Экстремальные и спектральные свойства решений задач Геллерстедта для уравнений смешанного типа и их применения

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа, в силу своей прикладной ж теоретической значимости, является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Первыми исследованиями в этой области явились работы Ф. Трико-ми [72, 73], результаты которого обобщались в работах С. Геллерстедта [81, 82]. Они изучали краевые задачи для уравнений смешанного типа с одной линией изменения типа, известные в литературе как «задача Трикоми» и «задача Геллерстедта» .

В дальнейшем созданием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Ф. И. Франкль, А. В. Бицадзе, К.И. Бабен-ко, S. Agmon, L. Nirenberg, M.N. Plotter, C.S. Morawetz, P. Germain, R. Bader, P.O. Lax, R.P. Phillips, M. Schneider, Б. А. Бубнов, В. Ф. Волкодавов, B.H. Врагов, Т. Д. Джураев, В. Н. Диденко, В. А. Елеев, В.И. Же-галов, А. Н. Зарубин, Т. Ш. Кальменов, Г. Д. Каратопраклиев, И.Л. Ка-роль, А. И. Кожанов, Ю. М. Крикунов, А. Г. Кузьмин, О. А. Ладыженская, Е. И. Моисеев, A.M. Нахушев, С. М. Пономарев, С. П. Пулькин, О. А. Репин, К. Б. Сабитов, М. С. Салахитдинов, М. М. Смирнов, А. П. Солдатов, Р. С. Хайруллин, Хе Кан Чер, Л. И. Чибрикова, Б. Н. Бурмистров и другие. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.

Задачей Геллерстедта для уравнений смешанного типа занимались Ф. И. Франкль [75], М. А. Лаврентьев, А. В. Бицадзе [5, 37], C.S. Morawetz [85], A.M. Нахушев [48], В. Ф. Волкодавов, М. Е. Лернер [11], С.С. Исаму-хамедов [18], Хе Кан Чер [77, 79], Т. Ш. Кальменов [20], М. М. Смирнов [70], В. И. Жегалов [15], Е. И. Моисеев [44, 45], Т. Д. Джураев, Ю. П. Апаков [14], М.С. С’алахитдинов, Н. К. Мамадалиев [68], Н. Б. Плещинский [49, 50]. К. А. Губайдуллин [12], А. А. Косовец [22], А. А. Полосин [51] ж другие.

S. Gellerstedt [81] для уравнения

Утихх + иуу = 0, (0.1) где т — натуральное нечетное число, в области D, ограниченной простой кривой Жордана Г, лежащей в полуплоскости у > Ос концами в точках, 4j (-/j.(!) и ^4.2(^2,0), а при у < 0 — характеристиками АС, СЕ, EC< е < а^ исследовал краевые задачи с данными на Г U АС U А2С2 (задача G1) pi с данными на Г U СЕ U ЕС-2 (задача G'2). Существование упомянутых задач доказано методом интегральных уравнений в случае, когда Г совпадает с «нормальной» кривой Го: т + iy

Для уравнения М. А. Лаврентьева sgn у • ихх + иуу= 0 задача G подробно изучена А. В. Бицадзе [5]. Причем в этой работе единственность решения задачи Геллерстедта доказана на основании принципа экстремума при произвольной кривой Г, но при некоторых ограничениях на поведение производных их й^в малой окрестности точки Е.

В работах C.S. Morawetz [85, 86] единственность решения задачи G'2 для уравнения Чаплыгина

К (у)иххjиуу = 0, где у К (у) > 0 при у > 0, К{ 0) = 0, К1 (у) > 0, К (у) — достаточно гладкая функция, доказывается методом вспомогательных функций и «аЬс» при некоторых ограничениях на рост градиента решения в окрестности точек Ai, Е и А2 и кривую Г. Например, кривая Г должна быть звездной относительно точки Е.

В.Ф. Волкодавов, М. Е. Лернер [11] для уравнения sgny • утихх + иуу = 0, т > 0, ах = -1, а2 = 1 доказали единственность решения задачи G методом экстремума при произвольной кривой Г, но при условии, что

1У+(х) = — 1 < X < 1, где

1У+(х) = Ит^ж,?/), v-(x) =^Ито иу (х, у), хфе ж при условии: lirn v{x) — lim U-(x). x-^e-Q ж—"e+0

Xe Кан Чер [77] рассмотрел задачу G1 для уравнения 1 уиуу + ихх + виу = О, — < в < 1, ai = -1, а2 = 1. (0.2)

Доказательство единственности решения задачи G проведено на основе принципа экстремума прп произвольной кривой Г, но при условии, что пределы lim v^ix), lim V-{x) существуют, и х^е—0 х—>е+0 v+{x) — v-(x), —1 < х < е, е < х < 1, где г/(ж) = lim (-yfuy{x1y)) v+(x) = lim у^иу (х, у). у—U j/—+U+U

В случае, когда эллиптическая граница области оканчивается двумя сколь угодно малой длины дужками параболы х2 + 4у = 1, а в остальной части отклоняется от данной параболы наружу, показано существование решения задачи G методом интегральных уравнений.

