Численное решение двумерных интегральных уравнений теории потенциала в электронной оптике

Современное развитие многих отраслей естественных наук тесно связано с использованием электронно-вычислительных машин (ЭВМ), которые дают в руки исследователей эффективное средство для математического моделирования сложных задач науки и техники. В его основе лежит решение уравнений математической модели численными методами.

Одним из весьма распространенных применений численных методов являются расчеты электронно-оптических систем (ЭОС) — основных узлов электронно-лучевых приборов (ЭЛП). Повышение точности расчетов ЭОС способствует улучшению технических характеристик приборов. Это требует разработки эффективных алгоритмов для практических расчетов ЭЛП. Такие алгоритмы дают возможность заменить длительный и дорогостоящий технологический эксперимент расчетом на ЭВМ с выбором наилучшего решения разнообразных и сложных по геометрии ЭОС. Весьма актуальной задачей в настоящее время является автоматизация расчетов ЭОС на ЭВМ.

В основе расчета ЭОС лежит задача нахождения потенциала электростатического поля, которое создается системой электродов. С математической точки зрения она сводится к решению задачи Дирихле для уравнения Лапласа в пространстве с разомкнутыми поверхностями сложной конфигурации [3l]. Решению указанной проблемы посвящена обширная литература [24,27,33,39,41,66,76,81, 96].

В случае канонических областей, для которых применим метод разделения переменных, данная задача имеет аналитическое решение. что детально исследовано в монографиях В. Глазера [27] и Г. А. Гринберга [33]. Если же отдельные элементы ЭОС являются достаточно малыми по сравнению с характерными размерами всей системы и имеют сложную форму, то в монографиях А. Г. Власова и Ю. А. Шапиро [243, Г. Ф. Полякова [бб], Л. Э. Цырлина [8l] предложены специальные алгоритмы, которые носят локальный характер, отражаясь на решении в целом.

Для случая замкнутых областей поставленная задача достаточно полно и эффективно решалась многими авторами. Среди них в первую очередь следует назвать монографию В. П. Ильина [39], в которой рассматривается решение задач электрооптики методом конечных разностей. В. Л. Рвачевым [68] решается широкий класс граничных задач методом? -функций. Некоторые пространственные задачи теории потенциала рассматриваются М. А. Алексидзе [I] методом разложения решения в ряд по полной системе ортогональных функций.

Применение перечисленных методов значительно затрудняется в случае задач со сложной формой границы и неограниченным характером области. Наиболее эффективным для таких задач оказался метод интегральных уравнений, преимущества которого описаны в работах [28,7б]. Особое место при расчете пространственных ЭОС занимают двумерные интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода со слабой особенностью в ядре.

Решению указанных уравнений посвящены работы А. В. Гончарского, А. Г. Яголы, А. С. Леонова, В. Я. Иванова, В. П. Ильина, В.Д.Пер-минова, С. П. Сулейманова, Г. Фикеры, Б. Г. Фрейнкмана, Ю. П. Ярцева [29,36−38,64,75,78,79,86] и др. В работе [78] решается внешняя задача электростатики на одиночном кубе и исследуется характер поведения неизвестной плотности на краю и границах излома области. Выделению особенности в ядре интегрального уравнения посвящена работа [79]. И. М. Полищук [65] рассматривает решения задач Дирихле и Неймана для незамкнутой поверхности путем замыкания области. Численные решения внешней задачи Дирихле с использованием интегральных уравнений приведены в работах И. И. Кочетова.

43] и.

И.Е.Цукерникова [80]. Вопросам обоснования перехода от решения дифференциального уравнения к решению задачи в интегральной постановке в случае разомкнутых поверхностей посвящены работы [92−94]. Применению аппарата интегральных уравнений для решения внешних и внутренних граничных задач посвящены работы зарубежных авторов [49,69,87−91,95,97].

Ряд авторов, занимающихся решением плоской, осесимметричной и пространственной задач Дирихле в случае разомкнутых поверхностей сложной конфигурации, формулировали ее в виде интегральных уравнений. Сюда следует отнести работы О. Ф. Антоненко [2], В. И. Гордийчука [3l], Р. А. Лачашвили [48], И. В. Людкевича [54,5б], Б. А. Остудина [бз], А. Н. Чухлебова [83]. В этих работах приближенное решение интегральных уравнений осуществляется как с учетом особенностей в соответствующих ядрах, так и без учета. Отметим, что результаты этих работ успешно используются при ра’счетах плоских, осесимметричных и пространственных электростатических полей.

