Фильтрационные эффекты в задачах тепло-массопереноса и деформирования насыщенных пористых сред

Диссертация посвящена теоретическому исследованию процессов деформирования и тепло-массопереноса в насыщенных пористых средах. Характерной особенностью рассматриваемых процессов является определяющее воздействие на их протекание эффектов взаимодействия специфичных полей напряжений, температуры, концентрации, влажности с полем фильтрационных потоков.

Актуальность темы

Процессы деформирования и тепло-массопереноса в насыщенных пористых средах составляют сущность многих явлений в природе и служат основой разнообразных технологических воздействий в химической промышленности, строительстве, добыче полезных ископаемых. Отсюда интерес к их теоретическому описанию.

Практически всегда указанные процессы инициируют или протекают на фоне фильтрации 1 насыщающих пористую среду флюидов, что делает одной из центральных задач теории учет и исследование взаимодействия соответствующих физических полей с полем фильтрационных потоков. Повышенный интерес, в этой связи, представляют ситуации, когда такое взаимодействие выражено особенно отчетливо, определяя саму специфику рассматриваемого явления. Именно они и рассматриваются в данной работе. данной работе термин фильтрация понимается в узком смысле, как движение жидкости в насыщенных пористых средах под действием перепада гидростатического напора (давления в отсутствие силы тяжести). Именно так этот термин понимается в гидрогеологии [81] и многих работах по механике пористых сред (см., например, [122]), где различают собственно фильтрацию и влагоперенос в горных породах при их неполном насыщении.

Соответствующие задачи возникают при исследовании акустических и консолидационных явлений в пористых средах, при проектировании широко используемых в практике гражданского строительства систем искусственного замораживания фильтрующих горных пород, при утилизациии в многолетнемерзлые грунты высококонцентрированных растворов, при экологической оценке защитных свойств зоны аэрации. Их очевидная практическая значимость, наряду с возникающими перед исследователем проблемами теоретического характера, давно привлекают внимание механиков и математиков. Тем не менее, имеющиеся результаты далеко не исчерпывающи. Они не снимают полностью как проблемы адекватной рассматриваемым процессам математической постановки сложных сопряженных задач механики пористых сред, так и необходимости создания новых и развития известных методов их решения. Все это в конечном итоге определяет актуальность тематики диссертации и позволяет сформулировать цель работы: разработка общих методов решения и анализ на их основе конкретных задач взаимодействия полей различной физической природы — деформационного, температурного, концентрационного — с фильтрационными потоками в пористой среде. Основные задачи исследования:

1. разработать эффективные методы решения плоских контактных задач фильтрационной консолидации с подвижной нагрузкой и вычислить на этой основе момент трения при качении жесткого цилиндра по поверхности пороупругого полупространстваоценить относительную роль фильтрационной диссипации энергии в общем сопротивлении перекатыванию;

2. определить роль фильтрационных перетоков на затухание упругих волн в слоисто-неоднородной среде (трансформационный механизм затухания) и на формирование остаточных напряжений в процессе фильтрационной консолидации глинизированных грунтов;

3. развить математическую модель фильтрации раствора в пористой среде с учетом фазовых переходовизучить ее качественные свойства на основе решения модельных задач, отражающих основные черты конкретных технологических процессов;

4. разработать эффективные численные методы решения плоских задач замораживания фильтрующих раствор пористых сред и исследовать с их помощью процесс замораживания фильтрующего грунта линейной цепочкой хладоисточников;

5. построить математическую модель влагопереноса в трещиновато-пористой среде, учитывающей возникновение областей фильтрационного движенияоценить на этой основе опасность фильтрационного проскока загрязнений через зону аэрации.

Диссертационная работа построена так, чтобы решению каждой из сформулированных задач посвящалась отдельная глава.

