Математическое моделирование потенциальных полей методом операторов преобразования для областей со сферической симметрией

Однородные и неоднородные задачи математического моделирования потенциальных полей в областях со сферической симметрией представляют большой теоретический и практический интерес. Этими задачами в разное время занимались Лаврентьев М. М., Мусхелишвили Н. И., Уфлянд Я. С. Для решения задач подобного класса Лаврентьевым М. М. и Уфлянд ом Я.С. разработан метод интегральных преобразований. Методы теории функций комплексного переменного успешно применялись Мусхелишвили Н. И. Моделирование процессов граничного управления осуществлялось в работах Сергиенко И. В., Дейнека B.C. методом конечных элементов.

Нами предлагается метод векторных операторов преобразования, который дополняет классические методы и дает ряд преимуществ, в частности, позволяет найти решение в замкнутом виде. Замкнутый вид решений открывает новые возможности в исследовании моделей потенциальных полей и процессов граничного управления. Применение разработанного нами нового метода моделирования позволило найти в замкнутой форме структуру потенциальных полей неоднородных сред со сферической симметрией, интерпретировать гравитационные и магнитные аномалии полей. Наличие замкнутого выражения для решения модельной задачи важно с теоретической и практической точек зрения, так как возникает возможность сравнить в модельном случае точное решение и решение, полученное с помощью выбранного численного метода.

Метод операторов преобразования позволяет:

— упростить вычислительные схемы итерации и регуляризации при решении задач кусочно-однородных сред;

— редуцировать исследование неоднородных потенциальных полей к однородным;

— получить решение в удобном виде, допускающем простую физическую интерпретацию: слагаемые интерпретируются как последовательные отражения от экранов;

— изучать асимптотические свойства решения. Цель работы.

Целью работы является построение моделей потенциальных полей в сферически-симметричных областях. Для ее достижения были поставлены следующие задачи:

— построить векторные операторы преобразования;

— найти в замкнутой форме структуру потенциальных полей кусочно-неоднородных сред со сферической симметрией;

— найти математическую интерпретацию гравитационных и магнитных аномалий полей;

— разработать вычислительные алгоритмы, основанные на полученных аналитических формулах, реализовать эффективные численные методы и алгоритмы в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для моделирования потенциальных полей.

Перечислим основные новые результаты диссертационной работы.

• конструирование векторных операторов преобразования для областей с круговой симметрией;

• моделирование фильтрационных течений, доказательство фильтрационной теоремы об окружностях;

• метод векторных операторов преобразования для моделирования полей напряжений в круглой пластине и его реализация в среде ММЬаЬ;

• аналитическое представление граничного управления в шаре и его реализация в среде Ма1-ЬаЬ;

• построение новых выражений для скалярных потенциалов и их нормальных градиентов при моделировании гравитационных и магнитных потенциальных полей аномалий;

• аналитическое выражение для интерпретации полей напряжений для круглой пластины;

• аналитическое выражение для продолжения гравитационных и магнитных потенциальных полей аномалий в шаре.

Теоретическая ценность работы заключается в создании векторного варианта метода операторов преобразования для математического моделирования неоднородных потенциальных полей: полей напряжений в твердом теле, гравитационных и магнитных полей аномалий, фильтрационных течений.

Практическая ценность работы заключается в применении найденных формул для исследования математических моделей неоднородных сред при создании регуляризирующих операторов, позволяющих интерпретировать результаты граничных наблюдений полей напряжений, гравитационных и магнитных полей аномалий, фильтрационных течений.

Поставленные в работе задачи решались разработанным автором методом векторных операторов преобразования. При решении задач применялись классические результаты теории рядов Фурье, применялись регуляризирующие алгоритмы.

Достоверность научных положений, результатов и выводов, содержащихся в диссертационной работе, основывается на использовании классического математического аппарата и подтверждается сравнением полученных результатов с ранее известными.

Перейдем к изложению содержания по главам. Работа состоит из введения, трех глав, списка использованной литературы и приложения.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, формулируются цель и задачи, научная новизна и практическая значимость результатов работы, выносимых на защиту, дается краткое описание и обзор работ Лаврентьева М. М., Мусхелишвили Н. И., Уфлянда Я. С., Сергиенко И. В., Дейнеки B.C., Страхова В. Н. имеющих наиболее близкое отношение к теме диссертации.

