Экстремальные оценки минимального собственного значения задачи Штурма — Лиувилля

Вопрос оптимизации собственных значений задачи Штурма — Лиувилля за счет выбора потенциала из некоторого фиксированного класса функций часто возникает в приложениях. Например, в теории упругости в процессе поиска наиболее прочных конструкций из данного материала. Примером такой задачи является задача Лагранжа о нахождении наиболее прочной колонны единичной длины и единичного объема, являющейся телом вращения плоской кривой.

Задача Лагранжа продолжает вызывать интерес исследователей и оживленную полемику в научной печати. Она послужила источником для различных постановок экстремальных задач на собственные значения, в том числе — с интегральным условием на потенциал, одной из которых является задача, рассматриваемая в данной работе. В связи с этим приведем физическую постановку задачи Лагранжа и исторический обзор результатов, полученных в процессе ее исследования (см., например, [27]).

В 1773 году, развивая работы Л. Эйлера [33] об устойчивости упругих стержней, Ж.-Л. Лагранж [15] поставил задачу об оптимальной форме колонны, нагруженной продольной силой Р: найти форму колонны (упругого тела вращения), максимизирующую критерий «прочности т. е. доставляющую

0.1) где Рс — критическая сила потери устойчивости, а Vобъем колонны.

Потеря устойчивости колонны описывается известными уравнениями изгиба тонких стержней Бернулли — Эйлера (гравитационные силы не учитываются)

Е1у")" + Ру" = 0, 0 <�х<�Ь. (0.2) где у (х) — функция прогиба, Е — модуль Юнга, 1(х) = 1тЯа (х)/4: — момент инерции стержня круглого сечения радиуса Л, штрихи обозначают дифференцирование по х.

Ж.-Л. Лагранж рассматривал условия шарнирного опи-рания колонны на обоих концах:

2/(0) = (Е1у'%=о = 0, у{Ь) = (Е1у")х=ь = 0. (0.3)

Объем колонны описывается интегралом ь

У = 1 А{х)дх, (0.4) о где А (х) = 7тВ?(х) — площадь поперечного сечения. Для удобства введем безразмерные переменные = V у= Ь^. А (Ьх)Ь, а (х) =

А =

V 4 ттРЬ4 ЕУ2 '

Тогда соотношения (0.1) — (0.4) примут вид (знак ~ над символами ж, у здесь и ниже опускаем) а2(х)у")п + у" = 0, 0<�х<1 (0.6) у (0) = (a Wo = 0, 2/(1) = {a2y")x=i = 0, (0.7) i

J a (x)dx = 1. (0.8) о

Соотношения (0.6), (0.7) определяют задачу на собственные значения. Таким образом, задача Лагранжа сводится к максимизации первого собственного значения Л при изопериметрическом ограничении (0.8). Решая эту задачу, Ж.-Jl. Лагранж [15] пришел к выводу, что оптимальное решение задачи — колонна постоянного сечения (цилиндр). Ошибка Лагранжа была исправлена почти сто лет спустя член — корреспондентом С.-Петербургской Академии наук Томасом Клаузеном [5]. Как оказалось, оптимальное решение имеет вид а0(ж) =^sin2 в (х), у0(х) = sin3 в (х), в (х) — ]¦ sin 2 В (х) = тгх, (0.9) л

О<0<7г, О<�а?<1,

Собственная функция уо{х) (форма потери устойчивости) определена с точностью до произвольного множителя. Критическая сила Ао для решения (0.9) в 4/3 раза превосходит соответствующее значение для колонны постоянного сечения а (х) = 1 и одинакового объема V = 1.

Задача Лагража (0.1) может быть сформулирована и слудующим образом: при заданной критической силе Рс найти колонну минимального объема (веса). Решение этой задачи и было, собственно, получено Т. Клаузеном [5] для граничных условий: жесткая заделка — свободный конец.

Ошибка Лагранжа и решение Клаузена описано в работе известного петербургского механика Е. Л. Николаи [22], опубликованной в 1907 году. Он обобщил решение Клаузена, введя дополнительное ограничение на минимально допустимую толщину колонны. Из отечественных исследований 30-х годов отметим статью Н. Г. Ченцова [32], рассмотревшего различные формы поперечного сечения стержня, и дипломную работу А. Ю. Ишлинского (1935г.).