Методика исследования. В ходе решения задач, возникающих при выполнении диссертационной работы, широко использовались различные классы математических методов. При построении математических моделей — методы гомогенизации, двухмасштабных разложений, теории подобия и анализа размерностей. При теоретических исследованиях и построении расчетных зависимостей — методы сращивания асимптотических разложений, теории функций комплексного переменного, интегральных преобразований, вариационные методы. Значительное место занимают численные методы теории разностных схем, решения интегральных и обыкновенных дифференциальных уравнений и также математический эксперимент с применением ПЭВМ.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка использованных источников, содержит 232 страницы сквозной.

1. Авдонин H.A. Математическое описание процессов кристаллизации. — Рига.: Зинатне, 1980. — 178 с.

2. Алимов М. М., Корнев К. Г., Мухамадулина Г. И. Равновесная форма ледопородного тела, образовавшегося при обтекании жидкостью системы двух замораживающих скважин// ПММ. 1994. -№ 5. — С. 110−124.

3. Бакирова О. И. О некоторых методах решения задачи Стефана// Дифференц. уравнения. 1983. — Т. 19. — № 3. — С. 491−500.

4. Баренблатт Г. И., Желтов Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах// ПММ. I960. — Т. 24. — № 5. — С. 852−864.

5. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.: Недра, 1972. — 278 с.

6. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. — 208 с.

7. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. — 352 с.

8. Бердичевский B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. — 448 с.

9. Берзон И. С. и др. Динамические характеристики сейсмических волн в реальных средах. М.: Изд-во АН СССР, 1962. — 212 с.

10. Бернардинер М. Г., Ентов В. М. Гидродинамическая теория фильтрации аномальных жидкостей. М.: Наука, 1975. — 102 с.

11. Бондаренко Н. Ф. Физика движения подземных вод. Л.: Гидроме-теоиздат, 1973. — 216 с.

12. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. — 310 с.

13. Васильев В. И., Максимов А. М., Петров Е. Е., Цыпкин Г. Г. Математическая модель замерзания-таяния засоленного мерзлого грунта// Журнал ПМТФ. 1995. — Т. 36. — № 5. — С. 57−66.

14. Влияние свойств горных пород на движение в них жидкостей. / Бан А. и др. М.: Гостоптехиздат, 1962. — 275 с.

15. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. — 336 с.

16. Галеева Д. Р. Задачи фильтрационной консолидации с неизвестными границами. Дисс.. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1999. -125 с.

17. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругос-ти. М.: Наука, 1980. — 303 с.

18. Гельфанд И. М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // Успехи мат. наук. 1959. — Т. 14. — Вып. 2(86). — С.87−158.

19. Глаговский В. Б., Нуллер Б. М. Контактная задача теории консолидации для полосы// ПММ. 1999. Т. 63. — № 1. — С. 138−148.

20. Горячева И. Г. Контактная задача качения вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала // ПММ. 1973. — Т. 37. -Вып. 5. — С. 925−933.

21. Горячева И. Г., Добычин М. Н. Контактные задачи в трибологии. М.: Машиностроение, 1988. — 256 с.

22. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962. — 1100 с.

23. Гуревич Б. Я., Лопатников С. Л. О затухании продольных волн в насыщенной пористой среде со случайными неоднородностями// Докл. АН СССР. 1985. — Т. 281. — № 6. — С. 1335−1339.

24. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. — 509 с.

25. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. — 383 с.

26. Егоров А. Г. Затухание упругих волн в тонкослоистых насыщенных пористых средах// ПММ. 1989. — Т. 53. — № 6. — С. 911−918.

27. Егоров А. Г. Насыщенно-ненасыщенная фильтрация в грунтах сложной структуры// 2-ой Сибирский конгресс по Прикладной и Индустриальной Математики (ИНПРИМ 96): Тез. докл. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН, 1996. — Ч. 3 — С. 272.

28. Егоров А. Г. О промораживании границы раздела грунтов, насыщенных раствором различной температуры и концентрации// Журнал ПМТФ. 1997. — № 6. — С. 79−86.

29. Егоров А. Г. Стационарные задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрации в трещиновато-пористой среде// Изв. РАЕН. МММИУ. 1997. — Т. 1. — № 2. — С. 126−129.

