Алгоритмы и комплексы программ для решения задач математической физики с использованием метода неполной факторизации

Бурное развитие вычислительной техники вызвало еще более бурное развитие и усложнение решаемых задач во всех областях науки и техники. Этот процесс вполне естественен. Он диктуется, с одной стороны, ускорением темпов научно-технического прогресса, с другой, неутомимым желанием исследователей заглянуть глубже в тайны природы, понять и научиться моделировать самые сложные явления. Для решения таких сложных задач необходимо иметь эффективные методы решения линейных систем разностных уравнений с разреженными матрицами коэффициентов.

Одним из наиболее эффективных методов решения систем линейных разностных уравнений является метод неполной факторизации. Среди множества различных вариантов этого метода выделяется предложенная автором схема А-факторизации (НФ). Ее главной отличительной чертой является быстрое подавление гладкой составляющей ошибки, тогда как другие схемы, наоборот, хорошо гасят негладкие компоненты ошибки. Затем автор предложил использовать комбинированные схемы неполной факторизации, в которых схема НФ чередуется с другой родственной схемой, в частности, со схемой параболических прогонок (ПП), также разработанной автором. Оказалось, что комбинированная схема (НФПП) обладает более высокой скоростью сходимости, чем каждая из схем, входящих в нее, в отдельности. Эффект ускорения сходимости в комбинированной схеме вполне аналогичен эффекту от использования многосеточных методов: одна схема быстро сглаживает произвольную начальную функцию ошибки, а другая — быстро уничтожает получающуюся гладкую составляющую ошибки.

Известно, что для симметричных матриц наибольшей скорости сходимости удается достичь при использовании метода сопряженных градиентов с хорошим предобуславливателем. Примером такого эффективного предобуславливателя является предложенный автором вариант явной схемы неполной факторизации с периферийной компенсацией итерируемых членов (PIF).

Для несимметричных матриц метод сопряженных градиентов не работает. Для таких задач автор разработал новый вариант комбинированной неявной схемы неполной факторизации (CEF), который в случае симметричных матриц не уступает по скорости сходимости методу сопряженных градиентов со схемой PIF в качестве пердобуславливателя, а в случае несимметричных матриц сходится значительно быстрее, чем в случае симметричных матриц.

Из множества разработанных автором приложений, в которых используются различные варианты метода неполной факторизации, в диссертацию, из-за ограничения объема, включены лишь некоторые. Это, прежде всего, комплекс программ WIMS. BOJirA для расчета ректоров в (х, у, z) и (г, в, z) геометриях, и комплекс программ WIMS-BOJ1HA для расчета кампаний реакторов на тепловых нейтронах типа ВВЭР в (hex, z) геометрии с прямым расчетом констант по прецизионной программе WIMSD4 в каждой пространственной точке реактора в каждый момент времени. С помощью этих комплексов программ было выполнено большое количество верификационных расчетов, и выполнены расчетные исследования топливных кампаний различных блоков реакторов на тепловых нейтронах применительно к проблеме деформаций тепловыделяющих сборок (ТВ С) в активных зонах реакторов типа ВВЭР-1000 в процессе эксплуатации.

Другой работой, включенной в диссертацию, является комплекс программ VOLNA для расчета быстрых переходных процессов в реакторах в квазистатическом приближении в (hex, z) геометрии, и созданный на его основе комплекс программ GVA (GRIF-SM, VOLNA, ARAMAKO) для расчета аварий в реакторах на быстрых нейтронах. Отличительной чертой комплекса GVA является совместный нейтронно-физический, теплогидравлический и термомеханический расчет реакторов на быстрых нейтронах. С помощью этого комплекса были просчитаны аварии в реакторе типа БН-800, вызванные остановкой главных циркуляционных насосов и несанкционированным движением группы компенсирующих стержней органов регулирования.

