Спектрально-согласованные сетки для моделирования волновых процессов

Объектом исследований в данной работе являются сетки для конечно-разностных схем на предмет их оптимизации для моделирования волновых процессов в упругих средах, в том числе анизотропных.

Актуальность. При моделировании волновых процессов достаточно распространенным требованием является знание волнового поля не внутри расчетной области, а лишь на некоторой ее границе. Наиболее показательные в этом смысле 1еофизические эксперименты Применение стандартных конечно-разностных методов для численною решения таких задач приводит к 1шантским требованиям на вычислительные ресурсы и временным затратам на их реализацию.

Причина этою явления в том, что отображение совокупности параметров среды и особенности волновых процессов в среде в «данные наблюдений» (сейсмо1раммы) происходит с катастрофической потерей информации В частности, в трехмерных динамических задачах число параметров, входящих в описание задачи, оценивается величиной 0(N4), 1де N пропорционально линейному рашеру области, в которой развивается волновой процесс и обратно пропорционально шагу сетки Размерность пространства образов — число отсчетов на сейсмограммах — имеет порядок не выше 0{N) По-видимому, даже эта оценка является завышенной если принять во внимание гладкость зондирующего сигнала Однако уже этого сопоставления достаточно, чтобы представить насколько сильна потеря информативности при действии оператора, отображающего параметры среды в отсчеты на сейсмограммах.

Стандартные способы аппроксимации этого оператора посредством построения разностной схемы для начально-краевой задачи, соответствующей выбранной модели волновых процессов, никак не учитывают этой потери информативности. В определенном смысле оператор оказывасчся слишком плохо аппроксимирован — каждая значащая цифра в ответе появляется как результат выполнения огромного числа арифметических операций над входными данными, лежащими в пространстве очень большой размерности Эту размерность нельзя уменьшить, уменьшая N, так как это приведет к увеличению локальной ошибки в промежуточных и окончательных результатах. Повышение порядка аппроксимации разностной схемы хотя и может приводить к некоюрым улучшениям, но они не принципиальны.

Аналогичная ситуация возникает и при реализации «неотражающих» !раничных условий, использование которых также необходимо для качественного моделирования геофизических экспериментов Наиболее употребимым является Идеально Согласованный Слой (PML) от ашлийскою Perfectly Matched Layer. Основной идеей метода является окружение расчетной области специально сконструированным слоем, таким что волна проходит через границу без отражений и затухает внутри этого слоя. Несложно видеть, что PML является исключительно лишь вспомогательной конструкцией и необходимо лишь знание решения на границе PML — расчетная область, однако стандартные методы реализации эгою подхода, не учитывающие этого требования, приводят к тому, что затраты на вычисление решения внутри PML доходят до 75% от общих затрат на моделирование эксперимента.

Иных результатов удается достичь если, вводя определенную свободу в строение схемы во внутренних точках, пытаться оптимизировать погрешность в отдельных точках. В задачах, упоминавшихся выше, возможна экспоненциальная [32] и даже сверхэкпоненци-альная сходимость.

Практическая реализация идей, лежащих в основе упомянутого подхода, наталкивается на ряд трудностей, связанных с необходимостью обеспечения высокой точности в решении целого ряда вспомоттельных задач Понятно, что для достижения оптимальною результата, погрешности во всех промежуточных задачах должны быть минимизированы, в частности важным аспектом является построение количественной оценки скорости сходимости метода для волновых задач, чю представлено в данной работе Использование оптимальных сеток для моделирования волновых процессов в упругих средах является актуальной задачей и, как следствие, требует умения их построения и теоретического обоснования возможности их применения для таких задач.

Цель исследований — повышение эффективности расчета волновых нолей в упругих средах за счет использования спектрально-согласованных сеток для конечно-разностных схем, ориентированных на аппроксимацию решения лишь в заданных, определяемых условиями эксперимента, точках расчетной области.

Научные задачи — построение спектрально-согласованных сеток для волновою уравнения с переменными коэффициентами и получение количественной оценки скорости сходимости численного решения для волновых задач, полученно! о с помощью данного подхода, построение идеально согласованного слоя, основанного на применении спектрально-со1ласованных сеюк, для уравнений теории упругости в изотропном случае, моделирование волновых процессов в анизотропных упругих средах с использованием спектрально-согласованных сеток.

Основные этапы исследований:

1 получить количественную оценку точности расчета волновых полей с использованием конечно-разностных схем на спектрально-согласованных сетках, основанную на теории сходимости аппроксимаций Паде-Чебышева,.

2 построить оптимальный идеально согласованный слой, основанный на использовании спектрально-согласованных сеток для схемы Вирье для системы уравнений динамической теории упругости в случае и зотропной среды;

3 разработать алгоритм построения спектрально-согласованных сеток для схемы Лебедева для системы уравнений динамической теории упругости в случае анизотропной среды;

4 провести серию численных экспериментов для верификации полученных теоретических результатов.

Научные методы исследований.

Теоретической основой решения поставленной научной задачи являютсясовременная теория аппроксимаций — рациональные аппроксимации, аппроксимации Паде, Паде-Чебышева, численные методы линейной ал1ебры — решение прямой и обратной спектральной задач для симметричных трехдиагональных матриц с использованием последовательностей Штурма, алюритма Ланцоша, метод спектральною исчерпывания, основанный на цепочках двумерных вращений Якоби, результаты современной теории конечно-разностных меюдов для решения уравнений математической физики — схемы Вирье, схемы Лебедева, схемы на повернутых сетках, спектральная теория линейных дифференциальных операторов, современная теория унруюсти.

