Под расстоянием между двумя векторами интенсивностей, будем понимать число
где — норма вектора, т. е. число, равное длине данного вектора. Объясним наглядно смысл такого расстояния. Для удобства обозначим. Тогда
Далее, для любого вектора x длина вектора равна единице. Действительно, так как норма числа есть само число, то Поэтому равно длине отрезка между точками, (рис. 3), лежащими на единичной окружности. Из этого рисунка видно: 1) если возможно представление, где (т.е. x и z коллинеарные вектора), то; 2) для, .
Луч Неймана называется сильной магистралью в задаче, если для каждого существуют такие зависящие от (но не зависящие от T) числа и, что для всякой оптимальной траектории этой задачи и для всех .
Заметим, что ввиду второго свойства расстояния для всех .
Из определения следует, что постоянный луч как бы аппроксимирует оптимальные траектории: всякая оптимальная траектория почти все время идет вдоль луча, т. е. она сохраняет высокий (почти максимальный) темп интенсивностей производственных процессов, если только величина T горизонта планирования много больше, чем и .
Луч Неймана называется слабой магистралью в задаче, если для любого существует такое (зависящее от) число r, что для любой оптимальной траектории этой задачи неравенство нарушается не более чем для r моментов t,, причем число r не зависит от длины T планового периода.
Очевидно, сильная магистраль является одновременно и слабой магистралью (достаточно положить).
Рассмотрим более простой и частный случай этой модели — динамический аналог оптимизационной задачи Леонтьева:
где A- -технологическая матрица, — вектор валового выпуска в момент t, — вектор цен в момент T.
В модели Леонтьева равенство означает, что отрасль i не нуждается в товарах отрасли j. Вообще говоря, может существовать целая группа отраслей (- множество всех отраслей), которые не нуждаются в товарах отраслей из множества, а для своего производства обходятся только товарами из группы S. В этом случае говорят, что множество отраслей S изолировано от остальных в том смысле, что эта группа отраслей может функционировать отдельно от остальных.
Матрица A называется неразложимой, если во множестве всех отраслей N нет изолированных подмножеств. Неразложимость матрицы A означает, что каждая отрасль использует продукцию всех отраслей. Неразложимая матрица A называется примитивной, если множество N нельзя разбить на непересекающиеся подмножества, такие, что если для, то, а при. Читателю предлагается самому истолковать содержательный смысл примитивности технологической матрицы A.
Целевая функция относится к конечному моменту планового периода и называется терминальной. В динамической оптимизационной задаче Леонтьева с нетерминальной целевой функцией возникает так называемая проблема горизонта планирования. Дело в том, что по оптимальной траектории выпуск к моменту T может оказаться недостаточным для обеспечения нормального функционирования экономики за горизонтом планирования. Поэтому требуется наложить специальные ограничения снизу на вектор, что приводит к дополнительным сложностям при исследовании магистральных свойств оптимальных траекторий.
Предположим выполненными следующие условия в задаче Неймана:
а) существует такое число, что соотношения определяют единственный вектор ;
в) ;
г) существует стационарная траектория цен ;
д) матрица A неотрицательна, неразложима и примитивна;
е) для любого достаточно малого числа существуют такие (зависящие от) числа и, что для оптимальной траектории из неравенства вытекают неравенства .
В последнем условии A1 и B1 — это такие подматрицы матриц A и B (), что .
В отличие от условий а)-д), допускающих соответствующие экономические интерпретации, условие е) носит чисто технический характер.
При выполнении условий а)-е) для любого существует такое число, не зависящее от T, что для любой оптимальной траектории выполняется условие для всех .
Заключение
Важная роль магистральных траекторий состоит также в том, что в случае отсутствия возможности вычисления оптимальных траекторий при планировании производства можно ориентироваться на движение по лучу Неймана, т. е. планировать функционирование отраслей с интенсивностями, близкими к тем, которые задаются стационарной траекторией .
Литература
Акулич И. Л. Математическое программирование. — М.: Высш. школа, 1986. — 314 с.
Ашманов С. А. Линейное программирование. М.: Наука, 1981.
Бэллман Р. Динамическое программирование. — М.: ИЛ, 1960.
Бэллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. — М.: Наука, 1965,
Вагнер Г. Основы исследования операций. — М.: Мир, 1972.
Калихман И. Л. Сборник задач по математическому программированию. — М.: Высшая школа, 1975.
Капустин В. Ф. Практические занятия по курсу математического программирования: ЛГУ, 1976.
Карлин C. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. -М.: Мир, 1964. — 240 с.
Смирнова Г. Н., Сорокин А. А., Тельнов Ю. Ф. Проектирование экономических информационных систем: Учебник. — М.: Финансы и статистика, 2001. — 512 с.: ил.
Таха Х.
Введение
в исследование операций. В 2 т. — М.: Мир, 1985. — 600 с.
Щербанов В. А. Проектирование информационных систем в экономике: Курс лекций. — Томск: ТУСУР, 1999. — 157 с.
Экономико-математические методы и прикладные модели/ под ред. Федосеева В. В. — Москва: «Юнити», 2001- 200 с.