В послевоенные годы задача Лагранжа стала популярной в США. Хотя эта задача и решение Клаузена упоминаются в книге С. П. Тимошенко [30] по истории механики, Клиффорд Трусделл [31], не зная о Т. Клаузене и его российских последователях, предложил задачу Лагранжа для решения американским ученым Дж. Келлеру и Г. Вайнбергеру. Оба ученых с этой задачей успешно справились. Однако работа Г. Вайнбергера осталась неопубликованной, а Дж. Келлер [13] не только повторил решение Клаузена, но и показал, что для выпуклых поперечных сечений оптимальная колонна имеет форму равностороннего треугольника. Он же исследовал закрити-ческое поведение оптимальной колонны с одной формой потери устойчивости.

В работе И. Таджбахша и Дж. Келлера [29] были получены оптимальные решения и для других видов граничных условий: жесткая заделка с обоих концов колонны.

Н.В. Баничук [1] рассмотрел случай свободный конецупругая заделка. Все описанные выше решения обладали одной формой потери устойчивости.

Однако в 1977 году датские исследователи Н. Ольхофф и С. Расмуссен [23] обнаружили, что решение приведенное в [29] для случая жесткой заделки с обоих концов, неверно и численно нашли оптимальное решение с двумя линейно независимыми формами потери устойчивости (бимодальное решение). В работах А. П. Сейраняна [26] были выведены условия оптимальности бимодального решения, указаны условия его возникновения и найдено аналитическое решение для случая жесткой заделки с обоих концов. Почти одновременно аналогичные результаты опубликовал американский ученый Е. Мейзур [17]. Оказалось, что бимодальные решения для жесткой заделки, полученные разными методами в [23], [26], [17], хорошо согласуются друг с другом.

Отметим, что для решения задачи Лагранжа в общей постановке потребовались практически все разделы вариационного исчисления, включая современные достижения. Эта задача стимулирует развитие новых математических дисциплин, таких как теория экстремальных задач с недифференцируемыми функционалами. Механическая сущность задачи о колонне позволила выявить и выбрать среди возможных экстремалей оптимальные решения, имеющие ясный физический смысл. В большинстве случаев оптимальные решения оказываются бимодальными (обладающими двумя линейно независимыми формами потери устойчивости), и в этом смысле являются равноустойчивыи. Этот факт означает, что для определения прогиба колонны необходим нелинейный анализ закритического поведения.

Попытки исправить доказательство Келлера — Тадж-бахша привели к потоку статей на тему о необходимых условиях оптимальности собственного значения оператора в том случае, когда оно кратно. См. работы A.C. Бра-туся [3], A.C. Братуся и А. П. Сейраняна [4], Накамурты [21], Кокса и Овертона [6], Овертона [21], А. П. Сейраняна [26] и другие.

Приведем постановку задачи Лагранжа, рассматриваемую в [29] и связанной с ней вариационной задачи.

Пусть Л — величина нагрузки вдоль оси и и — смещение колонны в ортогональном к оси направлении. Потенциальная энергия колонны равна

1 1

Т = J EI{x)u" (x)2dx — X J u'(x)2dx, о о где 1(х) — второй момент площади сечения колонны и Е — модуль Юнга. Критической нагрузкой Ai называется максимальное значение Л, при котором infM Т = 0. Таким образом,

Ai = inf F[u], и (х)ен2(o, i) J EI{x)u" {x)2dx

F[u] =^-, ju'(x)4×0 где Щ — пространство функций, имеющих обобщенные производные до второго порядка включительно, обращающихся в нуль на концах интервала вместе со своими первыми производными, с нормой

Уравнение Эйлера — Лагранжа для функционала ^ имеет вид

Я{хУ'(х)У + А у" (х) = О, где функция у (х) удовлетворяет следующим условиям

У (0) = 2/(0) = 2/(1) = у'{ 1) = 0.

