Абстрактные ортогональные многочлены и дифференциальные уравнения

Пусть Ебанахово пространство с нормой || • ¡-|д = || • ||, А генератор Сополугруппы U (t), действующей в Е, и удовлетворяющей оценке

U{t)\

Через С ([0,1], Е) будем обозначать пространство векторнозначиых функций f (x) со значениями в Е и нормой

С= sup \f (x)\E. ®e[o, i]

Как известно (см. [29], стр. 96), пространство С ([0,1], Е) являются банаховыми.

В [14] с помощью конечно-разностного метода исследовалась корректная разрешимость в смысле [29, стр. 316] в пространствах С ([0,1], Е) краевых задач для дифференциального уравнения

Q (x)u (x) + Аи (х) = 0, (же [0,1]), (2) где Q (x)u (x) = а (х)и" (х) + Ъ (х)и'{х), а{х) > 0, а (х) 6 С (1)[0,1], Ь (х) <�Е 1]). Особенностью данного уравнения является обращение в ноль коэффициента а (:с) при х — 0. И в этом случае, вообще говоря, нельзя для выделения единственного решения произвольным образом задавать значение решения в нуле.

В связи с этим в [12] М. В. Келдышем была введена классификация, в соответствии с которой рассматривается условие D (Дирихле), когда

0 -V для выделения единственного непрерывного па [0,1] решения нужно задавать условия при ж = 0 и ж = 1, и условие Е, когда ставится только «одно условие при х = 1.

Отметим, что изучению операторов Q посвящены многочисленные работы. Так в [28] дается описание всех «граничных» условий, совместно с которыми Q порождает в пространстве ограниченных функций полугруппу класса Со.

Наиболее полные исследования оператора Q проведены в [4|. Случай с вырождением для Е = Нгильбертово пространство, рассматривался в [3].

Конечноразностный метод в скалярном случае используется в [20j для исследования спектра оператора ШтурмаЛиувилля.

В [15], по-видимому впервые применен конечно разностный метод для исследования корректной разрешимости краевых задач для уравнения (2) в общем случае, когда, А генератор полугруппы класса Со в Е, а. оператор Q, совместно с условиями типа D или Е, имеет спектр расположенный в резольвентном множестве оператора А.

Эти исследования проводились в связи со следующими определениями:

Определение 1.(см. [15]). Функция u (t) 6 D (A) называется обобщенным решением уравнения (2), если

1) u (t) G С ([0,1],'£?) — 2) Q{t)u{t) е С ([0,1],£) — 3) u{t) е D{A) для t 6 [0,1]- 4) она удовлетворяет уравнению (2)

Здесь D (A)~ область определения оператора А, С ([0,1], Е) — пространство непрерывных векторнозначных функций f (x) со значениями в Е и нормой ||/||с ([0,1],£) = sup ll/Wllsie[o, i]

При этом рассматривались следующие краевые задачи:

1) Qu (t) + Au (t) = 0, (3)

5и (1) -fви'(1) = ф, 65 > 0, ф? Е, если оператор Qi удовлетворяет условию Е при ж = 1 (4)

2) Q2u (t) + Au{t) = 0, (5) <50u (0) — Q0u'{0) = ip, iu (l) + 9m'{1) = ф, р, ф e E, Si9i > 0, (6) если Q2 удовлетворяет условию типа D.

Определение 2. Краевая задача (3)-(4) (соответственно (5) (6)) называется равномерно корректной, если для любых <�р, ф 6 Е существует единственное обобщенное решение этой задачи, непрерывно зависящее от (р и ф в норме пространства Е.

Из результатов, полученных в [15], в частности следует, что в случае, когда Q имеет действительный спектр и qo~ его точная нижняя граница, а оператор, А является генератором Со полугруппы с типом и и, если lj — до < 0, то задача (3)-(4) (соответственно задача (5) (6)) равномерно корректны, и их решения представимы в виде: В случае условия D. u (t, A) = s0(t)tp + s1(t№, (7) где зо (Ь, А) и А) сильно непрерывные на [0,1] семейства линейных и ограниченных операторов для которых справедлива оценка з^А)\<�Ки^, и)1 (.7 = 0,1) (8) здесь си) — решение задачи (5) — (6) при, А = и, <�р = 1, ф = 0 для j = 0 и (р = 0, ф = 1 для У = 1. В случае условия Е. и (Ь, А) = феЕ (9) где $(?) — сильно непрерывное на [0,1] семейство линейных ограниченных операторов и справедлива оценка ыщ<�ки (ь, и>)1 где и (£, ю) решение задачи (2)-(3) при, А = ш.