С.С. Исамухамедов [18] изучил задачу Gi для уравнения (0.2) в случае, когда Г совпадает с «нормальной» кривой Го. М. М. Смирнов [70] для уравнения sgn у • утихх + иуу = 0, т > 0 установил справедливость принципа экстремума. Из которого следует единственность решения задач Gi и G'2, когда Г — произвольная кривая и производные их и иу решения могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы в окрестности точек Ai, Е и А^. Следует отметить, что здесь при доказательстве принципа экстремума используется явные формулы решений задач Хольмгрена и Дарбу в областях эллиптичности и гиперболичности соответственно. Существование решения задачи доказано для случая, когда кривая Г совпадает с «нормальной» кривой Г{].

Отметим также работу А. А. Косовец [22], где доказана единственность решения задачи G2 для уравнения

K{y)i'xx + vyy — 11 г — ./'. [I G С при произвольной кривой Г, но при условии, что К (у) 6 C%mm, 0] П С^Утах], У К {у) > 0 при у ф 0 И lim К (у) = К+ > 0, lini К (у) = А' <0, 11 т ц < k Refi, у->+0 у-*-0 где к удовлетворяет неравенству

0 < А- < 3?1±А№ЁО"

2 /2со где cq = inf (1/К (у))., с2 = sup (1/К (у)). y? D{K) y? D{K)

Методом разделения переменных Е. И. Моисеев [44, 45] построил решение задач G и G’y с нулевыми граничными условиями на характеристиках для уравнения sgn у ¦ ихх + иуу = 0 (0.3) в виде суммы биортогоналъных рядов в случае, когда область эллиптичности является полукругом. Доказана равномерная сходимость полученных рядов и возможность почленного дифференцирования их.

А.А. Полосин [51] для уравнения (0.3) в области Q, ограниченной при у > 0 дугой Г окружности х1—у1 — 1, а при у < 0 — отрезками характеристик, выходящих из точек А{-1,0), М (-½, 0), 0(0,0), N (½, 0) ж ?(1,0), исследовал задачу: найти регулярное решение уравнения (0.3), удовлетворяющее граничным условиям: = 0, i = 1,4, где L = {(х, у) х + у = -1,-1 < х < -¾}, L2 = {(х, у) х-у = 0,-¼ < х < 0}, Ьг = {{х, у) х + у = 0,0 < х < ¼}, U = {{х, у) х — у = 1,¾ < х < 1}- u|r = /(#), 0 < в < 7 Г, / е Са[0,7г], /(0) = /(тг) = 0. Решение этой задачи строится с помощью метода разделения переменных и сведения к задаче Римана-Гильберта для круга. Единственность решения задачи доказана на основе принципа экстремума А. В. Бицадзе.

R.J. Michael [84] для уравнения

К{у)ихх + иуу + r (x, y) u = f (x, y), где у К (у) > 0 при у ф 0, исследовал задачу с условиями Дирихле на Г, АС^ ЕС2 и задачу с условиями на Г, СЕ, А2С2 в случае, когда кривая Г совпадает с параболой. Для этих задач даются условия, при которых квазирегулярное решение из класса C'2(D) П C (D) единственно. Устанавливается существование слабого решения в пространстве W™{D).

В работе Т. Д. Джураева, Ю. П. Апакова [14] показано существование и единственность решения задачи Геллерстедта для парабологиперболического уравнения

0 | Vy — vxx — vZZly > О Vyy — (-y)m{Vzx + vzz), 1,1 < 0. /// > 0 в бесконечной цилиндрической области.

В работе М. С. Салахитдинова, Н. К. Мамадалиева [68] изучена задача Геллерстедта для уравнения параболо — гиперболического типа второго рода.

Целью данной работы является исследование следующих вопросов:

1) установление экстремальных свойств решения общих линейных уравнений смешанного типа и применение этих свойств при изучении задач Геллерстедта-

2) доказательство существования обобщенного решения задач Геллерстедта для обшего линейного уравнения смешанного типа при произвольном подходе эллиптической части границы области к линии изменения типа-

3) построение системы собстенных функций задачи Геллерстедта для оператора Лаврентьева-Бицадзе и исследование на полноту-

4) решение задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе методом спектрального анализа-

5) исследование системы собственных функций задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа со степенным вырождением.

Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав.

В главе 1 установлен принцип экстремума для общего уравнения смешанного типа с гладкой линией изменения типа в классе его регулярных и обобщенных решений в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом смешанной области при некоторых условиях на коэффициенты изучаемого уравнения. Приводятся применения экстремальных свойств при исследовании задач Геллерстедта. В § 1.1 для уравнения смешанного типа

Lu = К (у)ихх + иуу + А (х, у) их + В (х, у) иу + С (х, у) и = F (x, y), (0.4) где у К (у) > 0 при уф 0, К {у), А (х, у), В (х, у), С (х, у), F (x, y) — заданные достаточно гладкие функции, в области D, ограниченной простой кривой Жордана Г, лежащей в полуплоскости у > Ос концами в точках Ai (ai, 0) и А2(а2,0), а < 0, а^ > 0, характеристиками АС, СЕ, ЕС'?, С2А2 уравнения (0.4) щшу < 0, где £(е, 0), а < е < а2, С Vci) i 'Уа < 0 и C^i22^, Ус,)> Ус2 < 0? ставится задачи Геллерстедта.