Если Б (х) — площадь сечения колонны при 0 < х < 1, то (2(х) = Е82(х) = Б2(х) (считаем модуль Юнга Е постоянным и равным 1). При этом объем колонны фиксирован, т. е.

1 1 J 3{х)йх = J у/<2(х)(1х = 1, > 0. о о

В действительности можно рассматривать колонну с сечением произвольной формы, если все сечения подобны одному из них. Если колонна неоднородна, то есть составлена из слоев с различными упругими свойствами, и сечения не являются подобными, то условие на функцию можно заменить условием 1 о, о при некотором, а € [0,1].

В работе Ю. В. Егорова и В. А. Кондратьева в [10] предложено альтернативное доказательство теоремы Келлера — Таджбахша, не зависящее от кратности собственного значения. Из результатов этих авторов следует, что форма колонны, найденная в [28] оптимальна, также как и значение 1б7г2/3 критической нагрузки.

Поскольку задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонны привлекала внимание ученых многих стран мира на протяжении более 200 лет, то представленный выше обзор литературы не может претендовать на полноту, но отмечает лишь наиболее заметные этапы в истории этой задачи.

Приведем некоторые постановки экстремальных спектральных задач, порожденных задачей Лагранжа.

Оценки собственных значений задачи Штурма — Лиу-вилля

— у" {х) + ч{х)у (х) = у (х), 2/(0) = У{ 1) = 0, рассматривались в работах А. Г. Рамма [25], Дж. Таленти [28], X. Эгнелла [8], Ю. В. Егорова и С. Караа [9], С. Караа [12].

Среди этих работ можно выделить работы, в которых рассматривается задача Штурма — Лиувилля с интегральным условием на потенциал. Приведем некоторые из результатов, полученные в этом направлении.

Ю.В. Егоровым и В. А. Кондратьевым в [10] и [11] рассматривалась задача у" (х) + М{х)у (х) = 0,

2/(0) = 2/(1) = 0, где q{x) — вещественнозначная суммируемая на (0,1) функция с положительными значениями, удовлетворяющая условию 1 о

Были получены оценки минимального собственного значения Ai этой задачи в зависимости от потенциала q (pc) при различных значениях ?3. В процессе решения этой задачи рассматривались функционалы 1 f y'2(x)dx

L[q, y] = Vf q (x)y2(x)dx о l f y'2(x)dx

— тг-^ fy (x)Pdx 0 где P =

Из вариационного принципа следует, что первое собственное значение Ai может быть найдено следующим образом:

Ai = inf L[q, у]. у (х)еЩ (од)

Оценивались значения тр = inf Ai, Мр = sup Ai, q{x)eRp q (x)eRi3 и где Яр множество вещественнозначных суммируемых на (0,1) функций д с положительными значениями и таких, что

I Чх)<1х = 1, О, о

Основным результатом работы Ю. В. Егорова и В. А. Кондратьева является следующая теорема:

Теорема 0.1. Если ?3 > 1, то

3−1)1+1/* 2 /1 1 хч где В — бета-функция Эйлера 1 о

Существуют функции и (х) 6 #?(0,1) и q{x) е Щ такие, что

Ця, у] = Ця, и] = тр.

У (х)ен1?(од)

Если /3 = 1, то гп = 4, М — оо. 1 2

Если 0 < ?3 <, то м' = ^Г-(I" ' **=

Существуют функции и (х)? Яр (0,1) г/ е ^ такие, что

М- 2/] = Ця> и = Щу (х)еЩ (о, 1)

Если Р < 0- то

1 — ?)1+1//? о2 Л 1 П

Существуют функции и (х) Е #?(0,1) и д (х) 6 Щ такие, что

Если < ?3 < I, то тр = 07 Мр = оо.

К.Э. Куралбаевой в [14] рассматривалась подобная задача у" (х) + Р{х)у{х) = 0, 2/(0) = у (1) = 0, где Р (х) — измеримая неотрицательная функция, такая что х{1 — х) Р{х)йх < оо 0 или 1 р>К (1-^ = 1, о где 7 Е Л, 7 Ф 0, а € Я, /3 е К

Были получены оценки наименьшего собственного значения А1 этой задачи при различных предположениях относительно Р (х) и соотношениях между а, /3 и 7.