В диссертации с помощью конечно-разностного метода доказывается корректная разрешимость следующих задач:

I. и" (х) + Аи (х) = 0, (10) и (0) = <�р, и (1) = ф. (11)

II. (2и{х) + Аи{ х) = хи" (х) + аи (х) + Аи{х) — 0, (12) и (0) = 0, и (1) = (ръ (р1 е Е и (0) = <�р0, и (1) = 0, Е Е иеС ([0,1]уЕ), и (1) = 1р, а>1. (14)

При этом приводится представление решений этих задач через абстрактные ортогональные многочлены, введенные в диссертации. а< 1 (13)

В случае задачи (10)—(11) это ортогональные многочлены Чебышева 2-го рода. И в случае (12)—(13) и (12)—(14) это ортогональные многочлены Лагерра.

В связи с этим изучаются свойства этих многочленов и, в частности, их связь с трехдиагональными матрицами.

Здесь весьма важным является возможность построения операторных рациональных дробей от ортогональных полиномов Рп (А) вида Рт (А)Р~1{А) = Р~1(А)Рт (А) (га < п). При этом эти операторы являются ограниченными и здесь ключевую роль играет оценка

Рт (А)Р~А)|| < К

РтН

15)

Рп И где константы К и и> из оценки (1) полугруппы ?/(?).

Неравепс7пва типа (15)являются следствиями двух фундаментальных фактов. С одной стороны у ортогональных многочленов Рп (х) все корни хт{т — 1 ,., п) действительные и в разложении на 'простые дроби? -г5-, (*е д1) <16) т= 1 ^ ЭСт коэффициенты с1П всегда положительные.

С другой стороны для степеней резольвенты производящего оператора Со полугруппы имеет м, есто оценка р^р (п = 1,2,.) (17) где константа К та же, что и в оценке (1) и от п не зависит. Это позволяет определить рациональную операторную дробь как

Рп-{А)Р~1{А) =? СтЩхт, А), (18) т= 1 в предположении, что хт принадлежат резольвентному множеству оператора, А.

Далее в диссертации вводятся и изучаются абстрактные ортогональные многочлены РП (А), где Агенератор Сополугруппы. В частности свойство (17) генераторов Сополугрупп и фундаментальное свойство ортогональных многочленов (16) позволяют строить некоторую алгебру многочленов Рп (А), а также определять функции от операторов А. Например, в случае ы < — 1 определяется функция у/А2 — 1х для х? D (A), (см. 2.5.21) и (А2 — х <�Е Е.

Это позволяет получить представление абстрактных полиномов Чо-бышева первого рода Тп (А) и второго рода Un (A) в виде

Тп{А)х = ^[{А + ДМ)" + (А — v^T)"]®, (19)

Un (A)x = ^(/Л⁷)-1[(Л + x/I^T)^1 — (А -{х е D (An)).

В параграфе 2.2. рассматриваются вопросы обращения операторной матрицы.

Далее, учитывая то, что коэффициенты матрицы обратной к трех-диагональной матрице, соответствующей разностной схемы, выражаются через дроби вида (7), получаем оценку нормы обратной матрицы как оператора в пространствах ограниченных, а также суммируемых последовательностей со значениями в Е, через констаноты К и ш (см. (2.2.1G) и (3.2.21)).

Это позволяет выразить решения соответствующей разностной задачи через абстрактные ортогональные многочлены, а, следовательно, с помощью предельного перехода (законность которого здесь доказывается) получить представления для решения исходного дифференциального уравнения.

Дисрертация состоит из введения, 3-х глав и параграфов.

Первая глава содержит необходимые сведения из теории абстрактных дифференциальных уравнений с использованием результатов изложенных в [9]-[И], [13], [29],[30]. В частности, в § 1.4 приводятся и исследуются три вида позитивности оператора, А действующего в Е-, позитивность, сильная позитивность, и (в соответствии с [13]) апозитивность (см. определения 1.4.1, 1.4.2, 1.4.4), свойства которых используются при исследовании корректной разрешимости краевых задач для уравнений эллиптического типа.

Обычно (см. |9| |10|. [29]) рассматриваются только позитивные операторы.

Во второй главе, с помощью соответствующих рекуррентных соотношений вида ап+1Рп+1{А) = (ап — А) Рп (А) — ЬпРп^(А), ап, Ьпдействительные числа) вводятся классические ортогональные многочлены Р (А), где Агенератор полугруппы класса Со

Изучается их связь с операторными матрицами вида а1 — А —С1 0. ОЬх1 а21 — Ас21. О 0 -Ь21 ай1 — А. О 0 0 0. ап1 — А

Мп (А) =

20) где /- тождественный оператор в Е.