30. Егоров А. Г. Плоская контактная задача фильтрационной консолидации// ПММ. 1999. — Т. 63. — № 4. — С. 629−644.

31. А. Г. Егоров. Плоские задачи замораживания фильтрующей пористой среды.: Препр. № 99−2/Казан. мат. общ-во. Казань, 1999. -41 с.

32. Егоров А. Г. Плоские задачи замораживания фильтрующих грунтов// Современные проблемы математического моделирования. Сборник трудов VIII Всероссийской школы-семинара. Ростов-на-Дону: изд-во Ростовского госниверситета, 1999. — С.73−81.

33. Егоров А. Г., Костерин A.B. Контактная задача фильтрационной консолидации с подвижной нагрузкой// 11-я межд. зимняя школа по механике сплошных сред: Тез. докл. Екатеринбург: УрО РАН, 1997. — Ч. 1 — С. 122.220.

34. Егор ов А.Г., Костерин А. В, О движении катка по поверхности насыщенного пористого полупространства// Докл. РАН. 1998. -Т.360. — № 6. — С. 762−764.

35. Егоров А. Г., Костерин А. В., Сахабутдинова Д. Р. Одномерные задачи консолидации с неизвестной подвижной границей// Изв. РАН. МТТ. 1998. № 6. — С. 132−142.

36. Егор ов А.Г., Костерин А. В., Сахабутдинова Д. Р. Одномерные задачи консолидации с неизвестной границей// Современные проблемы механики сплошной среды. Труды II Межд. конф., Ростов-на-Дону, 19−20 сентября 1996 г. Ростов-на-Дону, 1996. — С. 58−62.

37. Егоров А. Г., Костерин А. В., Сахабутдинова Д. Р. Фильтрационная консолидация глинистых грунтов под действием импульсной нагрузки// Нелинейное моделирование и управление: Тез. докл. межд. семинара, Самара, 24−27 июня 1997 г. Самара, 1997. -С.52−53.

38. Егоров А. Г., Костерин А. В., Скворцов Э. В. Консолидация и акустические волны в насыщенных пористых средах. Казань: Изд-во Казан ун-та, 1990. — 102 с.

39. Егоров А. Г., Костерин А. В., Шешуков А. Е. Одномерные задачи протаивания мерзлого грунта фильтрующимся раствором// Изв. РАН. МЖГ. 1995. — № 4. — С.149−160.

40. Егоров А. Г., Костерин А. В., Шешуков А. Е. 1-D Problems on Interactions beetween Partially Frozen Soil and Moving Solute.// Advanced Mathematics, Computations and Applications. Int. conf., Novosibirsk, June 1995. V. 1. — P. 94.

41. Егоров А. Г., Мухамадуллина Г. И. О максимальном размере ледо-породных тел, образованных при обтекании жидкостью линейной цепочки хладоисточников // Изв. РАН. МЖГ. 1996. — № 4. — С. 179−181.

42. Егоров А. Г., Шешуков А. Е. Одномерная задача создания ледопо-родной потивофильтрационной завесы в мерзлом грунте// Тезисы докладов Межд. Научно-Техн. Конф. «Механика Машиностроения». 28−30 марта 1995 г. Набережные Челны, 1995. — С.37−38.

43. Егоров А. Г., Шешуков А. Е. О промораживании пористой среды фильтрующимся раствором.// Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач. Материалы Всеросс. семинара. Казань, 1996, С.53−55.

44. Егоров А. Г., Шешуков А. Е. Промораживание пористой среды фильтрующимся раствором/ Казанск. ун-т. Казань, 1995. — 35 с. — Деп. в ВИНИТИ. № 2513 — В95.

45. Егоров А. Г. Шешуков А.Е. Фильтрация растворов в насыщенном мерзлом грунте: автомодельные решения// Труды XIV сессии международной школы по моделям механики сплошной среды. -Москва, 1998. С. 61−66.

