Анализ и выявление закономерностей хаотической динамики системы управления преобразователем энергии

Актуальность работы. В настоящее время в большинстве отраслей промышленности получил развитие принцип иерархической (многоуровневой) организации структуры автоматизированной системы управления технологическими процессами (АСУТП), при которой на нижнем (исполнительном) уровне широко применяются автоматические системы, построенные на базе импульсно-модуляционных преобразователей энергии, непосредственно управляющие исполнительными механизмами и технологическим оборудованием.

В импульсно-модуляционных системах преобразования энергии используются преимущественно два вида реверсивной модуляции — однополяр-ная (ОРМ) и двухполярная (ДРМ) [69]. Известно, что практическая реализация преобразователей с ДРМ требует вдвое меньше полупроводниковых элементов по сравнению с ОРМ.

В то же время многочисленные исследования характеристик различных видов модуляции [79], например, по критерию минимизации нелинейных искажений, указывают на то, что преобразователи с ОРМ по статическим характеристикам имеют существенные преимущества по сравнению с другими видами импульсной модуляции.

В свою очередь, характерный для преобразователей энергии АСУТП широкий диапазон изменения параметров нагрузки и напряжения питающей сети обусловливает возможность их функционирования как в режимах периодических, так и апериодических (хаотических и квазипериодических) колебаний [16 — 20, 80, 49 — 57].

Известно, что возникновение хаотических колебаний приводит к многократному увеличению переменной составляющей тока и напряжения нагрузки, резкому ухудшению качества преобразования параметров электрической энергии, а также к непредсказуемым отказам технологического оборудования.

В последнее десятилетие наблюдается необычайно быстрый рост числа теоретических и экспериментальных работ по исследованию хаотической динамики в системах с импульсной модуляцией. Эти исследования охватывают приложения к теории автоматического управления и регулирования, силовой преобразовательной технике, физике плазмы, квантовой электронике, космической технике и биологическим системам. В то же время практически отсутствуют работы, посвященные анализу сложной динамики и хаоса в преобразователях энергии с реверсивной модуляцией. Кроме того, отсутствуют исследования, позволяющие выполнить обоснованный выбор типов регуляторов, схем и параметров корректирующих устройств. Имеющиеся результаты касаются, главным образом, динамических особенностей импульсных систем автоматического управления, построенных на базе однополярной нереверсивной модуляции [16 — 20, 49 — 57, 72, 113, 121].

Это вынуждает проводить большой объем экспериментальных исследований с целью получения приемлемых для конкретных условий эксплуатации динамических характеристик, повышения надежности и эксплуатационных показателей. В этой связи создание методики анализа сложной динамики и выявление закономерностей хаотической динамики в импульсно-модуляционных системах преобразования энергии, построенных на базе однополярной реверсивной модуляции, направленных на разработку методов проектирования импульсных систем автоматического управления исполнительными механизмами и технологическим оборудованием АСУТП, исключающих возникновение недетерминированных режимов и катастрофических явлений, представляются актуальными задачами.

Диссертационная работа выполнена в ходе реализации научно-исследовательских работ (НИР), проводившихся в рамках международного сотрудничества Курского государственного технического университета совместно с Центром по исследованию хаоса и турбулентности Датского технического университета в 1998 — 2003 гг.- в рамках плана госбюджетных НИР Курского государственного технического университета по Единому заказ-наряду Министерства образования Российской Федерации в 1998 — 2003 гг. Исследование поддержано грантом Министерства образования Российской Федерации по фундаментальным исследованиям в области естественных и точных наук (грант Е02−2.0−81).

Цель работы. Разработка научно-технических путей проектирования импульсных систем автоматического управления с улучшенными динамическими характеристиками, построенных на базе однополярной реверсивной модуляции.

Основная научная задача состоит в разработке модифицированных математических моделей, методик и алгоритмов численного анализа недетерминированных режимов, выявлении закономерностей хаотической динамики систем управления преобразователями энергии с однополярной реверсивной модуляцией.

В соответствии с целью и основной задачей в диссертационной работе решались следующие частные задачи:

1. Разработка методики построения модифицированных математических моделей систем управления преобразователями энергии с однополярной реверсивной модуляцией в форме стробоскопического отображения.

2. Разработка методик и алгоритмов анализа хаотической динамики систем управления преобразователями энергии.

3. Выявление закономерностей развития сложной динамики и хаоса в системах управления преобразователями энергии.

4. Экспериментальные исследования хаотической динамики системы управления преобразователем энергии.

Научная новизна:

1. Разработана методика формирования математических моделей систем управления преобразователями энергии с однополярной реверсивной модуляцией в форме стробоскопического отображения, являющегося основой для построения вычислительных алгоритмов анализа хаотической динамики.

