Алгебра и начало анализа

1. Функция заданная формулой y = kx + b, где k и b — некоторые числа, называется линейной.

2. Областью определения линейной функции служит множество R всех действительных чисел, т.к. выражение kx + b имеет смысл при любых значениях х.

3. График линейной функции y = kx + b есть прямая. Для построения графика, очевидно, достаточно двух точек, если k 0.

4. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y = kx с положительным направлением оси Ох, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0 — тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.

5. График функции y = kx + b может быть постпоен с помощью параллельного переноса графика функции y = kx.

Ответ № 2. Опр. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax² + bx + c, где х — независимая переменная, а, b и с — некоторые числа, причем, а 0.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Свойства функции y = ax^{2(частный случай)} при, а > 0.

1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.

2. Если х 0, то y > 0. График функции расположен в верхней полуплоскости.

3. График функции симметричен относительно оси Oy.

4. Функция убывает в промежутке (-; 0] и возрастает в промежутке [0; +).

5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции [0; +).

Свойства функции y = ax² при, а < 0.

1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.

2. Если х 0, то y < 0. График функции расположен в нижней полуплоскости.

3. График функции симметричен относительно оси Oy.

4. Функция убывает в промежутке [0; +) и возрастает в промежутке (-; 0].

5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции (-; 0].

И, так, график функции y = ax² + bx + c есть парабола, вершиной которой является точка (m; n), где m =, n=. Осью симметрии параболы служит прямая х = m, параллельная оси y. При, а > 0 ветви параболы направлены вверх, при a < 0 — вниз.

Ответ 3

Если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимость выражается формулой, где — коэффициент обратной пропорциональности.

1. Область определения функции — есть множество всех чисел, отличных от нуля, т. е. .

2. Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях; если же k<.0, то во II и IV координатных четвертях.

3. Заметим, что гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь сколь угодно близко к ним приближается.

№ 4. Опр. Функция, заданная формулой y = a^x, где, а — некоторое положительное число, не равное еденице, называется показательной.

1. Функция y = a^x при а>1

а) область определения — множество всех действительных чисел;

б) множество значений — множество всех положительных чисел;

в) функция возрастает;

г) при х = 0 значение функции равно 1;

д) если х > 0, то a^x > 1;

е) если х < 0, то 0< a^x <1;

2. Функция y = a^x при 0< а <1

а) область определения — множество всех действительных чисел;

б) множество значений — множество всех положительных чисел;

в) функция убывает;

г) при х = 0 значение функции равно 1;

д) если х > 0, то 0< a^x <1;

е) если х < 0, то a^x > 1.

№ 5.Опр. Функцию, заданную формулой y = log_a x называют логарифмической функцией с основанием а.

Свойства функции y = log_a x при a>1:

а) D (f) = R+;

б) E (f) = R;

в) функция возрастает;

г) если x = 1, то log_a x = 0;

д) если 0_a x < 0;

е) если x > 1, то log_a x > 0.

Свойства функции y = log_a x при 0

а) D (f) = R+;

б) E (f) = R;

в) функция убывает;

г) если x = 1, то log_a x = 0;

д) если 0 < x < 1, то log_a x > 0;

е) если x > 1, то log_a x < 0.

№ 6. Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, противолежащего острому углу, к гипотенузе называется синусом этого угла (обозначается sin).

1. область определения — множество всех действительных чисел;

2. множество значений — [-1; 1];

3. функция нечетная: sin (-x) = -sin (x) для всех ;

4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;

5. sin (x) = 0 при x = ;

6. sin (x) > 0 для всех ;

7. sin (x) < 0 для всех ;

8. функция возрастает на ;

9. функция убывает на .

№ 7.Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, прилежащего к острому углу, к гипотенузе называется косинусом этого угла (обозначается cos)

1. область определения — множество всех действительных чисел;

2. множество значений — [-1; 1];

3. функция четная: cos (-x) = cos (x) для всех ;

4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;

5. cos (x) = 0 при ;

6. cos (x) > 0 для всех ;

7. cos (x) > 0 для всех ;

8. функция возрастает на ;

9. функция убывает на

№ 8.Опр. Отношение катета, противолежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, прилежащему к этому углу, называется тангенсом (обозначается tg).

1. область определения — множество всех действительных чисел, кроме чисел вида;

2. множество значений — вся числовая прямая;

3. функция нечетная: tg (-x) = -tg (x) для всех х из области определения;

4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;

5. tg (x) = 0 при х = ;

6. tg (x) > 0 для всех ;

7. tg (x) < 0 для всех ;

8. функция возрастает на .

№ 9.Опр. Отношение катета, прилежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, противолежащему к этому углу, называется котангенсом (обозначается ctg)

1. область определения — множество всех действительных чисел, кроме чисел вида ;

2. множество значений — вся числовая прямая;

3. функция нечетная: ctg (-x) = -ctg (x) для всех х из области определения;

4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;

5. ctg (x) = 0 при x = ;

6. ctg (x) > 0 для всех ;

7. ctg (x) < 0 для всех ;

8. функция убывает на .

