Квазиуровни и рассеяние для дискретного уравнения Шредингера с убывющим потенциалом

Дискретное уравнение Шредингера изучалось в большом количестве математических работ. Отметим работы, наиболее близкие по тематике к диссертации. В статье Ф. де Виега (F. da Veiga), JI. Иоратти (Ioriatti) и М. О’Кэррола (O'Carroll) [1] исследуется двухчастичный дискретный оператор Шредингера указанного выше вида с потенциалом взаимодействия V = fJL6ni —П21 символ Кронекера. Установлено, что этот оператор при фиксированном квазиимпульсе (см. определение ниже) либо имеет единственное собственное значение, либо не имеет собственных значений в зависимости от значений энергии взаимодействия ji> 0 и квазиимпульса.

Оператор, подобный одномерному дискретному оператору Шредингера, рассматривается в статье А. А. Арсеньева [2],' посвященной задаче рассеяния на квантовом бильярде в приближении сильной связи. В ней исследовано поведение матрицы рассеяния вблизи резонанса и объясняется влияние симметрии системы на картину расеяния. Показано, что при выполнении некоторых условий существует полюс матрицы' рассеяниякроме того, получено соотношение для коэффициентов отражения.

Обратные задачи рассеяния для оператора Штурма-Лиувилля исследуются в монографиях В. А. Юрко [3], [4]. Случай дискретного оператора Штурма-Лиувилля рассматривался в работе А. И. Аптекарева и Е. И. Никишина [5], а дискретного периодического оператора Шредингера — в работе Е. Коротяева и А. Кутценко [6].

В статье С. Н. Лакаева [7] исследовались свойства собственных значений и резонансов N — частичного дискретного оператора Шредингера в терминах некоторого «резольвентного» определителя Фредгольма. В работе С. Н. Лакаева и М. Э. Муминова [8] показана конечность числа связанных состояний при малых значениях полного квазиимпульса для системы трех квантовых частиц на трехмерной решетке.

Природа появления связных состояний двухчастичных кластерных операторов при малых значениях параметра исследовалась в работе Ш. С. Ма-матова и Р. А. Минлоса [9]. Показано, что для размерности v ^ 3 у оператора имеется лишь непрерывный двухчастичный спектр, а для размерности v = 1,2 у него в некоторых областях значений полного квазиимпульса могут появиться ветви связанных состояний.

В работе Ж. И. Абдулаева, С. Н. Лакаева [10] рассмотрен трехчастич-ный дискретный оператор Н^(К) (// > 0 — энергия взаимодействия двух частиц, К — полный квазиимпульс системы), описывающий систему трех одинаковых частиц, взаимодействующих с помощью парных контактных потенциалов притяжения. Получена асимптотика для числа собственных значений оператора Н⁰(К), лежащих ниже z ^ 0 при К —> 0 и z —" —0, где z — спектральный параметр. Установлено отсутствие собственных значений оператора 0) при /1 С 1 и существование единственного собственного значения ниже существенного спектра при ц 1.

В работе Ж. И. Абдулаева [11] исследуется двухчастичный оператор Н (к), где к — квазиимпульс, с потенциалом взаимодействия специального вида. Доказывается, что при фиксированном квазиимпульсе данный оператор имеет бесконечное число собственных значений, которые накапливаются у левого края непрерывного спектра.

В работе С. Н. Лакаева, А. М. Халхужаева [12] рассматривается семейство двухчастичных дискретных операторов Шредингера Н (к), отвечающих гамильтониану системы двух фермионов на и — мерной решетке W, и ^ 1, где к 6 (—тг, тг]^ - двухчастичный квазиимпульс. Доказано, что для любого и данный оператор имеет собственное значение, лежащее левее существенного спектра, если оператор Н{0) имеет виртуальный уровень (и = 1,2) или собственное значение {и ^ 3) на левой граничной точке существенного спектра.

В статье Н. И. Карачалиоса [13] оценивается число отрицательных собственных значений дискретного оператора Шредингера с быстро убывающим потенциалом. В статье Д. Е. Пелиновского и А. Стефанова [14] изучается нестационарное дискретное одномерное уравнение Шредингера. Спектральные свойства многомерных дискретных операторов на некоторых разновидностях бесконечных графов рассматриваются в работе D.E. Dutcay, Р. П. Jorgensen [15].

Одной из важных задач квантовой механики является задача о цепочке N взаимодействующих частиц (например, атомов) со спином ½ [16]. Физическая проблема состоит в исследовании собственных значений и собственных векторов матрицы гамильтониана (оператора энергии)'.

