О сходимости рядов Фурье почти-периодических функций и кратных тригонометрических рядов

Пусть — множество всевозможных тригонометрических полиномов, т. е. множество конечных сумм вида п, А -.ос эс е SR, ш где Д j., Д^" • • • •> Да — любые действительные числа. Пусть / и g — комплекснозначные функции, определенные на множестве действительных чисел R. Равномерным расстоянием между f и gназывается.

Обозначим через It пространства почти-периодических функций Бора. По основной теореме теории почти-периодических функций Бора, пространство II совпадает с множеством предельных точек множества J по метрике CDy^, т. е. .

Пространство почти-периодических функций Степанова, Вейля и Бези-ковича класса Р (р^-0, обозначаемые соответственно через, WP и t можно также охарактеризовать как замыкания множества 3* по соответствующим метрикам. Пусть / и J" -локально-интегрируемые функции на R. Расстояния между / и $ в смысле Степанова, Вейля и Безиковича соответственно определены следующими формулами: аЛ v/p ycueR gl. /.

J/P г / Р.

Пусть^брр означает некоторую одну из этих метрик, а G одно из пространств о f W и ТЬ. Тогда G тогда и только тогда, когда существует последовательность (рп) тригонометрических полиномов вида (I) такая, что.

•fern Фрр (Л>?П^О. n—^-Voo VA 1.

Отметим также, что.

Uc=5PcWPcBP, и при.

Для каждой почти-периодической (в любом смысле) функции существует среднее значение Т.

Т^оо т.

Это позволяет отнести к функции? ряд Фурье.

2 с,(ре-Дх, xeR, где ,.

— v ЛЭС.

Пусть / и ^ - почти-периодические функции и ~ для любого, А? R,. Если f ж И, то, а если и, то т. е. / и ^ - ^-эквивалентны.

Для любого семейства комплексных чисел будем рассматривать тригонометрический «ряд» и будем ставить вопрос о сходимости таких рядов. Сходимость будем понимать так: для любого со⁰ рассмотрим сумму и ряд назовем сходящимся в точке эс € R, если существует предел ScJ^). Для того, чтобы этому определению придать смысл, мы потребуем, чтобы для любого со>0 семейство чисел (1^0с5ыло суммируемо: для любого со^О 2 СЛ * (3).

AUco.

Для таких семейств S^fcc) определена для любого л и является почти-периодической функцией Бора. Пусть (в силу (3) это семейство не более чем счетно). При наличии условий.

— 62 (4) и Zj ряд (2) сходится почти всюду. Это теорема Карлесона [20]. Если отбросить условие A t^-TL, то, вообще говоря, сформулированное утверждение неверно. Более того, справедлива следующая теорема.

Теорема I (см. п. 2.7). Существуют такая строго возрастающая последовательность рациональных положительных чисел ^ v) * Т + 00 и почти-периодическая функция Бора / что.

1 ЛI эс".

С*) -2s е, (5).

Еяд (5) расходится для любого ocelR. Существует голоморфная функция F, определенная в некоторой полосе {2 €lC •.

8⁰, такая, что — Fдля любого €r R.

Последовательные производные функции / также почти-периодические функции в смысле Бора.

Таким образом, одних условий (3) и (4) не достаточно для сходимости почти всюду рада (2). В связи с этим мы введем следующее определение: семейство ftO^e^? удовлетворяет условию Винера, если.

S (S.

Очевидно, что из условия Винера следуют (3) и (4).

Теорема 2 (см. п. 2.10). Если семейство удовлетворяет условию Винера, то ряд (2) сходится почти всюду. Поскольку при условии.

Л^ ъ условие Винера совпадает с условием (4), то эта теорема является обобщением теоремы Карлесона. Однако следует отметить, что при доказательстве теоремы 2 мы используем теорему Карлесона.

Условие Винера появилось в работе Винера [9], в которой он доказывает, что из этого условия следует, что ряд (2) является рядом Фурье из Я2 и (^со > J") —ПРИ 00 —* 00.

