ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² написании студСнчСских Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚
АнтистрСссовый сСрвис

ИсслСдованиС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСмы Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с постоянной ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ

ΠšΡƒΡ€ΡΠΎΠ²Π°ΡΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈΠ£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² разлоТСния ряда Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, графичСски сравнивая ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (см. ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅). Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π½Π°ΡˆΠ΅ΠΌ случаС срСди характСристичСских чисСл ΠΏΡ€ΠΈΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚, ΠΊΠ°ΠΊ комплСксно-сопряТСнныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π» = 2 —?? Π» = 2 + ?, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π» = -1? Π» = 1… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ >

ИсслСдованиС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСмы Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с постоянной ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсовая, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ)

1.

Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

.

2. ΠŸΠΎΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

3. НахоТдСниС собствСнных чисСл ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π€Π‘Π .

4. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°.

5. НахоТдСниС ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΡ‘Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ряда.

6. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ.

7. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Коши для ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°.

8. РСшСниС Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ систСмы.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ.

Π—Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

.

1. Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Рассмотрим систСму Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка, Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ Π² Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅:

(1).

Π³Π΄Π΅ коэффициСнты Π°ij, i=1,2,…, n, ΠΊ=1,2,…, n, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ постоянными Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ;

yi=yi(t), i=1,2,…, n — нСизвСстныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ t.

Если всС bi(t) (i=1,2,…, n) ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π½ΡƒΠ»ΡŽ (bi(t)=0), Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ся однородная систСма, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ систСмС (1).

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ систСмы Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· А (Ρ…), Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° систСму (1) ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

(1Π°).

Если, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ систСму ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

. (2).

Всякая ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ n Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Ρ… Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (a;b), называСтся Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ систСмы (1) Π² ΡΡ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅, Ссли ΠΎΠ½Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ всС уравнСния систСмы (1) Π² Ρ‚оТдСства:

справСдливыС ΠΏΡ€ΠΈ всСх значСниях x ΠΈΠ· ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° (a, b). ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ систСмы прСдставляСт собой сумму ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ систСмы ΠΈ Ρ‡Π°ΡΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

2. ΠŸΠΎΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

ЦСль Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹: исслСдованиС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСмы Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΠΎΡΡ‚оянной ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ:

;;

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅.

1. Найти собствСнныС числа ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ систСму Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (Π€Π‘Π ).

2. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°.

3. Найти ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ряда.

4. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π–ΠΎΡ€Π΄Π°Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, А ΠΎΡ‚ Π΅Π΅ собствСнных чисСл.

5. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Коши.

ΠΠ°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ условия:

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… условий: [1, 2, 3, 4].

t = 0.

3. НахоТдСниС собствСнных чисСл ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π€Π‘Π .

ΠžΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ систСмой Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ называСтся систСма ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π°:

(3).

Если Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ систСмы всС =const, Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π½Π½Π°Ρ систСма называСтся систСмой с ΠΏΠΎΡΡ‚оянными коэффициСнтами ΠΈΠ»ΠΈ с ΠΏΠΎΡΡ‚оянной ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ.

Π€ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмой Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ называСтся базис Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ пространства Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‚. Π΅. n Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ нСзависимых Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ этой систСмы.

Для построСния Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ собствСнныС числа характСристичСского ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ ΠΈΡ… Π²ΠΈΠ΄Π° (характСристичСскиС числа ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, комплСксными) строится Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ систСма Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ эта систСма n Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с n Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π»Π° Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ систСмы (вронскиан) Π±Ρ‹Π» Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ:

(4).

Из ΡΡ‚ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния стСпСни n ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ‚ся Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ k, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… систСма ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (4) называСтся характСристичСским.

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ характСристичСский ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ, для этого Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ CHARPOLY.

Для нахоТдСния собствСнных чисСл Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ SOLVE (U,), которая Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ характСристичСскиС числа ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, А Π² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ Π΄Π²Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ корня ΠΈ Π΄Π²Π° комплСксно-сопряТСнных корня. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ, для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ для ΠΈ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ для. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Π€Π‘Π  для Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… для ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… характСристичСских чисСл:

ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ yx, столбцами ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ систСму, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ.

И ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ систСмы Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

НайдСм Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ систСмы с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°.

4. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ.

РСшСниС систСмы (1) находится Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:

(5).