Ответ № 10

1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.

2. Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т. е. а₂ — а₁ = а₃ — а₂ = … = a_k — a_k-1 = …. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d.

3. Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (а_n), достаточно знать ее первый член а₁ и разность d.

4. Если разность арифметической прогрессии — положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.

5. Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е. (1)

6. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: a_n = a₁ + d (n-1). (2)

7. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид: (3)

8. Если в формулу (3) подставить вместо а_n его выражение по формуле (2), то получим соотношение

9. Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a₁ + a_n = a₂ + a_n-1 = …, т. е. сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Ответ № 11

1. Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.

2. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b₂:b₁ = b₃:b₂ = … = b_n:b_n-1 = b_n+1:b_n = …. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.

3. Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (b_n), достаточно знать ее первый член b₁ и знаменатель q.

4. Если q > 0 (), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b₁= -2, q = 3, тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18, … есть монотонно убывающая последовательность. Если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.

5. Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Последовательность (b_n) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е. (1)

6. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: (2)

7. Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид:, (3)

8. Если в формулу (3) подставить вместо b_n его выражение по формуле (2), то получится соот-ношение., (4)

9. Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b₁b_n = b₂b_n-1 = …, т. е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при

1. Пусть (x_n) — геометрическая прогрессия со знаменателем q, где и. Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию, называется предел суммы n первых ее членов при .

2. Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S. Тогда верна формула .

№ 12

Решение тригонометрических уравнений вида sin (x) = a

1. формула для корней уравнения sin (x) = a, где, имеет вид:

Частные случаи:

2. sin (x) = 0, x =

3. sin (x) = 1, x =

4. sin (x) = -1, x =

5. формула для корней уравнения sin²(x) = a, где, имеет вид: x=

Решение тригонометрических неравенств вида sin (x) > a, sin (x) < a

1. Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.

2. При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их знакопостоянства.

3. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin (x) > a (sin (x) < а) используют единичную окружность или график функции y = sin (x).

sin (x) = 0 если х = ;

sin (x) = -1, если x = >;

sin (x) > 0, если ;

sin (x) < 0, если .

Ответ № 13

Решение тригонометрического уравнения cos (x) = a

1. Формула для корней уравнения cos (x) = a, где, имеет вид: .

2. Частные случаи:

cos (x) = 1, x = ;

cos (x) = 0, ;

cos (x) = -1, x =

3. Формула для корней уравнения cos²(x) = a, где, имеет вид: .

Решение тригонометрических неравенств вида cos (x) > a, cos (x) < a

1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos (x) > a, cos (x) < a используют единичную окружность или график функции y = cos (x);

2. Важным моментом является знание, что:

cos (x) = 0, если ;

cos (x) = -1, если x = ;

cos (x) = 1, если x = ;

cos (x) > 0, если ;

cos (x) > 0, если .

№ 14

Решение тригонометрического уравнения tg (x) = a

1. Формула для корней уравнения tg (x) = a имеет вид: .

2. Частные случаи:

tg (x) = 0, x = ;

tg (x) = 1, ;

tg (x) = -1, .

3. Формула для корней уравнения tg²(x) = a, где, имеет вид:

Решение тригонометрических неравенств вида tg (x) > a, tg (x) < a

1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg (x) > a, tg (x) < a используют единичную окружность или график функции y = tg (x).

2. Важно знать, что:

tg (x) > 0, если ;

tg (x) < 0, если ;

Тангенс не существует, если .

№ 15

1. Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов, ,, , выражаются через значения sin, cos, tg и ctg .

2. Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:

1. Для облегчения запоминания приведенных формул нужно использовать следующие правила:

a) при переходе от функций углов, к функциям угла название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот;

при переходе от функций углов, к функциям угла название функции сохраняют;

б) считая острым углом (т. е.), перед функцией угла ставят такой знак, какой имеет приводимая функ-ция углов, , .

Все вышеприведенные формулы можно получить, пользуясь следующим правилом:

Любая тригонометрическая функция угла 90°n + по абсолютной величине равна той же функции угла, если число n — четное, и дополнительной функции, если число n — нечетное. При этом, если функция угла 90°n +. положительна, когда — острый угол, то знаки обеих функций одинаковы, если отрицательна, то различны.

№ 16

1. Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:

Рис. 1 Рис.2

Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол и на угол (рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов и. Пусть координаты точки В равны х₁ и y_1, координаты точки С равны х₂ и y_{2. Эти же координаты имеют соответственно и векторы} и. По определению скалярного произведения векторов:

= х₁х_{2 +} y₁y₂. (1)

Выразим скалярное произведение через тригонометрические функции углов и. Из определения косинуса и синуса следует, что

х₁ = R cos, y₁ = R sin, х₂ = R cos, y₂ = R sin .

