Геометрические свойства дискретных двупорожденных групп в пространстве Лобачевского

Теория дискретных групп преобразований на плоскости и в прог странстве возникла еще в конце прошлого века в связи с появлением работ Ф. Клейна и А.Пуанкаре. Она была использована ими для изучения многозначных аналитичных функций и решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследуя группу Л4 дробно-линеиных преобразовании расширенной комплексной плоскости С = сиоо, порожденную отражениями относительно окружностей и прямых, А. Пуанкаре обнаружил, что подгруппы, сохраняющие инвариантной верхнюю полуплоскость {1т г > 0 | г 6 С}, группы Л4 являются группами гиперболических изометрий Н2 относительно гиперболической метрики йв2 = \(1г\2 / (1тг)2. Развивая геометрический подход, А. Пуанкаре показал, что всякая группа Л4. допускает продолжение в верхнее полупространство Н3 =? Е3 г = х + гу? С, I > 0} и является полной группой изометрий пространства Лобачевского Н3 с гиперболической метрикой (1з2 = {¿-х2 + (1у2 + (1г2)/{2. Позже была обнаружена связь между дискретными группами и трехмерными многообразиями.

Однако отсутствие развитого математического аппарата не позволило получить более глубоких результатов. Лишь в шестидесятых годах нашего столетия после появления теории квазиконформных отображений, теория дискретных групп преобразований начинает интенсивно развиваться. В это время появилось большое количество работ, в которых применялись аналитические методы, методы теории квазиконформных отображений, алгебраические, геометрические и топологические методы. Среди них наиболее значительными являются работы Л. Альфорса, П. П. Белинского, Л. Берса, Л. Гринберга, Э. Б. Винберга, С. Л. Крушкаля, М. А. Лаврентьева, А. Мардена, Б. Мас-кита, Ю. Г. Решетняка.

В дальнейшем, изучение клейновых групп (дискретных групп гиперболических преобразований) существенно продвинулось за счет использования методов топологии трехмерных многообразий. Новым толчком в развитии теории дискретных групп преобразований послужили работы В.Терстона. Он показал, что почти любое трехмерное многообразие допускает введение метрики постоянной кривизны и тем самым может быть описано с помощью теории дискретных групп преобразований, действующих в трехмерном пространстве Лобачевского. Кроме него большой вклад здесь внесли работы Г. Мостова, Д. Сулливана, Г. Маргулиса. Таким образом, современная теория дискретных групп преобразований оказалась на стыке нескольких направлений — топологии, геометрии, теории функций и теории групп.

Во многих вопросах теории клейновых групп решающую роль играют специфические свойства неевклидовой геометрии. В связи с этим в последнее время получили новое развитие геометрические идеи, заложенные в работах А.Пуанкаре.

В настоящей работе изучаются дискретные группы преобразований, действующих в пространствах постоянной кривизны. Полученные результаты использованы для нахождения полной группы изо-метрий многообразий Фибоначчи и функции роста для групп двумо-стовых узлов и зацеплений.

Методика исследования. В работе используются геометрические методы теории дискретных групп и теории геометрических структур на многообразиях и орбифолдах.

Научная новизна и практическая значимость работы. В диссертации получены следующие основные результаты:

I. Построено фундаментальное множество для групп двумостовых узлов и зацеплений.

II. Вычислены функции роста для групп двумостовых узлов и зацеплений.

III. Вычислена полная группа изометрий гиперболических многообразий Фибоначчи.

Все полученные результаты являются новыми и могут быть использованы для дальнейшего развития геометрии многообразий, геометрической теории функций и теории групп.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на XXXIV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г.Новосибирск, 1996), Школе-конференции «Алгебра и анализ» (г.Новосибирск, 1996), Втором Сибирском Конгрессе по прикладной и индустриальной математике (г.Новосибирск, 1996), Школе-конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева (г.Казань, 1997), 29-й Региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (г.Екатеринбург, 1998), Школе-конференции по фуксо-вым группам (г.Ланкастер, 1998), Международной алгебраической конференции посвященной памяти А. Г. Куроша (г.Москва, 1998), Международном Математическом Конгрессе (г.Берлин, 1998).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [68] - [73].

Объем диссертации. Диссертация изложена на 105 страницах, состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 73 наименований, содержит 22 рисунка и 8 таблиц.

1. Андреев Е. М., О выпуклых многогранниках в пространстве Лобачевского, Ма-тем. сб., том 81, N.3 (1970), 445−478.

2. Андреев Е. М., О выпуклых многогранниках конечного объема в пространстве Лобачевского, Матем. сб., том'83, N.2 (1970), 256−260.

3. Бердон А., Геометрия дискретных групп, М.: Наука, 1986, 304 с.

4. Веснин А. Ю., Медных А. Д., Многообразия Фибоначчи как двулистные накрытия над трехмерной сферой и гипотеза Мейергофа Поймана, Сиб. матем. журн., том 37, N.3 (1996), 534−542.

5. Веснин А. Ю., Медных А. Д., Гиперболические объемы многообразий Фибоначчи, Сиб. матем. журн., том 36, N.2 (1995), 266−277.