Разработанные алгоритмы и программы использовались для проведения численного моделирования волновых полей в средах различной степени сложности. Результаты подвергались сравнительному анализу с результатами, полученными с использованием других методов — аналитическими и конечно-разностными на равномерных сетках.

Защищаемые научные результаты:

• Доказана экспоненциальная скорость сходимости конечно-разностного решения волнового уравнения с переменными коэффициентами вычисленного с помощью спектрально-со1ласованных сеток.

• Разработан алгоритм построения оптимального идеально согласованного слоя (PML), основанный на применении спектрально-согласованных сеток, для системы уравнений динамической теории унруюсти в случае изотропной среды.

• Разработан и реализован алгоритм построения спектрально-согласованных сеток для решения системы динамической теории упругости для случая анизотропной упругой среды.

Новизна работы. Личный вклад.

• Получена оценка скорости сходимости конечно-разностною решения при использовании спектралыю-со1ласованных сеток для волнового уравнения с неременными коэффициентами, основанная на теории сходимости аппроксимаций Паде-Чебышева для мероморфных функций.

• Построен и реализован оптимальный идеально согласованный слой для изотропной упругой среды с использованием модификации схемы Вирье на спектрально-согласованных сетках.

• Разработан, теоретически обоснован и реализован алюритм построения спектрально-согласованных сеюк для схемы Лебедева для системы уравнений динамической теории упругости в случае линейных анизотропных сред, и проведены серии тестов для верификации полученных результатов.

Теоретическая и практическая значимость результатов.

Получена количественная оценка сходимости метода оптимальных сеток для волновых задач, в том числе с переменными, включая разрывные, коэффициентами. Построен оптимальный идеально согласованный слой для уравнений теории упругости в случае изотропной среды, позволяющий существенно уменьшить вычислительные затраты при моделировании волновых процессов в neoi раниченных областях Разработан алгоритм построения спектрально-согласованных сеток для анизотропных ynpyiих задач, позволяющий эффективно моделировать распространение волн в таких средах и рассчитывать волновые ноля в заданных точках среды (приемниках).

Апробация работы и публикации.

• Основные положения и результаты докладывались на седьмой международной конференции, посвященной математическим и численным аспектам распространения волн «Waves 2005» (Провидэнс США, 2005) [56], ежегодном форуме Общества Индустриальной и Прикладной Математики «SIAM Annual Meeting 2006» (Бостон, США, 2006), 12 Международном симпозиуме по сейсмической анизотропии 12IWSA (Пекин, Китай, 2006) [55], II Всероссийской конференции, посвященной памяти академика, А Ф Сидорова «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (Абрау-Дюрсо, 2004) [20], V Международной научно-практической геолою-1еофизической конференции-конкурсе молодых ученых и специалистов «Геофизика 2005» (Санкт-Петербург, 2005) [23], Второй Сибирской международной конференции молодых ученых, но наукам о Земле (Новосибирск, 2004) [22], Научной конференции «Трофиму-ковские чтения» (Новосибирск, 2006).

• Результаты исследований по теме диссертации изложены в 6 опубликованных работах Из них одна статья в Сибирском Журнале Вычислительной Математики [21], 2 работы — это материалы Международных конференции [56], [55], 3 работы [20], [23], [22]- эго материалы российских международных конференций.

Диссертация выполнена в Лаборатории вычислительных методов геофизики Института нефтегазовой 1еологии и геофизики СО РАН и Новосибирском Государственном Университете.

Автор выражает искреннюю признательность научному руководителю к. ф-м н. В И Костину за всестороннюю поддержку и постоянное внимание.

Заключение

.

Основным результатом работы является развитие, реали зация и тестирование подхода построения сеюк для конечно-разностных схем, коюрый позволяет существенно сократить вычислительные затраты при моделировании волновых процессов, как в изотропных, так и в анизотропных упругих средах Его отличительной особенностью является локальная минимизация ошибки численного решения в заданных точках расчетной области, связанных с нуждами конкретного эксперимента (модели). В данной работе показано, что использование таких сеток для численного решения волновых задач позволяет добиться более чем экспоненциальной сходимости, что, в свою очередь, обеспечивает существенное сокращение, более чем в пять раз, вычислительных затрат на расчет решения. Следует также отметить, что затраты на построение сетки пренебрежимо малы в сравнении с затратами на моделирование самого процесса (эксперимента), что позволяет вычислять их каждый раз непосредственно перед моделированием.

В работе представлено обоснование возможности использования подхода оптимальных сеток для расчета волновых полей в ynpyiHX, в том числе анизотропных, средах Задача моделирования распространения упругих волн в анизотропных средах с использованием конечно-разностных схем на сдвинутых сетках сама по себе является весьма актуальной Как показано в работе, использование схем Лебедева является весьма эффективным методом решения этой задачи. Более того, в работе представлена оптимизация сеток для схемы Лебедева, обеспечивающая сверхэкспоненциальную сходимость Приведенные эксперименты демонстрируют работоспособность и высокую эффективность применения схемы Лебедева на оптимальных сетках для решения этой задачи.

Построение оптимального идеально согласованного слоя для системы уравнений динамической теории упругости является, пожалуй, наиболее значимым результатом Представленный в работе оптимальный PML, основанный на методе оптимальных сеток, позволяет сократить число точек, необходимое для достижения нужной точности более чем в десять раз, 3−4 точки вместо 30−50 в стандартном. Если учесть тот факт, что идеально согласованный слой окружает всю расчетную область, то при стандартной реализации он требует более 50% от общею числа вычислительных ресурсов, использование оптимального PML сокращает эти затраты до 5−10%.