Из большого числа приложений в области тепловых расчетов автор включил в диссертацию лишь разработанный им новый метод решения уравнений магнитной гидродинамики, так как в нем отражены, с методической стороны, все основные особенности такого рода алгоритмов. На основе этого метода была написана программа GIGAN для расчета тепловой конвекции в трехмерной (х, у, z) геометрии и рассчитаны международные бенчмарки о конвекции воздуха в кубической полости, подогреваемой с одной из боковых сторон. Использование в программе GIGAN процедуры симметризации разностных уравнений и метода сопряженных градиентов с предобуславливателем по схеме PIF для решения линеаризованных систем с симметричными матрицами коэффициентов позволило решать задачи на сетках большой размерности (до миллиона узлов) на обычных PC.

В диссертацию включены также разработанные автором методы решения внешней и внутренней задач тепломассопереноса при выращивании кристаллов из расплава. Для внешней задачи — метод итераций по подобластям с учетом радиационного переноса тепла между излучающими поверхностями подобластей, для внутренней задачи — новый метод решения задачи Стефана в энтальпийных переменных, с учетом конвективного тепломассоперенса в расплаве и сегрегации примеси на границе фазового перехода.

Для учета структурных изменений расплава вблизи фронта кристаллизации автором разработаны две модели, одна из которых предполагает сильное возрастание вязкости в этой области, другая — наличие кластеров и силы сопротивления течению, обусловленной этими кластерами. С помощью построенных моделей удалось объяснить механизм переноса примеси при выращивании кристаллов германия, легированного галлием, в условиях космического полета, и в численных расчетах получить аномальные эффекты распределения примеси, которые наблюдались в космических экспериментах.

Актуальность работы. Важнейшей задачей вычислительной математики было и остается создание экономичных алгоритмов решения прикладных задач. Существуют различные подходы к решению одних и тех же задач, и для уверенной ориентации в них необходим определенный навык, опыт практической работы в области вычислительной математики и программирования. Этот опыт всегда субъективен, и поэтому рекомендации по применению тех или иных алгоритмов должны восприниматься, как некоторые альтернативные подходы к существующим методам. Универсальных подходов не существует.

Как и в любом разделе науки, в вычислительной математике основной способ проверки работоспособности алгоритма — теоретический, т. е. формулировка и доказательство соответствующих теорем сходимости и оценка скорости сходимости. Однако, наряду с этим, начиная с самого момента возникновения этой области математики, появился и получил широкое распространение другой способ обоснования работоспособности алгоритма — теоретико-экспериментальный. Формулируются алгоритм и теоремы, обосновывающие устойчивость и сходимость алгоритма, но в связи с тем, что объект исследования обладает сложной структурой, теоремы эти, по крайней мере, в полном объеме, теоретически доказать не удается. В то же время экспериментальная проверка их работоспособности дает положительные результаты, показывает высокое быстродействие алгоритмов для широкого круга задач, позволяет получить оценки скорости сходимости, пределы применимости алгоритма и дать надежные рекомендации по его использованию. Для практики такое теоретико-экспериментальное обоснование работоспособности алгоритма является актуальным.

Реальные задачи, как правило, являются нестационарными, нелинейными и несамосопряженными. В этих трех «не» заключена вся трудность решения пространственно-временных задач. Стандартный путь преодоления этих трудностей заключается в сведении исходной задачи к сериям или последовательностям более простых задач, являющихся стационарными, линейными и самосопряженными. Эти задачи могут быть решены известными методами теории аппроксимации и линейной алгебры. Таким образом, выделяется подзадача, от успешного и эффективного решения которой зависит в большой степени точность и быстрота решения исходной задачи. Этой подзадачей является плохо обусловленная алгебраическая система линейных уравнений большого порядка с разреженной матрицей коэффициентов. Поэтому важно и актуально продолжать развивать методы решения плохо обусловленных систем линейных уравнений с разреженными матрицами.

