Кооперативные дифференциальные игры со случайной продолжительностью

Актуальность темы

Одной из основных задач современной теории игр является конструирование и анализ принципов оптимального поведения участников в различных задачах конфликтного управления. Естественным подходом к изучению кооперативных динамических игр, как игр дележей, является попытка переноса результатов классической кооперативной теории «однократных» игр Неймана-Моргенштерна [19]. Однако при использовании результатов классической теории необходимо дополнительно исследовать вопрос о динамической и сильно динамической устойчивости полученного решения. Попытки применения динамически неустойчивых принципов оптимальности при решении прикладных задач в области экономики, экологии, менеджмента приводят к нереализуемости таких принципов, поскольку в некоторый момент времени возникают условия, когда соглашение о кооперации могут быть пересмотрено.

Это обстоятельство впервые было замечено JI.A. Петросяном в 1977 году [25]. Позднее введенные им термины динамической и сильно динамической устойчивости в англоязычной литературе трансформировались в «состоятельность во времени «и «сильную состоятельность во времени «соответственно. Исследованиям проблемы динамической устойчивости посвящены работы [9], [23], [24], [29] и др.

В настоящее время одним из наиболее бурно развивающихся разделов теории игр являются кооперативные дифференциальные игры [4], [13], [15], [39]. Также следует отметить перспективное направление, связанное с развитием теории стохастических игр, введенных Шепли в 1953 году [56], а также дифференциальных игр при наличии неопределенности [11], [12], [14], [33], [49], поскольку использование при моделировании фактора той или иной неопределенности позволяет наиболее адекватно описывать самые разнообразные процессы, происходящие в экономике, экологии, менеджменте, торговле, при принятии решений в области международных отношений, систем безопасности и пр!

В данной работе вводится новый класс дифференциальных игр — кооперативные дифференциальные игры п лиц со случайной продолжительностью Т — to. Случайность времени существования любого организма, системы, процесса заложена в окружающую человека реальность, поэтому спектр приложений кооперативных дифференциальных игр со случайной продолжительностью может быть велик. Отметим, что в работе J1.A. Петросяна и Н. В. Мурзова «Теоретико-игровые задачи механики» в 1966 г. [30] впервые были исследованы дифференциальные игры преследования двух лиц со случайной продолжительностью. В рассматриваемой авторами задаче продолжительность игры Т являлась случайной величиной с абсолютно непрерывной функцией распределения F (t) и множеством возможных значений в отрезке [0,То]. В этой же работе впервые было выведено уравнение типа Айзекса-Беллмана для заданной таким образом игры преследования.

В кооперативных дифференциальных играх супераддитивность характеристической функции не обеспечивает сохранение кооперации между игроками во время всей игры. Предположим, что перед началом игры игроки договариваются об использовании ими некоторого принципа оптимальности С{хо) и по окончанию игры рассчитывают получить некоторый соответствующий ему дележ? Е С{хо). Развитию игры во времени соответствует движение вдоль оптимальной траектории #*(?), на которой по определению игроки получают наибольший ожидаемый дележ. Однако движение вдоль оптимальной траектории еще не обеспечивает, сохранение кооперации. Действительно, при движении вдоль x*(t) игроки попадают в подыгры с текущими начальными состояниями, в которых один и тот же игрок имеет различные возможности. Следовательно, в некоторый моментд может возникнуть ситуация, когда решение текущей игры будет неоптимальным в смысле первоначально выбранного принципа оптимальности С{х$). В таком случае перед игроками встанет вопрос о целесообразности придерживаться далее намеченного перед началом игры соглашения действовать «совместно оптимально». Последнее будет означать динамическую неустойчивость принципа оптимальности С{хо) и, соответственно, самого движения по траектории x*(t). Следовательно, проблема динамической устойчивости является очень важной для кооперативных дифференциальных игр со случайной продолжительностью. Разрешить данную проблему предлагается путем введения специальных выплат (процедуры распределения дележа), которые будут регулировать распределение общего выигрыша во времени так, чтобы ни в какой момент времени t G [?0, сю) ни у кого из игроков не возникло желание уклониться от первоначального соглашения.