Назовем d-магнонным состоянием Ф цепочки из атомов ситуацию, когда m спинов (точнее, их проекций на ось Охз) направлены, для определенности, вверх, а остальные вниз (см. [17]). Состояние Ф является собственным вектором гамильтониана Гейзенберга [17]. Взаимодействия между этими состояниями изучаются, например, в физических работах [18] - [21].

Методом анзаца Бете можно показать (см. [16], [17]), что амплитуды ф = {фп}, п = (пг,., rid), определяющие — состояния Ф, т. е. значения последовательности (функции) ф аргумента п, удовлетворяет дискретному уравнению Шредингера вида.

Н0ф = Лф, А е К, где, Но действует по формуле d.

Н0ф)п = + Фп-ej), (0.1) i=i здесь d — положительное целое число, п? ej = (0,., 0,., 0). j.

Большой физический интерес представляет задача о взаимодействии между одномагнонными состояниями в ферромагнетике. В случае ферромагнетика с периодически расположенными примесями уравнение Шредингера имеет вид.

Но + W) ф = Лф, где W — периодический потенциал. В физической литературе обычно рассматриваются конечные цепочки атомов с некоторыми граничными условиями [16], которые моделируют взаимодействие между магнонами. В подходе, который используется в диссертации, цепочки бесконечны, как например, в работах [1], [7]- это означает, что аргумент п — (щ,., rid) функции ф, пробегает Zd. При этом в гамильтониане вместо граничных условий вводится потенциал V = {упх-п2} взаимодействия между одномагнонными состояниями. В случае d — магнонного гамильтониана взаимодействие между магнонами моделируется убывающим при п —" оо потенциалом вида V = {^4}, что допустимо для ограниченной области.

Близкие модели, в которых появляются дискретные операторы, возникают при описании так называемых «квантовых нитей» (quantum wires) с внедренными вблизи них «квантовыми точками» в приближении сильной связи (см. [22] - [25]). Подобные задачи актуальны в наноразмерных технологиях.

Таким образом, исследуемые в диссертации дискретные операторы и близкие к ним в последние годы активно изучаются как в математической, так и физической литературе. Вместе с тем, остается неисследованным важный вопрос о спектральных свойствах оператора Шредингера с малым потенциалом, в том числе в двухчастичном случае. Недостаточно изученна задача рассеяния, в частности, не было результатов для потенциала, не являющегося оператором умножения на последовательность. Таким образом исследование данных вопросов указывает на актуальность темы диссертации.

В диссертации рассматривается одночастичное уравнение Шредингера.

Яо + V) ifj = Хф, (0.2) где оператор, Но действует в /2(Zd) по формуле (0.1), оператор V (потенциал), отождествляемый с последовательностью {Vn}? l°°(Zd), действует в /2(Zd) по формуле {уф)п = УпФи, п? Zd. Предполагается, что Уп — ненулевая, вещественная последовательность, удовлетворяющая оценке.

К| ^ Се" а|п|, а > 0, п? Zd. (0.3).

В дальнейшем последовательности, удовлетворяющие оценкам такого рода, будем называть экпоненциалъно убывающими.

В случае d — 1 рассматривается также «нелокальный» потенциал вида.

V8 = ?(.i (p°).

Далее положим.

Я = + Не = Но + eV, Hs = Ho + Va. (0.5).

Введем обозначение для резольвенты оператора #о, полагая Ro (X) = (Щ — А/)-1. Ядро резольвенты, продолженное, вообще говоря, по параметру, А на соответствующую риманову поверхность Л4, будем называть функцией Грина оператора, Но и обозначать через А).

Уравнение (0.2), рассматриваемое в классе /2(Zd), для, А ^ сг (Но) можно записать в виде ф = -Ro ()Vi>. (0.6).

Перейдем к новой неизвестной функции ip — JУф и положим y/V = y^lVlsgny (только для V). Тогда уравнение (0.6) можно записать в виде lp = -^/VRo ()VVip (0.7) и, продолжая оператор —/|V|Ro ()VV на риманову поверхность Л4 с помощью его функции Грина, рассматривать его как оператор в /2(Zd) для ХеМ.

Предположим, что d — 1, тогда Л4 — двулистная риманова поверхность, полученная склейкой двух экземпляров комплексной плоскости вдоль интервала (—2,2) — при этом [—2,2] является существенным спектром оператора Щ (см. § 3).

Определе.ние 0.1. Число А, принадлежащее второму листу рима-новой поверхности функции Грина G°>m (X), будем называть резонансом оператора Н, если существует ненулевое решение (р G 12{Ъ) уравнения (0.7).