О.В. Мурышкиной в [20] рассматривалась задача Штурма — Лиувилля с симметричными краевыми условиями. у’х) + Ар{х)у (х) = 0, 1 j/(0) — к2у{0) = 0, 1/(1) + к2у (1) = 0, где р (х) — функция из класса Аа, где Аа при, а > 0 — множество неотрицательных ограниченных функций (при, а < 0 Аа — множество положительных ограниченных функций), удовлетворяющих условию 1 pa (x)dx = 1, аф 0. о

Исследовалась зависимость минимального собственного значения Ai этой задачи в зависимости от потенциала р (х) при различных значениях а. Рассматривался функционал yf2(x)dx-hkY (0)-hk2y2(l)

Цр, у] = —1-•

J p (x)y2(x)dx о

Из вариационного принципа следует, что первое собственное значение Ai может быть найдено следующим образом:

Ai= inf Lp, y]. У (х)ен i (o, i)

Оценивались значения та — inf Ai, • Ма = sup Ai. р (х)еАа р (х)еАа

Обозначив 1

Q, = {у (х): у (х) в H, 1), J у (х)Чх < оо, д = -^L}, о приведем основной результат [20]:

Теорема 0.2. Если, а > 1, то 0 < та < ооМа = ос, причем существуют функции и (х) 6 Н1(0,1) и р (х) 6 Аа, что inf Цр, у] = L[p, и] = та. у{х)енЦ од)

Если, а = 1, то mi = = 2к2, причем эти оценки являются точными.

Если 0 < а < 1, то 0 < Ма < оота = 0, причем существуют функции и (х) Е 0,1) и р (х)? Аа, что inf L[p, у] = L[p, м] = Ма. у (х)ен 1(0,1)

Если, а < 0, то 0 < Ма < оо, та = 07 причем существуют функции и (х)? Нг (0,1) и р (х) Е Аа, что inf Lp, y] = Lp, u] = Ма. у{х)ещ

Исследованиями подобных задач занимались также В. А. Винокуров, В. А. Садовничий [7]. Ими рассматривалась задача у" (х) + (А — Я (х))у (х) = 0,

2/(0) = </(0 = 0, где д (х) — вещественнозначная суммируемая по Лебегу на (0,/) функция.

Исследовался вопрос: насколько сильно можно изменить (увеличить или уменьшить) собственное значение, если д (х) меняется в пределах некоторого подмножества С3 С Ьх[0, /], а именно, есть замкнутый шар радиуса? > 0 с центром в нуле банахова пространства Ьр[0, /], р € [1, +оо].

В работе использовались следующие обозначения

В случае д = О собственное значение Хп{о) = Оценивались

— верхний сдвиг собственного значения на множестве 11РЩ и

— нижний сдвиг собственного значения на множестве 1/рЩ Получены следующие оценки сдвига собственного значения в пространстве Ь.

Теорема 0.3. Для любых п Е N и I € [0, оо[ верно неравенство

Ап, рОО = эир Лп (д), ч^ЩЩ К, о ~ АП|Р (0

Теорема 0.4. Для любых п? N и I? [0, верно неравенство

I /

В диссертации рассматривается следующая задача Штурма — Лиувилля: у" (х) + 8Q (x)y (x) + А у{х) = О,

2/(0) = 2/(1) = О, где 8 = ±1, Q (x) — неотрицательная ограниченная на [0,1] функция, удовлетворяющая условию: 1

Qa (x)dx = 1, а ф 0. о

Исследуется зависимость минимального собственного значения Ai этой задачи от потенциала Q (x) при различных значениях а.

