Динамика нелинейных волновых полей в многомерных теориях гравитации

Основной предпосылкой для создания и развития пятимерных геометрических теорий типа Калуцы-Клейна и первым примером геометрического подхода к описанию физических взаимодействий является теория гравитации Эйнштейна или, иначе, Общая Теория Относительности (ОТО) [4, 13] (1915 г.). В этой теории геометризуется гравитационное поле, которое трактуется как кривизна пространства-времени и описывается тензорами кривизны пространства-времени, — тензором Римана, тензором Риччи и скаляром кривизны:

— КШт? Rikl И) а уравнения движения материальных частиц в гравитационном поле определяются уравнениями геодезических в соответствующем римановом пространстве-времени: и: йз + гктикит = 0.

Отсутствие массы частицы в этом уравнении является следствием принципа эквивалентности. Таким образом, в рамках ОТО при наличии гравитационного поля пространство-время становится четырехмерным искривленным римановым — точнее псевдоримановым — пространством.

После создания ОТО, все предсказываемые ею эффекты многократно проверялись и на Земле, и в солнечной системе, и в звездных системах нашей Галактики, и на внегалактических объектах, — все они подтвердились с высокой точностью, Так что ОТО стала рассматриваться настоящей теорией пространства-времени и гравитации, в рамках которой само понятие гравитации свелось к чистой геометрии пространства-времени.

Успех ОТО, которая геометризовала одно из фундаментальных физических взаимодействий, — гравитационное, подвигнул физиков-теоретиков к разработке геометрических теорий других фундаментальных физических взаимодействий. В те годы (20-е гг. XX в.), кроме гравитационного, было известно только еще одно, — электромагнитное. Поэтому ставилась задача геометризовать и электромагнитное взаимодействие и создать единую геометрическую теорию гравитации и электромагнетизма.

Первый вариант такой теории разработал в 1918 г. Г. Вейль [11]. Для этого ему пришлось выйти за рамки риманова пространства и перейти к более общей геометрии пространства-времени — к пространству, где кроме кривизны наличествует еще и неметричность пространства-времени, описываемая вектором Вейля Поэтому такое пространство стало называться пространством Вейля. При наличии неметричности величина вектора при его параллельном переносе изменяется, и ковариантная производная метрического тензора не равна нулю: к9тп = ИГк9тп Ф О, а в случае неметричности Вейля это изменение пропорционально самому вектору Вейля, введенного им в свою теорию.

В единой теории гравитации и электромагнетизма Вейля 4-вектор электромагнитного потенциала отождествляется с вектором неметричности Вейля.

Первоначально теория Вейля заинтересовала многих физиков-теоретиков. Сам Эйнштейн в своих попытках построить единую теорию гравитации и электромагнетизма увлекся идеями Вейля и пробовал использовать их.

Однако в дальнейшем в теории Вейля обнаружилось много недостатков, что рассеяло первоначальный оптимизм, и она поэтому не стала рассматриваться как настоящая единая теория. Вскрылись следующие существенные недостатки.

1. В этой теории естественным образом не получаются уравнения Максвелла, так как при использовании в качестве лагранжиана теории скалярной кривизны И, пространства-времени, как это было сделано Эйнштейном при разработке ОТО, даже для случая обобщения Вейля, в ней не содержалось слагаемого, соответствующего лагранжиану теории Максвелла.

2. В теории Вейля не получаются естественным образом известные уравнения движения заряженных материальных частиц в гравитационном и электромагнитном полях.

3. Предсказываемые теорией новые эффекты лежали за пределами возможностей эксперимента.

Несмотря на эти недостатки теория Вейля оставила существенный след в теории пространства-времени и в решении проблем теории гравитации, и она сыграла огромную роль в дальнейшем развитии концепции геометризации физических взаимодействий. Многие находки в теории Вейля использовались в дальнейших разработках геометрических теорий фундаментальных физических взаимодействий.

Во-первых она представила новый тип дифференциальной геометрии, более общий, чем риманова.

Во-вторых, в рамках этой теории были введены конформные преобразования объектов пространства-времени, которые широко используются в современной теоретической физике.

Нами теория Вейля упомянута в связи с тем, что мы в своей работе также будем использовать некоторые положения геометрии Вейля, обобщая их в соответствии с нашими рассматриваемыми вопросами, а также в связи с тем, что значительное время она рассматривалась как основная конкурирующая с пятимерным подходом геометрическая теория физических взаимодействий.

Следующим, качественно иным обобщением римановой геометрии, используемой Эйнштейном в ОТО, явилась геометрия пространств с кручением, предложенная Э. Картаном в начале 20-х годов XX в. [33]. Основная идея, приведшая к такой геометрии, состоит в допущении, что коэффициенты связности пространства-времени содержат кроме симметричной части, и несимметричную часть, которая является тензором и называется тензором кручения.