Позднее Торнехаве и Фольнер [29] заметили, что если jе W^ и коэффициенты Фурье функции / неотрицательны, то для них выполнено условие Винера. Таким образом, для того, чтобы ряд был рядом Фурье функции из S2 для всех семейств, удовлетворяющих условию 1 — I Сл, J.

Из этих теорем и теоремы 2 следует, что при наличии условия Винера ряд (2) сходится как почти всюду, так и в среднем, именно к функции J-, рядом Фурье которой этот ряд является. Если же функция {? имеет неотрицательные коэффициенты Фурье, то ряд Фурье этой функции сходится почти всюду к некоторой функjg ции 2- * Wэквивалентной j. Последнее утверждение неверно для функций из В, ибо можно показать, что существует такая функция из В2 с неотрицательными коэффициентами Фурье, ряд Фурье которой расходится почти всюду (см. п. 2.17).

Обозначим через S^ класс почти периодических функций Степанова, удовлетворяющих условию: множество показателей Фурье.

Л Cf) ={ЯеК: САЦ) Ф0} не имеет конечных предельных точек на JR. Доказательство теоремы 2 опирается на теорему Карлесона и на следующую теорему.

Теорема 3 (см. п. 4.1). Пусть ряд Фурье функции удовлетворяет условию: tun 1 2 — 0. а, -6) — любой интервал длины? — t, а (с, А] интервал длины %гг, содержащий (а, Q). Тогда для любойпериодической интегрируемой функции j*, совпадающей с функцией ¦? на, разности.

Г д sjn (A) С^фе 2 -i е" 730 l/\^co Inl ^^ при со —у- -+ оо равномерно сходятся на любом интервале tV, f)] внутреннем к (0—Е), причем предел первой разности равен нулю.

С.Бохнеру ([3], с. 38) принадлежит замечание: для почти-периодических функций Бора, удовлетворяющих условию.

Я1 «/^g в A (j-)="> — fy о (у*0 справедливы все локальные признаки сходимости для рядов Фурье чистопериодических непрерывных функций. Из теоремы 3 следует, что-то же самое справедливо для почти-периодических функций Степанова, причем при менее стеснительных ограничениях на показателях Фурье — для / е. S^, удовлетворяющих условию N0 (см. пп. 4.10−12).

Из теоремы 3 и из теоремы Шелина [35], утверждающей, что если чисто-периодическая функция ее ряд Фурье сходится почти всюду, получим, что если /е S^ и ||| локально интегрируема (это выполнено, например, если, р:>1), то ряд Фурье функции сходится почти всюду, если выполнено условие N0. Заметим, что в силу теоремы Вольфа ([18], т. 2, с. 417, теорема 8.4) выполнение условия N0 для сходимости ряда (2) на множестве положительной меры необходимо.

Б частности, если функция^в S^ и ее ряд Фурье удовлетворяет условию, то этот ряд почти всюду сходится к j.

Это утверждение сильнее теоремы 2 (что можно показать построением соответствующего примерасм. п. 2.14), однако, фигурирующие в нем условия трудно обозримы.

Доказательство теоремы 3 опирается на ряд теорем, некоторые из которых мы здесь отметим.

Пусть и 0 <.а<- Следуя Б. М. Левитану.

24] рассмотрим функцию R где — преобразование Фурье функции.

Ъ =.

А, если.

Ы % - в.

L 0 ^ если ^ €.

Доказывается, что и и % п. 3.2).

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 4 (см. пп. 3.3 и 3. II). Пусть /б5, О 1. Тогда и почти для всех xe IR,.

1м" wp ae (0,Bt) л&tradeлЧ '.

Если, то как известно ([24], с. 77) стремится к нулю при 4 —"• 00 •.

Пусть лакунарный тригонометрический ряд оо.

2 cAelH (k = i,*,-) (6) К k удовлетворяет условию (4). Тогда он сходится почти всюду (М.Кац,.