Задача G. Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: и{х} у)? C (D) n С1^) n CD0 и Di U D2), (0.5)

Lul.r.y) ~ F (x, у), (х, у) G U A U D% (0.6) и (х, у) = р (х, у), (х, у) еТ, (0.7) и (х, у) = ф!(х, у), (х, у) Е AlC1UA2C2, (0.8) где <�р и — заданные достаточно гладкие функции, (р{А) = il>i (Ai) и (р (А2) = 4>i{A2), Do = D П {у > 0}, Dl = D П {у < 0, х < е} и D2 = D П {у < 0, х > е}.

Задача G2. Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям (0.5)-(0.7) и и (х, у) = ф2{х, у), (х, у) еС^ЕиТЩ, (0.9) где (р и ф2 — заданные достаточно гладкие функции.

В § 1.2 в эллиптической области доказаны утверждения о знаке производной по нормали в точке максимума и вблизи точки изолированного максимума решения уравнения (0.4) на линии вырождения.

Лемма 1.2. Пусть: 1) в области Dq коэффициенты уравнения (0.4) ограничены, и С (х, у) < 0- 2) и{х, у) G С (Щ П Cl (D0 U АХЕ U ЕА2) П Cy2(D0), Lu = F > 0(< 0) в D0- 3) итхи (х, у) = u (Q) >

Do

0 (тши (х}у) = u (Q) < 0) — 4) функция и (хуу) имеет, изолированный Do положительный максимум (отрицательный минимум) u (Q) в точке Е- 5) в малой окрестности точки Е: а) функция К{у)и2х + и2у суммируемаб) производные Ах и BXJ непрерывны вплоть до границыв) 2С — Ах — Ву < 0, В (х, 0) > 0. Тогда в любой выколотой окрестности U С ODq тючки Е найдется точка Q = (^i, 0) G U такая, что уНтоггу (жьу)<0(>0).

В § 1.3 для уравнения (0.4) в областях гиперболичности при некоторых условиях показано, что максимум решения и (х, у) по D и D<2 достигается на отрезке параболического вырождения.

В § 1.4 установлены экстремальные свойства решений уравнения (0.4) в классе регулярных решений в смешанной области.

Определение 1.2. Регулярным из класса R{D) решением уравнения (0−4) назовем функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям:

1) и (х, у) G C (D) П С1 (13) —

2) и (х, у) G С2(D0) и Lu (x, y) = F (x, y) в D0-

3) и (х, у) в областях D и D% является решением уравнения (0−4) в характеристических координатах (?,//) —

4) производные и^ и и^ в характеристических координатах (?,?/) непрерывны в D\AE и D^AzE соответственно.

Определение 1.3. Регулярным из класса R^D) решением уравнения (0−4) назовем функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям 1)-3) определения 1.2 и, кроме того, производные щ и щ в характеристических координатах (?,??) непрерывны в D\AE и D2A^E соответственно.

При некоторых ограничениях на коэффициенты уравнения (0.4) доказано следующее утверждение: если и (х, у) — регулярное из класса R (D) (R, 2(D)) решение уравнения (0./[), равное нулю на характеристиках АС и А2С2 (СЕ и ЕСъ), то положительный шахи (отрицательD ный 11Ш1 и) достигается на кривой Г. D

Из этого утверждения следует единственность решения задач G и при произвольной эллиптической границе Г, положительность решений уравнения (0.4) в области Z), аналог неравенства Чаплыгина.

В § 1.5 доказан принцип экстремума для уравнения (0.4) в классе обобщенных решений.

Определение 1.4. Обобщенным, из класса Qi (D) [Q2{D) решением уравнения (0−4) будем называть функцию и (х, у)} если существует последовательность регулярных решений {up (xJy)} уравнения (0−4) из R (D) [R2(D)], равномерно сходящаяся к и (х, у) в замкнутой области D.

Утверждения о принципе экстремума, полученные в § 1.4, переносятся в класс обобщенных решений уравнения (0.4), из которых следует единственность обобщенного решения задач G и G2 без каких-либо ограничений геометрического характера на кривую Г.

В § 1.6 приведены примеры модельных уравнений смешанного типа: п — 1 щпу ¦ упихх Hr Uyy + аоу~их = F (x, y), п > 0, aQ = const, sgnу ¦ + Uyy — Xu — F (x, y), Л = const, uxx + sgn у ¦ ulfy — Xu = F{x, y), Л = const, для которых показано применение теорем, установленных выше.

В § 1.7 рассматривается уравнение

Lu = sgnу • |упихх + иуу 4- Аих + Виу + Си — 0, п > О (0.10) в области D. Пусть х = x (s), y = y (s) — параметрические уравнения кривой Г из класса Ляпуноваs — длина дуги, отсчитываемой от точки А2 против часовой стрелкиS — длина кривой ГГд — «нормальная» кривая, заданная уравнением и, кроме того, предположим, что для уравнения (0.10) выполнен принцип экстремума.