В первой главе введены векторные операторы преобразования в круге и в шаре для вектор функций, гармонических в сферически симметричных областях.

Рассмотрена вектор-функция.

25X3)^U 5'" ^з) ••• и"(Х1>Х2>Хз)) гармоническая в шаре BR = |(xj, x2, jc3)| xf + х + х] < i?2|.

Векторный оператор Lv в шаре определен равенством: з.

Z/p I^W? ? ^ ^^ 1 Ъ1^Xj у 5 ^ ^ I ^^ JC^Ы^^Xj у Х2 5 | ^ i=i где Г = (у) — заданная квадратная матрица.

V J /пхп.

Ранее в скалярном случае (у — число) данный оператор изучался И. И. Бавриным в [8, 9]. Темляков A.A. [82] изучал оператор Lr в пространстве аналитических функций двух переменных и бигармонических функций. В работе в пункте 1.1 найдено выражение для обратного оператора L]!. Если все собственные числа матрицы Г имеют положительные действительные части, то есть Re > 0, i-l, n, то обратный оператор действует по формуле: 1.

L’rl [v (x, x2, x3)J = ^st~ev (sxvsx2,sx3)ds, (0.1) о где sr~E = ехр ((Г-?)1п?-). Получили, что (0.1) в скалярном случае совпадает с представленным в [8].

В п. 1.3 диссертационной работы показано, что математическое моделирование полей напряжений для круглой пластины приводит к третьей векторной краевой задаче. Тогда для описания полей напряжения становится возможным применить формулу (0.1). Для иллюстрации предлагаемого метода, т. е. формулы (0.1), рассмотрим модельный пример. Для векторного уравнения Лапласа в круге.

U2j с граничными условиями третьего рода:

— 2 м, + 2и2 + ru[r — sin3 (р, -6 их + 5 щ + ги2г = 0. точное решение задачи на окружности г = 0,5 получим по формуле (0.2): и со х1, х2,х3) = 1р1[у (х1,л:2,хз)] = ^(г + л:£) Рк (х, х2, х3), (0.2) к=0 г,(р) щ (г,(р) 3 (6 6)*. 1 (8 6)* з .

— v 7 rsin<p————г sin 3(3.

4ск*(Г + ?) 4ск*(Г + 3?).

Для численного решения применяем формулу, заменив интеграл из (0.1) частной суммой ряда Фурье: расч.

U о у расч2.

0,5 -,(р) fr-l 2N0 п=1 f f.

J 1 СП f2cn f2 sr? J eos П (р sin nep где fjck, fisk, i = 1,2 коэффициенты ряда Фурье вектор-функции: им].

J2W) V.

3. 1. —sin ср—sm3(c)

4 4 0 = 10 4-погрешность, в — случайное число от -1 до 1, а число слагаемых выбиралось равным 2А⁰ = 20. Эксперименты проводились в системе Ма1: ЬаЬ. Результаты вычислений представлены на рис. 1. рис. 1.

Изучению интегральных преобразований посвящены [15- 16- 24- 91- 92- 97- 101- 106]. Рассмотрены основные классы интегральных преобразований, играющие важную роль в решении задач математической физики, при использовании аналитических методов в исследовании математических моделей. Изучению преобразования Фурье посвящены [34,55- 95- 104- 111].

Основной математический аппарат работы — метод векторных операторов преобразования. Операторы преобразования в скалярном случае изучались ранее Бавриным И. И. [8], Куприяновым И. А. [39], Яремко О. Э. [12].

В п.п. 1.1−1.3 построены векторные операторы преобразования для следующих задач в сферически симметричных областях:

1)для моделирование магнитных и гравитационных полей аномалий в круге и шаре;

2) для описания полей напряжений в круглой пластине.

Во второй главе метод векторных операторов преобразования применен для математического моделирования фильтрационных течений.

Теория фильтрации в неоднородных изотропных средах представлена обширной литературой. Общим математическим аппаратом для исследования стационарной линейной двумерной фильтрации жидкости в таких средах служит теория р-аналитических функций, которая была развита в работах Л. Берса, А. Гельбарта, М. А. Лаврентьева, И. Н. Векуа, Г. Н. Положего и др. в [22]. Двумерными моделями описывают плоскопараллельную фильтрацию, осе-симметричную и плановую фильтрацию в неоднородных средах, и фильтрацию в весьма тонких криволинейных слоях переменной толщины и проницаемости [31, 85].

