Анализ и стабилизация периодических решений хаотических нелинейных динамических систем

Актуальность работы.

В современном научном мире моделирование динамических систем является одним из наиболее популярных методов описания явлений в природе и в жизни человека. Модель таких систем зачастую представляет собой систему дифференциальных уравнений. Особый интерес представляют предельные решения при времени, стремящемся к бесконечности. Несмотря на простоту нелинейной динамической системы, в фазовом пространстве могут возникать различные топологические структуры, такие как стационарные точки, периодические орбиты, торы, а также различные хаотические структуры. Более того, в фазовом пространстве эти структуры могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми, в совокупности образовывая более сложные фрактальные атракторы. Задача локализации и стабилизации решений с определёнными фазово-пространственными характеристиками при различных параметрах системы представляет интерес как с теоретико-аналитической точки зрения, так и с практической.

В хаотической динамике изучение изменения структуры фазового пространства в динамических системах при изменении параметров системы является одной из актуальных тем. Из теории Фейгенбаума следует, что хаотическое поведение в одномерных отображениях возникает в результате каскада бифуркаций удвоения периода. Далее каскад бифуркаций может продолжаться каскадом бифуркаций Шарковского, который позднее был переоткрыт Ли и Йорке. В результате каскада изменение периода цикла следует порядку Шарковского:

1 <3 2 <] 22 <1 23 <1 * * * О 22 * 7 <3 22 * 5 <1 22 * 3 О • - *, ч.

1).

•••<|2−7<2−5<12−3<—'<7<5<3.

Таким образом, цикл периода три указывает на существование в фазовом пространстве любого цикла из серии А. Н. Шарковского. Полный каскад Фейген-баума-Шарковского наглядно проиллюстрирован на системах обыкновенных дифференциальных уравнений (далее ОДУ) Х. А. Лоренца, Ч. Й. Чуа, Д. Рёс-слера и других. Н. А. Магницкий продолжил каскад Шарковского гомокли-ническими и более сложными каскадами бифуркаций, а также выдвинул гипотезу об универсальности перехода к хаосу через каскад Фейгенбаума-Шар-ковского-Магницкого (далее ФШМ). На сегодняшний день универсальность перехода была показана только в отображениях и системах ОДУ. С этой точки зрения в данной работе исследуются консервативные гамильтоновые системы и системы дифференциальных уравнений с частными производными с гладкими правыми частями.

Классический подход определения характера поведения решений при малых отклонениях по энергии основан на анализе поведения торов в канонически преобразованной системе. В соответствии с теоремой Колмогорова-Арнольда-Мозера (далее КАМ) должно существовать такое достаточно малое отклонение по энергии, при котором сохраняются почти все торы невозмущённой системы. Принято считать, что комплексификация фазового пространства, в результате которой рождаются новые торы около сепаратрисы, возникает вследствие расщепления самой сепаратрисы. Результаты, полученные в данной работе, показывают, что усложнение происходит через каскад бифуркаций ФШМ. Такой каскад наглядно продемонстрирован в системе осциллятора Дуффинга с периодическим внешним воздействием и внутренним затуханием. Стоит отметить, что модель такого осциллятора широко используется в ускорителях заряженных частиц. Гладкий переход от диссипативного случая к консервативному сохраняет сложность фазовой структуры с той лишь разницей, что в консервативном осцилляторе динамика фазового пространства задается торами вокруг циклов из каскада ФШМ.

Теория полей Янга-Миллса квантовой хромодинамики на основе группы 577(3) играет важную роль в Стандартной Модели в современной физике элементарных частиц. Предполагается, что теория неабелевых калибровочных полей способна объяснить и смоделировать сильное взаимодействие кварков и глюонов. Тем не менее, сама система уравнений Янга-Миллса остается не до конца изученной в связи с ее сложностью и нелинейностью. Динамическая система классических пространственно-однородных полей является гамильтоновой системой, которая зарекомендовала себя как неинтегрируемая стохастическая система. Калибровочное поле бозона Хиггса частично решает эту проблему для слабых полей. Но сильные поля могут изменить динамику от регулярной до хаотической в системе Янга-Миллса-Хиггса. Этот процесс главным образом связан с рождением новых эллиптических и гиперболических периодических решений вблизи границ сепаратрис, как результат нелокальных бифуркаций периодических решений и торов. В настоящей работе рассматривается динамическая система классических пространственно-однородных полей на плоскости при различных энергиях системы.