Определение 0.2. Квазиуровнем оператора Н будем называть его собственное значение или резонанс.

В случае, когда, А принадлежит второму («нефизическому») листу ри-мановой поверхности ./И, ненулевые решения <р уравнения (0.7), вообще говоря, экспоненциально возрастают вместе с функцией Грина G^m{X) (см. доказательство теоремы 2.1). Такие решения отвечают квазистационарным (распадающимся) состояниям. По физическим соображениям величину |ImA| можно считать достаточно малой, так. как время жизни квазистационарного состояния, отвечающего резонансу, обратно пропорционально данной величине — см. [27], а слишком короткоживущие состояния не играют роли в физических процессах. Поскольку ipn при п —> оо ведет себя как и Gn>m (А), то для исследования резонансов допустимо предположение y/V-ф € /2(Z).

Рассеяние на потенциале при d = 1 как и в «непрерывном» случае [28] описывается уравнениями Липпмана-Швингера.

Й (А) = ф°п () —? ОА ± iO) V^±(A), (0.8) mG Z где, А € (—2,2), ipn (X) — некоторая последовательность, удовлетворяющая уравнению Яо^о = -^оФункция G®m (± г0) здесь продолжена по параметру, А сверху и снизу в точки существенного спектра A € сг (Яо).

В диссертации также исследуется двухчастичное дискретное уравнение Шредингера.

Щ + W + = <ф. (0.9).

Оператор, Но действует (см. [29]) в пространстве l2{Z2d) аналогично одноча-стичному случаю. Операторы W и V действуют в l2(Z2d), соответственно, по формулам.

Фп1,Т12 5 (УФ^Щ, 712 ^ '.

Функция Wnun^ предполагается вещественной периодической с целым периодом Т > 0 по каждому аргументу. Если периоды по разным переменным разные, то общий период — их произведение. Последовательность Vni-n2 вещественная и удовлетворяет оценке:

KJ <�Се~а1Ч С, а>0. (0.10).

Уравнение (0.9) рассматривается в двух случаях:

1) в пространстве при W — 0;

2) в пространстве /2(Z2).

Далее пользуемся следующими обозначениями для двухчастичных операторов.

Hv = Н0 + У, H = H0 + W + V.

Целью работы является исследование собственных значений и резонансов однои двухчастичного дискретного оператора Шредингера, а также изучение задачи рассеяния для одночастичного оператора. Задачи, решаемые в диссертации:

1) изучение общих спектральных свойств однои двухчастичного дискретного оператора Шредингера;

2) исследование собственных значений, резонансов и рассеяния для одночастичного дискретного оператора Шредингера в случае малой константы связи;

3) исследование обратной задачи рассеяния для одномерного одночастичного оператора Шредингера с потенциалом ранга один;

4) исследование собственных значений и резонансов для двухчастичного дискретного оператора Шредингера с малым потенциалом при фиксированном квазиимпульсе;

5) изучение асимптотики решений дискретного уравнения Шредингера.

На защиту выносятся:

1) теоремы существования собственных значений и резонансов дискретного оператора Шредингера с убывающим на бесконечности малым потенциалом для различных d.

2) теорема существования и единственности решения дискретного уравнения Липпмана-Швингера, нахождение коэффициентов прохождения и отражения;

3) теорема единственности решения обратной задачи рассеяния для дискретного оператора Шредингера с потенциалом, являющимся оператором ранга’один;

4) доказательство существования и исследование асимптотики, в зависимости от малой константы связи, собственных значений и резонансов двухчастичного двумерного дискретного оператора Шредингера с возмущенным периодическим потенциалом при фиксированном квазиимпульсе.

Диссертация состоит из введения, двух глав (9 параграфов) и списка литературы. Применяется двойная нумерация лемм, теорем, формул, определений и замечаний (например, теорема 2.1. — это первая теорема в работе, находящаяся во втором параграфе).

1. Faria da Viega A. Energy-momentum spectrum of some two-particle lattice Schrodinger Hamiltonians / A. Faria da Viega, L 1. ritti, M. O’Carroll // Physical Review E. — 2002. — V. 66, 16 130−1-16 130−9.

2. Арсеньев А. А. Резонансы и туннелирование при рассеянии на квантовом бильярде в приближении сильной связи / А. А Арсеньев // ТМФ. -2004. Т. 141. — № 1. — С. 100−112.

3. Юрко В. А. Обратные спектральные задачи и их приложения / В. А. Юрко. Саратов: Издательство Саратовского педагогического института, 2001. — 499 с.