Методы решения нейтронно-физических задач хорошо известны. Однако практика ставит новые и все более сложные задачи. Пока эти задачи не решены, они являются актуальными. Так обстоит дело с трехмерным комплексом программ расчета кампаний реакторов типа ВВЭР. Он создавался для решения конкретной задачи, связанной с проблемой деформаций ТВС в активной зоне реактора в процессе его эксплуатации под воздействием неоднородных тепловых и нейтронных полей. Эта проблема стояла очень остро, так как большие деформации ТВС в активной зоне реактора могут приводить к заклиниванию органов регулирования в каналах. Она решалась объединенными усилиями физиков, математиков, материаловедов, и важнейшую роль в решении данной проблемы играл расчет нейтронно-физических характеристик реактора в течение кампании по комплексу программ WIMS-BOJ1HA.

Для решения нестационарного уравнения реактора одним из наиболее эффективных методов является квазистатический метод. Он позволяет выделить два временных масштабамелкий для расчета быстроменяющегося амплитудного фактора (мощности реактора), и крупный для расчета форм-функции (пространственных распределений групповых потоков нейтронов), и существенно сократить время расчета без потери точности. Этот подход позволяет реально рассчитать быстрые переходные процессы в реакторе в трехмерной постановке, и особенно актуален для анализа начальных стадий развития аварий.

Актуальность развития методов решения задач гидродинамики связана с сильной нелинейностью таких задач и необходимостью применять сетки очень большой размерности (более миллиона узлов) для хорошего разрешения функций в областях их резкого изменения. При этом высокая эффективность применяемых методов линеаризации и методов решения линеаризованных систем приобретает первостепенное значение, так как определяет эффективность алгоритма решения всей задачи в целом.

Развитие моделей и методов решения задач тепломассопереноса при выращивании кристаллов, особенно в условиях пониженной гравитации, является одной из наиболее актуальных проблем современного материаловедения и вычислительной математики в связи с крайней сложностью и многопараметричностью моделируемых явлений. Особенно перспективным и актуальным, по мнению автора, является кластерный подход к описанию структурных изменений расплава вблизи фронта кристаллизации. Он позволяет связать макроявления на уровне описания тепломассопереноса в расплаве с микроявлениями, сопровождающими процесс образования и роста кластеров в процессе кристаллизации.

Личный вклад автора. Все алгоритмы, методы и программы, представленные в диссертации, варианты схем метода неполной факторизации, их анализ и оценки скорости сходимости, развитая теория блочных итерационных методов, комбинированные схемы неполной факторизации разработаны диссертантом лично или под его непосредственным руководством.

Научная новизна результатов диссертации.

• Разработаны новые варианты метода неполной факторизации для решения систем конечно-разностных уравнений: метод параболических прогонок, явные и неявные схемы с периферийной компенсацией итерируемых членов, метод сопряженных градиентов с предобуславливателем по схеме неполной факторизации с периферийной компенсацией итерируемых членов, комбинированные схемы неполной факторизации. Дано доказательство явной схемы Булеева с диагональной компенсацией итерируемых членов, получены оценки оптимального значения итерационного параметра и скорости сходимости. Построена теория.

Ф блочных итерационных методов, сделан анализ сходимости схемы А-факторизации, схемы параболических прогонок и комбинированных схем неполной факторизации.

• Написаны специализированные комплексы программ: WIMS. BOJirA для стационарного расчета реакторов на тепловых нейтронах и WIMS-BOJ1HA для расчета кампаний реакторов типа ВВЭР, в которых впервые организован прямой расчет констант и выгорания по прецизионной программе WIMSD4 в каждом пространственном узле расчетной сетки в каждый момент времени. В рамках комплекса программ WIMS-BOJIHA разработан алгоритм учета влияния формоизменения ТВС на нейтронно-физические характеристики реактора.

• Разработан комплекс программ VOLNA для расчета быстрых переходных процессов в реакторе в квазистатическом приближении в (hex, z) геометрии. На основе этого комплекса, а также комплексов программ теплогидравлического расчета GRIF-SM и расчета констант АРАМАКО, создан комплекс программ GVA для совместного трехмерного нейтронно-физического, теплогидравлического и термомеханического расчета аварий реакторов на быстрых нейтронах. С помощью этого комплекса программ выполнены трехмерные f нестационарные расчеты аварий реактора типа БН-800, вызванных остановкой главных циркуляционных насосов (ГЦН) и несанкционированным движением группы компенсирующих стержней органов регулирования. Разработаны метод и программа расчета деформаций ТВС и алгоритм учета теплового расширения активной зоны реактора на его нейтронно-физические характеристики.