46. Ентов В. М., Максимов A.M., Цыпкин Г. Г. Образование двухфазной зоны при промерзании пористой среды.: Препринт № 269/ ИПМ АН СССР. М., 1986. — 56 с.

47. Ентов В. М., Максимов A.M., Цыпкин Г. Г. Об образовании двухфазной зоны при кристаллизации смеси в пористой среде //Докл АН СССР. 1986. — Т. 288. — № 3. — С. 621−624.

48. Ершов Э. Д. Физико-химия и механика мерзлых пород. М.: МГУ. 1986.-325 с.

49. Иванов Н. С. Теплои массоперенос в мерзлых горных породах. -М.: Наука, 1969. 240 с.

50. Ишлинский А. Ю. Трение качения // ПММ. 1939. — Т. 2. — Вып. 2. — С. 245−260.

51. Калинин H.H., Нуллер Б. М. Уравнения транспорта волокнистого консолидируемого материала и эффект пристенного слоя// ПММ- 1987. Т. 51. — № 3. — С. 522−525.

52. Каменомосткская С. Л. О задаче Стефана// Мат. сб. -1961. — Т. 53. № 4. С. 489−514.

53. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М— Наука, 1964. — 488 с. х>

54. Керчман В. И. Контактная задача консолидации водонасьнденноисреды// Изв АН, МТТ. 1974. — № 3. — С. 102−109.

55. Керчман В. И. Задачи консолидации и связанной термоупругости для деформируемого полупространства// Изв АН, МТТ- ~ 1976. -№ 1. С. 45−56.

56. Клейн И. С. Приближенное решение задачи о замораживании фильтрующего грунта линейной системой охлаждаюЦДих устано вок // Тр. института «ВОДГЕО». М., 1983. — С. 29—32.

57. Клейн И. С. Замораживание фильтрующего грунта однорядной системой охлаждающих установок// Тр. института «ВОДГЕО» .- М., 1984. С. 43−46.

58. Клейн И. С. О создании мерзлотной завесы в фильтрующем грунтовом массиве// Физические процессы горного производства. Те-пломассоперенос в горных выработках и породных коллекторах. -Л.: изд-во ЛГИ, 1985. С. 113−122.

59. Коваленко Е. В. О расчете тонких пористых покрытий// ПММ. -1990. Т. 54. — № 3. — С. 469−473.

60. Колесников А. Г. К изменению математической формулировки задачи о промерзании грунта// Докл АН СССР. 1952. — Т. 82. -№ 6. — С. 889−892.

61. Кондратьев O.K. Сейсмические волны в поглощающих средах. -М.: Недра, 1986. 156 с.

62. Коновалов А. Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: изд. НГУ, 1972. — 128 с.

63. Корнев К. Г. Плоские задачи замораживания фильтрующих грунтов. Дисс.. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1988. — 118 с.

64. Корнев К. Г., Чугунов В. А. Определение равновесной формы тел,^{образовавшихся} при застывании фильтрационного потока// ПММ.- 1988. Т. 52. — № б. — С. 991−996.

65. Костерин A.B., Березинский Д. А. Насыщенно-ненасыщенные состояния деформируемых пористых сред// Докл. РАН. 1998. — Т. 358. — № 3. — С. 343−345.

66. Кучеров А. Б., Николаев Е. С. Попеременно-треугольный метод решения сеточных эллиптических уравнений в прямоугольнике// ЖВМ и МФ. 1976. — Т.16. — № 5. — С. 1164−1174.

67. Ладыженская O.A., Солонников В. А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. — 357 с.

68. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. — 736 с.

69. Леонтович М. А.

Введение

в термодинамику. Статистическая физика. М.: Наука, 1983. — 416 с.

70. Максимов В. А. К определению форм тел, образовавшихся при застывании потока жидкой фазы// ПММ. 1976. — Т. 40. — № 2. -С. 289−298.