Среди немногочисленных публикаций, посвященных решению задачи Дирихле в пространстве со щелями, выделим работы [31,63, 83].

В работе В. И. Гордийчука получил дальнейшее развитие метод нелинейных параметров, предложенный И. А. Прусовым и И.В.Людкеви-чем [б7], решения однои двумерных интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Последние получены обычным методом сведения краевых задач к интегральным уравнениям с помощью представления решения в виде потенциала простого слоя. Сущность метода нелинейных параметров состоит в том, что представляя решение в виде линейной комбинации непрерывных дробно-рациональных функций с так называемыми нелинейными параметрами, исходное интегральное уравнение методом коллокации сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Особенность ядра при этом устраняется за счет выбора точек удовлетворения граничным условиям на некоторой поверхности, близкой к поверхности интегрирования. Хорошая обусловленность матрицы системы линейных алгебраических уравнений достигается путем специального подбора нелинейных параметров и точек коллокации [52,60]. Регуляризирующее влияние на матрицу имеет также количество неизвестных и расстояние между поверхностями интегрирования и удовлетворения граничным условиям.

Б.А.Остудин [63], принимая во внимание свойства ядер, а также делая некоторые априорные предположения о характере поведения искомого решения, исходное уравнение первого рода преобразует к уравнению второго рода, т. е. корректной задаче, используя метод саморегуляризации. Параметром регуляризации при этом является величина окрестности, в которой выделяется особенность ядра.

В работе А. Н. Чухлебова [83″ ] решение представляется в виде суммы дробно-рациональных функций с наперед заданными особенностями на границе области и линиях ее излома, а особенность в ядре интегрального уравнения выделяется аналитически.

Естественно, что простота метода нелинейных параметров при расчетах относительно простых ЭОС обеспечивает ему достаточно широкое применение. С другой стороны более сложные методы выделения особенностей и саморегуляризации обеспечивают высокую точность расчетов, а также позволяют расчитывать элементы ЭОС более сложной формы.

В последнее время широкое применение находят ЭОС, состоящие из диафрагм произвольной конфигурации, а также содержащие неосе-симметрические линзы — квадрупольные и цилиндрические. Значительный интерес к указанным элементам ЭОС вызван как простотой их изготовления, так и ценными практическими свойствами, которыми они обладают. В то же время расчет таких ЭОС представляет собой значительные трудности, связанные как с отсутствием эффективных методов расчета в случае широкого класса поверхностей, так и с реализацией этих алгоритмов на ЭВМ.

В работах Б. Э. Бонштедта, А. П. Власова, Ю. А. Кузьмина, Н. Н. Лебедева, Л. Э. Цырлина [20,23,34,46,50,82^ и др. предложены алгоритмы расчета осесимметричных диафрагм с бесконечным внешним радиусом. Решению задачи в осесимметричном случае с конечными размерами посвящена работа Л. Я. Косачевского [42], в которой рассчитана осесимметрическая система состоящая из диска и диафрагмы, а также работа Б. М. Орлова [62]. Более сложной задачей является расчет электростатического поля в случае конечных пространственных диафрагм. Здесь имеется небольшое количество работ, причем отсутствует универсальная методика расчета. В работах В. П. Афанасьева и С. Я. Явор [3−7, 85] предложен алгоритм расчета поля в системах, состоящих из нескольких плоских диафрагм с прямоугольными отверстиями. В основе метода лежит разложение потенциала в ряд по полной ортонормированной системе функций. Неудобством метода при реализации на ЭВМ является необходимость вычисления различных специальных функций, если поверхности, составляющие ЭОС, достаточно разнообразны.

Мало исследованную проблему также представляет собой расчет ЭОС, состоящих из конечных произвольно расположенных в пространстве полых эллиптических цилиндров. В частном случае эта задача решалась для систем с незначительно нарушенной осевой симметрией в работах А. Г. Власова, Л. Я. Кузнецовой, И. П. Шахматовой [25,45], где вводится эллиптико-цилиндрическая система координат и задача решается методом разделения переменных. Л. Е. Романив [70] решение задачи сводит к последовательности осесимметричных задач применением метода возмущений [74]. Гордийчук В. И., Людкевич И. В., Маринюк Л. О. [32] провели расчет одиночной круговой линзы с нарушенной осевой симметрией методом интегральных уравнений в пространственной постановке.