• Разработан новый метод решения уравнений магнитной гидродинамики в естественных переменных. На основе этого метода разработаны алгоритм и программа GIGAN для трехмерного нестационарного расчета тепловой конвекции и выполнены расчеты бенчмарков по конвекции воздуха в кубической полости, подогреваемой с одной из боковых сторон, на сетках большой размерности (до миллиона узлов). Показано, что для чисел Релея 106 и выше необходимо использовать еще большее количество узлов или применять специальное сгущение сеток для обеспечения приемлемой точности расчетных значений чисел Нуссельта.

• Разработан метод расчета тепломассопереноса при выращивании кристаллов с учетом кондуктивного, конвективного и радиационного переноса тепла. Разработан метод решения задачи Стефана для кондуктивно-конвективного теплообмена в энтальпийных переменных. Построена новая математическая модель выращивания кристаллов методом бестигельной зонной плавки, с помощью которой дано объяснение механизма тепломассопереноса при выращивании кристаллов Ge, легированного Ga, в космосе и получен эффект аномального распределения примеси в расплаве, наблюдаемый в космических экспериментах. Впервые разработана кластерная гидродинамическая модель кристаллизации расплавов для описания тепломассопереноса в процессе кристаллизации с учетом структурных изменений расплава вблизи границы фазового перехода.

Достоверность полученных результатов. Высокая эффективность разработанных автором вариантов метода неполной факторизации, особенно комбинированных схем, подтверждается численными исследованиями и большим числом приложений.

Достоверность результатов нейтронно-физических и гидродинамических расчетов подтверждается расчетами численных бенчмарков и решениями тестовых задач.

Достоверность результатов расчетов тепломассопереноса по разработанным автором моделям роста кристаллов подтверждается физической корректностью и совпадением с данными экспериментов по выращиванию кристаллов в космосе.

Практическая ценность разработанных эффективных методов решения плохо обусловленных алгебраических систем линейных уравнений большой размерности с разреженными матрицами коэффициентов состоит в их применимости для решения широкого круга практических задач математической физики.

Практическая ценность разработанных комплексов программ нейтронно-физического расчета заключается в большом количестве конкретных рекомендаций и выводов, сделанных по результатам расчетов по этим программам.

Практическая ценность разработанных методов расчета конвективного тепломассопереноса и решения задачи Стефана заключается в рекомендациях по совершенствованию ростовых установок и режимов технологического процесса выращивания кристаллов из расплава.

Практическая ценность предложенной кластерной модели кристаллизации заключается в возможности корректного описания результатов экспериментов по выращиванию полупроводниковых кристаллов из расплава в условиях микрогравитации.

Автор выносит на защиту:

• Варианты метода неполной факторизации: метод А-факторизации, метод параболических прогонок, вариант метода сопряженных градиентов с предобуславливателем по схеме неполной факторизации с периферийной компенсацией итерируемых членов CGPIF, комбинированные схемы неполной факторизации HFPP, HFB3, HFB4, CIF. Анализ сходимости блочных итерационных методов неполной факторизации, доказательство сходимости метода /г-факторизации, метода параболических прогонок, явной схемы Булеева с диагональной компенсацией итерируемых членов.

• Алгоритмы и программы стационарного и квазистационарного трехмерного расчета реакторов ВОЛГА и ВОЛНА. Комплекс программ расчета реакторов WIMS. ВОЛГА для расчета реакторов в (х, у, т) и (г, в, z) геометриях. Комплекс программ WIMS-ВОЛНА расчета кампании реакторов типа ВВЭР в (hex, z) геометрии с учетом влияния формоизменения ТВС на нейтронно-физические характеристики реактора вследствие термомеханических деформаций.