Для исследования первого собственного значения этой задачи рассматривается функционал

1 1 f y'2(x)dx — 5 f Q (x)y2(x)dx

R[Q, y] = —-• f y2(x)dx 0

Согласно вариационному принципу

Ai= inf R[Q, y]. у (х)еЩ (o, i)

Пусть ma = inf Ai, Ma = sup Ai,

Q{x)eAa Q (x)eAa где Aa — множество неотрицательных ограниченных на i

0,1] функций таких, что f Qa (x)dx = 1. о

Результаты, полученные в первой главе, формулируются в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть J = —1. Если, а > 1- то та = 7г2? Ма = const < оо, причем существуют такие функции и (х) G Hq (0, 1) и Q (x) G Аачто inf R[Q, y] = R[Q, u] = Ma. у (х)ен3(0,1) 2

Если OL — } то 771 = 7Г2, Ml = у + 1 + |/7г2 + 4- причем существуют такие функции и (х) G ^?(0,1) и Q (x) е Аа, что inf = = у (х)еЩ (о, 1)

Если 0 < а < то та = 7г2, Ма = оо.

Если, а < 0, то гаа = const > 7г2, Ма = оо? причем существуют такие функции и (х) G #g (0,1) и Q (x)? что inf R[Q, г/] = ft[Q, и] = та. у (х)еЩ (од)

Результаты, полученные во второй главе, формулируются в виде следующей теоремы.

Т е о р е м, а 2. Пусть 6 = +1. Если, а > 1, то та = const > 0, Ма = 7г2, причем существуют такие функции и (х) G i? o (0,1) и Q (x) G Аа, что inf R[Q, y] = R[Q, u] = та. у (х)еЩ (од)

Если, а = 1, то mi есть решение уравнения 2л/А = tg? = 71−27 причем mi достигается на функции Q (x) = S (ж — .

Если 0 < а < 1/3- то та = —оо, Ма = const < tv2. Если 1/3 < а < ½, то та = —оо, Ма < 7г2. Если ½ < а < 1, то та = —оо, Ма = 7г2. а < 0, то та = — оо, Ма = const < it2, причем существуют такие функции и (х) Е #?(0,1) и Q (x) Е что inf Я[<2, ?/] = Д[<�Э, и] = Ма. уфбЯ^ОД)

1. Баничук H.B. Оптимизация устойчивости стержня с упругой заделкой // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1974. — N 4. — С. 150−154.

2. Буттаццо Дж., Джаквинта М., Гильдебрандт С. Одномерные вариационные задачи.

Введение

Новосибирск: Научная книга, 2002.

3. Братусь A.C. Кратные собственные значения в задачах оптимизации, спектральные свойства систем с конечным числом степеней свободы // Журн. вычислит, ма-тем. и матем. физ. 1986. — Т. 26. — С. 1−7.

4. Братусь A.C., Сейранян А. П. Бимодальные решения в задачах оптимизации собственного значения // При-кл. матем. мех. 1983. — Т. 47. — С. 451−457.

5. Clausen Т. Uber die form architektonischer Saulen // Bull. cl. physico-raath. Acad. St.-Petersbourg. 1851. — T. IX. — P. 371−380.

6. Cox S.J., Overton M. L. On the optimal design of columns against bucking // SIAM J. Math. Anal. 1992. — V. 23. — P. 287−325.

7. Винокуров В. А., Садовничий В. А. О границах изменения собственного значения при изменении потенциала // Доклады Академии наук. 2003. — Т. 392, N 5. — С.592−597.

8. Egnell H. Extremal properties of the first eigenvalue of a class of elliptic eigenvalue problems // Annal. Sculntern. Series of Numerical Mathematics. 1984. — V. 71. — P. 341 350.

9. Egorov Yu.V., Karaa S. Optimisation de la premiere valeur propre de l’operateur de Sturm Liouville // C.R. Acad. Sei. Paris. Ser. I. — 1994. — V. 319. — P. 793−798.

10. Egorov Yu.V., Kondratiev V.A. On Spectral theory of elliptic operators //in Operator theory: Advances and Applications. Birkhouser. 1996. — V.89. — P. 1−325.

11. Егоров Ю. В., Кондратьев В. А. Об оценках первого собственного значения в некоторых задачах Штурма-Лиувилля // УМН. -1996. Т.51, вып. 3 (309). — С. 73−144.

12. Karaa S. Valeurs propres extremales dans problemes de Sturm Liouville // C.R. Acad. Sei. Paris. Ser. I. — 1995. V. 321. P. 265−270.