19]). Из вышеупомянутой теоремы Винера и теоремы 4 следует справедливость этого утверждения и дополнительно то, что сумма ряда (6) является S2- почти-периодической функцией, р^ц.

Фурье которой есть сам ряд (6) (см. пп. 3.12−19).

Теорема 5 (см. п. 3.10). Пусть J-е S1 и ос.

F ос) =. J Ja, XG IR.

Тогда а) для того, чтобы Tell достаточно (и, очевидно, необходимо), чтобы a+i I iFtuMJu.

ОО, afeR б) если для некоторого (г<^, оС) П Л (£) — <р f то.

Fell.

Это — обобщение теорем Боля-Бора (5, с. 71) и Фавара ([30], с. 154) (см. также [б], с. 206).

Существует тесная связь между почти-периодическими функциями Бора и непрерывными функциями многих переменных (см., например,.

24], с. 112). Так, например, если — некоторая непрерывная, -периодическая по каждой переменной функция, определенная на (Rk, то, как хорошо известно ([24], с. 12), для каждого xelR функция где координаты вектора ^ 6: линейно независимы над полем рациональных чисел, является почти-периодической функцией Бора. Ее коэффициенты Фурье связаны с коэффициентами Фурье Cm (-J) функции f, L *tu)? me Z ,.

— скалярное произведение в), следующим образом.

С"Ц)е1<�т:С>, если Д = <гМ> для некоторого (7).

О, в противном случае.

Значит рад Фурье йгакции мокно получить из рада.

Фурье ЪЦ] функции f, s [{] с*-") = е^, (8) me формальной заменой ^ через ^^^.

В связи с этим мы вводим следующее определение. В дальнейшем через $ обозначим вектор длины 1. Тригонометрический рад, meZ (} s (w") — J называется $ -конечным, если семейство комплексных чисел (удовлетворяет условию:

2 е"Л для любого ^о^-О * 1 '' 4.

В этом случае ряд (9) называется Jсходящимся в точке ос 6 R, если егочастичная сумма S^ ^ ?

I <т, ос> к 2 Сте, xeR, имеет предел в точке ^ при —^ -Ч- 00.

Обозначим через ^Vco^)^ -частичную сумму ряда (8). Ее значение в точкеLe. R) совпадает со «значением в точкеtelRчастичной суммы ряда Фурье функции Ф * Это замечание служит отправной точкой для доказательства следующих двух теорем.

Теорема 6 (см. п. 5.7). Пусть координаты вектора tf линейно независимы над полем рециональных чисел. Пусть ряд Фурье функцииj-G L2 (Т^) (Т = С0,2<�п)) удовлетворяет условию л (s icwc$Y ^ leTL1 4 7.

Тогда ее ряд Фурье почти всюду ^ -сходится к / :

Со —> Оо почти для всех хб R .

Если к = 1, то это вышеупомянутая теорема Карлесона. Следует также заметить, что теорема Карлесона при к >2 в случае, когда сходимость понимается в смысле Прингсгейма, неверна [3l].

Дяя сферической сходимости вопрос остается открытым [12].

Известна следующая теорема А. Й. Шюсснера ([2], с. 605): ес.

Ч-п с pVWOC ли тригонометрический ряд сходится на множестве EcutO/ 2д0 положительной меры, то сопряженный рядisgnCm) С^е4^^, эсеК, meZ1 почти всюду сходится на Е.

Из этой теоремы и из теоремы о равносходимости из теории общих тригонометрических интегралов ([18], т. 2, с. 433) легко следует следующее предложение (п. 5.9):

Если тригонометрический ряд (2), удовлетворяющий условию (3), сходится на множестве Ес^К положительной меры, то сопряженный ряд.

2, ап С А) сд е*, R, (10) почти всюду сходится на Е .

Ясно, что в случае, когда /1 Z, это — сформулированная выше теорема Плесснера.