Поскольку конечной целью нашей работы является реализация расчета ЭОС в виде комплексов прикладных программ, принципы построения которых являются предметом самостоятельных исследований, в заключение обзора литературы отметим по этому вопросу работы [18,19,30,39,40,57,58,68,73] и др. В работах [18,19] описаны автоматизированные системы комплексного машинного проектирования изделий СВЧ электронной техники. Внедрение в практику таких систем при расчетах конкретных ЭОС позволяет заменить дорогостоящий и продолжительный процесс изготовления опытных образцов вычислительным экспериментом [72]. В. П. Ильин [39] рассматривает вопросы машинной реализации алгоритмов и системы автоматизации расчетов электрооптических приборов с помощью системы КСИ-БЭСМ. В монографии [57], основываясь на общих принципах построения автоматизированных систем прикладных программ (АСПП), созданы конкретные АСПП для решения задач теории фильтрации. В работах [58,68] описан комплекс генератора программ серии «Поле», которые реализуют метод R-функций для расчета полей различной физической природы.

Данная диссертационная работа посвящена разработке эффективного метода приближенного решения внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в пространстве с разомкнутыми поверхностями и применению его к расчету электростатических полей ЭОС сложной конфигурации. Разработано два метода решения указанной задачи: выделения особенностей и изопараметрических преобразований. Освещаются вопросы реализации предложенных методов в виде комплекса программ и приводятся многочисленные результаты по решению практически важных задач. Рассмотрены также вопросы затрат машинного времени при работе указанных методов, построены эффективные алгоритмы заполнения матриц систем линейных алгебраических уравнений, коэффициентами которых являются поверхностные интегралы от функций с особенностями. Результаты работы переданы Специальному конструкторскому бюро ПО «Кинескоп» (г. Львов), где они внедряются в инженерную практику при проектировании новых пространственных ЭОС сложной конфигурации. Комплексы соответствующих программ по расчету ЭОС вошли в состав математического обеспечения системы автоматизации проектирования электронно-лучевых приборов (САПР ЭЛП).

Данная работа состоит из настоящего введения, пяти глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы.

В первой главе рассматривается постановка задачи, выводятся основные соотношения, используемые в работе, а также рассматривается задание геометрии поверхностей сложной формы в пространстве .

В первом параграфе путем представления поля потенциалом простого слоя с неизвестной плотностью распределения зарядов по поверхности задача Дирихле для уравнения Лапласа в пространстве со щелями сводится к решению двумерного интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Рассмотрен алгоритм решения поставленной задачи в случае поверхностей с малой толщиной. Приводятся формулы для вычисления потенциала эллектростатического поля, выражения компонент вектора напряженности.

Во втором параграфе показано, как при помощи параметрического представления поверхностей описывается геометрия отдельных узлов и вся ЭОС в целом. Рассмотрено задание пространственных диафрагм со сложными вырезами, конечных эллптических цилиндров с вырезами и без них, отклоняющих пластин, а также частей описанных поверхностей.

В третьем параграфе приведено интегральное уравнение с учетом возможной симметрии или антисимметрии ЭОС.

Во второй главе предложен алгоритм расчета пространственных ЭОС сложной формы методом интегральных уравнений.

В первом параграфе предложен алгоритм выделения особенностей в плотности и ядре интегрального уравнения в случае произвольной граничной поверхности. В случае, если область S задана параметрически уравнениями 7 = 7 (и, U), где и проведено аналитическое выделение особенности в ядре интегрального уравнения аналогично методу Канторовича и выделение особенностей в плотности, которая в этом случае примет вид.

5(и, 17) = 6*W) е С (А).

Приведен также алгоритм учета особенностей в плотности с использованием кубатурных формул с соответствующими весовыми функциями. Следует отметить, что способ задания геометрии ЭОС делает все необходимые преобразования однотипными для разных функциональных элементов системы.

Во втором параграфе приведен расчет модельных задач. Приведенные примеры показывают высокую точность метода выделения особенностей при расчете различных конфигураций.

Третий параграф посвящен исследованию устойчивости решения в зависимости от размещения точек коллокации на граничной поверхности. Проведенные расчеты позволяют сделать вывод, что решение задачи устойчиво, если размещение точек коллокации достаточно полно отображает геометрию области.

В третьей главе предложен алгоритм расчета ЭОС с использованием изопараметрических преобразований.