Другой путь изучения двумерной~ фильтрации в неоднородных средах связан с выбором специальных классов дифференцируемых функций, характеризующих проницаемость к, для которых можно построить течения от всех типов (источник, диполь, мультиполь) особых точек с помощью метода перехода [28, 29, 78, 86]. В работах [20, 28, 29, 67, 68, 70] построены потенциалы течений от всех типов особых точек для проницаемостей к (у). В [29] построены потенциалы течений от источника в средах с проницаемостью к, задаваемой некоторыми цилиндрическими функциями или удовлетворяющей определенным уравнениям.

На практическую важность задач сопряжения для теории фильтрации обратили внимание давно. Ещё в 1942 г. П.Я. Полубаринова-Кочина рассматривала задачу о притоке к скважине в кусочно-неоднородном грунте. Для двух однородных изотропных зон, разделенных окружностью или прямой, О. В. Голубевой в [31, 32] задача сопряжения решена в общем виде методом изображений (теоремы об окружности и прямой). Применение методов изображений, преобразования Лапласа, последовательного применения теоремы об окружности и разложения в ряды Тейлора в [36, 43, 44] привело к общему решению задачи сопряжения в кусочно-однородных зонах с двумя и тремя параллельными прямыми или концентрическими окружностями. Затем полученное решение в [72] В.М. Рад’ыгиным и А. Г. Ярмицким с помощью дробно-линейных отображений и биполярных координат обобщено на две неконцентрические окружности. Общие решения задач сопряжения для двух однородных зон, разделенных кривыми второго порядка, указаны О. В. Голубевой и А. Я. Шпилевым в [33] на основе разработанного ими для этого класса задач метода конформных отображений с применением вспомогательных течений на римановых поверхностях. М. Ф. Бариновой в [17] методом изображений построено решение для восьми однородных зон, разделенных прямыми и окружностью, с двумя чередующимися значениями проницаемости в зонах. Особые точки течения должны при этом располагаться осесимметрично, а их мощности должны удовлетворять определённым уравнениям связи. В [43] была сделана попытка решить методом изображений задачу сопряжения для произвольного числа однородных зон, разделённых параллельными прямыми, что привело к многократным рядам (с кратностью равной числу зон) и к сложной системе уравнений, оставленной без исследования.

В п. 2.1 рассмотрена пространственная установившаяся фильтрация жидкости в кусочно-однородной пористой среде. Ранее фильтрационная теорема о сфере без условий сопряжения была рассмотрена академиком Голубевой О. В. [31].

Операторный метод позволил доказать фильтрационную теорему для случая двух концентрических окружностей.

Для примера рассмотрим случай единичного источника мощности т, сосредоточенного в точке, а = 2. Как известно в этом случае потенциал, описывающий фильтрационное течение постоянной проницаемости среды кх равен.

Построим линии равных потенциалов (рис. 2) для невозмущенного поля: при 0.5 < г < 6. рис. 2.

Пользуясь методом п. 2.1.2, в случае изменения проницаемости среды внутри круга радиусом rQ = 1 на к0, получим потенциалы возмущенного поля: ^ т 1 /7 2 к,-кп т, (1 4х л г 2 л.

Ф2=Ф =—In ((х-2) +У1 + —-—InТ~—-Т + 4, х + у > 1.

2 1 4п К } У / к, + к04тг [х2+у2×2+у2) У.

Построим линии равных потенциалов (рис. 3) для возмущенного поля:

171 1 /7 2 ^-^о 171 1 Г 1 W 1 п> 2 2i.

— lnllJC —2) +v +———In —-—-7+4 =—nR, X + у >1.

4ж v 1 / кх + к04тс [х2 + у2×2 + у2) 4 п * при 0.5 < г <6. рис. 3.

Как видно, линии потенциалов вытягиваются в сторону окружности сопряжения.

В п. 2.2 работы найдена замкнутая форма для структуры полей напряжений в кусочно-однородной круглой пластине. Задачи теории упругости для многослойных сред рассматривались многими авторами. Подроб^ш обзор таких работ можно найти, например, в монографии Я. С. Уфлянда [87], в работах В. М. Александрова, Е. В. Коваленко, С. М. Мхитаряна [2, 3] и др. Основными методами решения большинства указанных задач являются методы интегрального и дискретного преобразование Фурье, с помощью которых решаемые задачи, как правило, сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям, бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, задаче линейного сопряжения, интегральным уравнениям и т. д.