Як = Тщ.

В пространстве с кручением нарушается правило параллелограмма при параллельном переносе векторов. По идее Картана тензор кручения должен индуцироваться собственным моментом импульса (спином) материи. Эти идеи Картана нашли свое воплощение в построенной в 70-х годах XX в. теории Эйнштейна-Картана (ТЭК). В наших разработках мы также будем использовать такой тип обобщенного пространства при соответствующих коррекциях.

На протяжении всей жизни Эйнштейн стремился создать единую геометрическую теорию поля, объединяющую гравитационное и электромагнитное взаимодействия. Однако ближе всех к реализации мечты Эйнштейна подошел польский физик Теодор Калуца, который еще в 1921 г. заложил основы нового и неожиданного подхода к объединению физических взаимодействий, перейдя от геометрии четырехмерного пространства-времени, которую использовал Эйнштейн в ОТО, к геометрии пятимерного пространства-времени с дополнительным четвертым пространственным измерением [32].

Появление представлений о многомерных пространствах с числом измерений больше трех многие ученые рассматривают как важнейшую веху в развитии учения о структуре пространства-времени. Рождение этой идеи ставят в один ряд с открытием неэвклидовых геометрий. Вполне отчетливо идеи многомерности были сформулированы в работах математиков XIX в.: Б. Римана, Г. Грассмана, А. Кэли [67].

После работ названных авторов понятие размерности в математике претерпело ряд этапов конкретизации вплоть до строго топологического определения размерности, данного в работах П. С. Урысона, К. Менгера [27].

А в 1891 г. Ф. Клейн обсуждая работы Гамильтона по оптике и механике, обращал внимание на представимость механических задач о движении материальной точки в виде задач оптики в соответствующих средах в пространстве высшего (больше трех) числа измерений [45].

Идея многомерия оказалась необходимой для создания специальной теории относительности (СТО), но не в смысле увеличения числа пространственных измерений, а в смысле объединения трех пространственных и одного временного измерения в рамках одного четырехмерного многообразия, псевдоевклидова пространства Минковского. Здесь несомненна заслуга Г. Минковского.

Следующий шаг в применении концепции многомерия в теоретической физике сделал, как говорилось выше, Т. Калуца.

Калуца нашел простое решение, обобщив геометрию пространства-времени так, чтобы она «вместила» в себя кроме Эйнштейновской теории гравитации еще и теорию электромагнетизма Максвелла, а именно, — добавив еще одно пространственное измерение.

Им была предложена геометризация электромагнитного поля в духе Эйнштейновской теории тяготения с помощью увеличения на единицу числа пространственных координат. Предполагалось, что пятимерное риманово (точнее псевдориманово) многообразие! искривлено, и компоненты электромагнитного векторного потенциала А{ представляются через компоненты 5-метрики С4г, так же как гравитационное поле описывается компонентами 4-метрики д1к.

Далее Т. Калуца показал, что уравнения Эйнштейна в пустом пятимерном пространстве-времени.

Яав ~ R9AB = 0 (А, В = 0,1,2,3,4).

Распадаются на уравнения Эйштейна в четырехмерном пространстве-времени с тензором энергии-импульса электромагнитного поля в правой части:

Яцс — = (г, к = 0,1,2,3) и уравнения Максвелла тоже в четырехмерном пространстве-времени:

У*^* = 0.

При этом предполагалось условие цилиндричности по дополнительной координате, то есть независимость всех величин теории от этой координаты и так же полагалось, что дополнительный метрический коэффициент (?44 = 1.

Таким образом у него получилось, что теория гравитации Эйнштейна в пятимерном пространстве-времени включает в себя и ОТО, т. е. эйнштейновскую теорию гравитации, сформулированную в четырехмерном пространстве-времени, и электромагнитную теорию Максвелла. Тем самым Калуца показал, что электромагнетизм также является своего рода «гравитацией», но не обычной, а «гравитацией» в дополнительных пространственных не наблюдаемых нами измерениях. Фактически, Калуца постулировал, что существует еще одно дополнительное пространственное измерение, и общее число пространственных измерений будет не три, а четыре, и всего пространство-время насчитывает пять измерений. Гравитационное поле в таком пятимерном мире проявляет себя в виде обычного гравитационного поля плюс электромагнитное поле Максвелла, если наблюдать этот пятимерный мир из пространства-времени, ограниченного четырьмя измерениями.