В диссертации также рассматриваются кооперативные многошаговые игры со случайным числом шагов как дискретный аналог кооперативных дифференциальных игр со случайной продолжительностью. Развитию игры соответствует пошаговый переход из одного состояния в другое, под динамической устойчивостью понимается реализуемость принципа оптимальности на всех шагах игры. Для построения динамически устойчивых принципов оптимальности используется процедура распределения дележа, согласно которой игрокам на каждом шаге выплачивается некоторая сумма, обеспечивающая сохранение кооперации.

Основной целью работы являлось изучение динамической и сильно динамической устойчивости решений кооперативных дифференциальных игр со случайной продолжительностью, а также решений кооперативных многошаговых игр со случайным числом шагов. В диссертации решалась задача построения динамически и сильно динамически устойчивых принципов оптимальности на основе классических решений для указанных классов игр.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней:

1. введены новые классы кооперативных динамических игр — кооперативные дифференциальные игры со случайной продолжительностью и кооперативные многошаговые игры со случайным числом шагов,.

2. предложены алгоритмы построения новых принципов оптимальности на основе классических решений, которые удовлетворяют свойствам динамической и сильной динамической устойчивости.

3. получено и обосновано уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана для кооперативных дифференциальных игр со случайной продолжительностью.

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты представляют теоретический и практический интерес. Кооперативные дифференциальные игры со случайной продолжительностью, а также их дискретный вариант — кооперативные многошаговые игры со случайным числом шагов, являются удобными математическими моделями для описания процессов, происходящих в экономике, экологии, менеджменте и прочих сферах человеческой деятельности. Особый интерес представляют алгоритмы построения динамически устойчивых принципов оптимальности для данных классов игр.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Построена формализация кооперативных дифференциальных игр со случайной продолжительностью. Введены понятия процедуры распределения дележа, динамической и сильно динамической устойчивости принципа оптимальности для данного класса игр.

2. Получено аналитическое выражение для процедуры распределения дележа при динамической устойчивости принципа оптимальности.

3. Проведена регуляризация классических принципов оптимальности, приводящая к динамической и сильно динамической устойчивости. Регуляризация задана в форме алгоритма.

4. Получено уравнение Беллмана-Гамильтона-Якоби для нахождения значения кооперативной дифференциальной игры со случайной продолжительности .

5. Определены кооперативные многошаговые игры со случайным числом шагов. Введены понятия процедуры распределения дележа, динамической и сильно динамической устойчивости принципа оптимальности. Предложен алгоритм регуляризации принципов оптимальности, приводящий к динамической и сильно динамической устойчивости принципов оптимальности для данного класса игр.

Апробация работы. Основные результаты были представлены на семинарах кафедры математической теории игр и статистических решений, на семинарах Центра теории игр, на XXX и XXXI научных конференциях «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 1999, 2000 гг.), на 3 международной конференции «Logic, Game Theory and Social Choices» (Италия, University of Sciena, 2003), на семинаре Механико-математического факультета Саратовского государственного университета имени Н. Г. Чернышевского (Саратов, 2004). 1.

По материалам диссертации опубликованы работы [28], [36], [37], [32], [53], [54], [55].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, заключения, списка используемой литературы и приложения.

Заключение

.

В диссертации получены следующие основные результаты:, 1. Построена формализация кооперативных дифференциальных игр со случайной продолжительностью. Введены понятия процедуры распределения дележа, динамической и сильно динамической устойчивости принципа оптимальности для данного класса игр. Получено аналитическое выражение для процедуры распределения дележа при динамической устойчивости принципа оптимальности.

2. Получен алгоритм регуляризации принципов оптимальности для данного класса игр, позволяющий конструировать новые динамически ч и сильно динамически устойчивые принципы оптимальности.

3. Получено уравнение Беллмана-Гамильтона-Якоби для функционала, являющегося математическим ожиданием совместного выигрыша игроков.

4. Рассмотрены кооперативные многошаговые игры со случайным числом шагов. Введены понятия процедуры распределения дележа, динамической и сильно динамической устойчивости принципа оптиv мальности. Приведен алгоритм регуляризации принципов оптимальности для данного класса игр.