Очевидно, что Мп{А)~ линейный оператор, действущий в произведении пространств Еп = Е х Е х. х Е.

Показано (см. 2.2.16), что коэффициенты обратной операторматрицы М~1(А) имеют вид тЦНа) = к—1

П, стР¹{А)Р^(А)Р-1(А), г < кт—л г —1

П ЬтРк-{А)Р^А)Р~1(А), % > к. т=к

Из этого представления следует оценка если интервал ортогональности многочленов Рп (х), (х Е К1) принадлежит резольвентному множеству оператора А.

В этой главе для бесконечных матриц с операторными элементами вида

М (А) =

2АI 0. -/ 2АI. О -/ 2А .

О О О

2 А

ООО. где Агенератор полугруппы класса Со, действующий в Е, /-тождественный оператор в Е1, исследуется вопрос их обращения как операторов действующих в пространствах 1Р (Е) (р > 1) последовательностей, а = {а^}?^, а{ Е Е с нормой оо

Н1р = Е 1

Теорема 2.5.1. Если оператор, А является генератором полугруппы класса Со с типом ш < —1, то матрица М (А) имеет обратную матрицу М-1 (А) с ограниченными в Е операторными элементами (А) (г, к = 1,2,.) для которых имеет место оценка^м, ^ ^ - г < к

1 г, к{А)\Е < К СЪ1(М)(Мг > к. где и^х) — ортогональные многочлены Чебышева 2 рода.

Теорема 2.5.2. Операторная матрица М~1(А) является ограниченным оператором действующем в пространстве 1Р (Е), и для ее нормы справедлива оценка

М-1(А)\ < ш2 — 1) л/О-2 — 1 Здесь константа К из оценки (1).

В главе 3 результаты полученные во второй главе применяются к исследованию краевых задач типа (3)-(7).

§ 2.1. посвящен а-корректной разрешимости задачи Дирихле (см. определение 3.1.2) = 0> <�е[0,а], (21) и (0)=у>, и (а) = чр. {<�р, феП{А)), (22) и представлению ее решений. В этом случае аппроксимация сРиН) 1. Л, а. ,. -??[щ-г — 2щ + х](Л = п =1,2,.) (23) приводит к разностной схеме с матрицей вида (20) и, например, если ф = 0, то решения разностного уравнения имеет вид (3.1.25)

Uj = Un-j (I — —~)U~l{I — j = 1,2,. n, где Ui (I — ^r) — ортогональные многочлены Чебышева 2-го рода, которые определяются рекуррентным соотношением

Un+l (A) = 2AUn (A) — Un. x{A) (24)

U0(A) = I, U1(A)=A.

Основной в этом параграфе является теорема 3.1.2, которая утверждает, что если Агенератор Со~ полугруппы и ее тип и удовлетворяет условию и < то задача Дирихле (21)—(22) акорректна и для ее решения справедлива оценка. TWsin (a — t)/uj.. sin tx/uj " ,.,.. u * ^ Kl Ln г, ЫЕ +^-ГТгрЫ- 25 sinay’w sin aya;

Отметим, что константы при \<�р\е и \Ф\е являются точными, так как в скалярном случае когда, А — ш<^Я1р = ф=1 В (25) достигается равенство.

В связи с этим заметим, что в аналогичном неравенстве в [13] доказывается лишь существование константы С > О для которой имеет место оценка нт<�с (мЕ+\ф\Е).

Второй параграф третьей главы посвящен представлению решений задач (3)-(7). С этой целью снова используется конечно-разностноый метод. При этом возникающие трехдиагональные матрицы имеют обратные матрицы коэффициенты которых выражаются через абстрактные ортогональные многочлены Лагерра, введенные здесь впервые.

Используя свойства этих многочленов здесь доказывается устойчивость разностных схем, сначала для скалярных уравнений, а затем и для абстрактных.

Отсюда, в силу теоремы Филиппова (см. [17]) следует сходимость приближенных решений к точным и получается представление решений задач (3)-(6) через ортогональные многочлены Лагерра. Эти результаты являются новыми даже в скалярном случае.

1. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи /Ф.Аткинсон.- М.: Мир, 1968. 750 с.

2. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций/ Г. Н. Ватсон.- М.: ИЛ, 1949.

3. Глушко В. П. Коэрцитивная разрешимость граничной задачи для полного вырождающегося дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве/ В. П. Глушко, О. М. Смелянский.- Труды 1УЗимней математической школы г. Драгобыч, 1976.