Ѐункция (5) являСтся Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ систСмы (1), Ссли — собствСнноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ А, Π°, Π° — собствСнный Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ этой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ числу. Если собствСнныС значСния 1, 2, … ,n ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, А ΠΏΠΎΠΏΠ°Ρ€Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ ΠΈ a1, a2, …, an ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ собствСнныС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ этой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (1) опрСдСляСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ :

Π³Π΄Π΅ Π‘1, Π‘2, …, Π‘n — ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа.

Для случая ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ систСмы ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄.

(6).

Π³Π΄Π΅ Pi (x)-ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ‹ стСпСни Π½Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, Ρ‡Π΅ΠΌ (ΠΊ-1), ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π² ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… коэффициСнтов. Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ срСди коэффициСнтов этих ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ² ΠΊ ΠΊΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, Π° ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠ΅ΡΡ ΠΊΒ· n-k Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½ΠΈΡ…. Для отыскания коэффициСнтов ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ² подставим Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (6) Π² ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ систСму ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, приравняСм коэффициСнты ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… функциях. РСшим систСму ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ (kΒ· n-k) коэффициСнтов. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ всСх коэффициСнтов Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· свободныС.

Если для ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ собствСнного значСния ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, А ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ся ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ нСзависимых собствСнных Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΠΌΡƒ соотвСтствуСт k Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ исходной систСмы:

Если для собствСнного значСния кратности k ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ m (m.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (4) Π² ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΡƒ (3). ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΡΠ² коэффициСнты ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ частях систСмы, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ для нахоТдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² .

Для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ задания Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ‹ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ собствСнныС значСния:

.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ систСму Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ:

НайдСм 1 строку Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ для характСристичСского числа. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡŽ строку Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:

Π“Π΄Π΅ Π°ij Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ:

ΠΈΠ»ΠΈ.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°:

РСшаСм систСму:

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ:

Π”ΠΎΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° пСрвая строка Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄:

Аналогично Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ строку Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ характСристичСского числа -1. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния:

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° вторая строка Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄:

НайдСм Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡŽ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡƒΡŽ строки Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ характСристичСского числа. БопряТСнный ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π΅ ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… вСщСствСнных Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ нСзависимых частных Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния:

ΠžΡ‚Π΄Π΅Π»ΡΡ Π² Π½Π΅ΠΌ вСщСствСнныС ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ части, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π΄Π²Π° вСщСствСнных Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ строки Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Аналогично ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ 3:

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ:

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Ρ‚Ρ€Π°Π½ΡΠΏΠΎΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ свободных коэффициСнтов ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ исходной систСмы:

Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΡƒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ-столбСц:

Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ.

5. НахоТдСниС ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΡ‘Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ряда.

Π”Π°Π΄ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ ряду ΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ряды. Рассмотрим Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†, ,. Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† сходится ΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ А:

.

Ссли ΠΏΡ€ΠΈ. Из ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† эквивалСнтна поэлСмСнтной сходимости. ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ рядом называСтся символ, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ этот ряд сходится ΠΊ ΡΡƒΠΌΠΌΠ΅, Ссли ΠΊ f ΡΡ…одится ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ частичных сумм Sk, Π³Π΄Π΅.

.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, А ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

(k Ρ€Π°Π·).

Рассмотрим ряд, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ стСпСнным:

, ,.

Π³Π΄Π΅ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ A0 = En.

Π­ΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π’ ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° рассмотрим стСпСнной ряд, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ:

.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ радиус сходимости ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ числового ряда.

Π Π°Π²Π΅Π½ бСсконСчности, Ρ‚ΠΎ Ρ€ΡΠ΄ сходится ΠΏΡ€ΠΈ всСх А. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ряда называСтся ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ (экспонСнтой) ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· СА, Ссли Π΅Ρ…Ρ€{А}.

ΠŸΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ряда:

ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… условий y0=[y1, y2, …yk].

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° являСтся ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ Коши Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅.

ЭкспонСнтой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, А Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся сумма ряда Π³Π΄Π΅ Π• — Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°.

ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° являСтся Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Коши:

Ρ‚.Π΅. являСтся Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ систСмы.

НайдСм Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ряда ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΌΠΈ, восьми ΠΈ Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌ.

для получСния разлоТСния ΠΏΠΎ 7 ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌ (Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ ΠΏΠΎ 8,10 ΠΈ 10). Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠ²Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° 4*4. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… условий S=[1,2,3,4] ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ряда.

ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² разлоТСния ряда Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, графичСски сравнивая ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (см. ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅).