Своей гипотезой Калуца по существу утверждал, что если мы расширим свое представление о мире до пяти измерений, то в нем будет существовать лишь единственное силовое поле — гравитация. То, что мы называем электромагнетизмом, — всего лишь часть гравитационного поля, которое действует в пятом дополнительном измерении пространства-времени, которое мы не в состоянии наглядно представить. Таким образом, получается, что математически гравитационное поле Эйнштейна в пространстве-времени пяти измерений в точности и полностью эквивалентно обычной гравитации плюс электромагнетизм в пространстве-времени четырех измерений. Конечно, это нечто большее, чем случайное совпадение.

Известно, что первый вариант статьи Калуцы с его пятимерной теорией гравитации и электромагнетизма был прислан на отзыв Эйнштейну в 1919 г. Он изучая и осмысливая ее держал эту статью у себя два года и лишь в.

1921 г. Эйнштейн отправил ее обратно в журнал для опубликования с положительным отзывом, но со своим замечаниями и вопросами. Работа Калуцы была опубликована в конце 1921 г.

Затем в 20-х годах XX в. пятимерную геометрическую единую теорию гравитации и электромагнетизма развивали вслед за Калуцей О. Клейн, Л. де Бройль, А. Эйнштейн и др. [78, 82].

В современной литературе пятимерная геометрическая теория гравитации и электромагнетизма называется теорией Калуцы-Клейна. Заслуга Клейна состоит в том, что, если первоначальный вариант теории Калуцы был разработан в линеаризированном виде, то Клейн распространил теорию на общий случай.

Из российских физиков пятимерной теорией поля первыми стали заниматься В. А. Фок [74] и Г. А. Мандель [59]. В этот период был уточнен ряд элементов пятимерной теории, вскрыты ее основные достоинства и недостатки. Здесь следует отметить, что В. А. Фок впервые пришел к релятивистскому уравнению для скалярных частиц с ненулевой массой покоя (уравнение Клейна-Фока) через пятимерие.

Для этого он частично отказался от условия цилиндричности, как это было у Калуцы, и предположил циклическую зависимость волновой скалярной функции (р от дополнительной координаты х4: ср (х, у, г, 1, х4) = 4 (р (х, у, г, где ^ - комптоновская длина волны частицы. При таком предположении волновое уравнение Даламбера в пятимерном пространстве-времени для безмассовой частицы автоматически переходит в релятивистски инвариантное волновое уравнение для массивной частицы в четырехмерном пространстве-времени: где, А — трехмерный оператор Лапласа.

В 30-х годах XX в. Одной из важнейших проблем теоретической физики считался поиск единой теории гравитации и электромагнетизма. Наряду с другими вариантами (Вейля, Эддингтона и др.) многократно анализировалась и пятимерная теория. Делались настойчивые попытки преодолеть недостатки ее первых вариантов, в частности выяснить физический смысл пятой координаты или обосновать причины ее отсутствия в используемых уравнениях.

Среди наиболее интересных результатов следует выделить два. Первый был сделан в работах А. Эйнштейна и П. Бергмана [81] и А. Эйнштейна, В. Баргмана и П. Бергмана [80]. Он состоит в ослаблении условия цилиндрич-ности метрики по пятой координате. Вместо него было предложено условие периодичности по такой координате. Полагалось, что мир замкнут по пятой координате с очень малым периодом по сравнению с макроскопическими масштабами. По этой причине зависимость по пятой координате в привычных масштабах не наблюдается.

Условие периодичности по пятой координате существенным образом будет использовано в нашей работе.

Второй результат также связан с поиском обоснования ненаблюдаемости пятой координаты. Он состоит в построении проективного варианта пяти-мерия и начал развиваться с работ О. Веблена и Б. Гофмана [10]. Было предложено описывать четырехмерное многообразие посредством пяти однородных координат. На основе понятия проектора Д. ван Данцигом [29] была создана проективная дифференциальная геометрия. Затем И. Схоутен и Д. Ван Данциг [73] применили этот математический аппарат для построения проективной теории гравитации и электромагнетизма. Некоторым промежуточным итогом являются обзорные работы В. Паули [62], в которых введен ряд упрощений и сделана попытка учета спинорных полей.

После этих работ сложились две ветви развития пятимерных теорий: первая вслед за Калуцей с условиями цилиндричности или цикличности по пятой координате, и вторая — проективный вариант. В дальнейшем было показано, что между этими двумя ветвями можно установить взаимно однозначное соответствие. А затем оказалось, что первая ветвь предоставляет больше возможностей для последующего обобщения теории.

В нашей работе мы будем проводить исследования в рамках первой ветви, а именно, — будем использовать условия цилиндричности или цикличности по пятой координате.

Период развития геометрических многомерных теорий фундаментальных физических взаимодействий в 20−30-е гг. также не оказался бесплодным. Теория значительно обогатилась рядом новых методов и приемов. В частности, в конце 30-х годов был развит метод 4+1-расщепления пятимерного многообразия [15], который был впоследствии переложен (или переоткрыт) в рамках четырехмерия (метод З-Ы-расщепления) для описания систем отсчета в ОТО.