Определение 1.5. Регулярное из класса R (D) [R^D)] решение уравнения (0.10), удовлетворяющее граничным условиям (0.7) и (0.8), [(0.7) и (0.9)], назовем регулярным решением задачи G [G2].

Определение 1.6. Равномерный в D предел последовательности регулярных решений задачи G [G2] назовем обобщенным решением задачи G [G2].

Теорема 1.8. Пусть в области D при условии, когда кривая Г оканчивается в т, очках, А и, А 2 сколь угодно малыми дугами кривой Го, существует регулярное в D решение задачи G для уравнения (0.10). Тогда, если функция cp (s)? С[0, S] и ф{х) достаточно гладкая (т.е. функция Ф (х) такова, что при достаточно гладкой функции ip (s) выполнено условие т. еоремы 1.8) на [a-i, U l^f2″ -, а2]> Ф{а1) = V*i (a2) — (0) =

Отметим, что в случае задачи G2 теорема 1.8 формулируется аналогично.

Доказательство этих утверждений проводится на основании принципа экстремума альтернирующим методом типа Шварца.

В § 1.8 для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в области D доказан принцип экстремума. И на основании альтернирующего процесса типа Шварца доказано существование и единственность регулярных решений задач G’i и G2 при произвольном подходе кривой Г из класса Ляпунова к оси у = 0, за исключением случаев, когда в достаточно малых окрестностях концов эллиптической границы производная dx/ds меняет знак и dy/ds = 0.

Ранее альтернирующий метод типа Шварца был применен для доказательства теорем существования задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе [7], для уравнения Трикоми [2] и общего уравнения смешанного типа [58].

В § 1.9 устанавливается единственность регулярного решения задачи G1 для уравнения

Ьи = К{у)ихх + иуу — Х (у)и = 0, (0.11) где у К (у) > 0 при уф 0, К (у), X (у) ~ заданные функции, в области D (ai = 0, a2 = 1).

Теорема 1.10. Пусть: 1) на кривой Г отсутствуют точки, при переходе которых ni (s) меняет знак, а П2(з) = 1- 2) К (у)? С[ут{п, 0] П С1[утт, 0) П С[Ъ, утах] П С1 у max)', 3) фуНКЦЧЯ Цу)? С[утЫ, Утах]™а-кова, что существует решение ji (y) уравнения Риккати у) + /i2(y) = Цу), Vmin < У < Утах из класса С1[ут-т^утах]. Тогда, если существует регулярное в области D решение задачи G для уравнения (0.11), то оно единственно, где п = (щ, П2) — единичный вектор внутренней нормали к границе области D, п (s) — —dy/ds, 712(5) = dx/ds.

В главе 2 изучены спектральные свойства решений задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе и показаны применения этих свойств при построении решения задачи Геллерстедта.

Спектральной теорией основных краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Е. И. Моисеев [44, 47], С. М. Пономарев [52, 53], Т. Ш. Кальменов [19, 20], К. Б. Сабитов, А. А. Карамова [62], Я. Н. Мамедов [39, 40], В. З. Вагапов [8].

В § 2.1 рассматривается уравнение где, А — комплексный параметр, в области D, ограниченной простой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках А{—1,0) и ^2(1,0) и характеристиками AiC{x + у = —1), С (х — у = 0), ОС2(х + у — 0), С2А2{х — у = 1) уравнения (0.12) при у < 0, где

Ci (-l/2—l/2), О (0- 0), С2(½—½).

Обозначим Do = D П {у > 0}. D} = D П {ж < 0, у < 0}, D2 = Df){x > 0, у < 0}.

В области D для уравнения (0.12) поставим следующую спектральную задачу (Задача G).

Задача G. Найти значения комплексного параметра, А и соответствующие функции и (х, у), удовлетворяющие условиям:

Lu = ихх + sgn у • иуу + Хи = 0,

0.12) и (хГ, у) е C (D) n CD) П C2(D0 UDiU D2)

0.13)

Lu (x, y) = 0, (х, у) E D0UV1UD2 u (x, y)= 0, (x, y) er, tiix. m о. (x, y) ec1ouoc2.

0.14) (0.15) (0.16)

Предварительно для уравнения (0.12) в областях D и D2 строятся в явном виде решения задач Дарбу [57]. На основании этих решений задача G сводится к новой нелокальной спектральной задаче для оператора Лапласа в области Dq: найт. и значения комплексного параметра X и соответствующие им, собственные функции и (х, у), удовлетворяющие условиям (0.13)-(0.15) и о иу{х, 0) + их (х70) = А [ u (t, 0)7l[VX{t — x))dt, -1 < ж < 0, и. ь я, 0) — их (х, 0) = X j u (t, 0)7i[V{x — t)]dt, 0 < х < 1, где J{z) — J{z)fz, J (z) — функция Бесселя, л/Х > 0 при X > 0.

В случае, когда область эллиптичности является полукругом с центром в начале координат, методом разделения переменных найдены собственные значения

Л, апт, ?7, т = 1,2,., где апт — ш-й корень уравнения Jlin (a) — 0, рп = п — ½, и соответствующие им собственные функции

Unm (x, y) =

Хцт?