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… условий ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ряда, запишСм ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для n=7.

[s1? 1, s2? 2, s3? 3, s4? 4].

6. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ.

ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (1) основан Π½Π° Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ отыскании Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ этой систСмы.

ЭкспонСнтой eA ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, А Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся сумма ряда Π³Π΄Π΅ Π• — Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°.

Бвойство ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ экспонСнты:

Π°) Ссли АВ=ВА, Ρ‚ΠΎ СА+Π’=СА*Π΅Π’= Π΅Π’ *СА;

Π±) Ссли А=S-1*B*S, Ρ‚ΠΎ СА=S-1*eB*S, Π³Π΄Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° S — это ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° прСобразования ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ· ΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ базиса Π² Π±Π°Π·ΠΈΡ исходных ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ….

Π²) ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° y (t)=eAt являСтся Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Коши:

Ρ‚.Π΅. являСтся Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ систСмы (1).

Из ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡ‚Π²Π° Π²) слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ y (t) систСмы (1) ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ y (0)=y0, опрСдСляСтся Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ y (t)=eAt*y0. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° нахоТдСния Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (1) эквивалСнтна Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ отыскания ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ eAt ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ А.

Для вычислСния ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ eAt ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ, А Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:

.

Π³Π΄Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° S — это ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° прСобразования ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ· ΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ базиса Π² Π±Π°Π·ΠΈΡ исходных ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, Π° BА — ΠΆΠΎΡ€Π΄Π°Π½ΠΎΠ²Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ А, Ρ‚.ΠΊ. eAt = S-1*eBt*S.

Π–ΠΎΡ€Π΄Π°Π½ΠΎΠ²Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ зависит ΠΎΡ‚ Π²ΠΈΠ΄Π° характСристичСских чисСл.

1. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ характСристичСскиС числа Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π–ΠΎΡ€Π΄Π°Π½ΠΎΠ²Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ размСрности nxn ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

Π³Π΄Π΅ — Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ кратности n.

2. Если срСди ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ характСристичСского ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π’ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

Π³Π΄Π΅ — Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Π° — Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ кратности 2.

3. ΠŸΡ€ΠΈ Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΈ срСди ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ характСристичСского ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ комплСксно-сопряТСнных Π–ΠΎΡ€Π΄Π°Π½ΠΎΠ²Π° ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΊΠ° выглядит ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Π³Π΄Π΅, Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ сопряТСнный ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ характСристичСского ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π½Π°ΡˆΠ΅ΠΌ случаС срСди характСристичСских чисСл ΠΏΡ€ΠΈΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚, ΠΊΠ°ΠΊ комплСксно-сопряТСнныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π» = 2 —? ? Π» = 2 + ?, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π» = -1? Π» = 1, Ρ‚ΠΎ ΠΆΠΎΡ€Π΄Π°Π½ΠΎΠ²Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° выглядит ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Из ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ A*S = S*Π’, Π³Π΄Π΅ S — нСвыроТдСнная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ систСму 16-Π³ΠΎ порядка, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ элСмСнты ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ S. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° S Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

РСшаСм систСму 16-Π³ΠΎ порядка ΠΈΠ· ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ A*S = S*Π’ Π”оопрСдСляСм Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ элСмСнты ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ S:

Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΡƒ A*S — S*Π’=0:

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π° Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ.

Для нахоТдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ y Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ S Π½Π°, Π³Π΄Π΅ — это Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, элСмСнты ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ зависят ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ характСристичСского ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°:

Для комплСксных чисСл ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄:

Для случая ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ…:

Π’ Π½Π°ΡˆΠ΅ΠΌ случаС получаСтся Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ:

=.

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρƒ=S*, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

ΠŸΡ€ΠΈ подстановкС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ систСму получаСтся Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ равСнство, ΠΈΠ· ΡΡ‚ΠΎΠ³ΠΎ слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ:

7. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Коши для ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°.

НСобходимо ΠΈΠ· Π²ΡΠ΅Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ y(i)(t) ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ числовоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y0i Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Ρ‚. Π΅. Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ значСния сi для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ: x=0, y=[1, 2, 3,4].

Π’ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ y (t) подставляСм Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ условия ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ систСму ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ c1, c2, c3, c4 :

Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

ΠŸΡ€ΠΈ подстановкС c1, c2, c3, c4 Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ Коши:

Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΡƒ, подставив ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ систСму.