Следующий подъем интереса к концепции пятимерия наблюдался в период 40−50-х гг. и был связан с иными обстоятельствами. На этот период приходятся работы П. Йордана [30], который предложил отказаться от старого ограничения — условия, что 15-й метрический коэффициент постоянен (044 = 1). В итоге получилась пятимерная геометрическая теория с дополнительным скалярным полем также геометрического происхождения. В работах П. Йордана и др. были исследованы физические возможности пятимерной теории с новым гипотетическим скалярным полем ср геометрического происхождения ((З44 = ср).

В своей работе мы, когда это нужно, также будем использовать вариант пятимерной теории с геометрическим скалярным полем ?44 = <�р (хг).

Для развития отечественных исследований в области многомерных теорий большое значение имел цикл исследований Б. Ю. Румера [68]. Эти работы имели несколько характерных черт. Во-первых Румер исследовал вариант пятимерия, называемый 5-оптикой, соответствующей идее Ф. Клейна XIX в. Массивные частицы в четырехмерном мире рассматривались в пятимерии как движущиеся по изотропным («световым») геодезическим. Приведя к ряду интригующим результатам, это направление исследований попало в тупик. Это объясняется ограничением лишь пятью измерениями. В многообразиях большего числа измерений эти трудности устраняются.

Кроме того, следует отметить, что соображения оптики, т. е. постулирование, что изначальные массы покоя частиц отсутствуют, сейчас широко используется в теретической физике, например, в модели электрослабых взаимодействий Вайнберга-Салама и в теории сильных взаимодействий.

Другой характерной чертой работ Румера является попытка связать идею Эйнштейна-Бергмана о замкнутости мира по пятой координате с закономерностями квантовой механики. Некоторые намеки на возможную физическую интерпретацию такой замкнутости (цикличности по ж4) можно усмотреть в приеме Фока, о котором говорилось выше, для индуцирования массы покоя у частиц. Использовалась также зависимость от хА вида ехр (геа:4), где е — электрический заряд электрона, приводящая к электрическим зарядам в теории.

Эти соображения о цикличности по пятой координате с периодами, зависящими как от массы, так и от электрического заряда, будут также использованы в нашей работе.

В 60-х гг. XX в. заметное внимание к концепции пятимерия уделялось во Франции в научных группах А. Лихнеровича и М. Тоннеля. Особо следует выделить работу И. Сурьо [72], где рассматривалась зависимость от хА всех компонент метрики и волновых функций частиц. Можно указать и на работы Э. Шмутцера по пятимерию в проективном варианте.

В СССР серия работ по пятимерию была выполнена Ю. П. Пытьевым [65]. Тогда же В. И. Родичевым было предложено описывать электромагнитное поле пятимерным тензором кручения.

В это же время наблюдался подъем интереса к многомерию под иным углом зрения. Проводились исследования многомерных импульсных пространств в связи с попытками устранения расходимостей в квантовой теории поля. Изучались возможности квантования пространства-времени или введения в теорию элементарной длины. Здесь следует назвать работы В. Г. Кадышевского [31].

В 70 гг. XX в. во всем мире, как и в России, возрос интерес многомерным теориям в связи с развитием теорий калибровочных полей, предложенной для абелевых групп симметрий в свое время Вейлем, а для неабелевых групп в 50-х гг. XX в. Янгом и Миллсом для группы 811(2). Физические поля в калибровочных теориях получаются при локализации соответствующих групп симметрий и трактуются как калибровочные поля. Сначала рассматривались абелевы группы, в частности группа фазовых преобразований волновых полей 11(1), при локализации которой получалось электромагнитное поле. Затем были рассмотрены неабелевы калибровочные теории, позволившие построить модель электрослабых взаимодействий Вайнберга-Салама, а затем перейти к хромодинамике — модели сильных взаимодействий, где использовалась неабе-лева группа 811(3). Довольно быстро было осознано, что многомерные теории типа Калуцы-Клейна можно понимать как геометризацию теорий калибровочных полей. Можно даже сказать, что в ряде отношений эти два вида теорий представляют собой два разных языка, описывающих одну и ту же физическую реальность. Однако существенное различие состоит в том, что геометрические представления всегда рассматривались более фундаментальными, нежели вводимые на их основе физические конструкции.

Большие надежды возлагаются на калибровочный подход в деле построения теории великого объединения (ТВО) всех физических взаимодействий. Исходя из понимания геометрии как «консерванта скоропортящихся физических идей», было выполнено значительное количество работ по геометризации известных калибровочных теорий. Оказался преодоленным психологический барьер ограничений пятью измерениями. Широко стали использоваться многообразия большего числа измерений. Были построены геометрические модели объединения физических взаимодействий в пространствах шести, семи и восьми измерений.