CnmJцп 1) Cfim (] J cOSHnip + sinpn

Hn

-'Tim

J, in

Xnm{x'2 — y2) J, G Di, yjnm (x2 — y2)}, (ж, у) e D2,

0.17) где cnm = const, n G N, ж = rcos^p, у = rsimp в области Aj.

Исследован вопрос о полноте в пространствах L2{Dq), L2(D), L2(D2) и L2(D) системы собственных функций (0.17).

Теорема 2.3.Система собственных функций (0.17) задачи G полна в пространстве L2(Dq).

Теорема 2.4. Подсистема собственных функций (0.17) задачи G при п = 2, 3, • • • полна в ^(-С^)

Теорема 2.5. Подсистема собственных функций (0.17) задачи G при п = 2, 3, • • • полна в I^/Di).

Теорема 2.6. Система собственных функций (0.17) задачи G не полна в L^(D).

В §§ 2.2—2.4 на основании работ [43, 44] показаны применения системы собственных функций при построении решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе.

В § 2.2 рассмотрено уравнение в области Z), ограниченной частью окружности Г (х2 + у2 = 1, у > 0), а при у < 0 — характеристиками АС, С, ОС’з, С2А2 уравнения (0.18),

Задача G-2- Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям:

Теорема 2.7. Если f (ip) <= Са[0,тг], 0 < с* < 1, /(0) = /(тг) = 0, то

Lu ЕЕ ихх + sgn у ¦ Uyy = 0

0.18) где Ai (-1, 0), А2(1,0), С (-½, -½), С2(½, -½).

0.13),(0.14), (0.16) и

Ф, у] = V (r, = /(, <�р е [о, тг],

1 ' !)¦=[ г где f — заданная достаточно гладкая функция. существует решение задачи G^, которое имеет вид Е /пгМ sin[(n — ½ + тг/4], (г, у") СД, га=1

00, 1 vz п=1

1 ОО 1

4 Е + (x, y)6D2, у 1 П= 1 п— где /" определяются по (формуле

7Г

0.19)

2 (2 cos у/2)" ' ^ .

Б sr- / -il—m /~т 0 «» Ь 1) / = W/2 ^l^l-J-J, Ч = -j-,

771=0 ггрт этом и? С°°(Ц) U AiO U ОА2) П С°°(А U AiO) П С°°(£>2 U ОА2). В § 2.3 построено решение задачи G2 для уравнения

Lu = Ми + sgn • %(/ + Ли- = 0, Лес в области D.

Теорема 2.8. Если f (

<�а< 1, /(0) = /(тг) = 0, то существует решение задачи Gч для любого X ф Хп, т> и оно имеет вид:

Г fn 2- sill n=l 7Я*[>/А] 1N n-

2/

Г,

1 n 1

2"t чЖ + 3//

-.2 1,2 (яг, 2/)? Db l Ё

V2n=i U-г/У — 2/2)] (x, y)? ?>2, g (9e fn определяются no формуле (0.19), и при этом и (х, у)? C°°(Z)o U AiO U OA2) П U AiO) П C°°(D2 U OA2).

В § 2.4 для уравнения

LV = Vxx + sgn у ¦ Vyyf Vzz = 0 в области Q = D x (0,7г), где D — область плоскости R2xy, описанная в § 2.2, изучена следующая

Задача G. Найти функцию V (x, y, z), удовлетворяющую условиям:

V (x, у, z)? С (П) П Crl (fi) П C'2(Qq U Qi U П2), LV (x, y, z) = 0, (x, y, z)? Q0 U fix U02,

V (x, y, z)s = W (r,

V (x:y, z) y=x = 0, x G [-½, 0], G [0,7г],

V^,^)^, = 0, ж G [0,½], 2 G [0,7г], ^(я,^)^ = 0, где f — заданная достаточно гладкая функция, S = {ж2 + у2 ~ 1, у > 0, г G [0, тг] }, = П П {г/ > 0}, fii = О П {ж < 0, у < 0}, П2 = Q П {х > 0,2/<0}.

Теорема 2.9. Если функция f (

<�р удовлетворяет, на отрезке [0,7г] условию Гелъдера с показателем a G (0,1], а по переменной z на отрезке [0,тг] - условию Гелъдера с показателем [3 е (0,1], /(

PnM = Е fnk Sin[(fe — ½)9? + 71-/4], 9 G [о, 7Г] о, а функция Рп ((р) определяется по формуле Рп{<+>) = ~ J f ((p, z) sin nzdz, Ifjt (-) — модифицированная функция Бесселя.

ТГ

В главе 3 исследована спектральная задача G для уравнений смешанного типа со степенным вырождением. Найдены собственные значения и собственные функции задачи Gд. Построенная система собственных функций исследована на полноту.

В § 3.1 рассматривается задача G для уравнения

Lu = sgn у • утихх + иуу + sgn у ¦ утХ'2и = О, А Е С, то > 0 (0.20) в области D. аналогичной области из § 2.1, где AiCi, С, ОС% и С2А2 являются характеристиками уравнения (0.20).