4. Юрко В. А.

Введение

в теорию обратных спектральных задач/ В. А. Юрко. М: Физматлит, 2007. 384 с.

5. Аптекарев А. И. Задача рассеяния для дискретного оператора Штурма-Лиувилля / А. И. Аптекарев, Е. М. Никишин // Математический сборник. 1983. — Т. 123." - № 3. — С. 327−358.

6. Коротяев Е. Обратная задача для дискретного периодического оператора Шредингера / Е. Коротяев, А. Куценко // Исследования по линейным операторам и теории функций. 32, Зап. науч. сем ПОМИ, 315, ПОМИ, СПб. 2004, С. 96−101.

7. Лакаев С. Н. Связанные состояния и резонансы N частичного дискретного оператора Шредингера / С. Н. Лакаев // ТМФ. — 1992. -Т. 91. 1. — С. 51−65.

8. Лакаев С. Н. Существенный и дискретный спектр трехчастичного оператора Шредингера на решетке / С. Н. Лакаев, М. Э Муминов // ТМФ. 2003. — Т. 135. — № 3. — С. 478−503.

9. Маматов Ш. С. Связанные состояния двухчастчного кластерного оператора / Ш. С. Маматов, Р. А. Минлос // ТМФ. 1989. — Т. 79.-№−2.-С. 163−179.

10. Абдулаев Ж. И. Асимптотика дискретного спектра разностного трехчастичного оператора Шредингера / Ж. И. Абдулаев, С. Н. Лакаев // ТМФ. 2003. — Т. 136. — № 1. — С. 231−245.

11. Абдулаев Ж. И. Собственные значения двухчатичного оператора Шредингера на двумерной решетке / Ж. И. Абдулаев // Uzbek. Math. J. -2005. № 1. -С. 3−11.

12. Лакаев С. Н. О спектре двухчастичного оператора шредингера на решетке / С. Н. Лакаев, A.M. Халхужаев // ТМФ. 2008. — Т. 155. -№ 2. — С. 287−300.

13. Karachalios N. I. The number of bound states for a discrete Schrodinger operator on ZN, N ^ 1, lattices / N.I. Karachalios // J. Phys. A: Math. Theor. 41 (2008) 455 201 (14 pp).

14. Pelinovsky D. Б. On the spectral theory and dispersive estimates for a discrete Schrodinger equation in one dimension / D.E. Pelinovsky, A. Stefanov // arXiv:0804.1963vl math-ph] 11 Apr 2008.

15. Dutcay D. E. Spectral theory for discrete lapacians / D.E. Dutcay, P. Jorgensen //arXiv:0802.2347v5 math-ph] 2 Jun 2008.

16. Изюмов Ю. А. Статистическая механика магнито-упорядоченных систем / Ю. А. Изюмов, Ю. Н. Скрябин. М.: Наука, 1987. 264 с.

17. Маттис Д. Теория магнетизма / Д. Маттис. М.: Мир, 1967. 408 с.

18. Wolfram Т. Spin-wave impurity states in ferromagnets / Т. Wolfram, J. Callaway //Physical Review. 1963. V. 130. — № 6. -P. 2207−2217.

19. Dyson F. General theory of the spin-wave interaction / F. Dyson // Physical Review. 1956. -V. 102. № 5. — P. 1217−1230.

20. Wortis M. Bound states of two spin waves in the Heisenberg ferromagnets / M. Wortis // Physical Review. 1963. -V. 132. № 1. -P. 85−97.

21. Mattis D. C. The few-body problem on the lattice / D. C. Mattis // Reviews of Modern Physics. 1986. V. 58. — № 2. — P. 361−379.

22. Chakrabati A. Fano resonances in discrete lattice models: controlling lineshapes with impurities / A. Chakrabati // arXiv: cond-mat611211-vl cond-mat .mes-hall] 8 Nov 2006.

23. Miroshnichenko A. E. Engineering Fano resonances in discrete arrays / A. Miroshnichenko, Y. Kivshar // Physical Review E. 2005. V. 72, 566 111−56 611−7.

24. Orellana P. A. Dicke effect in a quantum wire with side-coupled quantum dots / P. A. Orellana, F. Dominguez-Adame, E. Diez // arXiv: cond-mat607−94vl cond-mat.mes-hall] 4 Jul 2006.

25. Torio M.E., Hallberg K., Ceccatto A. H., Proetto C. R. Kondo resonances and Fano antiresonances in transport through quantum dots / M. E. Torio, K. Hallberg, A. H. Ceccatto, C. R. Proetto // Physical Review B. 2002. -V. 65, 85 302−1-85 302−5.