Другая причина, по которой сейчас теории типа Калуцы-Клейна оказались в центре внимания, это исследования суперсимметричных теорий и теории супергравитации, которые позволяют геометризировать и фермионные поля. В основе этого направления лежит способ симметричного рассмотрения бозонных и фермионных полей. Это достигается использованием в теории величин, зависящих как от обычных четырех пространственно-временных координат, так и от дополнительных переменных, являющихся элементами алгебры Грассмана. Подобный прием равносилен увеличению размерности многообразия. Более того, было показано, что решение ряда вопросов теории супергравитации может быть облегчено использованием геометрических методов и многообразий размерности больше четырех. В частности, таким образом разрабатывается перспективный максимально расширенный вариант супергравитации (N=8). При этом оказалось, что максимальное число измерений многообразия, из которого после размерной редукции (переход к четырехмерию) получается разумная с точки зрения феноменологии теория, равно 11.

Интенсивно развиваемая в наше время, особенно в группе Э. Виттена, теория суперструн [25], также развившаяся из теории суперсимметрии и претендующая на роль «Теории Всего», из которой в низкоэнергетическом пределе должны получаться теории фундаментальных физических взаимодействий, тоже формулируется в 11-мерном пространстве.

Далее следует отметить еще одно направление теории, более близкое к классической линии развития теории типа Калуцы-Клейна, — это ряд работ Ингрэхэма и Павшича [61], основанных на обобщении группы конформных преобразований. Уже давно обращалось внимание, что уравнения для безмассовых физических полей в четырехмерном плоском пространстве-времени инвариантны относительно более широкой группы преобразований, нежели группа Пуанкаре. Это 15-параметрическая группа конформных преобразований, изоморфная группе вращений 6-мерного многообразия с сигнатурой.

Н———Ь), т. е. многообразию с четырьмя пространственными измерениями и двумя временами, ортогональными друг другу. Переход к 6-мерию и его обобщение типа перехода от преобразований Лоренца в СТО к группе допустимых координатных преобразований в ОТО лежат в основе этих работ. Принципиально важным аспектом этих теорий является появление в них второй временноподобной координаты.

В 70-х гг. XX в. стала развиваться концепция многомерия в научной группе Ю. С. Владимирова [16, 17]. В этих работах был усовершенствован монад-ный формализм, интенсивно использовалось геометрическое скалярное поле, описываемое 15-м метрическим коэффициентом ?44, которое увязывалось с конформным фактором, в свое время введенным Г. Вейлем. Была разработана процедура усреднения по периоду зависимости объектов теории от пятой координаты. В результате с использованием вышеуказанных теоретических приемов, и особенно монадного формализма, Ю. С. Владимировым пятимерная геометрическая единая теория гравитации и электромагнетизма была окончательно построена в самом общем, полном и корректном виде.

В формулировке Ю. С. Владимирова основные положения пятимерной геометрической теории гравитации и электромагнетизма следующие.

Метрика пятимерного риманова пространства-времени выбирается в виде:

II2 = САВ&хАйхв, {А, В = 0,1,2,3,4).

Плотность действия системы волновых полей, т. е. лагранжиан системы является геометрическим объектом пятимерного риманова пространства-времени, — это его скалярная кривизна, по аналогии с плотностью действия для гравитационного поля в ОТО в четырехмерном пространстве: и где (7 — определитель матрицы из компонент пятимерного метрического тензора, ЩСав) — скалярная кривизна пятимерного пространства-времени, выражающаяся через компоненты пятимерного метрического тензора и их производные, к — эйнштейновская гравитационная постоянная.

Далее варьируя плотность действия по компонентам пятимерного метрического тензора, получаем пятимерные гравитационные уравнения Эйнштейна в пустом пятимерном пространстве-времени:

Rab ~ ?RGAB = 0.

Уравнения движения частиц определяются уравнениями геодезических в пятимерном пространстве: d2xA, А dxB dxc dP+lBClT~dr-0.

Далее для перехода от пятимерной теории гравитации в пустом пространстве в отсутствии в нем материи к четырехмерной теории и для физической интерпретации геометрических величин используется процедура 4+1-рас-щепления с помощью монадного формализма и процедура отождествления геометрических и физических величин. Кроме того накладывается условие цилиндричности по дополнительной координате, т. е. условие независимости всех величин от этой координаты. Чтобы это проделать, вводится монада, А а, с помощью которой расщепляется 5-мерный метрический тензор:

Gab = 9AB где дАв — метрический тензор четырехмерного пространственно-временного сечения, ортогонального линиям А. Монада калибруется следующим образом: А^ = > чт0 соответствует хронометрической калибровке. Далее для простоты будем полагать G44 = 1. В данной калибровке с учетом условия цилиндричности выделяются следующие допустимые преобразования координат:

A = xA + f (xk) — х’к = х’к{х1) — (г, к = 0,1,2,3).