На основании решения задачи Дарбу [21] для уравнения (0.20) в области D с граничными условиями: иу{х) 0) — v (x), х Е (—1,0), и (х. у) со — х? [—½, 0] и в области D2 с граничными условиями: иу (х, 0) = v (x), х Е (0,1), и (х, у) ос7 — 0, х Е [0,½] получены соотношения между функциями и (х, 0) и иу (х.0) на отрезках А () и ОА2 оси у = 0: и (х, 0) = d J Г. (),//. 0 < .г < 1. (0.21)

0 Iх Ч ! и (х, 0) = d -1 < X < 0, (0.22) х {1-Х) позволяющие свести задачу (0.13)-(0.16) к нелокальной спектральной задаче для уравнения (0.20) в области Dq: найти значения комплексного параметра Л и соответствующие им собственные функции и (х, у), удовлетворяющие условиям (0.13)-(0.15), (0.21) и (0.22). В (0.21) и (0−22) 0 = d = J-dz) = Г (1 — /*)<�§)>/-«<*),

J~p (z) — функция Бесселя.

В области Dq = {(:r, t/)[a:2+ уУт+2 < У > 0} методом разделения переменных найдены собственные значения Ап&и соответствующие им собственные функции задачи G:

Unk (x, y) = cnkr-'eJln (Хпкг) [(sill ' F Q + 7n, — 7n, sin2 +

Г (7п+/?)Г (3/2-/?) p + In, P-7n, + P sin21)], (r, 9) G Do,

Г (½ + Р) Г (1+<�уп-РУ

Г (3/2 — /?)Г (½ + 7n) б7 nfer (l + 2Тп) Г (½ — P — Ъ)° J" Mnka]X x (1 ~ (V + 7n, ½ + 7n, 1 + 27n-, (

2a Г (1 + 27п) Г (½ + p) x9~(^F (p + 7n, ½ + 7n, 1 + 27" — 1/0), 0) G

0.23) где 7n = n — ½, n G N, — действительные числа, — А:-й корень уравнения J7n (А) = 0.

В § 3.2 система собственных функций (0.23) исследована на полноту.

Теорема 3.1. Система собственных функций (0.23) задачи G полна в L2(D0).

1. Александров А. Д. Исследование о принципе максимума // Известия вузов. Математика. — 1958. — N 5. — С. 126−157.

2. Бабенко К. И. К теории уравнений смешанного типа: Дис.. д-ра физ.-мат. наук. М., 1952. — 195 с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1965. — 296 с.

4. Берс Л.- Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. — 351 с.

5. Бицадзе А. В. К проблеме уравнений смешанного типа. Труды Ма-тем. ин-та АН СССР. 1953. — Т. 41.

6. Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966. — 204 с.

7. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. — 448 с.

8. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций.I.- М: ИЛ, 1949. 799 с.

9. Веку, а В. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988. — 512 с.

10. Волкодавов В. Ф., Лернер М. Е. К вопросу о единственности решения задачи Геллерстедта // Дифференц. уравнения. Тр. пед-тов РСФСР. Вып. 6. Рязань, 1975. — С. 55−56.

11. Губайдуллин К. А. О единственности решения задач Геллерстедта для уравнения смешанного типа j j Материалы 27-й межвузовской научной конференции математических кафедр пед. институтов Уральской зоны. Ижевск, 1969. — С. 50−54.

12. Гурса Э. Курс математического анализа. Интегральные уравнения. Вариационные исчисление. Т. III, 4.2. М., 1934. — 318 с.

13. Джураев Т. Д., Апаков Ю. П. Задача Геллерстедта для параболо-гиперболического уравнения в трехмерном пространстве // Дифферент уравнения. 1990. — Т. 26, N 3. — С. 438−448.

14. Жегалов В. И. Одновременное обобщение задачи Трикоми и Геллерстедта // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск, 1981. — С. 58−61.

15. Жегалов В. И. Исследование краевых задач со смещением для уравнений смешанного типа. Автореф. дис.. д-ра физ.-мат. наук. -Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989. 28 с.

16. Забрейко П. П., А. И. Кошелев, Красносельский М. А., Михлин С. Г., Раковщик Л. С., Стеценко В. Я. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. — 448 с.

17. Исамухамедов С. С. Краевые задачи Геллерстедта для одного уравнения смешанного типа второго рода // Дифференц. уравнения с частными производными и их применения. Ташкент: Фан, 1977. — С. 33−40.

18. Калъменов Т. Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева Бицадзе // Дифференц. уравнения — 1977. — Т. 13, N 8. -С. 1718−1725.

19. Калъменов Т. Ш. О спектре задачи Геллерстедта //Теоретические и прикладные задачи математики и механики. Институт матем. и мех. АН Казах. ССР. 1977. — С. 167−169.

20. Капилевич М. Б. О функциях Грина-Римана для сингулярных задач Трикоми //Rev. Roumaine math pures et appl. 1966. — N 3. -C. 317−324.

21. Косовец А. А. Единственность решения задачи Трикоми для уравнения Чаплыгина с комплексным спектральным параметром: Ав-тореф. дне.. канд. физ.-мат. наук. М.: Изд-во МГУ, 1991. — 20 с.

