Модель Кэли-Клейна геометрии Лобачевского

Курсовая работа по теме Модель Кэли-Клейна геометрии Лобачевского Выполнил:

студент 3 курса 4 группы Дмитриев Е.В.

Введение

Геометрия — это одна из древнейших наук. Со временем, традиционная Евклидова геометрия переросла в неевклидову — геометрию Лобачевского.

С момента появления геометрии Лобачевского, часто возникали вопросы о непротиворечивости системы аксиом этой геометрии. При доказательстве непротиворечивости геометрии Лобачевского необходимо построить модель в терминах евклидовой планиметрии и тем самым решить этот вопрос.

Геометрия Лобачевского помогает взглянуть по-другому на окружающий нас мир, это необычный и прогрессивный раздел геометрии. Открытие русского ученого Николая Ивановича Лобачевского дало решающий толчок развитию науки, способствовало и способствует поныне более глубокому пониманию окружающего нас материального мира.

Не смотря на то, что эта геометрия несколько удивительна для нас, но в логическом отношении данная геометрия не уступает геометрии Евклида.

Нам известна одна из моделей геометрии Лобачевского — модель Пуанкаре. Но кроме неё, существует и другая модель данной геометрии — модель Кэли-Клейна.

Модель Кэли — Клейна (иногда называется просто моделью Клейна) планиметрии Лобачевского — одна из первых моделей геометрии Лобачевского.

Лондонский адвокат, а позднее профессор Кембриджского университета, Артур Кэли был одним из создателей теории инвариантных алгебраических форм; при этом в своих работах он широко пользовался геометрической интерпретацией. В 1859 году в своей работе «A sixth memoir upon the quantics» он ввел понятие о проективной метрике на плоскости. Однако сам Кэли не усмотрел связь определенных им метрик с геометрией Лобачевского.

Связь результатов Кэли с геометрией Лобачевского была установлена профессором в Гёттингенском и Эрлангенском университетах — Феликсом Клейном в 1872 году в работе «О так называемой неевклидовой геометрии». Поэтому данная модель и носит имя обоих математиков.

С помощью этой модели удалось доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского в предположении непротиворечивости Евклидовой геометрии.

Целью работы является изучение модели Кэли-Клейна геометрии Лобачевского.

В работе рассматриваются:

· Модель Кэли-Клейна геометрии Лобачевского;

· Точки и прямые в данной модели;

· Расстояние и углы, выполнение группы аксиом расстояния;

· Перемещение плоскости и выполнение аксиомы подвижности плоскости;

· Угол параллельности, перпендикулярные прямые и эквидистанту;

· Наиболее важные теоремы в модели Кэли-Клейна: теорема косинусов, теорема о сумме углов треугольника и четвертый признак конгруэнтности.

Глава 1. Модель Кэли-Клейна геометрии Лобачевского

1.1 Геометрия Лобачевского Планиметрия Лобачевского стоится на основе пяти групп аксиом, из которых первые четыре те же, что и в планиметрии Евклида, а единственная аксиома V группы является отрицанием аксиомы параллельности Евклида. Эту аксиому будем называть аксиомой параллельности Лобачевского и обозначать V_л.

Определение: Пусть, а — некоторая прямая. Полуплоскостью, ограниченной прямой а, называется множество точек со следующими свойствами: 1) это множество содержит прямую а; 2) если точки, А и В, не лежащие на прямой а, принадлежат этому множеству, то отрезок [АВ] не имеет с, а общих точек; 3) если же точка, А принадлежит эту множеству, а точка С нет, то отрезок [АС] имеет с, а общую точку.

Определение: Флагом называется объединение открытой полуплоскости и луч на её границе.

Определение: Движением плоскости называется отображение плоскости в себя, сохраняющее расстояние между точками.

Приведем аксиоматику геометрии Лобачевского. [2], [3]

· Аксиомы принадлежности:

Аксиома I.1: Всякая прямая содержит, по крайней мере, две точки;

Аксиома I.2: Существует, по крайней мере, три точки, не лежащие на одной прямой;

Аксиома I.3: Через всякие две точки проходит прямая и притом только одна.

· Аксиомы порядка:

Аксиома II.1: Из трех точек, лежащих на одной прямой, одна и только одна лежит между двумя другими;

Аксиома II.2 (аксиома разбиения плоскости): Для любой прямой существует ровно две полуплоскости, ограниченные этой прямой;

Аксиома II.3: Для любых двух точек, А и В существует такая точка С, что точка В лежит между, А и С.