26. Демков Ю. H. Метод потенциала нулевого радиуса в атомной физике / Ю. Н. Демков, В. Н. Островский. Издательство ЛГУ, Ленинград, 1975. 240 с.

27. Базь А. И. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике / А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, A.M. Переломов. М.: Наука, 1966. 340 с.

28. Березин Ф. А. Уравнение Шредингера / Ф. А. Березин, М. А. Шубин. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. 392 с.

29. Цикон X. Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии / X. Цикон, Р. Фрезе, В. Кирш, Б. Саймон. М.: Мир, 1990. -408 с.

30. Бирман М. Ш. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / М. Ш. Бирман, М. 3. Соломяк. Издательство ЛГУ, Ленинград, 1980. 264 с.

31. Рид М. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов. / М. Рид, Б. Саймон. М.: Мир, 1982. 428 с.

32. Морозова Л. Е. Об уровнях одномерного дискретного оператора Шредингера с убывающим потенциалом / Л. Е. Морозова, Ю. П. Чубурин // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 2004. № 1(29). -С. 85−94.

33. Морозова Л. Е. О собственных значениях многомерного оператора Шредингера с малым убывающим потенциалом / Л. Е. Морозова // Вестник Удмуртского университета. Сер. Математика. 2005. — № 1. -С. 115−122.

34. Морозова Л. Е. Задача рассеяния для одномерного дискретного оператора Шредингера с убывающим потенциалом / Л. Е. Морозова // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 2006. № 1(35). — С. 83−88.

35. Баранова Л. Е. Обратная задача рассеяния для оператора Шредингера с сепарабельным потенциалом/ Л. Е. Баранова // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения XVII». — Воронеж: ВГУ, 2006. — С. 20−21.

36. Баранова JI. Е. Обратная задача рассеяния для дискретного оператора Шредингера с убывающим потенциалом/ Л. Е. Баранова // Вестник Удмуртского университета. Сер. Математика. 2007. — № 1. — С. 9−16.

37. Баранова Л. Е. О рассеянии спиновых волн/ Л. Е. Баранова //Вестник Ижевского государственного технического университета. 2007. -№ 2. — С. 16−20.

38. Баранова Л. Е. Квазиуровни двухчастичного дискретного оператора Шредингера с малым потенциалом/ Л. Е. Баранова, Ю. П. Чубурин // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения — XVIII». Воронеж: ВГУ, 2007. — С. 32−33.

39. Баранова Л. Е. Квазиуровни двухчастичного дискретного оператора Шредингера с малым потенциалом/ Л. Е. Баранова, Ю. П. Чубурин // Вестник Удмуртского университета. Сер. Математика. 2008. -№ 1. — С. 35−46.

40. Baranova L.E. Quasi-levels of the two-particle discrete Schrodinger operator with a perturbed periodic potential / L. E. Baranova, Yu.P. Chuburin // J.Phys.A: Math. Theor, 2008. V 41. — P. 435 205 (llpp).

41. Треногин В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. М.-: Физмат-литб 2002. 488 с.

42. Шабат Б. В.

Введение

в комплексный анализ. Ч. 2. / Б. В. Шабат. М. Наука, 1982. 400 с.

43. Рид М. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ / М. Рид, Б. Саймон. М.: Мир, 1977. 360 с.

44. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Фил-ллипс. М.: Издательство иностранной литературы, 1962. 830 с.

45. Лаврентьев М. А Методы теории функций комплексного переменного / М. А Лаврентьев, Б. В. Шабат. М.: Наука, 1973. 736 с.

46. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. М.: Наука, 1971. 512 с.

47. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. М: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 624 с.

48. Рид М. Методы современной математической физики. Т. 3. Теория рассеяния / М. Рид, Б. Саймон. М.: Мир, 1982. 446 с.

49. Эдварде Р. Функциональный анализ/Р. Эдварде. М.: Мир 1969.1071 с.

50. Гохберг И. Ц.

Введение

в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов / И. Ц. Гохберг, Р. Я. Крупник. Кишинев: изд-во Шти-инца, 1973. 428 с.

51. Бирман М. Ш. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / М. Ш. Бирман, М. З. Соломняк. Издательство ЛГУ, Ленинград, 1980.'- 264 с.

52. Чубурин Ю. П. О малых возмущениях оператора Шредингера с периодическим потенциалом / Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. -1997. Т. 110. — № 3. — С. 443−453.