22. Кожанов А. И., Ларъкин Н. А., Яненко Н. Н. Об одной регуляризации уравнений переменного типа // Докл. АН СССР 1980. -Т. 52, N 3. — С. 525−527.

23. Кучкарова (Байназарова) А.Н. К вопросу о единственности решения задачи Геллерстедта для уравнения типа Чаплыгина // Физика конденсированного состояния: Труды Всеросс. науч. конф. Т.1. Математические методы физики. Стерлитамак, 1997. — С. 10−13.

24. Кучкарова (Байназарова) А.Н. К вопросу о единственности решения задачи Геллерстедта для уравнения Чаплыгина // Тезисы Третьего Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ). Ч. 4. Новосибирск, 1998. — С. 7−8.

25. Кучкарова (Байназарова) А.Н. К вопросу о единственности решения задачи Геллерстедта для уравнения типа Чаплыгина // Проблемы математического образования в педвузах на современном этапе: Тезисы докладов науч.-практ. конф. Челябинск, 1998. — С. 5.

26. Кучкарова А. Н. Единственность решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа // Проблемы физикоматематического образования в педвузах России на современном этапе: Материалы Всеросс. науч.- практ. конф. Ч. 2. Магнитогорск, 1999. — С. 20−23.

27. Кучкарова А. Н. О спектральных свойствах задачи Геллерстедта для оператора Лаврентьева-Бицадзе // Понтрягинские докладыX. Современные методы в теории краевых задач: Тезисы докладов конф. Воронеж, 1999. — С. 149.

28. Кучкарова А. Н. Аналог задачи Геллерстедта для пространственного уравнения смешанного типа // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. III. Анализ и дифференциальные уравнения: Труды Междунар. науч. конф. Уфа, 2000. С. 121−125.

29. Кучкарова А. Н. Задача Геллерстедта для пространственного уравнения смешанного типа // Мат. моделир. в естеств. и гуманит. науках: Тезисы докладов Воронеж, зим. сими. Воронеж, 2000. — С. 132.

30. Кучкарова А. Н. К вопросу о единственности решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа // Ред. Сиб. мат. ж. СО РАН. Новосибирск, 2001, 21 с. Деп. в ВИНИТИ 29.08.2001. N 1915 В 2001.

31. Кучкарова А. Н. О полноте системы собственных функций задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа // Дифференциальные уравнения и их приложения: Труды Междунар. науч.конф. -Самара: СамГАСА, 2002. С. 208−211.

32. Лаврентьев М. А., Бицадзе А. В. К проблеме уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1950. — Т. 70, N 3. — С. 373−376.

33. Лаврентьев М. М. О задаче Коши для линейных эллиптических уравнений второго порядка // Докл. АН СССР. 1957. — Т. 112, N 2. — С. 195−197.

34. Мамедов Я. Н. О некоторых задачах на собственные значения для уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1990. -Т. 26, N 1. — С. 163−168.

35. Мамедов Я. Н. К задаче на собственные значения для уравнений смешанного типа // Дифферент уравнения. 1993. — Т. 29, N 1. -С. 95−103.

36. Майоров И. В. Распространение теоремы С. А. Чаплыгина о дифференциальных неравенствах на уравнения смешанного типа. // Уч. зап. Волгоградского госпед. ин-та. Волгоград, 1959. — С. 75−80.

37. Майоров И. В. К вопросу о принципе максимума и его следствиях для уравнений смешанного типа // Волж. матем. сборник. Вып. 1. Куйбышев, 1963. — С. 145−155.

38. Моисеев Е. И. О базисности одной системы синусов // Дифферент уравнения, — 1987. Т. 23, N 1. — С. 177−179.

39. Моисеев Е. И. Решение задачи Трикоми в специальных областях // Дифференц. уравнения, — 1990. Т. 26, N 1. С. 93−1003.

40. Моисеев Е. И. Применение метода разделения переменных для решения уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения. -1990. Т. 26, N 7. — С. 1160−1172.

41. Моисеев Е. И. О представлении решения задачи Трикоми в виде биортогонального ряда // Дифференц. уравнения. 1991. — Т. 27, N 7. — С, 1229−1237.

42. Моисеев Е. И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1992. — Т. 28, N 1. -С.110−121.

43. Нахушев A.M. Об одном трехмерном аналоге задачи Геллерстедта // Дифферент уравнения. 1968. — Т. 4, N 1. — С. 52−62.

44. Плещинский Н. Б. Об эквивалентности задачи типа Геллерстедта задаче Римана для системы функций / Труды семинара по краевым задачам. Вып. 14. Казань: Изд-во КГУ, 1977. — С. 194−205.

45. Плещинский Н. Б. Применение метода спектральных уравнений к решению задачи типа Геллерстедта / Труды семинара по краевым задачам. Вып. 18. Казань: Изд-во КГУ, 1982. — С. 144−155.

46. Полосин А. А. О разложении решения обобщенной задачи Геллерстедта в биортогональный ряд // Дифферент уравнения. 1996.Т. 32, N 1. — С. 435−437.

