Численное моделирование задач гравиразведки, представимых интегральными уравнениями в свертках, на искусственных нейронных сетях

Актуальность темы

.

В численных методах принято делить классы различных задач на прямые и обратные задачи. Пусть дан некоторый оператор и, действующий на элемент х и результатом этого действия является некоторый элемент у. Тогда прямую задачу можно представить как определение элемента у по данному элементу х для конкретного оператора и, т. е. 1Гх = у. Обратные задачи будут представлять обратный процесс: нахождение элемента х по заданному элементу у для данного оператора и.

Многие важные задачи физики, техники, экономики, социологии и т. д. представляют собой именно обратные задачи. Математически обратные задачи чаще всего выражаются с помощью интегральных или интегро-дифференциальных уравнений. Однако, без решения прямых задач постановка обратных задач невозможна.

Большим источником прямых и обратных задач является геофизика, ярким примером которых являются задачи гравиразведки и сейсморазведки (в частности, сейсмическая томография), чьи математические модель описываются нелинейными интегральными уравнениями первого рода.

Разработка точных методов решения указанных задач актуальная в связи с практической необходимостью определения локальной и глобальной структуры земной коры (строительство крупных сооружений, добыча полезных ископаемых, эволюция геологических структур и т. п.), а так же всей Земли в целом (геотектонические и магматические процессы, планетология), что осложняется невозможностью прямого измерения внутренних физико-химических параметров или экспериментальной проверки в силу экстремальности условий.

Главная сложность в решении обратных задач заключается в том, что они в подавляющем большинстве являются некорректными задачами в отличие от прямых задач. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений, что особенно критично в силу естественного наличия погрешностей у реальных данных.

С другой стороны, теория искусственных нейронных сетей (ИНС), возникшая в середине прошлого столетия, изначально позиционировала себя как средство решения неформализуемых или трудно формализуемых задач, к которым относят задачи распознавания образов, классификации и кластеризации, оптимального управления и т. д. ИНС зарекомендовали себя как перспективные средства решения вышеуказанных задач. Известно, что эти задачи, по сути, являются некорректными задачами и существенно перекликаются с обратными задачами.

В последнее время значительно возрос интерес к численным алгоритмам решения задач математической физики на ИНС1. В общем случае алгоритмы численного моделирования обратных задач сводятся к задачам аппроксимации и итерационным методам решения операторных (интегральных) уравнений.

Тем не менее, в настоящее время отсутствуют работы, посвященные решению интегральных уравнений первого (некорректная задача) и второго рода на ИНС. Практически отсутствуют методы и алгоритмы решения обратных задач на ИНС.

Перечисленные обстоятельства делают проблему решения прямых и в большей степени обратных задач на ИНС актуальной. В связи с этим, назрела необходимость применения ИНС в области решения обратных задач геофизики.

1 См. сборник трудов Первой Всероссийской конференции «Нейросетевые алгоритмы решения задач математической физики», г. Москва, 2007 г., атак же труды школы Горбаченко В.И.

Данная диссертация посвящена разработке методов решения прямых и обратных задач геофизики на ИНС.

Цель и задачи исследования

Цель работы состоит в приближённом решении обратных задач гравиразведки на искусственных нейронных сетях.

Для достижения поставленной цели в диссертации необходимо решить следующие задачи:

• разработать методы приближенного представления функций многих переменных на ИНС;

• разработать численные алгоритмы локализации минимума функции многих переменных (как периодических, так и непериодических) и их программную реализацию на ИНС;

• построить формулы приближенного вычисления кратных интегралов на ИНС;

• разработать численные алгоритмы решения интегральных уравнений на ИНС с использованием формул приближенного вычисления кратных интегралов и дать программную реализацию данного алгоритма;

• построить оптимальные итерационные формулы решения интегральных уравнений в свёртках типа Фредгольма и Вольтерра и разработать алгоритмы их реализации на ИНС;

• Разработать методы решения обратных задач гравиразведки, характеризуемых нелинейными интегральными уравнениями, на ИНС.

Методы исследования. В работе использованы методы теории ИНС, математического моделирования, функционального анализа, прикладного функционального анализа, теории аппроксимации, квадратурных формул, теории линейных интегральных уравнений, интегральных преобразований. Достоверность научных положений подтверждается соответствием теоретических результатов с результатами математического моделирования тестовых задач с использованием пакетов компьютерной математики, таких как МаЙаЬ и т. д.

Научная новизна работы состоит в следующем: построены алгоритмы численного решения обратных задач на ИНСпредложены алгоритмы представления функций многих переменных на ИНСпостроены алгоритмы локализации минимума функции многих переменных на ИНСпредложены и обоснованы квадратурные формулы приближенного вычисления кратных интегралов на ИНСпостроены численные алгоритмы решения интегральных уравнений на ИНС с использованием специальных квадратурных формул вычисления кратных интеграловпредложены и обоснованы итерационные методы решения интегральных уравнений в свёртках Фредгольма и Вольтерра. Теоретическая ценность заключается в следующем: предложены и обоснованы методы моделирования обратных задач гравиразведки на ИНСпредложены и обоснованы приближенные алгоритмы локализации минимума функции многих переменных на ИНС, основанные на сведении последних к функциям одной переменнойдано приложение этих алгоритмов к нахождению экстремумов потенциальных полейпредложены и обоснованы численные алгоритмы решения интегральных уравнений на ИНС, основанные на методе сведения многомерных интегралов к одномернымпредложены и обрснованы итерационные алгоритмы решения интегральных уравнений в свёртках Фредгольма и Вольтерра на ИНС. предложены и обоснованы новые итерационные схемы и алгоритмы решений уравнений Вольтерра. Практическая значимость.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 печатных работ, из них 6 — в изданиях, рекомендованных ВАК.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Первой Всероссийской конференции «Нейросетевые алгоритмы решения задач математической физики» (Москва, 2007) — Ш-ей Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2008) — VIII-ой Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике» (Пенза, 2008) — XXVIII-ой Всероссийской научно-практической конференции молодых учёных и специалистов «Датчики и системы — 2009» (Пенза, 2009) — IV Международная научно-практическая конференция молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2010), XXIX-ой Всероссийской научно-практической конференции молодых учёных и специалистов «Датчики и системы — 2010» (Пенза, 2010), ХХХ-ой Всероссийской научно-практической конференции молодых учёных и специалистов «Датчики и системы — 2011» (Пенза, 2011).

Пакет прикладных программ «Приближенные методы решения уравнений динамики колебаний металлической струны» используется в производственной деятельности ОАО «НИИФИ» (акт о внедрении прилагается к диссертации).

Методы, разработанные в данной диссертации, использовались в НИР по проекту «Разработка теории функционирования волоконно-оптических лазерных интерферометрических систем на основе методов идентификации динамических систем с распределёнными параметрами» (Рособразование, Per. № 2.1.2/937- мероприятие 2, раздел 2.1, подраздел 2.1.2, код ГРНТИ 59.03.05- 59.31.71- 59.45.37) — срок выполнения 2009;2010 гг.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и приложений и изложена на страницах.

Заключение

.

В заключении обобщенны основные результаты теоретических и практических исследований.