· Аксиомы расстояния:

Аксиома III.1: Для любых точек, А и В выполняется условие, при этом тогда и только тогда, когда А=В;

Аксиома III.2: Для любых точек, А и В выполняется равенство ;

Аксиома III.3(неравенство треугольника): Для любых точек А, В и С выполняется условие ;

Аксиома III.4: Равенство выполнятся тогда и только тогда, когда точка С принадлежит отрезку [АВ];

Аксиома III.5: Каковы бы не были точки M и N, существует единственная функция — расстояние между точками — удовлетворяющая аксиомам III.1-III.4 и принимающая значение 1 для точек M и N;

Аксиома III.6: Если задан единичный отрезок, то для любого положительного числа, а на всяком луче с началом О найдется такая точка А, что

· Аксиома подвижности плоскости:

Аксиома IV.1: Для любых двух флагов F и F' существует движение плоскости, отображающее флаг F на флаг F'.

· Аксиома параллельности Лобачевского:

Аксиома V_л: Существует такая прямая, а и такая не лежащая на ней точка А, что через точку, А проходит не меньше двух прямых, не пересекающих прямую а.

1.2 Модель Кэли-Клейна геометрии Лобачевского Определим модель Кэли-Клейна геометрии Лобачевского. Договоримся, что в нашей работе вместо л-точек, л-прямых мы будем говорить просто точки и прямые.

Плоскостью в этой модели служит внутренность единичного круга с центром в начале координат.

Определение: Точками данной плоскости назовем точки, лежащие внутри круга (без точек ограничивающей его окружности).

Определение: Прямыми данной плоскости назовем всевозможные хорды данной единичной окружности (без концов).

На рис. 1 приведены примеры двух точек, А и В и прямых L₁ и L₂.

Рис.1

Определим, как с геометрической точки зрения будут выглядеть параллельные прямые.

Определение: Прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек. На рисунке 1 и 2 прямые L₁ и L₂ параллельны.

рис. 2

Замечание: На рис. 2 прямые действительно не пересекаются, потому что мы рассматриваем прямые в нашей модели, как прямые хорды без концов, следовательно, прямые L₁ и L₂, с нашей новой точки зрения, не пересекаются.

Выполнение аксиомы параллельности Лобачевского ясно из построения модели. Действительно, на рисунке 3 показана точка, А и прямая L, не проходящая через точку А. Мы можем предъявить, хотя бы две прямые L₁ и L₂, проходящие через точку, А и не пересекающие прямую L. В действительности, мы можем предъявить бесконечно много таких прямых. 5]

Рис. 3

1.3 Определение перемещений С любой точкой Р, не лежащей на окружности, мы можем связать некоторое отображение нашего круга на себя: нужно через точку С круга провести произвольную хорду АВ, построить хорду А’В', соответствующую хорде АВ относительно выбранной точке Р, и образом точки С считать точку С'=(СР)?А'В' (см. рис. 4).

Таким образом: .

Определение: Назовем отображение элементарным перемещением первого или второго рода, в зависимости от того, внутри или вне круга находится точка Р.

Рис. 4

Причислим к элементарным перемещениям второго рода также отображения, являющиеся осевыми симметриями относительно любого диаметра d нашего круга. Обозначим это отображение через .

Замечание: оставляет неподвижной единственную точку — Р, а оставляет неподвижными все точки хорды, соединяющие точки касания двух касательных к окружности, проведенных из точки Р.

Будем теперь считать перемещением любое отображение, получающееся в результате последовательного выполнения нескольких элементарных перемещений. 5]

Теперь необходимо проверить справедливость группы аксиом подвижности плоскости. Для этого введем прямоугольную систему координат XоY.

Плоскостью в модели служит внутренность единичного круга с центром в начале координат (см. рис. 5).

Рис. 5

Тогда точки в нашей модели — это точки (x, y) с условиями:

(1.1)

Прямые — это хорды без концов, которые определяются линейными уравнениями

с условием (1.1) на x и y.

Перемещение, или «наложение», определяется как произвольные композиции двух видов преобразований внутренности круга:

(I) Вращение вокруг центра и отражения в диаметрах;

(II) «Смещения» вдоль оси Ox: преобразования, сопоставляющие точкам (x, y) точки (x', y') по формулам:

(1.2)

Докажем, что композиция указанных преобразований (I), (II) удовлетворяют аксиомам подвижности плоскости, т. е. что они:

(А) Отображают плоскость на себя и прямые на прямые, сохраняя на них порядок точек;

(Б) Образуют группу;

(В) Для каждых двух флагов F и F' существует перемещение, переводящее один флаг на другой.