Наряду с преимуществами, которыми обладает рассмотренный во второй главе метод выделения особенностей, на эффективность его применения существенно влияют два фактора: I) необходимость задания геометрии ЭОС в аналитическом виде, необходимом при проведении интегрирования, что усложняет алгоритм расчета- 2) проведение интегрирования при вычислении потенциала простого слоя по всей поверхности, что значительно влияет на время проведения расчетов.

От перечисленных недостатков удается избавиться, используя аппарат т.н. изопараметрических преобразований [6l], т. е. аппроксимируя граничную поверхность и неизвестную плотность при помощи граничных элементов [21]. Теперь для задания граничной поверхности необходимо лишь задать пространственную сетку из четырехугольных элементов и порядок аппроксимации данных. Координаты произЛ вольной точки *Z, принадлежащей четырехугольному элементу определяются узловыми точками элемента и порядком аппроксимации следующим образом.

Л Л Jl. i, л о io —.

A I где ft — порядок алпроксимации, 1-L — координаты узловых точек,.

1) — [-М] X [- i} 1] • Представив теперь неизвестную плотность в виде т.

J'1 4 * п р п z с.

1 1 'о ,.

Шп)*1 е где Ш — количество в: — G: 1?) — функция, учитывающая d i 4 ' 1 особенности в плотностиjllj — неизвестные значения плотности в узлах сетки. Интегральное уравнение для определения значении Jli• примет вид itt ti Ift р

IjX^ р a, Dij. w/RM.ttfdsdfi] -%0а j®1 Л) xeS.

Полученное интегральное уравнение решается методом коллокации, причем точек наблюдения на S выбираем больше, чем количество I неизвестных jUj, а полученную систему линейных алгебраических уравнений решаем методом наименьших квадратов. При этом в элементах сетки, прилегающих к границе области, проводится выделение особенности по алгоритму, изложенному для общего случая во второй главе.

Особенность в ядре или игнорируется, аналогично методу нелинейных параметров, или выделяется аналитически в точке наблюдения, что усложняет алгоритм, но гарантирует высокую точность решения задачи.

Полученное решение являет собой сеточную функцию, аппроксимирующую плотность заряда. Вычисление по ней поля и его градиента в любой точке пространства будет выражаться через определенные интегралы, что будет оказывать сглаживающее влияние на решение, апостериорная погрешность которого всегда может быть проверена расчетом поля в промежуточных точках.

В первом параграфе главы рассмотрены алгоритмы аппроксимации граничных поверхностей и неизвестных плотностей соответственно билинейными, биквадратичными, бикубическими четырехугольными граничными элементами.

Во втором параграфе приведены алгоритмы выделения особенностей в ядре и плотности при применении граничных элементов.

В третьем параграфе на модельных задачах исследованы возможности предложенной методики.

В четвертой главе рассмотрены вопросы программной реализации разработанных во второй и третьей главах численных алгоритмов.

В первом параграфе предложена методика заполнения матриц систем линейных алгебраических уравнений, элементами которых являются двойные интегралы. Некоторое увеличение памяти для запоминания значений подынтегральных функций в узлах кубатурных формул ведет к значительному сокращению времени расчетов.

Во втором и третьем параграфах приведено описание комплексов программ расчета полей пространственных ЭОС сложной конфигурации с использованием, соответственно, методов выделения особенностей и изопараметрических преобразований.

В пятой главе приведены расчеты практически важных электронно-оптических систем сложной конфигурации.

В приложении приведены тексты комплексов программ и контрольные примеры обращения к ним.

Основные результаты работы докладывались на семинарах кафедры вычислительной математики и научных конференциях Львовского государственного университета (1978;1984 г. г.), на Республиканской научной конференции «Вычислительная математика в научно-тех-ничееком прогрессе» (Киев, 1978), на Республиканской научно-технической конференции «Исследование путей повышения качества электронно-лучевых приборов» (Львов, 1979), на семинаре «Качество, прочность и технологичность ЭЛП» при ЗЩ АН УССР (Львов, 1980), на Всесоюзных школах молодых ученых «Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики» (Дрогобыч, 1981), «Численные методы решения задач математической физики» (Львов, 1983), Республиканской научно-технической конференции «Интегральные уравнения в прикладном моделировании» (Киев, 1983), на семинаре кафедры математики физического факультета Московского государственного университета (1983) и опубликованы в работах [8−15], [53−55].

Отметим вклад соавторов работ, опубликованных по теме диссертации. Научный руководитель И. В. Людкевич участвовал в постановке задачи и обсуждении результатов. В. И. Гордийчук участвовал в обсуждении результатов. В. А. Пучка проводил массовые расчеты на ЭВМ ЕС-1022 и БЭСМ-б, И. И. Ширий принимала участие в разработке алгоритмов выделения особенностей в плотности и ядре интегрального уравнения на случай произвольных граничных поверхностей.

