Численное и геометрическое исследование динамики некоторых колебательных моделей

Существующие качественные и приближенные методы исследования периодических колебаний в механических, электрических, экологических и других моделях с малым параметром можно разделить на локальные и нелокальные, изучающие изменение или возникновение колебаний в окрестности какой-то заданной фазовой точки или в целой области таких точек соответственно. Данные модели имеют черезвычайную важность на предварительном этапе математического моделирования, поскольку позволяют оценивать расположение начальных условий периодических колебаний и узнавать их свойства устойчивости.

Локальные методы восходят к принципу линеаризации А. Пуанкаре, утверждающему, что если рассматриваемая Т-периодическая математическая модель с малым параметром описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений и является гладкой, а порождающая система, линеаризованная на некотором своём Т-периодическом решении х’о, имеет нуль асимптотически устойчивым решением, то полная система, независимо от конкретного вида возмущения, всегда имеет вблизи xq асимптотически устойчивое Т-периодическое решение. Другими словами, принцип линеаризации Пуанкаре позволяет установить, что асимптотически устойчивый колебательный процесс в порождающей системе не будет разрушен при малом возмущении, а всего лишь немного изменится. В силу этого, принцип линеаризации Пуанкаре называется нерезонансным. Возникновение резонансов (значительное изменение амплитуды колебаний) при введение периодического возмущения наблюдалось и нестрого объяснено Ван дер Полем [76] на примере электрической цепи. Данное явление связано с существованием в порождающей системе заполняющего все пространство семейства периодических решений, в результате чего принцип линеаризации Пуанкаре не может быть применен и заданный колебательный процесс xq может быть, вообще говоря, разрушен при увеличении значения параметра, вызвав резонансные колебания, амплитуда которых значительно отличается от амплитуды х0. Со времен работ Ван дер Поля разработаны мощные (резонансные) методы, позволяющие во многих случаях оценивать амплитуду резонансных колебаний. Первые строгие классические результаты на эту тему принадлежат П. Фату [54], Л. И. Манде лынтаму-Н.Д. Папалекси [30], Н.М. Крылову-Н.Н. Боголюбову [6], которые являются следствием классической второй теоремы Н. Н. Боголюбова [40]. Из этой теоремы следует, что начальным условиям асимптотически устойчивых Т-периодических решений гладкой системы х — Ах + ?g (t, х, е), (0.1) соответствуют те нули так называемого оператора усреднения (см. Н.Н. Боголюбов-Ю.А. Митропольский [7], с. 303)

9o (v) = ^ J (ОД,)-19 (г, П (т>, 0) dr, (0.2) при которых вещественные части собственных значений матрицы (go)'(v) отрицательны. Здесь t t—> Q (t)v обозначает решение порождающей системы х = Ах с начальным условием ж (0) — v, которое предполагается Т-периодическим при любом v. Классические приложения второй теоремы Боголюбова в радиотехнике, например, вычисление амплитуды резонансных колебаний в регенеративном приемнике, включены также во многие учебники по нелинейным колебаниям (см. И.Г. у COS со?

Рис. 1: Периодически возмущенный механический осциллятор с нелинейной восстанавливающей силой и вязким трением.

Малкин [29], А.А. Андронов-А.А. Витт-С.Э. Хайкин [1]). Однако, в последнее время значительный интерес приобретают приложения второй теоремы Боголюбова в механике, в том числе негладкой. В наиболее общей постановке расчетная схема таких задач построена на рисунке 1. Здесь тело массы т поддерживается нелинейными пружинами, зависимость жесткости к (и) которой от растяжения и описывается законом и I—> к (и), коэффициент вязкого трения обозначен через с>0и7>0-это амплитуда внешнего гармонического воздействия, являющаяся причиной резонансов. Обозначая через и отклонение тела от состояния покоя, получаем следующее дифференциальное уравнение: тй + ей + к (и) = 7 cos ut. (0.3)

Если к (и) = кои, где ко > 0, то данная модель представляет собой возмущенный гармонический осциллятор и широко исследована в литературе (см., например, И. Г. Малкина [29]). Значительно больший практический интерес представляет случай, когда функция и н-" к (и) — нелинейна, тем более технологии производства таких пружин недавно начали разработываться (см., например, патент Wieslaw Julian Oledzki [69]).