2. Разработаны методики и алгоритмы численного анализа недетерминированных режимов, включающие:

2.1. Методику и алгоритм поиска периодических движений, особенностью которых является сведение задачи к решению системы трансцендентных уравнений относительно коэффициентов заполнения управляющих импульсов, позволяющие находить как устойчивые, так и неустойчивые периодические решения.

2.2. Алгоритм анализа локальной устойчивости, базирующийся на линеаризации стробоскопического отображения в окрестности периодического движения и аналитическом вычислении оператора монодромии, позволяющий с заданной точностью рассчитывать параметры бифуркаций и границы области устойчивости, а также идентифицировать типы бифуркаций.

3. Выявлены следующие закономерности развития сложной динамики и хаоса в системе управления преобразователем энергии с ОРМ:

3.1. Хаотизация динамических режимов происходит через режим двух-частотных квазипериодических колебаний. При этом квазипериодические колебания возникают в результате субкритической (обратной) бифуркации Андронова-Хопфа (Неймарка-Саккера).

3.2. В области квазипериодичности вариации параметров приводят к резонансам на двумерном торе. Внутри зон резонансов переход к хаосу происходит через последовательность различных типов локальных бифуркаций и С-бифуркаций.

3.3. Область устойчивости режима на основной частоте модуляции совпадает с областью конвергентности за исключением неширокой полосы мультистабильности вблизи линии субкритической бифуркации Андронова-Хопфа. В области мультистабильности вариации параметров или наличие внешнего шума, даже сколь угодно малого, могут привести к катастрофической смене характера динамики, например, внезапному переходу от одних устойчивых периодических движений к другим либо к квазипериодическим колебаниям.

4. Впервые выявлен новый тип С-бифуркации, связанный с изменением полярности управляющих импульсов. Существо такой бифуркации заключается в следующем. При смене полярности импульсов устойчивое периодическое движение мягко переходит в устойчивое движение того же периода, но другого типа. Для неустойчивого движения смена полярности импульсов приводит к его исчезновению.

Методы исследования базируются на аппарате теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории устойчивости и бифуркаций, методов вычислительной математики и теории автоматического управления.

Практическая ценность и внедрение.

1. Разработанные математические модели, методики и алгоритмы численного анализа динамических режимов позволяют выполнить обоснованный выбор схем и параметров корректирующих устройств, устройств обратных связей, вида модуляции и обеспечить достижение требуемых показателей качества функционирования системы в широком диапазоне изменения параметров объекта управления и возмущающих воздействий.

2. Разработанные методы, вычислительные алгоритмы и установленные в исследованиях закономерности хаотической динамики, могут быть использованы для моделирования и проектирования широкого класса импульсных систем автоматического управления. Полученные аналитические зависимости пригодны для инженерных расчетов при проектировании импульс-но-модуляционных систем преобразования энергии для АСУТП.

Методы и алгоритмы численного анализа хаотических колебаний в системах управления с однополярной реверсивной модуляцией, реализованные в виде специализированного пакета прикладных программ, внедрены: на ОАО «Счетмаш», г. Курск, и использованы при проектировании импульсных источников электропитания с бестрансформаторным входомна некоммерческом предприятии «Брянский региональный фонд энергосбережения», г.

Брянск, и использованы при проектировании автоматизированной системы энергообеспечения собственных нужд первого отечественного энергосберегающего газотепловоза ТЭМ-18Г.

Научно-методические результаты, полученные в диссертационной работе, внедрены в учебный процесс и используются в Курском государственном техническом университете в курсах «Математические методы расчета электронных схем», «Основы теории управления».

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и получили положительные оценки на: Международных молодежных научных конференциях «Гагаринские чтения» (Москва, 1999 г., 2000 г.), Международных научно-технических конференциях «Медико-экологические информационные технологии» (Курск, 1999 г., 2003 г.), Международных конференциях «Оптико-электронные приборы и устройства в системах распознавания образов, обработки изображений и символьной информации» «Распознавание» (Курск, 2001 г., 2003 г.), 6th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation CHAOS'01 (Саратов, 2001 г.), 9th International Student Olympiad on Automatic Control BOAC2002 (Baltic Olympiad) (Санкт-Петербург, 2002 г.) — научных семинарах кафедры вычислительной техники Курского государственного технического университета (1999;2003 гг.).

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Методика формирования математических моделей систем управления преобразователями энергии с однополярной реверсивной модуляцией в форме стробоскопического отображения.

2. Методика и алгоритм поиска периодических движений, основанные на сведении задачи к решению системы трансцендентных уравнений относительно коэффициентов заполнения управляющих импульсов.