На защиту рассматриваемой диссертационной работы выносятся следующие результаты:

1). Алгоритм выделения особенностей в плотности и ядре двумерных интегральных уравнений электронной оптики в случае произвольных граничных поверхностей.

2). Методика расчета пространственных ЭОС сложной конфигурации, основанная на решении двумерного интегрального уравнения первого рода с выделением особенностей.

3).Методика расчета пространственных ЭОС сложной конфигурации с использованием изопараметрических преобразований.

4). Результаты численных расчетов практически важных задач электронной оптики.

5). Комплексы программ расчета электростатических полей пространственных ЭОС.

Автор выражает сердечную благодарность доценту Людкевичу И. В. за предложенную тему, постоянное внимание и помощь при выполнении работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Основное содержание диссертационной работы — численное решение двумерных интегральных уравнений Фредгольма первого рода со слабой особенностью в ядрах и сингулярным поведением искомой плотности на краю граничных поверхностей, которыми являются произвольно расположенные в пространстве диафрагмы, эллиптические цилиндры, отклоняющие пластины или их части.

Отметим преимущества метода интегральных уравнений: I) сведение задачи к интегральному уравнению позволяет на единицу понизить ее размерность, а значит при имеющихся вычислительных ресурсах рассматривать более сложные классы задач- 2) ядра рассматриваемых интегральных уравнений, происходящие от потенциала простого слоя имеют слабую особенность в окрестности точек наблюдения^ результате этого диагональные элементы матрицы системы линейных алгебраических уравнений, полученные при помощи метода коллокации, являются преобладающими, что говорит в пользу хорошей обусловленности- 3) если априорно известен характер поведения искомой функции, то аппроксимирующие функции выбираются из того же класса, что дает возможность уменьшить размерность матрицы, сохранив при этом точность- 4) неизвестные величины определяются на границе, а не во всей области, как это требуется в других методахо) решение задачи в произвольной точке определяется интегрированием, обладающим сглаживающим свойством, которое тем значительнее, чем дальше от границы определяется решение- 6) о точности решения каждой конкретной задачи всегда можно судить по величине апостериорной ошибки в промежуточных точках удовлетворения граничным условиям.

Резюмируя результаты, полученные в работе, отметим следующее:

1. Предложена методика расчета пространственных ЭОС на основе численного решения двумерного интегрального уравнения с выделением особенностей в ядре и плотности на случай поверхностей с криволинейными границами и поверхностей с произвольными вырезами.

2. Разработан также алгоритм решения двумерного интегрального уравнения, в котором неизвестная плотность аппроксимируется при помощи сплайн-функций. При этом на краю разомкнутой поверхности аппроксимирующий сплайн имеет особенность на краю. Особенность в ядре интегрального уравнения или учитывается специальным выбором точек наблюдения, или выделяется аналитически. Представление неизвестной плотности при помощи сплайн-функций значительно уменьшает время расчета, так как для вычисления коэффициентов матрицы системы линейных алгебраических уравнений интегрирование ведется только по локальному участку, а не по всей граничной поверхности.

3. Предложено описание основных функциональных узлов ЭОС при помощи параметрического представления в локальных системах координат, что позволяет все необходимые преобразования в методе интегральных уравнений проводить с единой точки зрения, а также значительно упрощает их алгоритмизацию.

4. Исходя из пространственной постановки задачи, обобщен расчет ЭОС с нарушенной осевой симметрией, которая получается как частный случай.

5. Исследована эффективность применения методов нелинейных параметров, выделения особенностей и сплайн-функций для различных классов поверхностей. б. Предложенные алгоритмы реализованы в виде комплексов программ на языке ФОРТРАН-IУ, аппробированы на ЭВМ БЭСМ-6, EC-I022;

— 116 они оптимальны по затратам машинного времени и точностиэффективно используются в инженерной практике при расчетах практически важных электронно-оптических систем.

7. Созданные программы могут использоваться при расчетах стационарных полей произвольной физической природы.

8. Эффективность предложенных алгоритмов подтверждена численными расчетами практически важных задач и проверена на модельных примерах. Проведены исследования, позволяющие учитывать допуски при изготовлении ЭОС. Результаты иллюстрируются таблицами, рисунками, графиками.