Если к (и) — кои + kii з

0.4) целый ряд соответствующих механических моделей рассмотрен в книге А.Н. Nayfeh, D.T. Mook [68]) получаем уравнение типа Ван дер Поля-Дуффинга, которое может быть преобразовано к системе (0.1), если малый параметр е > 0 введен как

При, а соответствующий оператор усреднения имеет простые нули и возникновение и амплитуду резонансных колебаний позволяет изучить вторая теорема Боголюбова (см. И. Г. Малкина [29]), в то время как только вырожденные нули имеют место при, а = 0. Случай, когда функция усреднения имеет вырожденные нули был рассмотрен А. П. Проскуряковым [45], [46], получившим первые результаты об асимптотической устойчивости периодических колебаний, которые, однако, требуют вычисления неявно определенных функций и являются трудно проверяемыми практически.

Важным для математического моделирования является случай к (и) = кои+(и—b)++(u+b)~: и+ = max-fii, 0}, и~ = max{—и, 0}, (0.6) поскольку соответствующая механическая модель хорошо описывает колебания резонансного грохота (см. Б. И. Крюков [22]), некоторых элементов коробки передач автомобилей (см. A. Kahraman [58]), подвесных мостов (см. J. Glover-А.С. Lazer-P.J. McKenna [56]), ударно-вибрационной дробилки (С.В. Казаков [12]) и целого ряда других механических систем с упругими ограничителями (см. недавний обзор LA-14 353 лаборатории Los Alamos [48]). Вводя малый параметр е > 0 аналогичным образом, получаем оператор усреднения, нули которого образуют целый отрезок и, тем более, являются вырожденными. Указанное с = ее, ко = е2а, = е2Ь, 7 = е27

0.5) обстоятельство делает применение классического принципа усреднения для анализа резонансных колебаний в таких системах невозможным, что затрудняет предварительный этап математического моделирования соответствующего осциллятора рис. 1.

Геометрические аналоги принципа усреднения, не требующие невырожденности нулей бифуркационной функции и основанные на теории топологической степени, предложены в работах Ж. Мавена [65] и М. И. Каменского [13]. Однако, применение этих аналогов при моделировании динамики осциллятора рис. 1 в рассматриваемом вырожденном случае в литературе не проводилось.

В отличие от рассмотренных локальных методов, когда порождающее решение или семейство решений известно или может быть найдено, методы исследования периодических колебаний в математических моделях с малым параметром дают меньшую информацию о колебаниях в случае, когда всего лишь известно поведение системы на границе некоторого множества U. Для автономных систем х = f (x) в R2 основной результат восходит к А. Пуанкаре, установившему, что если индекс Пуанкаре границы множества U по отношению к полю v f—" f (v) отличен от 0, то внутри U имеется по крайней мере одно состояние равновесия рассматриваемой системы. Аналог результата Пуанкаре для неавтономных Т-периодических систем х = f (t, x) (0.7) иногда называют принципом невозвращаемости М. А. Красносельского — А. И. Перова [18]: если в течение (0,Т] решения системы (0.7) с начальным условием из границы dU множеста U больше на 3U не попадают (условие невозвращаемости траекторий на dU) и индекс Пуанкаре границы dU по отношению к полю v /(0, v) отличен от 0, то внутри U имеется по крайней мере одна Т-периодическая траектория системы (0.7). То, что полученное Т-периодическое решение устойчиво, требует дальнейших доказательств, основанных на геометрических критериях устойчивости и проведено в настоящий момент лишь в специальных случаях (Ю.А. Колесов [15], Р. Ортега [70]). Если условие невозвращаемости выполнено для каждой из автономных систем х — ft (x), t е [0,Т], где ft (x) = /(i, х). то оно выполнено и для неавтономной системы (0.7), что является основным критерием невозвращаемости. Недавние исследования в центре сложных систем (Университет г. Сиена, Италия) привели к соревновательным моделям, в которых данный критерий для характерных соревновательным моделям прямоугольных областей U С М2 не работает, но имеет место после подходящего возмущения системы. Соответствующая модель описывает динамику взаимодействия фитопланктона х и зоопланктона х2 в мелкой лагуне Рагсо Nazionale del Circeo (Италия). После ряда упрощений (см. A. Garulli-C. Moccnni, A. Vicino, A. Tesi [55]) это взаимодействие может быть описано системой обыкновенных дифференциальных уравнений вида:

Возвращаясь к упомянутому выше наблюдению, замена члена Х$х2 на Х^х2×2 во втором уравнении приводит к системе, к которой применим описанный основной критерий невозвращаемости. Возник актуальный вопрос о возможности перенесения результатов о колебаниях, полученных для возмущенной системы, на первоначальную.