• Алгоритм и комплекс программ VOLNA для расчета быстрых переходных процессов в реакторе в квазистатическом приближении в (hex, z) геометрии. Алгоритм и комплекс программ GVA для совместного нейтронно-физического, теплогидравлического и термомеханического расчета аварий реакторов на быстрых нейтронах типа БН-800 с учетом формоизменения ТВС вследствие термомеханических деформаций. Результаты расчетов аварий реакторов типа БН-800, вызванных остановкой главных циркуляционных насосов и несанкционированным движением группы компенсирующих стержней органов регулирования.

• Метод решения уравнений магнитной гидродинамики в естественных переменных. Алгоритм и комплекс программ GIGAN для трехмерного нестационарного расчета тепловой конвекции на сетках большой размерности.

• Метод расчета тепломассопереноса при выращивании кристаллов из расплава с учетом кондуктивного, конвективного и радиационного теплообмена. Метод решения задачи Стефана в энтальпийных переменных. Объяснение механизма тепломассопереноса и аномального распределения примеси при выращивании кристаллов Ge, легированного Ga, методом бестигельной зонной плавки в космосе. Кластерную гидродинамическую модель кристаллизации расплавов с учетом условия Стефана, сегрегации примеси и силы сопротивления течению расплава вблизи фронта кристаллизации, обусловленной кластерами.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на IV Всесоюзном совещании по вычислительным методам линейной алгебры (Новосибирск, 1977), на встречах со специалистами ГДР по проблеме транспортирования отработавшего топлива (Берлин, 1980, 1982, 1984, 1986), на совещании стран-членов СЭВ (Ленинград, 1981), на VII, IX, X, XI школах по моделям механики сплошной среды (Батуми, 1983; Якутск, 1987; Казань, 1989; Владивосток, 1991), на 1 отраслевом совещании по методам и программам расчета (Обнинск, 1983), на межотраслевом семинаре «Сопряженные задачи теплообмена» (Москва, 1985), на IV международной конференции по численному моделированию полупроводниковых приборов и интегральных схем (Ирландия, 1985), на всесоюзном совещании по математическому моделированию приборов микроэлектроники (Новосибирск, 1987), на VIII Всесоюзной конференции по теплои массообмену, (Минск, 1988), на Всесоюзном совещании по математическому моделированию приборов микроэлектроники (Горно-Алтайск, 1989), на международном семинаре по математическому моделированию в микроэлектронике (Новосибирск, 1990), на Всесоюзном совещании по математическому моделированию в микроэлектронике (Ярославль, 1990), на Всесоюзном совещании по динамике реакторов (Гатчина, 1990), на международном семинаре «Теплофизика-90» (Обнинск, 1990), на 13 Международном конгрессе по вычислительной и прикладной математике IMACS'91 (Ирландия, 1991), на 7 международной конференции по численному анализу полупроводниковых приборов и интегральных схем NASE CODE VII (США, 1991), на XV Менделеевском съезде по общей и прикладной химии (Обнинск, 1993), на конференции по миграции радионуклидов в водных системах (Обнинск, 1993), на VI Российской конференции по радиационной защите ядерных установок (Обнинск, 1994), на 3, 4, 5 международных семинарах по моделированию устройств и технологий (Обнинск, 1994; Южная Африка, 1996, 1998), на 1, 2, 3, Российских национальных конференциях по теплообмену РНКТ (Москва, 1994, 1998, 2002), на 3 международном семинаре по математическому моделированию в микроэлектронике (Обнинск, 1994), на 9 международном совещании по безопасности ядерных реакторов (Москва, 1995), на III Минском международном форуме по теплои массообмену (Минск, 1996), на 5 международной конференции по моделированию устройств и технологий ICSDT'96 (Обнинск, 1996), на 2 международном симпозиуме ученых и исследователей России и США, выполняющих исследования по программе «НАУКА-НАСА» (Королев, 1996), на 1 и 2 международных симпозиумах по достижениям в вычислительном тепломассопереносе (Турция, 1997; Австралия 2001), на 2 Российском симпозиуме «Процессы тепломассопереноса и рост монокристаллов и тонкопленочных структур» HT&CG'97 (Обнинск, 1997), на международной алгебраической конференции памяти Д. К. Фадеева (С.-Петербург, 1997), на школе-семинаре МИФИ секции «Интегрированные математические модели и программные комплексы в ядерной энергетике» (Москва, 1998), на 5 Всероссийской научно-технической конференции с международным участием «Актуальные проблемы твердотельной электроники и микроэлектроники» (Дивноморское, Таганрог, 1998), на семинаре «Консультативная встреча специалистов IAEA по проблеме быстрых реакторов» (Обнинск, 1998), на семинарах «Нейтроника-98», «Нейтроника-99» (Обнинск, 1998, 1998), на XXXIII научных чтениях, посвященных разработке творческого наследия К. Э. Циолковского (Калуга, 1998), на 3,4, 5 международных конференциях «Рост монокристаллов и тепломассоперенос» (Обнинск, 1999, 2001, 2003), на международной конференции по вычислительному тепломассопереносу (Кипр, 1999), на рабочей группе по фазовым переходам с конвекцией, моделированию и валидации (Польша, 1999), на 1 и 2 Российских конференциях по космическому материаловедению (Калуга, 1999, 2003), на IX и X Национальных конференциях по росту кристаллов НКРК (Москва, 2000, 2002), на 4 Международной конференции по супервычислениям в ядерных приложениях SNA-2000 (Япония, 2000), на 4 Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-2000 (Новосибирск, 2000), на международной конференции по твердым кристаллам (Польша, 2000), на конференции, посвященной памяти академика А. Н. Тихонова (Обнинск, 2000), на 13 международной конференции по росту кристаллов ICCG-13 (Япония, 2001), на XVII научном совещании «Высокочистые материалы с особыми физическими свойствами» (Суздаль, 2001), на международной конференции «Математические идеи П. Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания» (Обнинск, 2002), на I Всероссийской конференции «Физико-химические процессы в конденсированном состоянии и на межфазных границах» ФАГРАН-2002 (Воронеж, 2002), на IV Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях NPNJ-2002 (С.-Петербург, 2002), на 1 международной конференции по приложениям пористых сред (Тунис, 2002), на 1 научной школе-конференции «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики» (Украина, 2003), на международной конференции по проблемам в тепловой конвекции (Пермь, 2003).

