ошибка выборки составит:

Доверительные интервалы (пределы) средней рассчитываем, исходя из двойного неравенства:

(15)

Таким образом, доверительные интервалы составят:

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний фонд заработной платы лежит в границах от 11 262,7 тыс. руб. до 31 585,7 тыс. руб.

Задание 5

1. Произведите сглаживание скользящей средней и центрирование.

2. Определите индивидуальные индексы сезонности.

3. Очистите исходный ряд динамики от сезонной составляющей и опишите полученный ряд динамики как функцию времени Tr = f (t).

4. Вычислите ретроспективный и перспективный прогнозы на 4-й год по кварталам и интервал в котором будет находится прогнозная величина в IV квартале 4-го года.

5. Фактические и расчетные данные изобразите графически.

Таблица 9 — Исходные данные

Решение:

Для выравнивания ряда используем линейную трендовую модель — уравнение прямой:

(16)

Параметры искомого уравнения прямой определяем из следующей системы нормальных уравнений:

(17)

(18)

откуда рассчитываем:

Таким образом, уравнение прямой будет иметь вид:

Подставляя в данное уравнение последовательно значения t, равные -6, -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, находим выровненные уровни .

Если, в нашем примере эти суммы равны между собой и равны 3060, следовательно, значения уровней выровненного ряда найдены верно.

Полученное уравнение показывает, что, несмотря на значительные колебания в отдельные годы, наблюдается тенденция увеличения выпуска продукции в среднем на 2,03 млн руб. в месяц.

Расчетные данные представлены в таблице 10.

Таблица 10 — Расчетные значения

Индивидуальный индекс сезонности можно рассчитать по формуле:

(19)

Рассчитанные индивидуальные индексы сезонности представлены в таблице 11.

Таблица 11 — Расчет индивидуальных индексов сезонности

Для устранения воздействия случайных факторов проведем усреднение индивидуальных индексов сезонности по кварталам. Используем формулу переменной средней:

%

%

%

%

Вычисленные и откорректированные средние индексы сезонности составляют модель сезонности волны объемов выпуска продукции во внутригодовом цикле. Модель отражает квартальные колебания уровней.

Наибольшие объемы выпуска продукции ежегодно приходятся на I, ЙЙ и ЙЙV кварталы, снижение объемов — в ЙII квартале.

Определяем скорректированные индексы сезонности:

Далее, очищаем исходный ряд динамики от сезонной составляющей и получаем тренд:

(20)

Результаты расчета теоретического значения тренда представлены в таблице 12.

Таблица 12 — Результаты расчета теоретического значения тренда

Таким образом, теоретическое значение тренда составляет:

Используя полученное уравнение методом экстраполяции при t равном 7, определяем ожидаемый объем продаж на I квартал 4 года:

млн. руб.

Аналогично определяем ожидаемые объемы продаж на оставшиеся кварталы 4 года:

млн. руб.

млн. руб.

млн. руб.

Результаты фактических и выровненных данных представлены на рисунке 3.

Рисунок 3 — Фактические и расчетные данные динамики выпуска продукции Задание 6

1. Общий индекс товарооборота.

2. Общий индекс цен и абсолютное изменение товарооборота за счет изменения цены

3. Общий индекс физического объема и абсолютное изменение товарооборота за счет изменения физического объема.

4. Сделайте выводы.

Решение:

Исходные данные представлены в таблице 13.

Таблица 13 — Исходные данные

Решение:

Общий индекс товарооборота рассчитывается по формуле:

(21)

Таким образом, общий индекс товарооборота составит:

Следовательно, товарооборот в отчетном году по сравнению с базисным вырос на 3,8%.

Общий индекс цен рассчитывается по формуле:

(22)

Так как нам известны изменения цен и изменения объема реализации, то следует применить формулу среднегармонического индекса:

(23)

Индивидуальный индекс цен рассчитывается по формуле:

(24)

Таким образом, рассчитаем индивидуальные индексы цен на товары:

Итак, рассчитаем общий индекс цен:

Следовательно, за счет изменения цен, общий товарооборот увеличился на 11%.