Доказательство:

А) Свойство (А) для преобразования I очевидно. Докажем то же для (II).

Заметим, что. Тем самым каждая точка внутренности нашего круга переходит в точку тоже внутри в него, т. е. плоскость отображается в себя.

Выразим из 1.2 x' и y':

(1.3)

Для выражений (1.3) вывод такой же как и для (1.2), т. е. каждая точка (x', y') внутри круга служит образом какой-либо точки (x, y). Таким образом перемещение отображает плоскость на плоскость.

Прямые так же переходят в прямые. Действительно, прямые в модели задаются уравнениями с условием. Подставим в это выражение (1.3):

(1.4)

Оно также представляет прямую. А так как круг отображается на себя, то и вся лежащая в нем часть прямой, т. е. хорда, отображается на хорду с уравнением (4).

Теперь проверим, что отображение сохраняет последовательность точек на прямой.

Из (1.2) имеем:

(1.5)

Если, то и. Таким образом, что на всякой прямой порядок точек сохраняется.

Б) Свойство (Б) состоит в том, что композиции преобразований (I) и (II) образуют группу. Композиция двух таких композиций есть их композиция. Преобразование, обратное композиции преобразования (I) и (II). Эти два свойства и означают, что композиция преобразований (I) и (II) образуют группу.

В) Пусть F₀ — это флаг, у которого точка — центр круга О, луч — радиус a₀ на положительной полуоси x, полуплоскость б₀ — тот полукруг, где y>0 (см. рис. 6).

Рис. 6

Пусть F — произвольный флаг (А, а, б). Преобразуем его во флаг F_0.

Поворотом вокруг центра О переведем радиус, идущей через точку А, в радиус a₀. Точка, А перейдет в какую-то точку А₁. Её мы переведем в точку О смещением вдоль оси Ox. Полухорда — луч, а — в результате этих преобразований перешла в некоторую полухорду — луч а₁ с началом в О, т. е. в некоторый радиус. И, наконец, поворотом вокруг центра О переводим его в радиус a₀.

Таким образом, в результате этих преобразований полуплоскость б отобразится на полукруг, ограниченный осью Ох. Если это полукруг, где у>0, то мы получили плоскость б₀, т. е. мы преобразовали флаг F (А, а, б) в F₀(О, a_0, б₀). А если получился полукруг, где y<0, то произведем отражение в оси Ох. И тогда флаг F перейдет полностью во флаг F₀.

Итак, мы доказали, что всякий флаг F можно перевести во флаг F₀ с помощью композиций преобразований (I) и (II).

Пусть теперь дано два флага F₁ и F₂. Мы хотим перевести первый флаг во второй. Пусть f₁ и f₂ — преобразования, переводящие F₁ в F₀ и F₂ в F₀.

Рассмотрим композиция двух преобразований:

где — обратное преобразование

Так как композиция преобразований (I) и (II) образует группу, то полученное преобразование есть так же композиция преобразований (I) и (II).

Таким образом, любой флаг F₁ преобразуется в любой другой флаг F₂ композицией преобразований (I) и (II). Что и требовалось доказать. 1]

1.4 Расстояние и углы в модели Пусть С и D — две точки на нашей плоскости. Проведем через них прямую — хорду (АВ). Соединим точки A, C, D, B с некоторой точкой P, не лежащей на окружности. Обозначим углы, образовавшиеся при точке P, через б, г и в (см. рис. 7).

Рис. 7

Введем обозначение:

Рассмотрим отношение. Имеем:

(1)

Заметим, что данное отношение зависит только от углов б, в и г. Поэтому, если мы рассмотрим точки C' и D':

,

где

то заметим, что, т.к. углы б, в и г не меняют свои величины, и, следовательно, элементарное перемещение., а значит, и перемещения вообще, сохраняют это отношение.

Теперь определим расстояние между точками С и D.

Определение:, где q>1 — некоторое фиксированное число.

Замечание: При определении расстояния существенен порядок точек на прямой АВ, т. е. если мы ищем расстояние, то точка, А — соседняя с точкой С, а точка В — соседняя с D. Если же мы ищем, то, А — соседняя с D точка, В — соседняя с С.

Теперь осталось ввести величину угла в модели Кэли-Клейна геометрии Лобачевского.

Пусть дан некоторый угол с вершиной в точке С. Возьмем любое перемещение, переводящее точку С в центр данного круга. Положим величину угла С равной евклидовой величине угла (с вершиной в центре круга), в который угол С переходит при этом перемещении. 5]

Теперь рассмотрим справедливость аксиом расстояния для заданного расстояния. Справедливость аксиома III.1 следует из равенства (1). Причем равно нулю, когда точки С и D совпадают, т. е. г=0.