3. Алгоритм анализа локальной устойчивости, базирующийся на линеаризации уравнения стробоскопического отображения в окрестности периодического движения и аналитическом вычислении матрицы монодромии.

4. Найденные закономерности развития сложной динамики и хаоса в системе управления преобразователем энергии, а именно:

— выявленные свойства разбиения пространства параметров на области периодичности и хаоса, а также бифуркационные механизмы хаотизации динамических режимов через режим двухчастотных квазипериодических колебаний;

— обнаруженные гистерезисные явления, резонансы на двумерном торе и установленные закономерности усложнения колебаний через последовательность локальных бифуркаций и С-бифуркаций.

Публикации. Результаты диссертации отражены в 9 печатных работах. В работах, выполненных в соавторстве, соискателю принадлежат: в [60, 61] -алгоритмы анализа локальных бифуркаций, закономерности усложнения динамики в двумерной модели системы управления преобразователем энергиив [133] - численные эксперименты по анализу локальных бифуркаций и С-бифуркацийв [124] - математическая модель, алгоритмы бифуркационного анализа, результаты исследований хаотической динамики трехмерной модели импульсной системы автоматического управления.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 135 наименований и приложения, изложена на 118 страницах (без приложения) и поясняется 46 рисунками и 4 таблицами.

4.3. Основные результаты и выводы.

1. Разработан стенд для экспериментального исследования хаотической динамики системы управления преобразователем с ОРМ. Экспериментально построена область устойчивости колебаний на основной частоте модуляции. Расхождение между линиями бифуркации Андронова-Хопфа, рассчитанной теоретически и построенной экспериментально, не превышает 5,9%.

2. Получено экспериментальное подтверждение возникновения резо-нансов на двумерном торе, причем области резонансов на плоскости параметров упорядочены в той же последовательности, что и на карте динамических режимов, рассчитанной теоретически.

3. Экспериментально подтверждено, что потеря устойчивости рабочего режима происходит через субкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа, и как следствие, при вариации параметров реализуются гистерезис-ные переходы от одного динамического режима к другому.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертационной работе решена задача разработки научно-технических путей проектирования импульсных систем автоматического управления с улучшенными динамическими характеристиками, построенных на базе однополярной реверсивной модуляции.

При решении задачи диссертационной работы получены следующие результаты.

1. Разработана методика построения математических моделей систем управления преобразователями энергии с однополярной реверсивной модуляцией в форме стробоскопического отображения, являющегося основой для построения вычислительных алгоритмов анализа хаотической динамики.

2. Разработаны методики и алгоритмы численного анализа недетерминированных режимов, включающие:

— методику и алгоритм поиска периодических движений, особенностью которых является сведение задачи к решению системы трансцендентных уравнений относительно коэффициентов заполнения управляющих импульсов, позволяющие находить как устойчивые, так и неустойчивые периодические решения;

— алгоритм анализа локальной устойчивости, базирующийся на линеаризации стробоскопического отображения в окрестности периодического движения и аналитическом вычислении оператора монодромии, позволяющий с заданной точностью рассчитывать границы области устойчивости и параметры бифуркаций, а также идентифицировать типы бифуркаций.

3. Выявлены следующие закономерности развития сложной динамики и хаоса в системе управления преобразователем энергии с ОРМ:

— хаотизация динамических режимов происходит через режим двух-частотных квазипериодических колебаний. При этом квазипериодические колебания возникают в результате субкритической (обратной) бифуркации Андронова-Хопфа (Неймарка-Саккера).

— в области квазипериодичности вариации параметров приводят к ре-зонансам на двумерном торе. Внутри зон резонансов переход к хаосу происходит через последовательность различных типов локальных бифуркаций и С-бифуркаций.

— область устойчивости режима на основной частоте модуляции совпадает с областью конвергентности за исключением неширокой полосы мультистабильности вблизи линии субкритической бифуркации Андронова-Хопфа. В области мультистабильности вариации параметров или наличие внешнего шума, даже сколь угодно малого, могут привести к катастрофической смене характера динамики, например, внезапному переходу от одних устойчивых периодических движений к другим либо к квазипериодическим колебаниям.

4. Впервые выявлен новый тип С-бифуркации, определяемый изменением полярности управляющих импульсов. Существо такой бифуркации заключается в следующем. При смене полярности импульсов устойчивое периодическое движение мягко переходит в устойчивое движение того же периода, но другого типа. Для неустойчивого движения смена полярности импульсов приводит к его исчезновению.

5. На основе разработанного и изготовленного действующего макета системы управления преобразователем с ОРМ проведены экспериментальные исследования, результаты которых с приемлемой для практики точностью совпадает с аналитическими результатами и подтверждают теоретические выводы и положения диссертационной работы.