Подставив значения х₁, х₂, y₁, y₂ в правую часть равенства (1), получим:

= R²cos cos + R²sin sin = R²(cos cos + sin sin).

С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем:

= cos BOC = R²cos BOC.

Угол ВОС между векторами и может быть равен — (рис.1), — (-) (рис.2) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos BOC = cos (-). Поэтому

= R² cos (-).

Т.к. равно также R²(cos cos + sin sin), то

cos (-) = cos cos + sin sin.

cos (+) = cos (- (-)) = cos cos (-) + sin sin (-) = cos cos — sin sin.

Значит,

cos (+) = cos cos — sin sin.

2. Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:

sin (+) = cos (/2 — (+)) = cos ((/2 —) —) = cos (/2 —) cos + sin (/2 —) sin = sin cos + cos sin.

Значит,

sin (+) = sin cos + cos sin.

sin (-) = sin (+ (-)) = sin cos (-) + cos sin (-) = sin cos — cos sin.

Значит,

sin (-) = sin cos — cos sin.

№ 17

Формулы двойных углов Формулы сложения позволяют выразить sin 2, cos 2, tg 2, ctg 2 через тригонометрические функции угла .

Положим в формулах

sin (+) = sin cos + cos sin ,

cos (+) = cos cos — sin sin ,

,

.

равным. Получим тождества:

sin 2 = 2 sin cos ;

cos 2 = cos² — sin² = 1 — sin² = 2 cos² — 1;

; .

№ 18

Формулы половинного аргумента

1. Выразив правую часть формулы cos 2 = cos² — sin² через одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениям

cos 2 = 1 — sin², cos 2 = 2 cos² — 1.

Если в данных соотношениях положить = /2, то получим:

cos = 1 — 2 sin² /2, cos 2 = 2 cos² /2 — 1. (1)

2. Из формул (1) следует, что

(2), (3).

3. Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим

(4).

4. В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол /2.

5. Полезно знать следующую формулу:

.

№ 19

Формулы суммы и разности синусов, косинусов

Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование, могут быть получены из формул сложения.

Чтобы представить в виде произведения сумму sin + sin, положим = x + y и = x — y и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:

sin + sin = sin (x + y) + sin (x — y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy — cosx siny = 2sinx cosy.

Решив теперь систему уравнений = x + y, = x — y относительно x и y, получим х =, y = .

Следовательно,

sin + sin = 2 sin cos .

Аналогичным образом выводят формулы:

sinsin = 2 cos sin ;

cos + cos = 2 cos cos ;

cos + cos = -2 sin sin .

№ 20

Чтобы найти решение приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0, где, достаточно перенести свободный член в правую часть и к обеем частям равенства прибавить. Тогда левая часть станет полным квадратом, и мы получаем равносильное уравнение = - q .

Оно отличается от простейшего уравнения x² = m только внешним видом: стоит вместо x и — q — вместо m. Находим =. Отсюба х = -. Эта формула показывает, что всякое квадратное уравнение имеет два корня. Но эти корни могут быть и мнимыми, если < q. Может также оказаться, что оба корня квадратного уравнения равны между собой, если = q. Возращаемся к обычному виду .

1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т. е. х₁ + х₂ = -р, а х₁х₂ = q .

2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, х₁, х₂ таковы, что х₁ + х₂ = -р и х₁х₂ = q, то х_{1 и} х₂ — корни уравнения x² + px + q = 0.

№ 21

Опр. Логарифмом числа b по основанию, а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобыполучить число b.

Формулу (где b > 0, a > 0 и a 1) называют основным логарифмическим тождеством.

Свойства логарифмов:

1. ;

2. ;

3. Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:

.

Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

x =, y = .

Перемножим почленно эти равенства, получаем:

xy = = .

Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан.

4. Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя:

.

Ход доказательства аналогичен доказательству п.3

5. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:

.

При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным логарифмическим тождеством.

№ 22

1. Производной функции f (x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции в точке х₀ к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно записать так: .

2. Из определения производной следует, что функция может иметь производную в точке х₀ только в том случае, если она определена в некоторой окрестности точки х₀, включая эту точку.

3. Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке.

4. Существование производной функции f в точке х₀ эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х₀; f (х₀)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен. В этом состоит геометрический смысл производной.

5. Механический смысл производной f '(x) функции у = f (x) — это скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией у = f (x) производную с физической точки зрения можно представить как скорость, с которой протекает процесс.

№ 23

1. Производная суммы равна сумме производных, если они существуют:

.

2. Если функция u и v дифференцируемы в точке х₀ то их производные дифференцируемы в этой точке и

.

3. Если функция u и v дифференцируемы в точке х₀, а С — постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и

.

4. Если функция u и v дифференцируемы в точке х₀ и функция v не равна нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в точке х₀ и

.