Основное содержание диссертации изложено в 8 статьях в реферируемых журналах, 29 докладах в сборниках трудов Международных и Российских конференций, 2 статьях в зарубежных журналах, 20 препринтах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав и заключения (общие выводы по работе). Общий объем диссертации — 258 страниц, в том числе 123 рисунка и 46 таблиц, список литературы из 240 наименований на 25 страницах.

Основные результаты и выводы.

Основной итог представленной работы заключается в разработке алгоритмов и создании новых крупных комплексов программ, решающих сложные трехмерные нелинейные и нестационарные задачи в различных областях науки, а именно, нейтронной физики, гидродинамики и роста кристаллов. Все представленные в работе алгоритмы объединяет использование в них метода неполной факторизации в качестве эффективного инструмента для решения двумерных и трехмерных систем конечно-разностных уравнений эллиптического типа. Поэтому первая глава диссертации содержит описание разработанных автором эффективных вариантов метода неполной факторизации, теоретический и расчетно-экспериментальный анализ их сходимости.

Приведено описание различных вариантов метода неполной факторизации на сеточном и матричном языках. Дано доказательство сходимости явной схемы Булеева с диагональной компенсацией итерируемых членов и получены оценки оптимального значения итерационного параметра и скорости сходимости этой схемы. Развита теория блочных итерационных методов для анализа сходимости неявных схем метода неполной факторизации. Даны доказательства сходимости и оценки скоростей сходимости схем /z-факторизации и параболических прогонок.