Приложения теории функций комплексного переменного к плоской задаче теории упругости1 развиты Колосовым Г. В., Мусхелишвили Н. И. исходя из того факта, что любую бигармоническую функцию можно представить с помощью аналитических функций комплексного переменного. С другой стороны, через бигармоническую функцию выражаются компоненты напряжения и смещения [52]. Применение метода операторов преобразования позволило нам по известным на границе радиальным, окружным, нормальным напряжениям: <тг, сг (р, тпр ~ найти выражения в замкнутом виде для компонент вектора перемещений м, у в любой внутренней точке области.

В п. 2.3 работы метод операторов преобразования применен для исследования математической модели магниторазведки из [18.1], которая ранее методом интегральных преобразований решалась Уфляндом Я. С. и его учениками. Применение метода операторов преобразования позволило нам получить выражение для потенциала в замкнутой форме в виде, удобном для анализа асимптотических свойств и допускающем использование пакета символьной математики МаЛСАО. Математическая модель магниторазведки приводит к решению сепаратной системы уравнений.

Лапласа.

Аих = 0, (х1,х2,х3)/ г02 < х? + х2 + х3 < 1, Д½ ' ' Х3) ^ I Х2 1 ^ ^.

0.3) с известным значением скалярного магнитного потенциала их, заданным на границе шара и условиями сопряжения на внутренней сфере ?

Ы ^ — и 2 9 X Е.

Мип=и'2п,.

Первое условие в (0.4) означает непрерывность тангенциальной компоненты напряженности магнитного поля, а второе условие вытекает из непрерывности нормальной компоненты вектора индукции, ¡-л = 1 + к, к-безразмерная магнитная восприимчивость. Метод операторов преобразования позволил найти аналитические выражения для скалярного магнитного потенциала в виде:

0.4) и. г, д>) =, 0 < г0 < 1,.

1 + Ц .=п.

М ?=0.

0.5).

Щ (Г,<�Р) = Ц о.

С л УУ 1-М.

1+// и.

— и.

27+2 ЛЛ // v г0<�г<1,к = -1 где й (г, ср) — значение скалярного магнитного потенциала невозмущенного магнитного поля при // = 1 с нулевой магнитной восприимчивостью к.

Формулы (0.5) послужили основой для численного решения модели (0.3), (0.4):

— ц их{г><�Р) = Ъ.

7=0.

1 + /" И.

— и 0 г р и.

1 Г и ,=п.

А ,=о.

Каждое слагаемое вычислялось по формуле Пуассона. При этом.

2/г/ выбирали N = 50, (р, /' = 0,1,г = 0.75, ?> = 10.

Погрешность вычислений можно оценить по формуле: е<�М—-> - = М —, М = шах /(м.

11 к + + и +.

Проиллюстрируем описанный метод решения задачи на следующем примере. Положим в (0.3), (0.4) значение скалярного магнитного потенциала на сфере равным/(^) = зт3⁵ г = 0.75. На рис. 4 у2(г, у/) — точное решение, и2 (г,<�р) — расчетное решение. рис. 4.

В третьей главе операторы преобразования применяются для интерпретации результатов наблюдений гравитационных и магнитных потенциалов. Данные задачи относятся к так называемым обратным задачам. К обратным задачам относят задачи определения некоторых физических свойств объектов, таких, как плотность, коэффициент теплопроводности в зависимости от координат или в виде функций других параметров. Процедура решения таких задач, состоящих в обращении причинно-следственных связей, связана с преодолением серьезных математических трудностей. Обратные задачи и различные методы их решения рассмотрены в [19- 54- 73- 90- 93- 96- 98- 99- 108- 109- 110- 115- 116], обратные задачи теплообмена в [4, 18].

Работы академика М. М. Лаврентьева связаны с задачами аналитического продолжения и задачей Коши для уравнений эллиптического типа. Созданный им метод получения оценок условной устойчивости решений этих задач открыл путь дальнейших широких исследований в этой области. Задача Коши для уравнения Лапласа — классический пример Адамара некорректной задачи — оказалась важной задачей в гравиразведке в связи с вопросами продолжения потенциальных полей [53].