Ряд (10) является естественным обобщением понятия сопряжения для рядов вида (2). Поэтому, и в силу сделанных перед формулировкой теоремы 6 замечаний, для кратных тригонометрических рядов естественным является следующее определение сопряженного ряда:

Пусть V^Z — полугруппа (т.е. V-fVci. V которая удовлетворяет условиям.

— Vi-l/ = Zk иV л V ={<>}• (к).

Vсопряженным рядом к ряду (9) называется ряд о.- • i U.

-.f^flЫсте, (13) где.

1i, если meVMo> О, если i, если.

Очевидно, что при k-1 и V =Л0Д, 2,—- ряд (13) совпадает с рядом (10). Следует подчеркнуть также и то обстоятельство, что полученное таким образом обобщение понятия сопряжения совпадает с тем, которое рассматривается в теории функциональных алгебр (случай торасм. [27], [34]).

Справедлива следующая теорема, которая при k= i есть сформулированная выше теорема Плееснера.

Теорема 7 (см. п. 5. II). Пусть кратный тригонометрический ряд (9) уконечен и V^Z. — полугруппа, удовлетворяющая условиям (12), такая, что.

Если ряд (9) ^ -сходится на множестве £с=. ТГ^ положительной лебеговой меры, то V — сопряженный ряд (12) почти всюду усходится на Е.

Более того, если ряд (9) $ -сходится на борелевском подмножестве? прямой elR^— aco+^-tft^Rjто его Vсопряженный ряд (13) почти всюду (в смысле линейной меры) ^ -сходится на .

Аналог теоремы Плесснера для кратных тригонометрических рядов, когда рассматривается шаровая сходимость или сходимость в смысле Прингсгейма, а сопряженные — в смысле Чезари, не имеет места. Это показали Гоголадзе [ю], М и Глук [i]. Модификация их примеров показывает, что-то же самое можно утверждать и для V-сопряженных рядов.

Доказательство теоремы 6 опирается на следующую теорему. Теорема 8 (см. п. 5.2). Пусть функция L и координаты единичного вектора je R линейно независимы над полем рациональных чисел. Тогда для почти всех зсеЧГ функция Чесф^' является почти-периодической функцией Безиковича класса j>, среднее значение которой равно среднему значению функции /, ^ -норма совпадает с ifнормой функции /, т. е. to* (ir { - (755* L Ifrtfty •.

Т^-ьоо гк ' и коэффициенты Фурье функций и / связаны соотношением (7).

Множество тех хеТ, для которых Чс*,^)^) принадлежит более узкому классу U, или W почти-периодических функций, имеет полную меру или же меру нуль.

Для любого существует f.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [13к].

В заключении выражаю благодарность своему научному руководителю Отару Дмитриевичу Церетели за внимание и помощь в работе.

1. Аш и Глук (!вЬ T.M.-GeacU L.). Convergence avid dive. thence of sezies cenjaflate. -to a. cenvet^znt mmQil^o. Fcunez se-zieb, 1хоть. Jmet. MctlL Soc.-lO, V975″ .

2. Бари H.K. Тригонометрические ряды, М., I960.

3. Безикович (Besicov/itcii vfl-S.), Jl&rr5″ t-p^(0clie. -fltrtcUoflS, GaroAtidge., 1932,.

4. Беллман man R), Л^ mo p-eTiodic DuU jUcx-UO., JO, 6¹−643, -I 9³.

5. Бор Г. Почти-периодические функции" М., 1934.

6. Бор и Фольнер (BoW И, F^dnei. е), On sarvieЬур-ез *>"(• ^eUona? space., ЛсАа. ДАог^ Цв> г Ъ-Ъ5, 1944.

7. Бредихина Е. А. Об абсолютной сходимости рядов Фурье почти-периодических функций, ДАН COOP, т. III, & 6, II63-II66 (1956).

8. Бредихина Е. А. О сходимости рядов Фурье почти-периодических функций, ДАН СССР, т. 171, Я 4, 774−775 (1966).