71. Максимов A.M., Цыпкин Г. Г. Явление «перегрева» и образование двухфазной зоны при фазовых переходах в мерзлых грунтах// ДАН СССР. 1987. — Т. 294, — № 5. — С. 1117−1121.

72. Максимов A.M., Цыпкин Г. Г. Образование двухфазной зоны при взаимодействии талых и мерзлых пород с раствором соли.: Препринт № 305/ ИПМ АН СССР. М., 1987. — 60 с.

73. Мазуров П. А. К одномерной теории нелинейной консолидации// Вопросы подземной гидромеханики и оптимизации нефтедобычи. Часть 1. Казань. Казанский физико-технический ин-т КФАН СССР, 1985, — С. 94−105.

74. Мазуров П. А. Расчет одномерной нелинейной консолидации.// Вопросы подземной гидромеханики и оптимизации нефтедобычи. -Казань, Казанский физико-технический ин-т КФАН СССР, 1987. С. 55−62.

75. Мейрманов A.M. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986. -240 с.

76. Меламед В. Г. Теплои массообмен в горных породах при фазовых переходах. М.: Наука, 1980. — 228 с.

77. Мироненко В. А. Динамика подземных водМ.: изд-во МГГУ, 1996. 519 с.

78. Мироненко В. А. и др. Способ создания противофильтрационных завес. Авт. свид. № 1 507 977. — Бюл. изобретений: 1989. № 34.

79. Мордовский С. Д., Петров Е. Е., Изаксон В. Ю. Математическое моделирование двухфазной зоны при промерзании-протаивании мно-голетнемерзлых пород Новосибирск: Наука. 1997. — 120 с.

80. Муриджанян С. Ш, Хачатрян Э. А. Влияние начального градиента напора на процесс консолидации// Изв. АН Армянской ССР. -1983. Т. 36. — № 5. С 22−25.

81. Мухамадуллина Г. И. Математическое моделирование замораживания фильтрующих грунтов. Дис.. канд. физ.-мат. наук. -Казань. — 1995. — 112 с.

82. Найфэ А. Х. Методы.возмущений. М.: Мир, 1976. — 455 с.

83. Насонов И. Л. Замораживание фильтрующих горных пород. М.: Недра, 1968. — 184 с.

84. Нигматуллин Р. И. Динамика многофазных сред. 4.1. М.: Наука, 1987. — 464 с.

85. Николаевский В. Н. Механика пористых и трещиноватых сред. -М.: Недра, 1984. 232 с.

86. Николаевский В. Н., Басниев К. С., Горбунов А. Т., Зотов Г. А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970. — 335 с.

87. Олейник O.A. Об одном методе решения общей задачи Стефана// Докл. АН СССР. 1960. — Т. 135. — № 5. — С. 1054−1057.

88. Павлов А. Р., Пермяков П. П., Бараней Т. В. Разностный метод решения задачи промерзания при фазовом переходе в спектре температур// Процессы переноса в деформируемых дисперсных средах. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1982. — С. 111−119.

89. Павлов А. Р., Пермяков П. П. Математическая модель и алгоритмы расчета на ЭВМ теплои массопереноса при промерзании грунта// ИФЖ. 1983. — Т. 44. — № 2. — С. 311−316.

90. Пермяков П. П. Идентификация параметров математической модели тепловлагопереноса в мерзлых грунтах. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 1979. — 86 с.

91. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. М.: ГИТТЛ, 1952. — 676 с.

92. Порохняк A.M., Рассудов A.B. Захоронение жидких отходов в криолитозоне. М.: Недра, 1993. — 112 с.

93. Прозоров Л. Б. Замораживание при проходке шахтных стволов в условиях фильтрационного потока// Замораживание горных пород при проходке стволов шахт. М.: изд-во АН СССР, 1961. — С. 138— 193.

94. Проскуряков Б. В. Тепловой расчет замораживающей скважины в фильтрующем грунте// Изв. ВНИИГ. 1951. — Т. 45. — С. 20−25.