6. Винберг Э. Б., Дискретные группы, порожденные отражениями в пространствах Лобачевского, Матем. сб., том 72, N.3 (1967), 471−488.

7. Винберг Э. Б., Некоторые примеры кристаллографических групп в пространствах Лобачевского, Матем. сб., том 78, N.4 (1969), 633−639.

8. Винберг Э. Б., Гиперболические группы отражений, Усп. мат. н., том 40, N.1 (1985), 26−66.

9. Григорчук Р. И., Ii проблеме Милнора о групповом росте, Докл. АН СССР, том 271, N.1 (1983), 31−33.

10. Ефремович В. А., Геометрия близости римановых многообразий, Усп. мат. н., том 8, N.5 (1953), 198.

11. Коксетер Г., Мозер У., Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп, М.: Наука, 1980.

12. Кроуэлл Р., Фокс Р., Введение в теорию узлов, М.: Мир, 1967.

13. Линдон Р., Шупп П., Комбинаторная теория групп, М.: Мир, 1980.

14. Медных А. Д., Группы автоморфизмов трехмерных гиперболических многообразий, Докл. АН СССР, том 285, N.1 (1985), 40−44.

15. Медных А. Д., О группе изомет. рий гиперболического пространства додекаэдра Зейферта-Вебера, Сиб. матем. журн., том 28, N.5 (1987), 134−144.

16. Шварц A.C., Объемный инвариант накрытий, Докл. АН СССР, том 105, N.1 (1955), 32−34.

17. Alonso J.M., Growth functions of amalgams, Arboreal group theory (R.C.Alperin, ed.), Math.Sei.Res.Inst.Publ. 19, Springer-Verlag, New-York 1991, 1−34.

18. Benedetti R., Petronio C., Lectures on Hyperbolic Geometry, Universitext, Springer, 1992.

19. Borel A., Commensurability classes and hyperbolic volumes, Annali Sei. Norm. Pisa 8 (1991), 1−33.

20. Bourbaki N., Groupes et algebres de Lie, Chapitres 4,5 et 6, Masson, Paris, 1981.

21. Burde G., Zieschang H., Knots, de Gruyter Studies in Mathematics, Berlin New-York, 1985.

22. Conway J., Advanced problem 5327, Amer. Math. Monthly 72 (1965), 915.

23. Crowell R.H., Fox R.H., Introduction to knot theory, Grad. Texts Math. 57, Springer Verlag, 1963.

24. Dehn M., Dei beiden Kleeblattschlingen, Math. Ann. 75 (1914), 402−413.

25. Dunbar W.D., Meyerhoff G.R., Volumes of hyperbolic 3-orbifolds, Indiana Univ. Math. J., 43, 2, 1994, 611−638.

26. Epstein D.B.A., Petronio C., An exposition of Poincare’s polyhedron theorem, L’Enseignement Mathematique, 40, 1994, 113−170.

27. Fenchel W., Elementary Geometry in Hyperbolic Space, Walter de Gruyter, Berlin-New York 1989.

28. Feng Luo, Mobius Cone structure on 3-manifolds, J. Differential Geometry, 41, 1995, 319−341.

29. Gehring F.W., Martin G.J., Commutators, collars and the geometry of Mobius groups, Journal D’Analyse Mathematique 63 (1994), 175−219.

30. Gromov M., Groups of polynomial growth and expanding maps, Publ. Math. IHES 53 (1981), 53−73.

31. Haeflieger A., Quach N.D., Une presentation du groupe findamental d’une orbifold, Asterisque 116 (1984), 185−192.

32. Helling H., Kim A.C., Mennicke J.L., Some Honey-combs in the hyperbolic 3-space, Preprint, 92−026.

33. Helling H., Kim A.C., Mennicke J., A geometric study of Fibonacci groups, SFB-343 Bielefeld, Diskrete Strukturen in der Mathematik, Preprint, 1988.

34. Hempel J., 3-manifolds, Annals of Math Studies, 86, Princeton Univ. Press, 1976.

35. Hempel J., The lattice of branched covers over the figure-eight knot, Topology and its Applications 34 (1990), 183−201.

36. Hilden H.M., Losano M.T., Montesinos-Amilibia J.M., On a remarkable polyhedron geometrizing the figure eight knot cone manifolds, Preprint.

37. Hilden H.M., Losano M.T., Montesinos-Amilibia J.M., On Volumes and Chern-Simons Invariant of Geometric 3-manifolds, J.Math. Soc. Univ. Tokyo, 3, 1996, 723−744.

38. Hilden H.M., Losano M.T., Montesinos-Amilibia J.M., Geometry and arithmetic of knots, Journal of Knot Theory, 4, 1, 1995, 81−114.

39. Hilden H.M., Losano M.T., Montesinos-Amilibia J.M., On the arithmetic 2-bridge knots and link orbifolds and a new knot invariant, Journal of Knot Theory and Its Rammifkations, 4, 1 (1995), 81−114.