На текущий момент разработан ряд математических моделей вида реакции-диффузии, описывающих важные и актуальные процессы, такие как термоядерные реакции в реакторах, межвидовое сосуществование в животном мире, а также в различных науках, таких как химия, экология, теория морфогенеза, физика плазмы. В общем случае такое поведение задается системой ДУ с частными производными, предложенной Курамото и Цузуки в 1975 году. Т. С. Ахромеева, С. П. Курдюмов, Г. Г. Малинецкий и А. А. Самарский с помощью маломодового приближения системы описали качественное поведение вблизи термодинамической ветви в окрестности точки бифуркации, а также изучили спиральные волны системы. Авторами было также показано, что при определенных параметрах в системе существует диффузионный хаос. Несмотря на множество работ, посвященных изучению системы.

Курамото-Цузуки, хаотическое поведение остается малоизученным, а методов стабилизации неустойчивых периодических решений не существует.

Цель диссертационной работы Целью диссертационной работы является разработка новых подходов к локализации и стабилизации периодических решений динамических систем ОДУ, консервативных систем, гамильтоновых систем и систем с частными производными, а также применение разработанных подходов к хаотическим системам с целью выявления принципа усложнения структуры фазового пространства.

Методы исследования В работе использованы теория дифференциальных уравнений, теория линейных операторов, теория и методы хаотической динамики, а также численные методы интегрирования и дифференцирования.

Научная новизна В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Разработан общий подход к локализации периодических решений систем ОДУ, консервативных систем и гамильтоновых систем с использованием методов кластеризации.

2. Предложен новый подход к стабилизации периодических решений систем ОДУ, консервативных систем, гамильтоновых систем и систем с частными производными.

3. Разработан метод стабилизации гамильтоновой гиперповерхности в системе ОДУ.

4. Предложен подход к устойчивому изменению параметров системы за конечное число шагов, который гарантирует малое ограниченное отклонение от заданного периодического решения.

5. Разработан подход к исследованию устойчивости периодических решений систем с частными производными для случая, когда весь спектр является счетным множеством.

6. Показано, что хаотическая динамика в консервативной и диссипативной системах Дюффинга-Холмса связаны и подчиняются универсальной теории ФШМ.

7. Показано, что хаотическая динамика в уравнениях Янга-Миллса-Хигса является результатом каскада бифуркаций типа вилки и бесконечного числа каскадов ФШМ.

8. Показано, что усложнение системы Курамото-Цузуки начинается с бифуркаций простого периодического решения. Далее, простое периодическое решение порождает каскад бифуркаций типа вилки, в результате которого рождается бесконечное число неустойчивых циклов. А также, что каскад ФШМ присутствует при усложнении структуры спиральных волн.

Практическая значимость Предложенные в работе подходы и методы локализации и стабилизации периодических решений имеют теоретическую и практическую значимость при изучении и управлении хаотическими диссипативными системами, консервативными системами и системами с частными производными. Впервые показывается универсальность теории перехода к хаосу ФШМ в консервативных и гамильтоновых системах. Также впервые предложен подход к стабилизации периодических решений динамических систем уравнений с частными производными. Предложенный метод стабилизации гамильтоновой гиперповерхности в каноническом преобразовании позволяет эффективно изучать гамильтоновы системы, а также является концептуальной основой для стабилизации энергии в близко гамильтоновых системах.

Возникновение хаотического или неустойчивого поведения в ускорителях заряженных частиц может являться результатом бифуркаций периодических решений осцилляторов Дюффинга-Холмса. В работе найдены параметры первых бифуркаций при увеличении энергии и диссипации, которые могут быть использованы как граничные условия при проектировании осцилляторов. Для случая, когда желаемое периодическое решение может быть в области неустойчивости, предложенный метод стабильного изменения параметров позволяет в оперативном порядке стабилизировать периодическое решение, а кластерный подход позволяет найти необходимое решение при сложном или хаотическом поведении.

