2.2. Способы задания множеств Как уже отмечалось, множество может быть задано перечислением (списком своих элементов), порождающей процедурой или описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его элементы.
Списком можно задавать лишь конечные множества. Задание типа
N = 1, 2, З… — это не список, а условное обозначение, допустимое лишь тогда, когда оно заведомо не вызывает разночтений. Список обычно заключается в фигурные скобки. Например, А={а, Ь, d, h} означает, что множество A состоит из четырех элементов а, Ь, d и h.
Порождающая процедура описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо из других объектов. Элементами множества считаются все объекты, которые могут быть построены с помощью такой процедуры. Примером служит описание множества М4, где исходными объектами для построения являются натуральные числа, а порождающей процедурой — вычисление, описанное формулой /2±k.
Множество также часто задают графически с помощью диаграмм Эйлера. Например, задание множества {{a, b, с}, {b, d, е}} в пространстве A = {а, b, с, d, е} приведено на рис. 3.1, где замкнутая линия, называемая кругом Эйлера, соответствует одному из рассматриваемых множеств и ограничивает его элементы, при этом рамка, в верхнем правом углу которой стоит A, ограничивает элементы пространства.
Рассмотрение способов задания множеств приводит к мысли о том, что само понятие «точно задать множество» нуждается в уточнении. Такое уточнение совсем не просто, а его важность крайне велика и выходит далеко за пределы самой теории множеств. Язык множеств — это универсальный язык математики. Любое математическое утверждение можно сформулировать как утверждение о некотором соотношении между множествами: о равенстве двух множеств, о непустоте некоторого множества («существует непрерывная, нигде не дифференцируемая функция»), о непринадлежности элемента множеству («с помощью циркуля и линейки нельзя построить круг, равновеликий данному квадрату») и т. д. Поэтому анализ способов задания множеств связан с анализом строгости математических утверждений вообще, т. е. с обсуждением самих оснований математики.