После этого определяется процедура проектирования на монаду, на пространственно-временное четырехмерное сечение и смешанное проектирование. Например для тензора второго ранга В ab эти проекции определятся выражениями, соответственно:

В = ВАВ^Л^Б', В AB = Bcd9A9B'I В, А = BcdC9AD,.

17 и процедура отождествления геометрических величин с физическими — электромагнитным потенциалом Ак и напряженностью электромагнитного поля с2 Хк, 1 — (} йхА д ак = ь-4 к7П=1 — -7Г~7=-5 ~Т~ = ЛА—рГ = — т-7=.

2 у/к 2у/ к ав аI.

Здесь к — гравитационная постоянная Ньютона, q — электрический заряд частицы, т — ее масса.

Далее полагается, что волновые функции электрически заряженных частиц циклически зависят от пятой координаты: с периодом Т = где е — заряд электрона. Период Т можно представить в виде: к/Л. /е 2.

Здесь специально выделены замечательные физический величины: = /0, где 1о — планковская длина ~ 10~33см, ^ - постоянная тонкой структуры ~ так что период компактификации по дополнительной координате ~ 10−31см.

После этих определений, проводя указанные процедуры проектирования и отождествления над вакуумными пятимерными уравнениями Эйнштейна и уравнениями геодезических в пятимерном пространстве, получаем классические результаты теории Калуцы-Клейна.

1. Вакуумные пятимерные уравнения Эйнштейна соответствуют четырехмерному электровакууму, т. е. распадаются на систему десяти четырехмерных стандартных уравнений Эйнштейна и систему вакуумных уравнений Максвелла.

2. В правой части получающихся четырехмерных уравнений Эйнштейна автоматически появляется известный тензор энергии-импульса электромагнитного поля. Таким образом, в пятимерных вакуумных гравитационных уравнениях Эйнштейна содержится в свернутом виде вся теория взаимодействия гравитационного и электромагнитного полей.

3. Четыре из пяти пятимерных уравнений геодезических в точности превращаются в стандартные четырехмерные уравнения движения электрически заряженных частиц в гравитационном и электромагнитных полях, а пятое уравнение превращается в закон сохранения электрического заряда частицы:? = 0.

4. Указанные выше допустимые координатные преобразования автоматически генерируют известные в электродинамике градиентные преобразования электромагнитного потенциала: А^ —> А^ +.

5. Пятая компонента 5-импульса частицы — РА = т^ равна электрическому заряду частицы.

6. Поскольку период компактификации по пятой координате пропорционален заряду электрона е, то при многократном дифференцировании волновой функции по пятой координате при ней возникают множители, кратные заряду электрона. Так что автоматически получается квантованность электрического заряда: д = пе (п = 1,2,3,.), и оператор дифференцирования по пятой координате ^ является оператором электрического заряда, а волновая функция заряженной частицы и ее электрический заряд являются собственными функциями и собственными значениями этого оператора с точностью до постоянных множителей, соответственно: =.

Все эти результаты пятимерной геометрической теории Калуцы-Клейна говорят с большой достоверностью, что действительно реально пятимерное пространство-время, а дополнительное измерение ненаблюдаемо вследствие его замкнутости с очень малым радиусом замыкания, и что в действительности имеется пятимерное гравитационное поле, а наблюдаемое четырехмерное гравитационное поле и электромагнитное поле есть проекции пятимерного поля на четырехмерное пространственно-временное сечение и его смешанная проекция, соответственно. Об этом писал и сам Калуца, что «нелегко примириться с мыслью, что все эти удивительные соотношения, которые вряд ли можно превзойти по достигнутой в них степени формального единства всего лишь капризная игра обманчивой случайности».

В рамках вышесформулированной пятимерной геометрической теории гравитации и электромагнетизма были проведены исследования по применению этой теории в астрофизике и космологии [50, 51, 52]. Для конкретных стационарных астрофизических задач было показано, что данная теория действительно эквивалентна теории взаимодействия гравитации и электромагнетизма в рамках ОТО. Были найдены некоторые специфические эффекты теории.