Справедливость аксиомы III.2 так же выполняется, если мы распишем расстояние по определению из 1.4 и учтем замечание из 1.4:

Осталось проверить неравенство треугольника.

Если точки С, D и E лежат на одной прямой, то

Если точки не лежат на одной прямой, то имеем треугольник CDE. Нам известно отображение плоскости такое, что данный треугольник мы можем перевести в треугольник С’D’Е', при этом D' попало в центр окружности. Вспомнив о том, что мы имеем единичный круг, введем обычную систему декартовых координат, в которой этот круг имеет вид в декартовых координатах x, y. Находясь в данных условиях задачи и применяя неравенство треугольника в декартовых координатах, доказана аксиома III.3. 3]

1.5 Дополнительные сведения в модели Кэли-Клейна

1.5.1 Перпендикулярные прямые Пусть в нашей модели заданы две пересекающиеся прямые h и p (см. рис. 8).

Рис. 8

Угол Q — это угол, образующийся при пересечении прямых p и h.

Определение: Угол Q называется прямым, если он равен своему смежному углу, а сами прямые h и p — перпендикулярными.

Тогда мы можем интерпретировать понятие прямого угла и перпендикулярных прямых в нашу модель.

Определение: Два угла называются прямыми, если существует отображение, переводящее один угол в другой.

Определение: Две прямые называются перпендикулярными тогда и только тогда, когда они изображаются хордами окружности, лежащими на прямых, каждая из которых проходит через полюс другой.

Замечание: Понятие полюса прямой используется в привычном для нас смысле. Например, на рис. 8 полюс для прямой p является точка Р. 4]

1.5.2 Угол параллельности Пусть M — произвольная точка на оси абсцисс внутри круга (см. рис. 9). Обозначим евклидово расстояние OM через a, через x — длину того же отрезка в модели. Проведём через точку M перпендикуляр к оси абсцисс, который пересечёт окружность в точках K и L. Очевидно, что угол MOK есть угол параллельности р (x). 4]

Рис. 9

1.5.3 Эквидистанта Пусть G1 — овальная линия второго порядка, расположенная в внутренней круга и касающаяся окружности в точках её пересечения с прямой p (рис.10).

Рис. 10

Тогда при гиперболическом зеркальном отражении относительно любой прямой, проходящей через точку P, являющуюся полюсом прямой p относительно абсолюта, линия G1 отобразится на себя. Поэтому линия G1 с точки зрения нашей модели представляет собой эквидистанту с осью p. 4]

Вывод к Главе 1

В первой главе мы ввели аксиоматику геометрии Лобачевского и рассмотрели модель Кэли-Клейна геометрии Лобачевского.

Мы описали, как определяются точки и прямые в этой модели.

Кроме этого, определили расстояние между точками, меру угла и перемещения. Так же, проверили справедливость аксиом расстояния и подвижности плоскости. Рассмотрели перпендикулярные прямые, угол параллельности и эквидистанты в модели.

Глава 2. Теоремы в модели Кэли-Клейна геометрии Лобачевского

2.1 Теорема косинусов

Прежде всего, введем обозначение. Пусть дан некоторые отрезок l, тогда:

где q>1 — основание логарифма из определения расстояния с

Замечание: Величина [l] всегда меньше единицы, но больше нуля.

Рассмотрим треугольник АВС, у которого вершина С совпадает с центром круга (см. рис 10).

Рис. 10

Пусть, , и r — радиус круга.

Продлим сторону АВ до пересечения с окружностью в точках M и N. Соединим точки M и N с вершиной С и обозначим образовавшиеся углы через б, в и г, как показана на рис. 11. Угол г — это угол С в треугольнике АВС.

Тогда

.

По обычной теореме синусов имеем:

(2)

(3)

Далее распишем {a}:

.

Тогда:

(4)

(5)

Воспользуемся равенством (1) из Главы 1:

.

Тогда,

. (6)

Рассмотрим отношение и применим равенства (4), (5) и (6):

.

Теперь применим равенства (2) и (3), имеем:

Раскрыв скобки и немного преобразовав выражение, получаем:

.

Теперь заметим, что можно заменить в этом равенстве оба отношения косинусов используя равенства (2) и (3):

.

Воспользовавшись равенствами (4) и (5), получаем:

.