13. Keller J.B. The shape of the strongest column // Arch. Rat. Mech. Anal. 1960. — V. 5, N 4. — P. 275−285.

14. Куралбаева К. З. Об оценке первого собственного значения оператора Штурма-Лиувилля // Дифференциальные уравнения. 1996. — Т. 32, N 6. — С. 852−853.

15. Lagrange J.-L. Sur la figure des colonnes. In: Ouvres de Lagrange (Publ. de M. J.-A.: Serret), V. 2. Paris: GauthierVillars. 1868. — P. 125−170.

16. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.

17. Masur E.F. Optimal structural design under multiple eignvalues constraints // Internat. J. Solids Struct. 1984. -V. 20, N 3. — P. 211−231.

18. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения вчастных производных. М.: Наука, 1983.

19. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.

20. Мурышкина О. В. Об оценках минимального собственного значения задачи Штурма-Лиувилля с несимметричными краевыми условиями //Дифференц. уравнения. 2001. — N 3. — С. 114−115.

21. Nakamura S. A remark on eigenvalue splittings for one-dimensional double-well Hamiltonian // Lett. Math. Phys.- 1986. V. 11. — P. 337−340.

22. Николаи Е. Л. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонн // Изв. С.-Петербургского политехи. института. 1907. — T. VIII, вып. 1. — С.255−288.

23. Olhoff N., Rasmussen S.H. On single and bimodal optimum buckling loads of clamped columns // Internat. J. Solids Struct. 1977. V. 13, N 7. — P. 605−614.

24. Overton M. L. Large-scale optimizition of eigenvalues // SIAM J. Optim. 1992. — V. 2. — P. 88−120.

25. Ramm A. Topics scattering and spectral theory. Queries // Notices Amer. Math. Soc. 1982. — V. 29. — P. 327−329.

26. Сейранян А. П. Об одной задаче Лагранжа // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1984. — N 2. — С. 101−111.

27. Сейранян А. П. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонны // Институт механики МГУ им. Ломоносова. Препринт N 60−2000. — 64 с.

28. Talenti G. Estimates for eigenvalues of Sturm-Liouville problems // Intern. Series of Numerical Mathematics. 1984. V. 71. P. 341−350.

29. Tadjbakhsh I., Keller J.B. Strongest columns andisoperimetric inequalities for eigenvalues // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1962. — V. 29, N 1. — P. 159−164.

30. Timoshenko S.P. History of Strength of Materials. -New York: McGraw Hill, — 1953.

31. Truesdell C. Essays in the History of Mechanics. -Berlin: Springer-Verlag, 1968.

32. Ченцов Н. Г. Стойки наименьшего веса // Тр. ЦА-ГИ. 1936. — вып. 265. — 48 с.

33. Эйлер Л. Об упругих кривых. В кн.: Эйлер JI. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума или решение изопериметри-ческой задачи, взятой в самом широком смыле. M.-JL: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры — 1934. — С. 447−572.

34. Ежак С. С. Экстремальные оценки минимального собственного значения задачи Штурма-Лиувилля // Тезисы докладов. Международная молодежная научная конференция «XXVIII Гагаринские чтения», Москва, 8 -12 апреля 2002 г. М.: Изд. МАТИ — РГТУ. — 2002. -С.66.

35. Ежак С. С. Экстремальные оценки минимального собственного значения задачи Штурма Лиувилля с интегральным условием на потенциал // Дифференциальные уравнения. — Москва. — 2004. — Т.40, N 6. — С. 856.

36. Ежак С. С. Оценки первого собственного значения некоторых задач Штурма Лиувилля // Труды XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. — М.: Изд. ЦПИ при мех. — мат. факультете МГУ. — 2004. — С. 83−89.

37. Ежак С. С. Об оценках минимального собственного значения задачи Штурма Лиувилля с интегральным условием // принята к печати в журнале «Современная математика и ее приложения» в 2005 году.

38. Ежак С. С. Оценки минимального собственного значения задачи Штурма Лиувилля с интегральным условием на потенциал // МЭСИ. — М., 2004. — 21 е., библ. 7. -Рус. — Деп. в ВИНИТИ 06.12.2004, е 1920;В2004.