95. Пудовкин М. А., Волков И. К. Краевые задачи математической теории теплопроводности в приложении к расчетам температурных полей в нефтяных пластах при заводнении. Казань: изд-во Казан, ун-та, 1978. — 188 с.

96. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917 -1967) / Отв. ред. П.Я. Полубаринова-Кочина. М.: Наука, 1969. -545 с.

97. Рвачев В. Л. Давление на упругое полупространство штампа, имеющего в плане форму полосы // ПММ. 1956. — Т.20. — Вып.2. -С.248−254.

98. Рубинштейн Л. И. Проблема Стефана. Рига: Звайгзне, 1967. -457 с.

99. Саламатин А. Н. Математические модели дисперсных потоков. -Казань.: изд-во Казан, ун-та, 1987. 172 с.

100. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. -656 с.

101. Самарский A.A., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. — 591 с.

102. Самарский A.A., Моисеенко Б. Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана// ЖВМиМФ. 1965. — Т. 5. — № 5. — С. 816−827.

103. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. -М.: Мир, 1984. 472 с.

104. Сретенский Л. Н. О нагревании потока жидкости твердыми стенками // ПММ. 1935. — Т. 2. — Вып. 2. — С. 163−179.

105. Теодорович Э. В. Скольжение цилиндра по вязкоупругому основанию // ПММ. 1978. — Т. 42. — Вып. 2. — С. 367−372.

106. Трупак Н. Г. Замораживание грунтов при строительстве подземных сооружений. М.: Недра, 1979. — 344 с.

107. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. -622 с.

108. Уошборн А. Л. Мир холода. Геокриологические исследования. -М.: Прогресс, 1988. 384 с.

109. Флорин В. А. Основы механики грунтов. t.II. JI.-M.: Госстрой-издат, 1961. — 544 с.

110. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1987. — 502 с.

111. Френкель Я. И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве// Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз.- 1944. Т. 2. — № 4, -С. 133−149.

112. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса.- М.: Мир, 1976. 630 с.

113. Цытович Н. Ф. Механика мерзлых грунтов. М.: Высшая школа, 1973. — 446 с.

114. Чугунов В. А., Корнев К. Г. Динамика ледопородных ограждений при замораживании фильтрующих горных пород// ИФЖ. 1986. -Т. 51.-№ 2.-С. 305−311.

115. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные задачи.- М.: Мир, 1979. 400 с.

116. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1967. — 195 с.

117. Amberg G. Computation of macrosegregation in an iron-carbon cast// Int. J. Heat Mass Transfer. 1991. — V. 34. — № 1. — P. 217−227.

118. Bear J. Dinamics of Fluids in Porous Media. N.Y.: Elsevier, 1972.

119. Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G. Asemptotic analysis for periodic structures. Amsterdam.: North-Holland Publ. Сотр., 1978. 301 p.

120. Biot M.A. General theory of three-dimensional consolidation// J. Appl. Phys. 1941. — V. 12. — № 2. — P. 155−165.

121. Biot M.A. Theory of Propagation of Elastic Waves in a Fluid-Saturated Porous Solid// J. Acoust.Soc.Am. 1956. — V. 28 — № 2. -P. 168−191.

122. Derski W. Equations of a consolidation theory for the case of a source of fluid// Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Tech. 1965. — V. 13. — № 1. -P. 37−43.

123. Elliott C.M. Error analisis of the enthalpy method for Stefan problem// IMA J. Numer. Anal. 1987. — № 7. — P. 61−71.

124. Fang L.Y., Cheung F.B., Linehan J.H., Pedersen E.J. Selective freezing of a dulite salt solution// Trans. ASME, J. Heat Transfer.- V. 106. P. 385−393.

125. Fortin M., Glowinski R. Augmented Lagrangian. Amsterdam: North-Holland, 1983. — 178 p.

126. Gibson R.E., McNamee J. A tree dimensional problem of a consolidation of a semi-infinite clay stratum// Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1963. — V. 16, Pt. 1. — P. 115−127.