Показано, что для решения трехмерных девятиточечных конечно-разностных задач с симметричными матрицами коэффициентов одним из наиболее эффективных методов является разработанный автором вариант метода сопряженных градиентов с предобуславливателем по схеме неполной факторизации с периферийной компенсацией итерируемых членов CGPIF. Скорость сходимости этого метода пропорциональнаJn, где п — число узлов по одному направлению.

Предложен и исследован новый класс итерационных схем неполной факторизации, так называемых комбинированных схем, в которых схема /г-факторизации чередуется с другими родственными схемами. Показано, что при этом скорость сходимости комбинированной схемы значительно выше скоростей сходимости каждой из схем в отдельности, и дано объяснение этому факту. Эффект ускорения сходимости в комбинированной схеме аналогичен эффекту от использования многосеточных методов: одна схема быстро сглаживает произвольную исходную ошибку, а другая (схема /г-факторизации) — быстро уничтожает получающуюся гладкую составляющую ошибки.

Построена и численно исследована комбинированная схема неполной факторизации CIF для решения трехмерных конечно-разностных задач с симметричными и несимметричными матрицами коэффициентов. Показано, что для симметричных матриц по этой схеме зависимость числа итераций j от числа узлов п по одному направлению имеет вид j~0(4n), а для несимметричных матриц она существенно возрастает с ростом абсолютных значений конвективных членов в исходных уравнениях.

Разработанные схемы были использованы в многочисленных практических приложениях для решения задач нейтронной физики, теплообмена, гидродинамики и роста кристаллов. Использовались стационарные, квазистационарные, квазистатические и нестационарные постановки задач. Ниже кратко перечислены некоторые из этих приложений.

Разработан комплекс программ WIMS. ВОЛГА для трехмерного расчета реакторов в стационарном многогрупповом диффузионном приближении в (х, у, z) и (г, в, z) геометриях. Он прошел необходимую верификацию, включен в отраслевой фонд алгоритмов и программ расчета ядерных реакторов ОФАП ЯР, и широко использовался для исследований критичности гомогенных и гетерогенных размножающих систем.

Разработан комплекс программ WIMS-BOJIHA для расчета кампаний реакторов типа ВВЭР в квазистационарном многогрупповом диффузионном приближении в (hex, z) геометрии. Отличительной чертой комплекса является использование для расчета выгорания и констант в каждой пространственной точке реактора в каждый момент времени в процессе его эксплуатации с помощью прецизионной программы WIMSD4. При этом наиболее корректно учитываются реальные значения всех технологических параметров реактора. Разработан алгоритм учета влияния неравномерных водяных зазоров между ТВС на нейтронно-физические характеристики реактора. С помощью этого комплекса выполнены расчеты кампаний реакторов ВВЭР-1000 различных блоков Калининской, Запорожской и Балаковской АЭС при различных загрузках топлива и схемах его перегрузок с участием усовершенствованных ТВС новой конструкции, в обосновании работоспособности которых использовался комплекс программ WIMS-BOJIHA.

Разработан комплекс программ VOLNA для расчета быстрых переходных процессов в реакторах на быстрых нейтронах в квазистатическом многогрупповом диффузионном приближении в (hex, z) геометрии. Главной особенностью квазистатического метода является наличие двух временных сеток: крупной — для расчета пространственной форм-функции, и мелкой — для расчета амплитудного фактора. Это позволяет существенно экономить время расчета, не ухудшая при этом точность решения исходной нестационарной задачи.