:

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΡΡ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, найдСнная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° являСтся Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ исходной систСмы.

ИсслСдованиС зависимости ΠΆΠΎΡ€Π΄Π°Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, А ΠΎΡ‚ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡ‚Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ систСмы.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ J — ΠΆΠΎΡ€Π΄Π°Π½ΠΎΠ²Π° ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΊΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ А. Для случая Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΆΠΎΡ€Π΄Π°Π½ΠΎΠ²Π° ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΊΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ срСди Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… собствСнных чисСл ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, А Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅. Π–ΠΎΡ€Π΄Π°Π½ΠΎΠ²Π° ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΊΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

НапримСр, Ссли ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ k=2, Ρ‚ΠΎ ΠΆΠΎΡ€Π΄Π°Π½ΠΎΠ²Ρƒ ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΊΡƒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

Если ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ k=3, Ρ‚ΠΎ ΠΆΠΎΡ€Π΄Π°Π½ΠΎΠ²Ρƒ ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΊΡƒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

Если ΠΆΠ΅ срСди Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… собствСнных чисСл ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ корнями кратности 2, Ρ‚ΠΎ ΠΆΠΎΡ€Π΄Π°Π½ΠΎΠ²Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Если Π΄Π²Π° собствСнных числа ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, А ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ся комплСксными сопряТСнными, Ρ‚ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡŒ ΠΆΠΎΡ€Π΄Π°Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΊΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

Π³Π΄Π΅ — Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ, — мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ собствСнного числа .

8. РСшСниС Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ систСмы.

ΠŸΡ€Π°Π²Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ:.

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ систСмы ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

Π“Π΄Π΅ — фср, Π‘ΠΎ — ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, F (t) — Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹Ρ… части.

— ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ систСмы.

— Ρ‡Π°ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ систСмы.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ частноС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ систСмы:.

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ систСмы.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡ… ΡΡƒΠΌΠΌΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ искомым ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ систСмы:

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ.

НайдСнноС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ.

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ графичСски Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ частноС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ систСмы Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΠΎΡΡ‚оянными коэффициСнтами для Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… условий: t0 = 0, y0 = [1, 2, 3, 4].

Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ с 3-мя, 5-ю ΠΈ 7-ю Ρ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ ряда:

Π“Π΄Π΅ 1 — Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ для Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ряда; 2 — Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ для ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ряда; 3 — Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ для дСвяти Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ряда; 4 — Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

МоТно ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄:

Π‘ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ числа Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ряда, число совпадСния Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ряда с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ совпадСния Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ расти.

Π—Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Π’ Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π΅Π»Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΎ 3 ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° нахоТдСния ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ: ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ряда ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄. По ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ, ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ разлоТСния Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ряд прост Π² Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ, Π½ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π±Ρ‹Π»Π° ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Π° Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Коши, которая Π±Ρ‹Π»Π° использована для нахоТдСния частного Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… условий.

Для установлСния ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… вычислСний Π±Ρ‹Π»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ подстановки ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ систСму ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Для Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ этой Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π² DERIVE Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠ°ΠΊΠ΅Ρ‚Π°:

1. EIGENVALUES (A,) — вычислСниС собствСнных чисСл ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ A Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ записью Π² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ .

2. SOLVE (Pm=0,) — Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния Pm=0, Π³Π΄Π΅ Pm — ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ стСпСни m: Pm=p0*m p1*m-1+…+pm-1*+pm, Π° — пСрСмСнная, ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

3. EXACT_VECTOR (A,) — вычислСниС Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ собствСнного Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, А ΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² .

4. DIF (A, x, n) — Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ A ΠΏΠΎ x n Ρ€Π°Π·.

5. SUM (M, n, f, g) — вычислСниС суммы M ΠΏΠΎ n ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ с f Π΄ΠΎ g.

6. VECTOR (u, k, n) — Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ (вычислСниС) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ k ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡΡ ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ n.

А Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ мСню:

1. SOLVE/SYSTEMΡ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ систСмы с ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² Π΄ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΎΠΊΠ½Π΅ количСства ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, самих ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

2. Simplify > ExpandраскрытиС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

Команда Expand ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для раскрытия матСматичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

Expand expression: #n: Π³Π΄Π΅ n — Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ строки выраТСния (ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Π½Π΄Π°).

Expand Variable: #n .

Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΌ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄Ρ‹ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ имя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅. Если ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌ -.

3. Для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² использовали Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ 2D-plot.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