Некоторые вопросы геометрической оптимизации винтовых пар в винтовых насосах

Актуальность темы

Тема диссертации связана с задачей оптимизации шестеренчатого зацепления пары винтовых поверхностей. Эта задача является составной частью общей проблемы проектирования и оптимизации многофазных винтовых насосов (ВН) [2], [16], [12]. Отличительными признаками такого насоса являются малые радиальные и линейные зазоры, внешняя герметичность, а также симметричная схема силовых нагрузок на главный рабочий орган — винтовую пару. Минимальные зазоры позволяют такому насосу устойчиво работать и в режиме газового компрессора. Многофазные насосные станции активно создаются и используются в мировой практике в течение последних лет, они успешно эксплуатируются нефтегазодобывающими компаниями. Важнейший элемент конструирования ВН и его оптимизации в целом — оптимизация шестеренчатого зацепления пары винтовых поверхностей. Безусловно, исследование и оптимизацию ВН можно осуществлять, используя современные методы нелинейной динамики, информатики и теории катастроф [5] - [7], [18]- [20], [25]- [30]. Некоторые из возможных подходов к построению математических моделей ВН и решению задач оптимизации шестеренчатого зацепления винтовых поверхностей отражены в монографии [12]. В ней изложены методы построения и анализа оптимально зацепленных (сопряженных) пар винтовых поверхностей, опирающиеся на математические представления, взятые из дифференциальной геометрии плоских кривых и теории особенностей гладких отображений [1], [4]. Представленные в диссертации результаты исследований, проведенных в русле монографии [12], дают уточнение и дальнейшее развитие некоторым теоретическим положениям этой монографии.

Изучение ВН можно осуществлять исходя из того, что кинематические характеристики ВН определяются геометрическими свойствами и особенностями поперечных сечений винтов, которые задаются в виде замкнутых контуров (гладких или кусочно гладких) посредством профильных функций. Их удобно представлять как функции скалярного аргумента со значениями в поле комплексных чисел. Таким образом, кинематические свойства ВН можно исследовать, опираясь на анализ однопараметрических периодических семейств гладких плоских кон.

Рис. 1: Пример использования пятизаходных винтов.

Рис. 2: Виды винтовых насосов. туров и, следовательно, на теорию гладких отображений [1],[4] двумерных торов в координатную плоскость. Такой подход позволяет не только изучать геометрические свойства пар винтовых поверхностей, но и создавать алгоритмы их оптимизации.

Цель работы и основные задачи. Основные цели работы:

• объяснение феномена образования линий негладкости на поверхности, геометрически сопряженной с гладкой винтовой поверхностью;

• рассмотрение однопараметрической деформации винтовой поверхности (параметр — высота зубца в поперечном сечении) и описание бифуркации регрессивных точек на сопряженной поверхности;

• построение и апробация алгоритма идентификации особенностей в первичных регрессивных точках и проверки условия трансверсальности к особенностям в этих точках;

• компьютерное исследование сечений оптимизированных винтовых пар, точек негладкости и линий регрессивных точек.

Методы исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы дифференциальной геометрии кривых, анализа гладких отображений (теории Уитни-Тома-Боардмана) и теории инвариантов.

При построении контура, сопряженного к заданному контуру, используются следующие три подхода: 1) прямой подход (основанный на построении аналитической огибающей для параметрического семейства циклоид), 2) подход, связанный с использованием отображения Гаусса (отображения точка контура —> точка пересечения нормали с центроидой (базовой окружностью)), 3) подход, основанный на рассмотрении вспомогательного отображения двумерного тора в координатную плоскость и на построении границы его образа.

Основным в диссертации является третий подход. Схема построения сопряженного контура в рамках третьего подхода приобретает наиболее простой вид, весьма наглядную интерпретацию и позволяет организовывать эффективное компьютерное сопровождение.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Дано математическое объяснение феномену образования линий негладкости па поверхности, геометрически сопряженной с гладкой винтовой поверхностью. Показано, что однопараметрическая деформация алгеброидной поверхности (параметр — высота зубца в поперечном сечении) в практически важных случаях дает бифуркацию регрессивных точек по типу «ласточкин хвост» .