В п. 3.1 предложена формула, восстанавливающая гармоническую в единичном шаре функцию по её значениям на внутренней сфере: х) = — ех U— jV° J0 Л sin ц/ u (?)dSrdA. (0.6).

2л" 0 V 2'S{r0) ro.

Указанная формула применяется нами для аналитического продолжения полей внутрь и вне шара. На основании (0.6) предложен регуляризирующий алгоритм:

1 Мр (1 ^ г —Лйоъу (г Л.

МдГо (*) = ! ]УЯЛ— ¡-ег° -Лбш^ (0.7).

2л 0 ^ чго).

Выбрано модельное значение потенциала в шаре, не зависящее от долготы: и (г,(р, и/) = — гътф-— г^ътЪф, тогда точное значение потенциала 4 4 на границе шара г = 1 имеет вид: и (1, д), у/) = бш (р — ^ бш Ъ (р. По наблюдаемым на внутренней сфере г0 = 0.5 значениям потенциала.

Г з 1 ^ и (г0,(р, у/)= —г0зт4 4) .

.

При помощи формулы (0.7) восстановим значения потенциала и (1,(р, ц/) на границе. Расчетная формула была получена из (0.7): и расч г,(р) = ^ + Yr^r{ucn cosП (р + usn sinrup),.

1 л=1 Г0 где ап — е Ххпс1х прегуляризирующиймножитель. о /.

На рис. 5, 6 представлены графики наблюдаемого и теоретического решения в разных масштабах.

01 23 456 789 10.

0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 рис. 5. рис. 6.

Задача является некорректной, изучению такого рода задач посвящены [5- 100- 107- 114].

Указанный алгоритм работает и для прямой задачи. С помощью аналогичного алгоритма нами решена задача продолжения потенциала с внутренней окружности при наличии условий сопряжения.

В п. 3.2 рассмотрено аналитическое описание математической модели граничного управления. Проблемами граничной теории управления занимались Сергиенко И. В., Дейнека B.C. [79,80], Лионе Ж.-Л., Мадженес Э [57].

Пусть в единичном шаре Вх е? 3 определено уравнение Лапласа: trax, 2.

На границе задано третье краевое условие:

I. 9У or.

0.8) где А>0.

Определим для каждого управления и е Ь2 (5,) состояние у = у{и) как обобщенное решение краевой задачи, заданной уравнением (0.8) и краевым условием.

Ьу + Г =§ + и> ог.

Наблюдение зададим в виде.

2{и) = у{и), хе^,.

Оптимальное управление определяется условием минимальности уклонения в некоторой метрике решения у от заданного наблюдения гё. Для нахождения оптимального управления и[х) имеем третью векторную краевую задачу для системы уравнений Лапласа [79]: и. 0, хеВ, из с граничным условием третьего рода: 1 к — а0.

— 1 к.

V д V '8 г— — дг 1 р. х е, где — известный элемент из Ь2 (5,), 0 < <я0 = сот1 — параметр регуляризации.

Решение указанной краевой задачи находится по формуле (0.1). Наконец, оптимальное управление задается формулой [79]: и = -р/а, х&В^ (0.9).

Ранее данная задача управления решалась методом конечных элементов (МКЭ) численно.

Пользуясь результатом (0.9), мы получили в п 3.2 аналитическое решение указанной задачи управления:

1 1 где — = /?2, а0 — параметр регуляризации. а0.

В качестве примера рассмотрим задачу определения граничного управления и, которое дает постоянную температуру на границе 2ё-°.

Выбирая параметр регуляризации а0 = Ю-2 для неизвестного управления, найдем выражение:

10/2 • и——-.

10~2/г2 + 1.

На рис. 7 приведены графики регуляризированного и нерегуляризированного и = управлений в зависимости от коэффициента к. рис. 7.

В п. 3.3 с помощью формулы (0.6) интерпретируются поля напряжений в круглой пластине: по результатам наблюдений значений тензоров напряжений сг^сг^т^ на внутренней окружности восстанавливают их значения на граничной окружности.