Целью работы является 1) разработка аналога принципа усреднения в случае, когда функция усреднения имеет вырожденные нули или цеxi = Xis (t)xi — Х2х — Хъх2 (fc^fe) ±2 = Х4×2 — А5Х2,

0.8) где дополнительное внешнее воздействие имеет вид:

0.9) лые их отрезки, и его применение к изучению колебаний механического осциллятора с трением и неклассичсскими восстанавливающими силами- 2) разработка методики применения принципа невозвращаемости Красносельского-Перова в случае, когда условие невозвращаемости выполнено лишь при подходящем возмущении модели, и его применение к изучению колебаний в математической модели лагуны.

Полученные результаты основаны на идеях и методах современного нелинейного анализа (в том числе геометрических схемах обоснования теорем об усреднении, предложенных Ж. Мавеном и М. И. Каменским, топологических критериях устойчивости, принципе невозвращаемости М.А. Красносельского-А.И. Перова) и теории обыкновенных дифференциальных уравнений (в частности, теоремах о дифференциальных неравенствах и об изолированности периодических решений аналитических систем).

Диссертация состоит из трех глав. В первой главе разрабатываются локальные резонансные методы изучения колебаний в модели рис. 1 для описанных выше двух типов нелинейной пружины. В пункте 1 главы 1 вводятся необходимые обозначения, определения и свойства, использующиеся на протяжении всей диссертации. В пункте 2 доказывается один из основных результатов главы 1 (теорема 1.1), дающий общий метод исследования существования асимптотически устойчивых резонансных колебаний в модели рисунка 1 в случае пружины (0.4) малого параметра, введенного в соответствии с (0.5). Соответствующее дифференциальное уравнение (0.3) принимает вид йf ecu + е2аи + е2Ьи3 = ?27 cos cut (0.10) и, как говорилось выше, не удовлетворяет при, а = 0 условиям второй теоремы Н. Н. Боголюбова, так как единственный нуль vq G R2 соответствующей функции до не является простым, то есть таков, что detlK^o)'!^)!! = О. В первой главе диссертации разрабатывается аналог второй теоремы Н. Н. Боголюбова, позволяющий преодолеть данную проблему. Более точно, в диссертации впервые показывается, что если vo — некоторый изолированный нуль функции усреднения до, то условие отрицательности вещественных частей матрицы (до)'(щ) может быть заменено следующими тремя условиями:

1) все решения решения системы (0.1) остаются при t —> оо внутри некоторого независящего от конкретного решения шара,

2) сумма частных производных подинтегральной функции в (0.2) по vi и v2 отрицательна при всех г? R и v? R2,

3) топологическая степень d (—go, V) отображения —до на границе V некоторой окрестности точки vq положительна.

В диссертации показывается (теорема 1.1), что если условия 1)-3) выполнены, то при всех достаточно малых е > 0 система дифференциальных уравнений (0.1) имеет по крайней мере одно асимптотически устойчивое Т-периодическое решение хе, сходящееся при с —> 0 к решению I 1—> Q (t)vo соответствующей порождающей системы.

В пункте 2 главы 1 также показывается, что условия 1)-3) выполнены для уравнения (0.10) и разработанный метод применяется (предложение 1.1) для изучения существования асимптотически устойчивых резонансных колебаний в соответствующей механической модели рис. 1.

В пункте 3 главы 1 разрабатывается общий метод (теорема 1.2) исследования существования резонансных колебаний в модели рис. 1 в случае пружины (0.6) и параметров, заданных формулой (0.5). Соответствующее дифференциальное уравнение (0.3) принимает вид тй + ей + ко (и) + (и — Ь)+ + (и + Ъ)~ = 7cos cut. (0-П) и соответствующая функции д0 допускает при, а = 0 целый отрезок Vo С М2 нулей. По теореме Мавена [65], достаточным условием существования, при малых е > 0, в системе (0.1) периодических колебаний вблизи множества решений t > Q (t)Vо порождающей системы является отличие от нуля топологической степени d (—go, У), где V достаточно малая окрестность множества VoТеорема 1.2 настоящей диссертации дает аналогичное утверждение, но вместо малости е > 0 речь идет о е > 0, лежащих в явно заданном промежутке (0, что особенно важно для приложений.

Хаотический характер аттракторов уравнения (0.10) хорошо изучен в литературе (см. Уеда [75]), однако только отдельные бифуркационные диаграммы известны для уравнения (0.11). Поэтому, отдельное внимание в пункте 3 главы 1 уделяется численному моделированию аттракторов этого уравнения (см. пункт 1.3.1). На основании этого моделирования удается сделать вывод, что динамика соответствующей механической модели может иметь странное хаотическое поведение.