Абсолютное изменение товарооборота за счет изменения цен можно рассчитать по формуле:

(25)

Итак, абсолютное изменение товарооборота за счет изменения цен составило: тыс. руб.

Общий индекс физического объема можно рассчитать по формуле:

(26)

Итак, общий индекс физического объема составил:

Таким образом, за счет изменения физического объема продукции общий товарооборот снизился 7%.

Задание 7

группировка коэффициент линейный регрессионный

1. Матрицу парных коэффициентов корреляции независимых переменных x1 и x2 вектор парных коэффициентов корреляции зависимой y и независимых переменных x1 и x2. Определите значимость коэффициентов корреляции. Сделайте выводы направлении взаимосвязи этих показателей с теоретической точки зрения и полученных по выборке.

2. Коэффициенты линейной регрессионной модели a0, a1,a2 и их значимость.

3. Стандартизованные в коэффициенты и их интерпретация.

4. Коэффициент детерминации R2 и его интерпретация.

5. Адекватность модели по F — критерию Фишера.

6. Сделайте проверку наличия автокорреляции остатков по критерию Дарби — на — Уотсона.

7. Частные коэффициенты эластичности и их интерпретация.

8. Стандартную ошибку прогноза и интервал прогноза с уровнем значимости б = 0,05, если значения независимых переменных x1 = 50 и x2 = 5200 .

9. Можно ли делать выводы по полученной вами модели и обоснован ли прогноз. Исходные данные представлены в таблице 14.

Таблица 14 — Исходные данные

Решение:

Парный коэффициент корреляции, характеризующий линейную взаимосвязь между исследуемыми показателями, например между зависимой переменной y и независимой переменной x1, можно определить используя следующие формулы:

(27)

(28)

(29)

Рассчитаем :

Рассчитаем :

Строим вспомогательную таблицу (таблица 15):

Таблица 15 — Вспомогательная таблица

Таким образом:

Следовательно, парный коэффициент корреляции, характеризующий линейную взаимосвязь между зависимой переменной y и независимой переменной x1 составит:

Достоверность значения парного коэффициента корреляции проверяется сравнением расчетного значения критерия Стьюдента (tрас) с критическим (tкр), определяемым по таблице Стьюдента с выбранным уровнем значимости б и степенью свободы н = n — 2:

(30)

где Sr — ошибка коэффициента корреляции:

(31)

Итак, ошибка коэффициента корреляции составит:

Тогда, расчетное значение критерия Стьюдента составит:

Критическое значение Стьюдента, с уровнем значимости б = 0,05 и степенью свободы равной 18, составляет 1,73.

Таким образом, следовательно, парный коэффициент корреляции не значим.

Аналогично рассчитаем парный коэффициент корреляции, характеризующий линейную взаимосвязь между зависимой переменной y и независимой переменной x2.

Рассчитаем :

Строим вспомогательную таблицу (таблица 16):

Таблица 16 — Вспомогательная таблица

Таким образом:

Тогда, парный коэффициент корреляции, характеризующий линейную взаимосвязь между зависимой переменной y и независимой переменной x2 составит:

Достоверность значения парного коэффициента корреляции проверяется сравнением расчетного значения критерия Стьюдента (tрас) с критическим (tкр), определяемым по таблице Стьюдента с выбранным уровнем значимости б и степенью свободы н = n — 2:

где Sr — ошибка коэффициента корреляции:

Итак, ошибка коэффициента корреляции составит:

Тогда, расчетное значение критерия Стьюдента составит:

Критическое значение Стьюдента, с уровнем значимости б = 0,05 и степенью свободы равной 18, составляет 1,73.

Таким образом, следовательно, парный коэффициент корреляции не значим.

Для определения коэффициентов линейной регрессионной модели воспользуемся МНК в матричной форме:

(32)

где:

где XT — транспонированная матрица X независимых переменных;

X — матрица исходных данных независимых переменных;

(XTX)?1 — матрица обратная к XTX;

Y — вектор исходных данных зависимой переменной;

a — вектор оценок коэффициентов регрессии.