В п. 3.4 развиты аналитические методы интерпретации результатов граничных наблюдений, когда по одним граничным данным нужно найти другие граничные данные. Подобного рода задачи встречаются в гравиразведке, когда расчет нормального градиента наблюдаемого поля применяется для выделения локальных аномалий, см. [18.1]. В работе мы предлагаем использовать так называемые граничные операторы преобразования, введенные нами в п. 3.4. При этом удается получить выражения для градиентов в замкнутом виде, позволяющие использовать, в расчетах пакет Ма1ЬаЬ. Граничные операторы преобразования — новое средство для интерпретации граничных наблюдений потенциальных полей, предложенное в работе. Граничный оператор преобразования задается формулой: л 0 V ¿—5(г0).

А СО еГо Л.

Хътц/ го.

Оператор (0.10) позволяет по одним известным характеристикам потенциального поля вычислить другие неизвестные характеристики.

В работе в п. 3.4 рассмотрены два модельных примера, в первом по значениям потенциала и на границе восстановить нормальный градиент поля и’п на границево втором — по известным значениям нормального градиента на границе определим потенциал поля и на границе.

3 • 1 • *.

Для первого примера взято значение потенциала и = — бш^-—ътЪф. Наблюдаемое значение потенциала на границе имеет вид.

Г з 1 ^ ъп (р-—$тЪ (р^(+ 5в}. Теоретическое значение потока задается формулой:

I 3 3.

Найдем расчетное значение нормального градиента по формуле (0.10). Для этого по значениям наблюдаемой функции /(ф) находим коэффициенты ряда Фурье /сп,/т • Расчетная формула следует из (0.10).

На рис 8, 9 представлены графики наблюдаемой и расчетной зависимости от угла (р потенциала и’п в разных масштабах.

— 05.

1 5.

1 5.

— 08.

01 02 03 04 05 06 07 08 09 рис. 8. рис. 9.

Во втором примере взято поле с нормальным градиентом 3 3 и’п =— $т<�р- — этЗ^. С точностью до произвольной постоянной С теоретическое значение потенциала будет иметь вид: находим коэффициенты ряда Фурье для функции /(<р): /с&bdquo-,/5&bdquo-. Расчетная формула следует из (0.10) и отличается от последней тем, что внешний интеграл берется по конечному промежутку [0,-параметр регуляризации.

На рис 10 представлены графики наблюдаемой и расчетной зависимости от угла (р потенциала и. и г,(р, ц/)г=х = -ьтр —ьтЗд).

По значениям наблюдаемого нормального градиента.

01 23 456 789 10 рис. 10.

Указанная картина подтверждает, что решение во втором примере определяется однозначно с точностью до произвольной постоянной С.

В п. 3.5 предложен регуляризирующий алгоритм решения задачи Адамара, т. е. задача Коши для уравнения Лапласа. К задаче Адамара приводят важные проблемы гравиразведки: по известной величине поля и его нормального градиента на сфере определяется аналитическое продолжение гравитационного или магнитного поля вне шара. А. Н. Тихонов получил решение задачи Адамара в круге как сумму ряда Фурье. Мы предлагаем новый алгоритм, основанный на работе [3]. Аналитический характер использованной формулы позволяет применить пакет Ма1ЬаЬ.

Этот алгоритм основан на интегральном представлении решения из [89,.

93]: |*2 ^ 2 71.

1 2) г и (г><�Р) = I *%((р)(1<�р-Ыг.

1 Ге-£.

2л- * ехр г 2? — V ехр л —.

— 1 ф)(1(рс1Б.

2л.

Г'.

Ые Гехр е— Я) ехр чЛ.

V ¿-У р) л<�р йе.

0.11).

Для примера рассмотрим задачу Адамара с данными:

Ди = 0, и (1,(р) — бш3(р, и’п{,(р) = § Точное решение этой задачи имеет вид: и.

3 / г + п г sin (р- 1 (гг 1 ^ г.

2 ~ 4 2 4 2.

V) J sin Ъ (р г=2.

Вычисления ведутся по формуле: fa 2N°(и (2,(р) = + ЕI 2″ +^ГJ (Л"а"п cos п (Р + f*, a"nsin n (P), в которой f^fcnifm «коэффициенты ряда Фурье функции.

Ъ 1 ^ /( ) = — sintp- — SIn3(2> (1 + 30), ап — регуляризирующий множитель.

О 05 1 15 2 25 3 35 4 рис. 11.

На рис. 11 представлены графики зависимостей от угла (р для теоретического и расчетного значений потенциала на окружности г — 2. Аналогичные совпадения наблюдаются и для значений потенциала на концентрических окружностях других радиусов.