40. Hilden H.M., Losano M.T., Montesinos-Amilibia J.M., A Characterization of Arithmetic Subgroups of SL{2,R) and SL (2,C), Math. Nach. 159, 1992, 245−270.

41. Hodgson C., Rubinstein J.H., Involutions and isotopies of lens spaces, Lect. Notes Math. 1144, 1985, 60−96.

42. Johnson D.L., Kim A.C., Song H.-J., The growth of the trefoil group, Groups Korea'94 (eds. A.C.Kim and D.L.Jolmson), de Gruyter, 1995, 157−161.

43. Johnson D.L., Song H.-J., The growth series of the Gieseking group, Discrete groups and geometry, (eds. W. J. Harvey and C. Maclachlan), LMS Lecture Note Ser.173, Cambridge Univ. Press, 1992, 120−124.

44. Jones K.N., Geometrie Structures on Branched Covers over Universal Links, Contemporary Mathematics 164 (1994), 47−58.

45. Kojima C., Isometry transformations of hyperbolic 3-manifolds, Tokyo Metropolitan University Preprint, 1987.

46. Kuiper N., Fairly symmetric hyperbolic manifolds, Preprint IHES, 1989.

47. Lobell F., Beispiele geschlossener drei-dimensionaler Clifford-Kleinscher Raiime negative Kriimung, Ber. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig 83 (1931), 167−174.

48. Maclachlan C., Reid A., Generalised Fibonacci Manifolds II, to appear in Transformation Groups 1997.

49. Magnus W., Untersuchungen uber einige unendliche diskontinuierliche Gruppen, Math. Ann. 105 (1931), 52−74.

50. McCullough D., Automorphisms of punctured-surface bundles, Geometry and Topology 105 (1987), 179−211.

51. Mednykh A.D., Vesnin A.Yu., On three-dimensional hyperbolic manifolds of Lobell type, in: Complex Analysis and Applications'85, eds.: L. Iliev and I. Ramadanov. Sofia, Publ. House of Bulgarian Acad. Sei. 1986, 40−44.

52. Milnor J., Problem 5603, Amer. J. Monthly 75, 6 (1968), 685−686.

53. Milnor J., A note on curvature and the fundamental group, J.Diff.Geometry 2, 1968, 1−7.

54. Minkus J., The branched cyclic coverings of 2-bridge knots and links, Memoirs of AMS 35, (1982).

55. Morimoto K., Sakuma M., On unknotting tunnels for knots, Math. Ann. 289 (1991), 143−167.

56. Ratcliife J.G., Foundations of hyperbolic manifolds, Graduate texts in mathematics 149, Springer, 1994.

57. Rolfsen D., Knots and links, Publish of Perish Inc., Berkely Ca., 1976.

58. Seifert H., Weber C., Die beiden Dodekaedrraiime, Math. Z. 37 (1933), 237−253.

59. Shmatkov R.N., On a Cone-Manifold with the Euclidean Structure on the Whitehead Link, Preprint, 1997.

60. Smyth N., Growth functions and Euler series, Invent.Math. 77 (1984), 517−531.

61. Thomas R.M., The Fibonacci groups revised, in: Groups St. Andrews 1989, edited by D. Johnson, London Math. Soc. Lecture Notes Series 160, 445−456.

62. Thurston W., The geometry and topology of 3-manifolds, Lecture Notes, Princeton University 1980.

63. Vinberg E.B., Shvartsman O.V., Discrete groups of motions of spaces of constant curvature, Encycl.Math.Sc., Geometry II, Springer, Berlin Heidelberg New-York, 19УЗ, 139−254.

64. Wagreich P., The growth functions of a discrete group, Group action and vector fields, Lect. Notes in Math. 956, Springer, Berlin, 1982, 125−144.

65. Wolcott K., The knotting of theta curves and other graphs in § 3, Geometry and Topology 105 (1987), 325−346.

66. Zimmermann В., On the Hantzche-Wendt manifold, Monatsli. Math. 110 (1990), 321−327.Работы автора по теме диссертации.

67. Веснин А. Ю., Рассказов А. А., Группы изометрий гиперболических многообразий Фибоначчи, Материалы конференции, посвященной 100-летию Б. М. Гагаева, Казань, 1997, 48−49.

68. Веснин А. Ю., Рассказов A.A., On Isometrics of the Hyperbolic Fibonacci Manifolds, Bielefeld Preprint Series, 97−114, 1997, 1−23.

69. Mednykh A., Rasskazov A., On the structure of the canonical fundamental set for the 2-bridge link orbifolds, Bielefeld Preprint Series, 98−062, 1998, 1−32.

70. Рассказов А. А., О геометрических кристаллах, связанных с узлом восьмерка, Материалы XXXIV международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 1996, 71−72.

71. Рассказов А. А., О функциях роста групп двумостовых узлов и зацеплений, Тезисы докладов 29-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург, 1998, 13−14.

72. Rasskazov A.A., The. structure of the canonical fundamental set for the 2-bridge link orbifolds, Abstracts of Short Communications and Posters, ICM 1998 Berlin, 19b>o, 95−96.