9. Винер (Wiener N), On t-epzesa.nta'Uortfunctions.

10. Гоголадзе Л. Д, 0 суммируемости двойных сопряженных тригонометрических рядов, Сообщ. АН ГССР, т. 54, № I, 21−24 (1969).

11. Лукашенко Т. П. Сходимость почти всвду рядов Фурье функций, суммируемых с квадратом. Изд. МГУ", 1978.

12. Голубев Б. И. Кратные интегралы и ряды Фурье. Математический Анализ В 19, 3−54 (1982), выпуск ВИНИТИ «Итоги науки и техники» .

13. Гуния Н. Г. К обобщению теоремы А. И. Плесснера о сопряженных тригонометрических рядах, Сообщ. АН ГССР, т. 109, Jfc I, 25−27 (1983).

14. Гуния Н. Г. Замечания о сходимости рядов Фурье почти-периодических функций В. В. Степанова, Сообщ. АН ГССР, т. Ill, J§ 3, 473−476 (1983).

15. Гуния Н. Г. Замечания о сходимости V-сопряженных тригонометрических рядов, Тезисы докл. X научно-метод. конф. математиков высших школ Груз. ССР в г. Телави 9−12 ноября 1983 г., стр. 55−56, Тбилиси, 1983.

16. Гуния Н. Г. О сходимости рядов Фурье почти-периодических функций Степанова с разреженным спектром, Тезисы докл. X научно-метод. конф. математиков высших школ Груз. ССР в г. Телави 9−12 ноября 1983 г., стр. 56−58, Тбилиси, 1983.

17. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т. I, М., 1965.

18. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т. 2, М., 1965.

19. Кац (Кс*с Convergence and d’we^encc о nonha-Lwcmie^ap series", ?>uke «Hath. I, 8,^1 -545.

20. Карлесон (Сат?е5ог? k.), Oys convez^ence and flzowlh <9/ pez~iial 5.

21. Кордуняну (Сordaineamu С), Fu. nctu аргоне-^eiicdice, Bucuxes-Uj, EJid. Дса<�А R.P.R.,.

22. Кук (Cook R.L.), Jl?*nos-p€xio, Дтеъ. jUontM^v. 83, JlK?, SG~5Z6o>b).

23. Кук Бесконечные матрицы и пространства последовательностей, М., I960.

24. Левитан Б. М. Почти-периодические функции, М., 1953.

25. Левитан Б. М. Очерк истории теории почти-периодических функций, Историко-математические исследования, вып. ХХУ, стр. 156−166, 1980.26. Рудин (RuJiyi W),.

26. Рудин (Ruchfl W), a^aC^is" e< G.

27. Титчмарш Е.

Введение

в теорию интегралов Фурье, М., 1948.

28. Торнехаве (ТогпеW/ctW ?оич1е-г. sexK>

29. Фавард (F"vaz.c)l j), Lесопз яллъfunction^ pze period/ Parts, /9 33..

30. Феферман (Pefferynctn C), Q" iW iwe^ence Ц тч&и'.р^е fouziez. se, iies. juneixolau. S-oc., 77, 19/- /95″ (1 97t)..

31. Хант (/?. Л.), On corwQ-iyeflcZ a/ Fouiizz.. 2.

32. Хартман (H^cimoLtJ Ph.), Tbe divergence ojnonhctztnentcsezie*, 2>"ke Math. г, 9, W^-lOS (1942)..

33. Церетели О. Д. Метрические свойства сопряженных функций, Современные проблемы математики, т. 7, 18−57, М., 1975..

34. Шелин (Sjoftjr" P), Jn ineyue-Pi'iy о РсЛеу awol cmvetyencc а.е. of U/oi^sh Fouxie-L series, Jzk. JfeUk, 4, 5S1- 5? o (lS>69)..

35. Ульянов П. Л., А. Н. Колмогоров и расходящиеся ряды Фурье, Успехи мат. наук, т. 98, вып. 4 (23), 51−90, 1983..