Вопросам математического моделирования посвящено большое количество разнообразной литературы. С моделированием различных физических процессов можно познакомиться [58- 76- 105- 112], в частности, процессов массои теплопереноса [7- 50- 56- 60- 61- 65- 66- 75- 102- 103], гравимагнитных полей [1- 6], термомеханики и термоупругости в [35- 45- 60]. В [4] особое внимание уделено итерационной регуляризации как одному из наиболее быстро развивающихся методов в теории решения некорректно поставленных обратных задач теплообмена. Даны сравнительный анализ и рекомендации по применению методов обратных задач теплопроводности.

Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях и семинарах:

1. III Международная научно-техническая конференция молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем» — Пенза, 2009.

2. XVII международная конференция «Математика. Образование» -Чебоксары, 2009.

3. IV Международная научно-техническая конференция молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем». — Пенза, 2010.

4. XVIII Международная конференция «Математика. Экономика. Образование» — Ростов н/Д, 2010.

5. Моделирование нелинейных процессов и систем. Вторая международная конференция. — Москва, 2011.

6. V Международная научно-техническая конференция молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем». — Пенза, 2011.

7. Международная научно-практическая конференция «Математика и ее приложения. Экономическое прогнозирование: модели и методы». — Орел, 2011.

8. Третья международная конференция «Математическая физика и ее приложения». — Самара, 2012.

9. Получено свидетельство о регистрации электронного ресурса «Моделирование потенциальных полей в Ма1-ЬаЬ» № 17 164, выданное ИНИМ РАО ОФЭРНиО 07 июня 2011 года.

10. Получен Диплом 3 места во Всероссийском конкурсе научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук, Российский государственный социальный университет, 2011 г.

Основные результаты диссертации изложены в работах [116] - [138].

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Сконструированы векторные операторы преобразования в круге и в шаре для моделирования потенциальных полей в однородных и неоднородных средах:

1.1. Найдено замкнутое описание возмущенных фильтрационных течений в шаре.

1.2. Найдено замкнутое описание полей напряжений в плоской круглой пластине.

1.3. Найдено аналитическое представление для управляющих воздействий в граничной задаче управления.

2. Сконструированы граничные операторы преобразования — новое средство для интерпретации граничных наблюдений потенциальных полей в однородных и неоднородных средах.

3. Разработана техника применения метода граничных операторов преобразования.

3.1. для интерпретации гравитационных и магнитных полей аномалий.

3.2. для интерпретации полей напряжений в плоской круглой пластине.

4. Предложены регуляризирующие алгоритмы в математическом моделировании.

4.1. фильтрационных течений,.

4.2. потенциалов полей напряжений в твердом теле,.

4.3. управляющих воздействий граничной задачи теории управления,.

4.4. гравитационных и магнитных полей аномалий.

3.6. Выводы.

В Главе 3 на основе введенного в первой главе нового математического аппарата, использующего векторные операторы преобразования, найдено аналитическое представление для управляющих воздействий в граничной задаче управлениясконструированы граничные операторы преобразованияновое средство для интерпретации граничных наблюдений потенциальных полей в однородных и неоднородных средах, а также разработана техника применения метода граничных операторов преобразования для интерпретации гравитационных и магнитных полей аномалий, для интерпретации полей напряжений в плоской круглой пластине. Предложены регуляризирующие алгоритмы в математическом моделировании управляющих воздействий граничной задачи теории управления, гравитационных и магнитных полей аномалий. р

Заключение

.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

1. Сконструированы векторные операторы преобразования в круге и в шаре для моделирования потенциальных полей в однородных и неоднородных средах.

2. Найдено замкнутое описание возмущенных фильтрационных течений в шаре, замкнутое описание полей напряжений в плоской круглой пластине, аналитическое представление для управляющих воздействий в граничной задаче управления.

3. Сконструированы граничные операторы преобразования — новое средство для интерпретации граничных наблюдений потенциальных полей в однородных и неоднородных средах.

4. Разработана техника применения метода граничных операторов преобразования для интерпретации гравитационных и магнитных полей аномалий и полей напряжений в плоской круглой пластине.

5. Предложены регуляризирующие алгоритмы в математическом моделировании фильтрационных течений, потенциалов полей напряжений в твердом теле, управляющих воздействий граничной задачи теории управления, гравитационных и магнитных полей аномалий.