Таким образом, мы получили следующее равенство:

(7)

Равенство (7) является аналогом теоремы косинусов обычной геометрии. Так как при перемещениях величины {a}, {b}, {c}, а следовательно, [a], [b], [c], не меняются, то этим соотношением оправдывается определение величины угла, данное в главе 1. 5]

2.2 Теорема о сумме углов треугольника

Теорема: Сумма углов любого треугольника меньше р.

Доказательство:

1) Рассмотрим сначала прямоугольный треугольник АВС, с прямым углом С () (см. рис. 11)

Рис. 11

Из теоремы косинусов следует, что

(8)

Это действительно так, потому что cos=0.

Раскрыв скобки и преобразовав (8) имеем:

.

Применив снова теорему косинусов, можно получить:

Подставим в получившееся равенство выражение для из (8):

откуда

Отсюда выразим cosв:

то есть

.

Аналогично,

.

Тогда мы получаем:

Так как, то выражение, стоящее под знаком арккосинуса, можно преобразовать:

. (9)

Так как 0<[a]<1 и 0<[b]<1 (см. замечание в 2.1), то (9) положительно, значит арккосинус от него строго меньше, и мы получаем, что, т. е.

.

2) Рассмотрим теперь произвольный треугольник АВС и пусть {c} его самая длинная сторона. Опустим из тоски С на сторону АВ перпендикуляр CD. Он разбивает наш треугольник АВС на два прямоугольных треугольника: треугольник АСD с острыми углами б и г и треугольник ВСD с острыми углами д и в (см. рис. 12).

Рис. 12

По доказанному в пункте 1):

и .

Откуда сумма углов треугольника АВС:

.

Что и требовалось доказать.[5]

2.3 Четвертый признак конгруэнтности треугольников

Определение: Две фигуры называются конгруэнтными, если существует перемещение, переводящую одну из них на другую.

Теорема: Если углы одного треугольника соответственно конгруэнтны углам другого треугольника, то эти треугольники конгруэнтны.

Доказательство: Прежде всего, введем обозначения: [a]=x; [b]=y; [c]=z; косинусы углов, соответственно лежащих против сторон a, b, c — через m, n, p.

Использую теорему косинусов (7), получим систему трех уравнений с тремя неизвестными x, y и z:

Замечание: значения m, n, p нам заданы, т.к. нам известны величины углов.

Данная система имеет единственное положительное решение:

;

;

.

Следовательно, задание углов однозначно определяют стороны треугольника, и теорема доказана. 5]

Вывод к главе 2

В этой главе мы рассмотрели наиболее интересные теоремы, справедливые для модели Кэли-Клейна геометрии Лобачевского.

Во-первых, это теорема аналогичная теореме косинусов обычной геометрии. Во-вторых, теорема отличная от аналогичной теоремы обычной геометрии, но справедливая для геометрии Лобачевского — сумма углов треугольника меньше р. И наконец, рассмотрели четвертый признак конгруэнтности треугольников.

Заключение

геометрия лобачевский теорема В нашей работе мы изучили одну из моделей геометрии Лобачевского — модель Кэли-Клейна. Построив эту модель в терминах евклидовой геометрии, мы проверили непротиворечивость геометрии Лобачевского и Евклидовой геометрии.

В первой главе мы вспомнили аксиоматику геометрии Лобачевского. Вспомнили, что эта аксиоматика отличается от аксиоматики Евклидовой геометрии только пятой аксиомой — аксиомой параллельности. Затем мы определили модель в терминах евклидовой геометрии, объяснили, что есть л-точка и л-прямая в этой модели.

Кроме того, мы определили расстояние между точками в модели по заданному правилу и величину угла, после чего проверили выполнение аксиом расстояния.

Также определили перемещение, или отображение, в данной модели и проверили выполнение аксиомы подвижности плоскости.

Следующим нашим шагом было рассмотрение таких понятий, как перпендикулярные прямые, угол параллельности и эквидистанта.

Во второй главе, мы рассмотрели и доказали наиболее интересные теоремы, справедливые в этой модели. Это теорема косинусов, теорема о сумме углов треугольника и четвертый признак конгруэнтности треугольников.

Таким образом, цель работы выполнена.

Список используемой литературы

1. Александров А. Д. «Основания геометрии». М.: Наука, 1987.

2. Вернер А. Л., Кантор Б. Е., Франгулов С. А. Геометрия. Ч.1., Санкт-Петербург, 1997.

3. Вернер А. Л., Кантор Б. Е., Франгулов С. А. Геометрия. Ч.2., Санкт-Петербург, 1997.

4. Ефимов Н. В. Высшая геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

5. Ширшов А. «Модель Кэли-Клейна геометрии Лобачевского» «Квант» № 3 1976.