Рис. 2: Схема взаимодействия фитопланктона, зоопланктона, растворенного кислорода и питательных веществ в моделе мелкой лагуны. (Италия)

Во второй главе разрабатываются нелокальные методы изучения колебаний концентрации фитопланктона и зоопланктона в модели мелкой лагуны (0.8). Пункт 1 главы 2 посвящен построению данной упрощенной модели на основе более общей модели взаимодействия фитопланктона, зоопланктона, растворенного кислорода и питательных веществ (рис. 2). Основное предположение, позволяющее сделать такое упрощение, состоит в пренебрежении влияния концентрации зоопланктона на концентрацию растворенного кислорода. Данное пренебрежение, как объясняется в работе A. Garulli-C. Mocenni, A. Vicino, A. Tesi [55], не вносит качественного изменения в динамику модели и позволяет записать влияние питательных веществ и растворенного кислорода на взаимодействии (0.8) между х и Х2 как внешнее периодическое воздействие s (t).

Пункт 2 главы 2 изучает случай, когда данное внешнее воздействие не зависит от времени, то есть N = 0 в (0.9). Известные методы доказательства существования предельных циклов в автономных системах на плоскости адаптируются для модели (0.8) и предложение 2 этого пункта утверждает, что если м>кх4

Л1Л4 — Л5 то система (0.8) имеет в первой координатной четверти по крайней мере один устойчивый предельный цикл, соответствующий автоколебательному режиму взаимодействия фитопланктона и зоопланктона.

В пункте 3 главы 2 разрабатывается геометрический метод изучения периодических колебаний в (0.8) в случае N ^ 0. Данный метод сочетает технику возмущений, дифференциальных неравенств и основан на построении таких областей, границы которых обладают свойством невозвращаемости траекторий. Основной результат данного пункта (теорема 2.1) утверждает, что если

Xl (M-N)> Хък

Л2 А4 — Л5' то система (0.8) допускает 12-периодические колебания в первой координатной четверти. Более того, в теореме 2.1 доказано, что существует г] > 0 такое, что соответствующее 12-периодическое решение х удовлетворяет следующей оценке:

V < zi (t) < (Ai/Л2)(М + TV) + 77,

V < x2(t) < max jl, k (l + у^) } em4(^bj) 1+12As + v.

В главе 3 разрабатываются теоретические основы численного нахождения начальных условий периодических колебаний в возмущенных автономных моделях, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида х = f{x) + eg (t, x, e), х G М2, (0.12) где /: М2 —> R2 — непрерывно-дифференцируемая функция, д: К х М2 х [0,1] —> R2 — непрерывная Т-периодичсская по времени функция и? > 0 — малый параметр. Класс систем типа (0.12) включает, в частности, рассматриваемое в главе 1 уравнение (0.3) и изучаемую в главе 2 систему (0.8) в случае, когда параметр N > 0 является малым. Более точно, в главе 3 предполагается, что для уравнения (0.12) известно существование Т-периодических решений х£ таких, что xe (t) —"¦ x0(t), при е —> 0, и, в зависимости от свойств линеаризованной системы у = f'(x0(t))y, (0.13) предлагаются качественные результаты о расположении решения х£ относительно цикла гсо

В пункте 1 главы 3 предполагается, что система (0.13) не имеет Т-периодических решений линейно независимых с xq, и даются следующие два результата. Во-первых, в лемме 4.3 пункта 1 доказывается существование числа М > 0 и семейства чисел Д£ —> 0 при е —> 0 таких, что x?(t + ДЕ) — ж (£)|| < Me для всех достаточно малых? > 0 и t? [О, Г]. Во-вторых, в теореме 4.1 того же пункта доказывается, что если zнепериодическое решение сопряженной к (0.13) системы, то предел где feel — зависящая от z и z константа. Другими словами, в пункте 1 главы 3 предлагается формула для вычисления скорости сходимости кривой же ([0,Т]) к кривой жо ([0,Т]) вдоль перпендикулярного к z (t) направления. В классической работе И. Г. Малкин [28] соответствующий результат получен при дополнительном предположении

М) линеаризованная система (0.13) имеет такое решение у, что y (tf Т) = py (t) при подходящем р ^ 1 и всех t G М, которое никогда не выполнено для гамильтоновых порождающих систем. Результат данного пункта проиллюстрирован (предложение 4.1) на модели колебательного контура с нелинейной индуктивностью, описываемого уравнением Дуффинга