Результаты, полученные при изучении простейшего случая полей Янга-Миллса системы классических пространственно-однородных полей на плоскости, указывают на то, что в более сложных системах и в многомерных случаях существуют не менее сложные фазовые структуры, чем из каскадов бифуркаций ФШМ и типа вилки, которые задаются калибровочным полем бозона Хиггса в Стандартной Модели.

Результаты, полученные при изучении системы Курамото-Цузуки, дают оценки точек и типов бифуркаций периодических решений, которые могут быть использованы при моделировании, например, термоядерных реакций или эко-систем.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

— общий подход к локализации периодических решений систем ОДУ, консервативных систем и гамильтоновых систем с использованием методов кластеризации;

— подход к стабилизации периодических решений систем ОДУ, консервативных систем, гамильтоновых систем и систем с частными производными;

— подход к устойчивому изменению параметров системы, который гарантирует изменение параметров системы за конечное число шагов при ограниченной ошибке отклонения от заданного периодического решения;

— метод стабилизации гамильтоновой гиперповерхности;

— подход к иследованию устойчивости периодических решений систем с частными производными для случая, когда спектр является счетным множеством.

Апробация работы.

Основные результаты работы и отдельные её части докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах.

1. На Третьем международном междисциплинарном симпозиуме «Chaos and Complex Systems CCS2010 (Стамбул, Турция, 21−24 мая 2010 г.);

2. На Международном симпозиуме «Chaotic Dynamics of Ordinary and Partial Differential Equations» ICNAAM-2010 (Родос, Греция, 19−25 сентября 2010 г.);

3. На Всероссийском научно-исследовательском семинаре «Нелинейная динамика и управление «под руководством академиков РАН С. В. Емельянова и С. К. Коровина (Москва, Россия, 8 ноября 2010);

4. На научных семинарах кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М. В. Ломоносова (Москва, Россия, 2007;2010).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 5 статей в ведущих рецензируемых журналах и 2 статьи в международных журналах.

Структура и объем диссертации

.

Диссертация содержит 135 страниц текста, состоит из введения, четырёх глав, заключения и библиографии.

Заключение

.

В работе были рассмотрены актуальные задачи нелинейной динамики анализа, локализации и стабилизации периодических решений нелинейных хаотических систем. Были получены следующие результаты:

— разработан подход к локализации как устойчивых, так и неустойчивых периодических решений на сечении Пуанкаре, основанный на кластеризации фазового пространства, и приводится общая схема локализации;

— разработан подход к стабилизации периодических решений как системы ОДУ, так и системы ДУ с частными производными, основанный на введении производной динамической системы уравнений, которая позволяет стабилизировать весь цикл целиком и не зависит от периода цикла;

— разработан метод стабильного изменения параметра системы, который позволяет быстро стабилизировать почти любое локализованное периодическое решение и переходить к другим параметрам системы;

— найдено, что в диссипативной системе Дуффинга-Холлмса периодические решения действительно существуют и в консервативной системе: таким образом, показано, что хаотическая динамика в консервативных системах также описывается универсальной теорией ФШМ;

— разработан новый подход к численному изучению гамильтоновых систем, который стабилизирует гиперповерхность, и при этом он не изменяет динамики системы на выбранном энергетическом уровне, в то же время сравнительный анализ с другими методами показал преимущества в точности и вычислительной скорости;

— найдена новая пространственно-временная симметрия классических пространственно-однородных полей Янга-Миллса и показано, что периодические решения конечного периода могут существовать только в ограниченном фрактальном множестве;

— показано, что бесконечное число периодических решений системы Янга-Миллса любого порядка возникает в результате каскада бифуркаций типа вилки основных периодических решений и бесконечного количества каскадов ФШМ в системе Янга-Миллса-Хиггса;

— разработан метод отыскания наибольших по модулю собственных значений оператора монодромии в Гильбертовом пространстве, у которого спектр оператора монодромии является счётным множеством;

— найден каскад бифуркаций типа вилки простого цикла и каскад бифуркаций ФШМ в системе уравнений Курамото-Цузуки.