4. Глушко В. П. Линейные дифференциальные уравнения/ В. П. Глушко.-Воронеж.- ВГУ, 1972. 193 с.

5. Глушко В. П. О вырождающихся дифференциальных уравнениях в банаховом простнастве/ В. П. Глушко, С. Г. Крейн.- ДАН СССР, 181.-№ 4, 1968. с.784−787.

6. Горбачук В. И. Граничные задачи для дифферецниально-операторных уравнений/В .И. Горбачук, М. Л. Горбачук.-Киев.-«Наука Думка». 1984.283 с.

7. Зигмунд А. Тригонометрические ряды/ А. Зигмунд.- М.: Мир.-Т.1, 1965.616 с.

8. Ильин В. Г. Трехдиагональные матрицы и их приложения/ В. Г. Ильин, Ю. И. Кузнецов.-М.: «Наука», 1985.

9. Иосида К. Функциональный анализ/ К. Иосида.- М.: «Мир», 1967.-624 с.

10. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве/ С. Г. Крейн.-М.: «Наука», 1967, 464 с. 11 .Красносельский М. А. Интегральные операторы в пространствахсуммируемых функций/ М. А. Красносельский и др.- М.: «Наука», 1966.499 с.

11. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравненийэллиптического типа на границе области/ М. В. Келдыш.- ДАН СССР.-Т.72.-№ 2, 1951, — с.181−183.

12. Крейн М. Г. О спектре якобиевой формы в связи с теорией крутильных колебаний валов/М.Г. Крейн.-Мат. сб.-Т.40:4, 1933, с. 435−465.

13. Крейн М. Г. Об узлах гармонических колебаний механических систем некоторого специального вида/ Крейн М.Г.-Мат. сб.-Т. 41−2, 1934. с.339−348.П.Крылов В. И. Вычислительные методы/В.И. Крылов, В. В. Бобков, Г. И. Монастырный.- М.: «Наука», 1976. Т.2

14. Лаврентьев М. А. Методы теории функций комплексного переменного/ М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат.- М.: «Наука», 1974

15. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения/ H.H. Лебедев.-ФМ, 1966,350 с.

16. Левитан Б. М.

Введение

в спектральную теорию/ Б. М. Левитан, И. С. Саргсян.- М.: «Наука», 1970. 671 с.

17. Михлин С. Г. Вырождающиеся эллиптические уравнения/ С. Г. Михлин.-Вестник ЛГУ.-№ 8, 1954. с. 19−48

18. Никифоров А. Ф. Специальные функции математической физики/ А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров.- М.: «Наука», 1984. 344 с.

19. Орлов В. П. Сингулярно вырождающиеся дифференциальные операторы высокого порядка с неограниченным операторных коэффициентом/ В. П. Орлов.- Дифференциальные уравнения.- T. XII, № 2, 1978. с.272−280.

20. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены/ П. К. Суетин.-М.: «Наука», 1979.-416 с.

21. Сеге Г. Ортогональные многочлены/ Г. Cere.- М.: Физматгиз, 1962. 650 с.

22. Самарский A.A.

Введение

в численные методы/ A.A. Самарский.- М.: «Наука», 1982. 269 с.

23. Фадеев Д. К. О свойствах матрийы обратной хессенберговой/ Д. К. Фадеев.- Записки научных семинаров ЛОМИ.Г.И, 1981.

24. Феллер В. Параболические и дифференциальные уравнения и соответствующие им полугруппы/ В. Феллер.- Математика.-1:4, 1957. с. 103−153.

25. Функциональный анализ /под редакцией С. Г. Крейна.- М.: «Наука», 1979.-418 с.

26. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы/ Э. Хилле, Р. Филлипс.-М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. 829 с.

27. Джалиль С. М. Представление решения абстрактного уравнения через абстрактные многочлены Jlareppa/ С. М. Джалиль.- Сборник трудов молодых ученых математического ф-та ВГУ.- Воронеж, 2003. с.84−93.

28. Джалиль С. М. Ортогональные многочлены Чебышева и решение задачи Дирихле для уравнения второго порядка/ С. М. Джалиль, В.А. Костин// VII Крымская Международная школа МФЛ 2004, Методы функции Ляпунова.- Материалы конференции.- С. 54.

29. Джалиль М. С. Представление решения задачи Дирихле для дифференциального уравнения второго порядка через ортогональные многочлены 2-го рода. Труды Воронежской зимней математической школы—2004, Воронеж, ВГУ, 2004, с. 77−83.