127. Goldstein M.E., Reid R.L. Effect of fluid flow on freezing and thawing of saturated porows media //Proc. Royal Soc. Lond. 1978. — Ser. A.- № 364. P. 45−73.

128. Hackbush W. Multi-Grid Methods and Applications. New York: Springer-Verlag, 1985. — 234 p.

129. Hashemi H.T., Slepcevich C.M. Effect of seepage stream on artifical soil freezing// J. of the soil mechanics and faundation division. ASCE.- 1973. V. 99. — № 3. — P. 267−289.

130. Hunter S.C. The rolling contact of a rigid cylinder with a viscoelastic half-space// Trans. ASME, Ser E, J Appl. Mech. 1961. — V.28. -№ 4. — P. 219−226.

131. Kavatani T., Watarabe H. Finite element solutions for problems of heat transfer with phase change in ground-water system// Mem. Fac. Eng. Kobe University. 1982. — № 29. — P. 203−222.

132. Kornev K., Mukhamadullina G. Mathematical theory of freezing for flow in porous media// Proc. Royal Soc. Lond. 1994. — Ser.A. — V. 447. — P. 281−297.

133. Marini L.D., Pietra P. Fixed-point algorithms for ststionary flow in porous media. Instituto di Analisi Numerica del C.N.R., Pavia, preprint № 380, 1983. 36 p.

134. McNamee J., Gibson R.E. Plane strain and axially symmetric problems of a semi-infinite clay stratum// Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1960. — V. 13, Pt. 2. — P. 210−227.

135. O’Neill K., Miller R. D. Exploration of a rigid-ice model of frost heave// Wat. Resour. Res. 1985. — V. 21. — № 3. — P. 281−296.

136. Neilson D.G., Incropera F.P., Bennon W.D. Numerical simulation of solidification in horizontal cylindrical annulus charged with an aqueous salt solution// Int. J. Heat Mass Transfer. 1990. — V. 33. — № 2. -P. 367−380.

137. Nochetto R.H. A class of non-degenerate two-phase Stefan problems in several space variables// Comm. Partial Diff. Equations. 1987. -№ 12. — P. 21−45.

138. Panday S, Corapcioglu M. Solute Rejection in Freezing Soils.// Water Resourses Research. 1991. — V. 27. — № 1. — P. 99−108.

139. Pascal Florica, Pascal Hanry, Murray D.W. Consolidation with threshold gradients// Int. J. Numer. and Anal. Geomech. 1981. -№ 3. — P. 247−261.

140. Philip J.R. The theory of infiltration, p. 1 // Soil Sci. 1957. — V. 83. № 5. P. 345−357.

141. Philip J.R. The theory of infiltration, p. 2 // Soil Sci. 1957. — V. 83. № 6. P. 435−448.

142. Pullan A.J. The quasilinear approximation for unsaturated porous media flow// Water Resourses Research. 1990. — V. 26. — P. 1219 -1234.

143. Reid R.L. Integral methods for the melting of permofrost be groundwater flow// AICHE Symp. Ser. 1978. — V. 74. — P. 265−270.

144. Reynolds O. On rolling friction// Phil. Trans. Roy. Soc. London. -1877. -V. 166, Pt. 1. P. 155−174.

145. Richards L.A. Cappilary conduction of liquids through porous mediums// Physics 1931. — V. 1. — № 5. — P. 318−322.

146. Signorini A. Sopra un problema al contorno nella teoria delle funzioni di variabile complessa // Ann. Mat. pura ed Appl. 1916. — Ser. 3, T. 25. — P 253−274.

147. Wesseling P. An Introduction to Multigrid Methods. New York: Wiley, 1992. — 312 p.

148. Worster M.G. Convection in Mushy Layers// Annu. Rev. Fluid Mech.- 1997. V. 29. — P. 91−122.

149. Worster M.G. The dynamics of Mushy Layers// Interactive Dynamics of Convection and Solidification. S.H.Davis et al. (eds). NATO ASI Ser. E219. — Dordrecht: Kluwer. — 1992. — P. 113−138.