В дальнейшем в работах Ю. С. Владимирова и его группы был обобщен метод 4+1-разбиения пятимерного пространства на случаи пространств 5, 6, 7 и 8 измерений и развиты методы (п-1)+1, (п-2)+2,.- расщеплений п — мерного многообразия (монадный, диадный и т. д.), соответственно. Было предложено использование более общей циклической зависимости волновых функций от дополнительных координат, например, — Ф{рсА) = (р (хк)ег^а5хъ+авхв+.)^ Где ??5, аб, ••• ~ параметры, характеризующие периоды цикличности. Это позволило построить 6 и 7 — мерные геометрические модели объединения гравитационного, электромагнитного и слабого взаимодействий [18, 19] и 8 — мерную геометрическую модель гравитационного и сильного взаимодействий [19, 5].

У всех этих многомерных геометрических моделей физических взаимодействий есть свои достоинства и недостатки.

К недостаткам можно отнести то, что в указанных моделях приходилось дополнительные высшие пространственные измерения делать комплексными, а не вещественными, что с нашей точки зрения является некорректным.

Оптимальным вариантом направления исследований можно считать разработку пятимерной геометрической модели объединения гравитационных, слабых и электромагнитных взаимодействий и выявление возможных наблюдаемых физических и астрофизических эффектов разрабатываемой теории, а также исследование возможностей применения ее результатов в космологии для разрешения появившихся в последние годы космологических проблем, например объяснение природы «темной энергии» и «темной материи».

Такой выбор цели исследований в качестве оптимального варианта направления исследований обусловлен тем, что она, во-первых, является главной целью исследований, и во-вторых, в процессе разработки этого направления попутно можно рассчитывать и на решение других проблем общерелятивистской теории гравитации, указанных в теме исследований.

Кроме того, было выбрано именно пятимерное пространство-время для разработки геометрической модели электрослабых и гравитационного взаимодействий, что обусловлено следующими обстоятельствами.

Во-первых, с целью «экономии» дополнительных измерений, т.к. известные упоминавшиеся выше геометрические модели объединения взаимодействий, разработанные в группе Ю. С. Владимирова, являются семии восьмимерными.

Во-вторых, реальным можно считать именно пятимерное пространство-время с дополнительным четвертым пространственным измерением. В самом деле, как показывает вышесформулированная пятимерная теория гравитации и электромагнетизма Калуцы-Клейна, существует единственное дально-действующее фундаментальное физическое взаимодействие, — гравитационное, которое является пятимерным и действует в пятимерном пространстве-времени, а наблюдаемые четырехмерные гравитационное и электромагнитное взаимодействия являются просто его наблюдаемыми проявлениями.

Кроме того, и основные материальные частицы, являющиеся источниками полей взаимодействий, элементарные фермионы (кварки и лептоны), описываются дираковскими спинорами. Но дираковские спиноры на самом деле являются также пятимерными объектами, поскольку математически они являются спинорными представлениями алгебры Клиффорда С (4,1), соответствующей именно пяимерному пространству-времени с четырьмя пространственными измерениями и одним временным, Таким образом, получается, что и поля дальнодействующих взаимодействий, и их материальные источники на самом деле являются пятимерными объектами и располагаются в пятимерном пространстве-времени.

В работе В. Г. Кречета используется пятимерное пространство-время для формулировки геометрической модели грави-электрослабых взаимодействий. В этом случае кроме метрического поля ди^х-*), описывающего гравитацию, возникают еще и 4 векторных поля, соответствующие электромагнитному полю и трем векторным полям переносчиков слабых взаимодействий — промежуточным векторным бозонам: Z0, }?+, .

Однако в пятимерном римановом пространстве, кроме метрического поля есть только одно векторное поле — монада, связанное в теории Калуцы-Клейна с электромагнитным полем. Так что пятимерного риманова пространства недостаточно для описания еще и слабых взаимодействий. Поэтому необходимо расширить риманово пространства до более общего аффинно-метри-ческого пространства, в котором кроме кривизны есть еще кручение и немет-ричность.

В работе В. Г. Кречета для разработки пятимерной геометрической модели грави-электрослабых взаимодействий выбрано именно пятимерное аффинно-метрическое пространство, оснащенное и кривизной, и кручением, и немет-ричностью. Причем тензор неметричности vа^вс мы выбираем вейлевского типа: VаОвс — ЪЦ^аОвс, гДе Жд — пятимерный вектор Вейля. Таким образом, в качестве основы выбрано пятимерное пространство Картана-Вейля. В таком пространстве есть как минимум 4 геометрических векторных поля: монада Л а, вектор Вейля IVА, след тензора кручения С^а = Яав^ и потенциал В, а антисимметричной части тензора кручения С}ав — Яав^с {Ща, в = Яав)• В таком пространстве возникают еще и скалярные поля, являющимися монад-ными проекциями указанных векторов: к = АА = в^ Я = Яа^а? = УааВ = ВаХл.

Их можно использовать в качестве полей Хиггса и для перенормировки масс бозонных и фермионных полей.