Пункт 2 главы 3 посвящен изучению инвариантной кривой оператора Пуанкаре Ve системы (0.12) в случае (М). Напомним, что V?(v) определяется, как значение решения t x (t) системы (0.12) с начальным условием ж (0) = v в момент времени t — Т. Н. Левинсон [61] доказал, что такая кривая всегда существует в окрестности xq при малых е > 0. Пусть 5: [0,Т] I—> № - непрерывная замкнутая кривая. Откладывая величину 5(t) от xq (t) в направлении y (t)/\y (t)\ и учитывая lim- (z (t), xe{t + Де) — x0(t)) = M^t) находится по формуле

V + CV + Сз1>3 = ?7 COS Lot. условие (М), получим замкнутую кривую j[0,T] t—> М2 в окрестности цикла xo (t). Положим 71 (t) — Ve{i (t)). В достаточно малой окрестности цикла .го верно (лемма 4.4) и утверждение обратное предыдущему, то есть по замкнутой непрерывной кривой 71 [О, Т] н-> R2 можно восстановить замкнутую непрерывную кривую: [О, Т] н-" R такую, что 7i (t) = xq (t) + Si (t)y (t)/\y (t)\. To есть, определен оператор Ф, действующий из пространства непрерывных Т-периодических скалярных функций Ct (R, R) в него же. Неподвижные точки этого оператора соответствуют инвариантным кривым оператора Пуанкаре Ve. Основной результат пункта 2 главы 3 (теорема 4.2) состоит в том, что если р < 1, то существует 0<�д<1иЛ>0 такие, что а) ||Ф£|| < Ли ||(ФШ <1, б) ИФб-Ф&И < R: II Г IK !}• Другими словами, в данном пункте доказывается, что инвариантная кривая оператора Ve может быть найдена методом последовательных приближений, примененным к оператору Ф. В качестве примера численно построены несколько итераций оператора Ф в модели электрического контура, описываемого уравнением Ван дер Поля.

E=sin u) t

Рис. 3: Схема контура, состоящая из катушки с нелинейной индуктивностью Ь (ф), конденсатора емкостью С, и источника ЭДС Е.

Суммируя изложенное, можно выделить следующие основные полученные в диссертации результаты:

1. Установлено существование асимптотически устойчивых 2−7Г — периодических колебаний малых амплитуд в слабо-нелинейном механическом осцилляторе пружина-груз (рис. 1) в резонансном случае, когда соответствующая усредненная система имеет изолированное вырожденное состояние равновесия (с = ее, к (и) = 52£ш3, 7 = £2-у и е > 0 мало). Для этого предъявлен класс двумерных систем, в котором требование отрицательности вещественных частей производной (go)'{vo) оператора усреднения в его нуле vq (состоянии равновесия усредненной системы) может быть заменено требованием положительности индекса Пуанкаре этого нуля относительно оператора Аналогичный результат о существовании получен в случае, когда усредненная система допускает отрезок нулей (с = ее, к (и) заданно формулой (0.6), 7 = ?27 и е > 0 мало). Найдены параметры, при которых данный механический осциллятор с кусочно-линейной жесткостью (0.6) демонстрирует странную хаотическую динамику.

2. Доказано существование и получена оценка области, на границе которой траектории математической модели (0.8) взаимодействия фитопланктона и зоопланктона в мелкой лагуне удовлетворяют условию невозращаемости и в которой данная модель допускает, соответственно, 12-периодические колебания.

3. Получена формула для изучения увеличения/уменьшения амплитуды колебаний в колебательном контуре с нелинейной индуктивностью (рис. 3) при изменении амплитуды периодического воздействия.

Результаты работы докладывались на следующих международных конференциях: «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2009), «Дифференциальные уравнения, теория функций и их приложения» (Боголюбовские чтения 2008, Мелитополь), «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (ИПУ, Москва, 2008), NATO Advanced Study Institute on Photopolarimetry in Remote Sensing (Ялта, 2003), а также на Воронежских весенних и зимних математических школах (2004, 2008) и отчетной конференции Воронежской Государственной Технологической Академии (2007).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [31]-[38], [64]. Из совместной работы [31] в диссертацию вошли только принадлежащие Мартыновой И. С. результаты.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Каменскому Михаилу Игоревичу за постановку задачи, обсуждение результатов и организацию работы над диссертацией.

1. Андронов А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин // М.: Физматгиз, 1959. — 916 с.