2. Предложен и полностью обоснован алгоритм, позволяющий производить компьютерную идентификацию особенностей в (первичных) регрессивных точках, проверять условия трансверсальности к особенностям первичных регрессивных точек, а также строить линии регрессивных точек, линии негладкости и вычислять углы в точках негладкого стыка. При обосновании алгоритма использована боардмановская классификация особенностей гладких отображений.

3. Получены (на основе предложенного алгоритма в случае алгебро-идных и тригонометрических контуров) компьютерные изображения плоских сечений оптимальных винтовых пар, линий негладкости и линий регрессивных точек.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают обоснование применимости методов теории особенностей гладких отображений при построении и анализе геометрически оптимальных винтовых пар. Результаты исследований, представленные в диссертации, относятся к случаю винтовых пар одинаковой заходности, но они могут найти применение при исследовании и проектировании разнообразных моделей винтовых насосов (включая случай п-винтовых систем, п>2, различной заходности в примыкающих парах).

Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежской зимней математической школе (2008 г.), на конференции «Из режима развития — в режим функционирования» (Воронеж, 2007 г.), на конференции «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения» (С-Петербург 2008, 2009 гг.), на международной конференции, посвященной памяти И. Г. Петровского (XXII совместное заседание ММО и семинара им. И. Г. Петровского, М., МГУ, 2007), па V международной научнотехнической конференции «СИНТ-09» (Воронеж, 2009), на семинаре по нелинейному анализу в НИИ математики ВГУ (рук. — проф. Ю.И. Сапронов) и на семинаре ВГУ по математическому моделированию (рук. — проф. В.А. Костин).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах. В статьях, написанных в соавторстве, соавторам принадлежат постановки задач и разбор отдельных примеров. Статья [42] опубликована в соответствии с «перечнем ВАК» .

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из.

1. Арнольд В. И. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов./ В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде // М.: Наука. 1982. 304 с.

2. Балденко Д. Ф. Винтовые насосы./ Д. Ф. Балденко, М. Г. Бидман, B. J1. Калишевский и др.// М.: Машиностроение, 1982. 228 с.

3. Брекер Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы./ Т. Брекер, JI. Ландер// М.: Мир, 1977. 208 с.

4. Брус Дж. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей./ Дж. Брус, П. Джиблин // Пер. с англ. М.: Мир, 1988. — 262 с.

5. Булыгин Ю. А. Информатика. Курс лекций/ Ю. А. Булыгин, В.В. Бородкин// Воронеж: ВГТУ, 2004. 88 с.

6. Валюхов С. Г., Скуфинский А. И., Булыгин Ю. А. Многофазный винтовой насос. Патент РФ № 227 14 74(13) С1. МПК Р04С 2/6 (2006.01). Заявка: 2 004 121 023/06. Дата подачи заявки: 2004.07.08.

7. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра./ Б. Л. Ван дер Варден // М.: Наука, 1979. 624 с.

8. Валюхов С. Г. К кинематике винтовых насосов/ С. Г. Валюхов, В. А. Костин, Ю. И Сапронов // Труды математического факультета (новая серия). Воронеж: изд-во ВГУ, 1998. N.3. С. 14−19.

9. Валюхов С. Г. К оптимизации зацеплений вращающихся плостник контуров./ С. Г. Валюхов, В. А. Костин, Ю. И. Сапронов // Вестник ВГУ. Сер. физ., мат. Вып. 1. 2000. С. 98−104.

10. Валюхов С. Г. Зацепления винтовых поверхностей./ С. Г. Валюхов, В. А. Костин, Ю. И. Сапронов, С. М Семенов // Воронеж: изд-во ВГУ, 1999/131 с.

11. Валюхов С. Г. Оптимизация шестеренчатых зацеплений винтовых поверхностей./ С. Г. Валюхов, В. А. Костин, Ю. И. Сапронов, С. М Семенов // Воронеж: ВорГУ. 2005. 177с.

12. Винберг Э. Б. Симметрия многочленов./ Э. Б. Винберг // М.: МЦ-НМО, 2001. 24с.