На основе программ нейтронно-физического расчета VOLNA, теплогидравлического расчета GRIF-SM, и расчета констант АРАМАКО создан трехмерный комплекс Программ расчета аварий реакторов на быстрых нейтронах GVA. В рамках этого комплекса разработаны алгоритм и программа расчета термомеханического поведения активной зоны реактора и алгоритм учета влияния теплового расширения активной зоны на нейтронно-физические характеристики реактора. Разработанный комплекс программ GVA позволяет моделировать сложные аварийные процессы в реакторах на быстрых нейтронах, приводящих к значительным изменениям концентраций компонентов реактора в переходном процессе, а именно таких, как кипение натрия или перемещение расплавов стали и топлива после предполагаемого расплавления активной зоны. С помощью этого комплекса выполнены тестовые расчеты аварий реакторов типа БН-800, вызванных остановкой главных циркуляционных насосов с одновременным отказом органов регулирования, и извлечением группы шести компенсирующих стержней, которые продемонстрировали работоспособность и эффективность комплекса. Они показали, в частности, что локальные возмущения энерговыделения в активной зоне могут в несколько раз превышать интегральное изменение мощности реактора, что, в свою очередь, может привести к расплавлению ТВС в местах этих возмущений.

В части моделирования конвективного тепломассопереноса разработан новый метод решения трехмерных нестационарных уравнений магнитной гидродинамики с учетом конвективного переноса примеси. В нем исходная нелинейная и несимметричная система уравнений записывается в однородном виде, затем преобразуется к системе уравнений диффузионного типа, линеаризуется, и решается неявным методом установления, причем системы конечно-разностных уравнений с несимметричными матрицами коэффициентов предварительно симметризуются и сводятся к форме с монотонными и положительно определенными матрицами. Это позволяет использовать для решения линеаризованных систем уравнений метод сопряженных градиентов с предобуславливателем исходных матриц по схеме неполной факторизации. Практическое использование этого метода в программе GIGAN показало его высокую эффективность при решении гидродинамических задач на сетках большой размерности (до миллиона узлов).

Тестовые расчеты показали, что для чисел Релея Ra=104 и Ra=105 на этих сетках расчетные значения чисел Нуссельта получаются с приемлемой точностью. Однако при решении задач на равномерных сетках с числом Релея Ra=106 количества узлов порядка 10б уже не хватает, чтобы получить числа Нуссельта с хорошей точностью. Требуется либо увеличивать количество узлов на равномерных сетках, либо применять специальные сгущения сеток в областях резкого изменения искомых функций, в частности, в погранслоях.

В области расчета процессов кристаллизации из расплава разработаны метод решения внешней задачи с учетом кондуктивного, конвективного и радиационного переноса тепла между излучающими поверхностями, и метод решения внутренней задачи с учетом конвективного тепломассопереноса в области расплава, условия Стефана и сегрегации примеси на границе раздела фаз.

Использование описанной методики решения внешней задачи на примере расчета процесса кристаллизации расплава германия методом бестигельной зонной плавки в условиях космоса позволило получить зависимость функции мощности нагревателя от времени, обеспечивающую необходимую толщину зоны проплавления в течение всего процесса кристаллизации.

Характерной чертой разработанного метода решения внутренней задачи является использование энтальпийных переменных при решении уравнения сохранения энергии. Это приводит к устойчивому и эффективному алгоритму решения задачи Стефана совместно с конвективным тепломассоперносом в области расплава и кондуктивным переносом тепла в области кристалла.

С помощью разработанных методов выполнены многочисленные расчетные исследования процессов тепломассопереноса при выращивании кристаллов в земных и космических условиях для различных методов кристаллизации: метода Чохральского, бестигельной зонной плавки, и направленной кристаллизации.

Разработана математическая модель для исследования взаимодействия термокапиллярной и концентрационной конвекции в расплаве для выращивания кристаллов методом бестигельной зонной плавки в условиях космоса. С помощью этой модели удалось объяснить механизм переноса примеси в расплаве и получить в расчетах аномальный эффект распределения примеси, наблюдаемый в космических экспериментах по выращиванию кристаллов Ge, легированного Ga.

Разработана новая гидродинамическая модель течения расплава, в которой впервые учтено структурное предкристаллизационное состояние пограничного слоя в области раздела фаз. Переходная область описана, как двухфазная среда, наряду с расплавом содержащая объемные кластеры твердой фазы. Особенностью модели является описание процессов кластерирования и кристаллизации вещества в энтальпийных переменных, что дает возможность последующего сопоставления результатов моделирования с данными, полученными другими методами, в частности, методом молекулярной динамики.