2. Арнольд В. И. Математические методы классической механики / В. И. Арнольд. // М.: Наука, 1979. 432 с.

3. Берштейн И. Индекс особой точки и существование периодических решений систем с малым параметром / И. Берштейн, А. Халанай // ДАН СССР. 1956. — Т. Ill, N 5. — С. 923−925.

4. Блехман И. И. Синхронизация в природе и технике / И. И. Блех-ман // М.: Наука, 1981. 352 с.

5. Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в математической физике / Н. Н. Боголюбов // Акад. Наук Укр. ССР, 1945. 140 с.

6. Боголюбов Н. Н.

Введение

в нелинейную механику / Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов // Акад. Наук Укр. ССР, 1937. 365 с.

7. Боголюбов Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский //2 изд., М.: Физматгиз, 1958. 408 с.

8. Буйка А. К теореме Ю. А. Мипропольского о периодических решениях систем нелинейных дивверенциальных уравнений, правыечасти которых недифференцируемы / А. Буйка, Ж. Либри, О. Ма-каренков // ДАН. 2008. — Т. 421. — N 3. — С. 302−304.

9. Горяченко В. Д. Элементы теории колебаний / В. Д. Горяченко. // М.: Высш. шк, 2001. 395 с.

10. Гукенхеймер Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. // Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. -560 с.

11. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. // Изд. Моск. ун-та, 1998. 480 с.

12. Казаков С. В. Обоснование рациональных конструктивных и режимных параметров ударно-вибрационной конусной дробилки с двумя самосинхронизирующимися возбудителями колебаний: ав-тореф. дис. канд. тех. наук / С. В. Казаков. С.-Петербург, 2007. 21 с.

13. Каменский М. И. Об одной модификации принципа усреднения для вырожденных уравнений / М. И. Каменский // ДАН СССР.- 1996. Т. 347, N 2. — С. 151−153.

14. Кац А. М. Вынужденные колебания нелинейных систем с одной степенью свободы, близких к консервативным / А. М. Кац // ПММ. 1955. — Т. 19, N 1. — С. 13−32.

15. Колесов Ю. А. Принцип Шаудера и устойчтвость периодических решений / Ю. А. Колесов // ДАН. 1969. — Т. 188, N 6. — С. 12 341 236.

16. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин // 4-е изд. М.: Физмат-лит, 1976. 543 с.

17. Красносельский М. А. Векторные поля на плоскости / М. А. Красносельский и др.]. // М.: Физматгиз, 1963. 245 с.

18. Красносельский М. А. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти-периодических решений у системы обыкновенных дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский, А. И. Перов // ДАН СССР. 1958. — Т. 123, N 2. — С. 235−238.

19. Красносельский М. А. О некоторых признаках существования периодических решений у обыкновенных дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский, В. В. Стрыгин // ДАН СССР. -1964. Т. 156, N 5. — С. 1022−1034.

20. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский. М.: Наука, 1968. — 332 с.

21. Красносельский М. А. Геометрические методы нелинейного анализа / М. А. Красносельский, П. П. Забрейко. М.: Наука, 1975. — 512 с.

22. Крюков Б. И. Динамика вибрационных машин резонансного типа / Б. И. Крюков // Киев.: Наукова думка, 1967. 211 с.

23. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений / С. Лефшец. // М.: ИЛ, 1961. 388 с.

24. Макаренков О. Ю. Индекс Пуанкаре и периодические решения возмущенных автономных систем / О. Ю. Макаренков // Труды ММО. -2009. Т. 70. В печати. Препринт: arXiv: 0710.0006vl.

25. Макарепков О. Ю. Устойчивость незалипающих колебаний, установленных методом усреднения в кусочно-гладких системах / О. Ю. Макаренков // Препринт arXiv:0810.4794.

26. Макаренков О. Ю. Об одной модификации принципа усреднения при исследовании периодического режима RC-усилителя вблизи резонанса / О. Ю. Макаренков // Вестник ВГУ, серия: физика, математика. 2003. — N 1. — С. 157−160.

27. Малкин И. Г. К теории периодических решений Пуанкаре / И. Г. Малкин // ПММ. 1949. — Т. 13, N 6. — С. 633−646.

28. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний / И. Г. Малкин. М.: Гос. Изд. Техн.-Теор. Лит., 1956. — 492 с.

29. Мандельштаму JI. И. Об обосновании одного метода приближенного решения дифференциальных уравнений / Л. И. Мандельштам, Н. Д. Папалекси // ЖЭТФ. 1934. — Т. 4, N 2. — С. 117−122.