13. Булгаков Э. Б. Теория эвольвентных зубчатых передач. /Э.Б. Булгаков // М.: Машиностроение, 1995. 320 с.

14. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф/ Р. Гилмор // М.: Мир. 1984. Т 1, 350 с. Т 2, 285 с.

15. Женовак Н. Г. Судовые винтовые негерметичные насосы./ Н. Г. Женовак // JL: Судостроение, 1972. 144 с.

16. Зачепа В. Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений/ В. Р. Зачепа, Ю. И. Сапронов // Воронеж, ВГУ. 2002. 185 с.

17. Крутов A.B. Некоторые прикладные задачи: геометрико-кинематические модели/ A.B. Крутов// М.: Изд-во РУДН. 2001. -252 с.

18. Кривошапко С. Н. Ребра возврата, линии раздела и самопёресече-ния некоторых технологических поверхностей откоса/ С. Н. Кривошапко, A.B. Крутов// Вестник РУДН. Серия «Инженерные исследования, № 1». М.: Изд-во РУДН. 2001. С. 98−104.

19. Крутов A.B. Геометрическая модель движения твердого тела с неподвижной точкой на основе классификации кривых/ A.B. Крутов// Изв. РАН. МТТ. 2002. № 6. С. 37−42.

20. Обен Ж.-П. Прикладной нелинейный анализ/ Ж.-П. Обен, И. Эк-ланд// М.: Мир. 1988. 510 с.

21. Певзнер Б. М. Насосы судовых установок и систем./ Б. М. Певзнер // Ленинград: Судостроение, 1971. 217 с.

22. Постон Т. Теория катастроф и её приложения/ Т. Постон, И. Стюарт// М.: Мир, 1980. 608 с.

23. Пыж O.A. Судовые винтовые насосы./ O.A. Пыж, Е. С. Харитонов, П.Б. Егорова// Л.: Судостроение, 1969. 196 с.

24. Самарский A.A. Математическое моделирование. / A.A. Самарский, А.П. Михайлов// Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд., испр,-М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002. 320 с.

25. Харламов М. П. О некоторых применениях дифференциальной геометрии в теории механических систем./М.П. Харламов // Механика твердого тела. 1979, № 11, с. 37−49.

26. Харламов М. П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела./М.П. Харламов // Л.: Изд-во ЛГУ, 1988, 200 с.

27. Харламов М. П. Автоматическое управление программной ориентацией твердого тела./М.П. Харламов // Механика твердого тела, 2001, № 31, с. 126−133.

28. Харламов М. П. Явное интегрирование одной задачи о движении обобщенного волчка Ковалевской./ М. П. Харламов, А. Ю. Савушкин // Доклады РАН, 2005, т. 401, № 3, с. 321−323.

29. Харламов М. П. Обобщение 4-го класса Аппельрота: область существования движений и разделение переменных./ М. П. Харламов // Нелинейная динамика, 2006, т. 2, № 4, с. 453−472.

30. Poenaru V. Singularites С00 en Presence de Symetrie/ V. Poenaru // Lecture Notes in Mathematics. V.510, chapter II. N.-Y.: SpringerVerlag, 1976. — P. 61−89.

31. Wall C.T.C. A Note on Symmetry of Singularities/ C.T.C. Wall // Bull. London Math. Soc. 1980. V. 12. P.169−175.

32. Weinstein A. Singularities of families of functions/ A. Weinstein // Differential geometrie in Grossen. V.4. Oberwolfach. 1971. P.323−330.

33. Ковалева М. И. О зарождении особых точек на сопряженной винтовой поверхности. / М. И. Ковалева // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна 2008. Тезисы докладов. Воронеж: ВорГУ, 2008. С. 69 — 70.

34. Ковалева М. И. К вычислению углов в точках негладкости сопряженных контуров /М.И. Ковалева // Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия: Физика. Математика. 2009, № 1. С 119 125.

35. Сапронов Ю. И. Бифуркации регрессивных точек на сопряженных винтовых поверхностях/ Ю. И. Сапронов, М. И. Ковалева //Вестник Воронежского государственного технического университета. Том 5 № 4, 2009. С. 99 103.