47. Пономарев С. М. К задаче на собственные значения // Докл. АН СССР. 1977, — Т. 233, N 1. — С. 39−40.

48. Пономарев С. М. К задаче на собственные значения // Докл. АН СССР. 1977, — Т. 235, N 5. — С.1020−1021.

49. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. 752 с.

50. Сабитов К. Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа // Дифферент уравнения, — 1988. Т. 24, N 11. — С. 1967;1976.

51. Сабитов К. Б. О спектре одной газодинамической задачи Франкля для уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР 1991. Т. 316, N 1, — С. 40−44.

52. Сабитов К. Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении: инеграль-ных уравнений. I // Дифференц. уравнения.- 1990. Т. 26, N б. -С. 1023−1032.

53. Сабитов К. Б. Альтернирующий метод типа Шварца в теории уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1992. — Т. 322, N 3. — С. 476−480.

54. Сабит. ов К. Б. К вопросу о существовании решения задачи Трикоми //Дифференц.уравнения. 1992. — Т. 28, N 12. — С. 2092;2101.

55. Сабитов К. Б., Капустин Н. Ю. УравнениеРикатти в теории уравнений смешанного типа // ДАН 1990. — Т. 314, N 6. — С. 1307−1311.

56. Сабитов К. Б., Капустин Н. Ю. О решении одной проблемы в теории задачи Франкля для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1991. — Т. 27, N 1. — С. 60−68.

57. Сабитов К. Б., Карам. ова А. А. Спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа и их применения // Известия РАН. Серия математическая 2001. — N 4. — С. 133−150.

58. Сабитов К. Б., Кучкарова А. Н. О единственности решения задачи Геллерстедта для уравнения типа Чаплыгина // Материалы II Уральской региональной межвузовской научно-практической конференции. 4.2. Уфа, 1997. — С. 6.

59. Сабитов К. Б., Кучкарова А. Н. Спектральные свойства решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа и их применения // Сиб. мат. ж. 2001. — Т. 42, N 5. — С. 1147−1161.

60. Сабитов К. Б., Мукминов Ф. Х. О знаке производной по конормали вблизи точки максимума решения вырождающихся эллиптических уравнений // Дифференц. уравнения. 2000. — Т. 36, N 6. — С. 844 847.

61. Салахитдинов М. С., Мамадалиев Н. К. Задача Геллерстедта для уравнения параболо-гиперболического типа второго рода //Тезисы Третьего Сибирского конгресса по прикладной математике (ИНПРИМ). 4.4. Новосибирск, 1998. — С. 36−37.

62. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. -М.: Наука, 1966. 292 с.

63. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. -М.: Высшая школа, 1985. 304 с.

64. Солдатов А. П. Решение одной краевой задачи теории функций со смещением // Дифференц. уравнения. 1974. — Т. 10, N 1. — С. 143— 152.

65. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. M.-JI.: Гостехиздат, 1947. — 192 с.

66. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: ИЛ, 1957. — 443 с.

67. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч. II. Трансцендентные функции. М.: Физматгиз, 1963. — 516 с.

68. Франклъ Ф. И. О задачах С. А. Чаплыгина для смешанных дои сверхзвуковых течений j j Изв. АН СССР. Сер. мат. 1945. — Т. 9, N 2. — С. 121−142.

69. Хайруллин Р. С. О задаче Трикоми для уравнения второго рода / / Дифференц. уравнения. 1995. — Т. 31, N 5. — С. 894−895.

70. Хе Каи Чер. О задаче Геллерстедта // Тр. семинара С. Л. Соболева. Новосибирск, 1976. N 2. — С. 139−145.

71. Хе Каи Чер. О задаче Геллерстедта для одного уравнения смешанного типа // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1976. N 26. С. 134−141.

72. Хе Каи Чер. О единственности решения задачи Геллерстедта для одного уравнения смешанного типа // Сиб. мат. ж. 1977. — Т. 18, N 6. — С. 1426−1429.

73. Agmon S., Nirenberg L., Protter M.N. A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptichyperbolic type // Comm. Appl. Math. 1953. — V. 6, N 4, -P. 455−470.

74. Gellerstedt S. Sur on probleme aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de type mixte: These pour le doctorat. Uppsala, 1935. — 92 p.

75. Gellerstedt S. Quelques problemes mixtes pour l’equation ymzxx+zyy = 0 // Arkiv Mat. och Fysik, 1938. — В 26A, N 3. — P. 1−32.

76. Hopf E.A. A remark on linear elliptic differential equations of second order // Proc. Amer. Math. Soc. 1952. — V. 3, P. 791−793.

77. Michael R.J. The will-posed Tricomi problem of two kinds // J. Math, and Phys. Sci. 1993. — V. 27, N 6. — P. 383−393.

78. Morawetz C.S. A uniqueness theorem for the frankl problem // Communs pure ahd Appl. Math. 1954. — У. 7, N 4. — P. 697−703.

79. Morawetz C.S. Note oil maximum principle and a uniqueness theorem for on elliptic-hyperbolic equation // Proc. Roy. Soc. 1956. — V. 236, N 1024. — P. 141−144.