С учетом наличия указанных векторных и скалярных полей, обусловленных наличием кручения и неметричности пятимерного пространства-времени, пятимерную скалярную кривизну можно разложить на риманову и нериманову части следующим образом (без учета дивергентных слагаемых): д = д ({}) — 3<3лдл — 121? а1?а — у1с1ажа — яавяав.

Кинетическая часть для вектора монады содержится в римановом скаляре кривизны Д ({}), а кинетическая часть для потенциала кручения В, а — в слагаемом ЯавЯав.

Чтобы описывалась динамика введенных векторных полей, необходимо еще добавить в плотность гравитационного действия кинетическую часть для вектора неметричности. Она содержится в сегментарной кривизне пространства Картана-Вейля 0<�ав = Ra. bc ~ ЮИа, в — Поэтому квадрат сегментарной кривизны добавляется в плотность гравитационного действия со своей константой взаимодействия а. В итоге плотность гравитационного действия в указанной пятимерной геометрической модели физических взаимодействий должна иметь вид: аПАвПлв).

Эта геометрическая плотность гравитационного действия определяет бозон-ный сектор геометрической модели грави-электрослабых взаимодействий.

В первой главе диссертации исследуется проблема гравитационного взаимодействия геометрических электромагнитного и скалярного полей для случая цилиндрической симметрии пространства-времени. Рассмотрены случаи взаимодействия геометрического скалярного поля с электрическим, азимутальным магнитным и продольным магнитным полями. В последнем параграфе рассматривается гравитационное взаимодействие азимутального магнитного поля со скалярным полем в пустом пространстве с вращением. Получены точные решения пятимерных вакуумных уравнений Эйнштейна. Показано, что такое взаимодействие геометрических полей может образовывать геометрию пространства-времени с нетривиальной топологией, например в виде «кротовых нор» космических струн или пространства конгруэнций цилиндров. Так же была исследована возможность плоской асимптотики.

Вторая глава посвящена исследованию гравитационного взаимодействия идеальной жидкости в пятимерном пространстве Римана-Вейля. Построена теория такого взаимодействия. Построены и исследованы космологические модели в четырехи пятимерном пространстве-времени с неметричностью и проводится их сравнение с моделями Фридмана и космологическими моделями в пятимерном римановом пространстве-времени.

Третья глава посвящена проблемам пятимерных тензорных вычислений в системе компьютерной математики Ма^етайса с пакетами дополнений Саг^ап и Саг1-ап-?еП. Рассмотрено получение уравнений Эйнштейна на примере некоторых из исследуемых здесь задач.

Таким образом, в диссертации рассматриваются проблемы гравитационного взаимодействия различных видов материи и объединения фундаментальных взаимодействий в рамках рассматриваемой аффинно-метрической пятимерной теории, а также ее возможные космологические и астрофизические следствия.

Основные результаты проведенной работы можно сформулировать следующим образом.

1. Для гравитационного взаимодействия геометрического скалярного поля в случае цилиндрической симметрии пятимерного пространства-времени найдены точные решения вакуумных уравнений Эйнштейна для соответствующей метрики. Показано, что геометрическое скалярное поле может образовывать пространство-время с геометрией космической струны.

2. Показано, что геометризированное электрическое поле при взаимодействии со геометрическим скалярным полем может образовывать пространство-время с нетривиальной топологией.

3. В рамках пятимерной геометрической теории для гравитационного взаимодействия геометризированного магнитного поля исследованы случаи наличия одного азимутального магнитного поля, азимутального магнитного поля со скалярным полем, продольного магнитного поля со скалярным полем и найдены точные решения соответствующих уравнений. Показано, что геометризированное магнитное поле, как при наличии геометрического скалярного поля, так и при его отсутствии, может индуцировать образование «кротовых нор» .

4. Получены решения уравнений, описывающих гравитационное взаимодействие азимутального магнитного и скалярного полей с вихревым гравитационным полем, а так же гравитационное взаимодействие геометрического скалярного поля с вихревым гравитационным полем. Показано, что в этом случае также могут образовываться «кротовые норы» .

5. В рамках многомерной геометрической теории с неметричностью, для пространства-времени п измерений получены основные уравнения теории, описывающей гравитационное взаимодействие идеальной жидкости.

6. В рамках многомерной геометрической теории получены и проанализированы решения уравнений, описывающих статические распределения материи в пространстве Римана-Вейля. Ислледованы случаи возникновения нетривиальной топологии пространства-времени.

7. В рамках многомерной геометрической теории получены решения уравнений, описывающих однородные изотропные космологические модели для пятимерного риманова пространства и для четырехи пятимерного пространства Вейля с различными уравнениями состояния материи и показано, что неметричность замедляет космологическое расширение. Построены модели, соответствующие современным наблюдательным данным.

Заключение

.