30. Мартынова И. С. Изучение уравнения Дюффинга при аппроксимации кубической нелинейности кусочно-линейной функцией / И. С. Мартынова, О. Ю. Макаренков // Вестник ВГУ. 2003. -N 2. — С. 201−202.

31. Мартынова И. С. О поведении решений одного кусочно-линейного дифференциального уравнения, близкого к уравнению ДюффингаИ. С. Мартынова // Воронежская зимняя математическая школа. 2004. — С. 79.

32. Мартынова И. С. Оператор Пуанкаре для обыкновенных дифференциальных уравнений, правые части которых недифференциру-емы / И. С. Мартынова // Материалы XLV отчетной конференции за 2006 год, Воронеж, ВГТА. 2007. — С. 100−101.

33. Мартынова И. С. Геометрический критерий бифуркации устойчивых периодических решений в некоторых двумерных моделях / И. С. Мартынова // Международный семинар «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», 3−6 июня 2008, Москва. С. 194−195.

34. Мартынова И. С. Математическая модель колебаний планктона при периодическом изменении климата / И. С. Мартынова // Актуальные проблемы математики и информатики (Труды математического факультета). Воронеж.: Изд-во ВГУ, 2009. — № 1. -С. 44−56.

35. Мельников В. К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях / В. К. Мельников // Тр. Моск. матем. о-ва.- 1963. Т. 12. — С. 3−52.

36. Митропольский Ю. А. Принцип усреднения в нелинейной механике / Ю. А. Митропольский. Киев: Наукова думка, 1971. -440 с.

37. Мишина А. П. Высшая алгебра: Линейная алгебра, многочлены, общая алгебра / А. П. Мишина, И. В. Проскуряков // М. :Физ-матгиз, 1962. 300 с.

38. Морозов А. Д. О полном качественном исследовании уравнения Дюффинга / А. Д. Морозов // Дифференциальные уравнения. -1976. Т. 12, N 2. — С. 241−255.

39. Перов А. И. Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений: дис.. канд. физ.-мат. наук / А. И. Перов.- Воронеж, 1959. 129 с.

40. Понтрягин JI. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / JI. С. Понтрягин. М.: Наука, 1974. — 332 с.

41. Проскуряков А. П. Колебания квазилинейных неавтономных систем с одной степенью свободы вблизи резонанса / А. П. Проскуряков // Прикл. мат. и мех. 1959. — Т. XXIII. — С. 851−861.

42. Проскуряков А. П. Периодические решения квазилинейных автономных систем с одной степенью свободы в виде рядов по дробным степеням параметра / А. П. Проскуряков // Успехи мат наук. -1962. Т. 17, вып. 2(104). — С. 215−265.

43. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями / А. Пуанкаре. M.-JI.: Гостехиздат, 1947. — 392 с.

44. Nonlinear system identification for damage detection / D. E. Adams, Ch. R. Farrar, K. Worden, M. D. Todd, G. Park, J. Nichols, M. T. Bement, K. Farinholt Los Alamos Nat. Lab. report LA-14 353, 2007. — 145 p.

45. Allegretto W. Periodic solutions in modelling lagoon ecological interactions / W. Allegretto, C. Mocenni, A. Vicino //J. Math. Biol., 2005. V. 5, N 4. — P. 367−388.

46. Auslander J. Attractors in dynamical systems / J. Auslander, N. P. Bhatia, P. Seibert // Bol. Soc. Mat. Мех. 1964. — V. 9. -P. 55−66.

47. Awrejcewicz J. On continuous approximation of discontinuous systems / J. Awrejcewicz, M. Feckan, P. Olejnik // Nonlinear Anal. 2005. -V. 62, N 7. — P. 1317−1331.

48. Dancer E. N. Boundary-value problems for weakly nonlinear ordinary differential equations / E. N. Dancer // Bull. Austral. Math. Soc. -1976. N 15. — P. 321−328.

49. Ermentrout G. B. WINPP: The dinamical Systems Tool. 1999.

50. Fatou P. Sur le mouvement d? un systemc soumis a des forces a courte periode / P. Fatou // Bull. Soc. Math. France -1928. V. 56. — P. 98 139.

51. Garulli A. Integrating identification and qualitative analysis for the dynamic model of a lagoon / A. Garulli, C. Mocenni, A. Vicino, A. Tesi // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2003. — V. 13, N 2. — P. 357−374.

52. Glover, J. Existence and stability of large scale nonlinear oscillations in suspension bridges / J. Glover, A. C. Lazer, P. J. McKenna //J. Appl. Math. Phys. 1989. — V. 40. — P. 172−200.

53. Izzo G. The anoxyc crises in distrophic processes of coastal lagoons: An energetic explanation / G. Izzo, V. Hull // Ecological Physical Chemistry, eds. Rossi, C., Tiezzi, E. (Elsevier) 1991. — P. 559−572.

54. Kahraman A. On the response of a preloaded mechanical oscillator with a clearance / A. Kahraman // Period-Doubling and Chaos, Nonl. Dyn. 1992. — V. 3. — P. 183−198.

55. Khibnik A., Kuznetsov Y., Levitin V., Nikolaev E. LOCBIF: Interactiva Local Bifurcation Analyzer, Version 2.2. Research Computing Centre, Russian Academy of Sciences. 1992.

56. Lazer A. C. Large-amplitude periodic oscillations in suspension bridges: some new connections with nonlinear analysis / A. C. Lazer, P. J. McKenna // SIAM Rev. 1990. -V. 32. — P. 537−578.

57. Levinson N. A second order differential equation with singular solutions / N. Levinson // Ann. of Math. 1949. — V. 50, N 2. -P. 127−153.

58. Loud W. S. Periodic solutions of a perturbed autonomous system / W. S. Loud // Ann. of Math. 1959. — V. 70. — P. 490−529.

59. Makarenkov O. Periodic solutions for planar autonomous systems with nonsmooth periodic peerturbations / O. Makarenkov, P. Nistri // J. Math. Anal. Appl. 2008. — V. 338, N 2. — P. 1401- 1417.

60. Martynova I. The spectral analysis of rotor dynamics / I. Martynova // NATO Advanced Study Institut on Photopolarimetry in Remote Sensing. 2003. — P. 62.

61. Mawhin J. Degre topologique et solutions periodiques des systemes differentiels non lineaires / J. Mawhin // Bull. Soc. Roy. Sci. Liege. -1969. V. 38. — P. 308−398.

62. Mawhin J. Periodic solutions in the golden sixties: the birth of a continuation theorem / J. Mawhin // Ten mathcmatical essays on approximation in analysis and topology, Elsevier В. V., Amsterdam, — 2005. P. 199−214.

63. Nakajima F. The number of periodic solutions of 2-dimensional periodic systems / F. Nakajima, G. Seifert //J. Differential Equations.- 1983. V. 49, N 3. — P. 430−440.

64. Nayfeh A. H. Nonlinear oscillations / A. H. Nayfeh, D. T. Mook //A Wiley-Interscience Publication, 1995. 724 p.

65. Smooth non-linear springs, particularly smooth progressive rate steel springs, progressive rate vehicle suspensions and method description/claims / Oledzki W. J. US Patent USPTO 20 080 093 786- fil. 24.10.06- publ. 24.04.08.

66. Ortega R. A criterion for asymptotic stability based on topological degree / R. Ortega // World Congress of Nonlinear Analysts '92, (Tampa, FL, 1992), de Gruyter, Berlin. V. I-IV. — 1996. — P. 383−394

67. Ortega R. Topological degree and stability of periodic solutions for certain differential equations / R. Ortega //J. London Math. Soc. -1990. V. 2(42), N 3. — P. 505−516.

68. Perron О. Die Ordnungszahlen der Differentialgleichungssysteme / O. Perron // Math. Zeitschr. 1930. — V. 31. — P. 748−766.

69. Reuter G. E. H. Boundedness theorems for non-linear differential equations of the second order / G. E. H. Reuter // II. J. London Math. Soc. 1952. — V. 27 — P. 48−58.

70. Sanders J. A. Averaging methods in nonlinear dynamical systems / J. A. Sanders, F. Verhulst // Applied Mathematical Sciences, 59. Springer-Verlag, New York, 1985. 247 p.

71. Ueda Y. The road to chaos / Y. Ueda // Aerial Press Inc., 1992. -223 p.

72. Van der Pol B. Frequency demultiplication / B. Van der Pol, J. Van der Mark // Nature -1927. V. 120. — P. 363−364.

73. Van Duin, E. H. S. Modelling photosynthesis and oxygen in a shallow, hypertrophic lake / E. H. S. Van Duin, L. Lijklema // Ecol. Model. -1989. V. 45, N 4. — P. 243−260.

74. Yagasaki K. The Melnikov theory for subharmonics and their bifurcations in forced oscillations / K. Yagasaki // SIAM J. Appl. Math. 1996. — V. 56, N 6. — P. 1720−1756.