Математические модели конвекции при пониженной гравитации

Изучению конвективных течений вязких теплопроводных жидкостей всегда уделялось много внимания в связи с важностью этих процессов для приложений. В последнее время иитеисивиое дальнейшее развитие теории и численных экспериментов, но конвекции связано с активным изучеиием космического пространства и с развитием новых технологий, в том числе, и в наземных условиях. Стало особенно интересным предсказать поведение некоторых жидкостей в слабых гравитационных полях, сравнить эти результаты с экспериментами, обнаружить влияние свободных или частично деформируемых границ на поведение жидкости. Потребностями современных технологий обусловлен интерес к конвективным явлениям в микромасштабах.

Вопросами математического моделирования движения жидкости в условиях действия массовых, поверхностных сил, а также под воздействием тепловых нагрузок занимались и занимаются многие ученые в России и за рубежом. Большой вклад в моделирование режимов конвекции и в исследование устойчивости внесли Г. З. Гершуии, Е. М. Жуховицкий, А. А. Непомнящий. Моделирование и численные методы для исследования динамики вязких жидкостей, в том числе, двумерной и трехмерной конвекции, развиваются в работах А. Ф. Воеводина, В. И. Полежаева, E.JI. Та-рунина, Г. Г. Черных и их учеников. Развитие математических методов, используемых для исследования корректности постановок различных задач гидродинамики, сделано в работах О. А. Ладыженской, JI.B. Овсянникова, С. Н. Антопцева, А. В. Кажихова, В. Н. Монахова, В.А. Солоннико-ва. Построению точных решений уравнений конвекции посвящены работы.

Р.В. Бириха, С. Н. Аристова, А. А. Родионова.

В работах В. И. Юдовича, В. В. Пухпачёва, Д. Джозефа излагается анализ моделей, описывающих конвективные движения жидкостей, начиная с классиков этой иауки Обербека (A. Oberbeck) и Буссинеска (J. Boussinesq) и закапчивая актуальными, современными проблемами, которыми занимаются К. А. Надолин, В. К. Андреев, Е. Б. Соболева и др. Одной из первых работ с обоснованием приближения Обербека — Буссинеска была статья Михаляиа (J.M. Mihaljan) [143]. Аналогичный анализ был продолжен в работах Веларде (M.G. Velarde) [155, 156]. В статье Файфа (R. Fife) [134] с применением общих уравнений рассматривалась стационарная конвекция и исследовались вопросы о сходимости решений к стационарным решениям классической модели. Таким образом, к 1991 г. сформировался интерес к альтернативному моделированию конвективных движений, и В. В. Пухначёв предложил модель микроконвекции для исследования этих движений в условиях слабых гравитационных полей и в микроканалах. Несколько позже подобная модель, но для исследования концентрационной коивекции была предложена Перерой и Секеркой (P.S. Регега, R.F. Sekerka). Аналитические и численные исследования новых, уточненных, моделей для изотермически несжимаемых жидкостей (см. [2, 12, 89]), а также классических, но дополненных, например, отказом от постоянства коэффициентов переноса (см. [4, 119]), подтверждают наличие новых эффектов в движениях жидкостей.

Моделированию новых явлений в рамках механики сплошной среды и изучению движений обобщенных ньютоновских жидкостей посвящены недавние работы Ружички (М. Ruzicka) и его соавторов [149, 152]. В работах Хагстрома (Т. Hagstrom), Лоренца (J. Lorenz) [135], Клайпермапа (S. Klainerman), Майды (A. Majda) [139], В. Б. Мосеенкова [61], Э.Г. Шифри-на [113] осуществляется математическое моделирование для сжимаемых жидкостей и аналитическое исследование начально-краевых задач. Если для газов свойство сжимаемости или способность легко изменять плотность под действием изменений давления или температуры является естественным и даже определяющим свойством, то для жидкостей, как правило, оно выражено слабо. Вместе с тем, учет в том или ином виде слабой сжимаемости приводит к интересным результатам и призван выявить иебуссииесковские эффекты.

Предметом исследования дайной работы являются математические модели, используемые для описания естественной конвекции жидкости в условиях пониженной гравитации прежде всего, но также применимые и в микромасштабах [137, 147].

Рассмотрим вязкую теплопроводную жидкость иод действием силы тяжести д, заполняющую замкнутый объем с твердой недеформируемой непроницаемой границей. Пусть жидкость считается двухнараметрической термодинамической средой, плотность которой р определяется уравнением состояния р = R (T, p), (0.1) где Т — абсолютная температура, р — давление. Предположим также, что реология жидкости задается законом Стокса. Искомые функции скорость V, давление р и температура Т удовлетворяют системе уравнений гидродинамики [2, 72, 95] dV p— = V (-P + л divV) + Div (2 fiD{V)) + pg, (0.2) at + pdivK = 0, (0.3) at где d/dt = d/dt + V — V — оператор полного дифференцирования по времени, D (V) — тензор скоростей деформаций, D (V) = ^[VK + (VK)*], Ф (К) — диссипативиая функция, Ф = A (drvV)2 + 2fiD: D, ц, А — динамические коэффициенты первой и второй вязкости, к — коэффициент теплопроводности, Ср — теплоемкость при постоянном давлении, предполагаемая в дальнейшем положительной постоянной.

При задании уравнения состояния в виде зависимости плотности от температуры и давления мы предполагаем рассмотрение истинных жидкостей, для которых R есть неубывающая функция р, а кроме того, эта функция монотонно убывает с ростом Т. При рассмотрении течений, вызванных силами плавучести, зависимость плотности от температуры и давления предполагается линейной [39]. При этом, в отличие от газов, значительные вариации температуры и еще большие вариации давления приводят к малым изменениям плотности.

В случае, если жидкость изотермически несжимаема, т. е. р = р (Т), уравнение состояния вида р = Ро (1 — Р (Т — Т0)) (0.5) приводит нас к аппроксимации Обербека — Буссинеска или классической модели конвекции [2, 39]. Здесь [3 — температурный коэффициент объемного расширения жидкости, а ро — некоторое относительное значение плотности, принимаемое жидкостью при Т = То. Считается, что в большинстве случаев изменение плотпости жидкости возникает именно вследствие разностей температур, а ие разностей давлений. Вызвать такое же изменение плотности, какое возникает при понижении температур в 1 °C, можно, изменив давление иримерпо па 5 атмосфер. Данный факт дает основания считать зависимость плотности жидкости от давления более слабой, чем от температуры [39].

Предполагая коэффициент теплопроводности постоянным, иногда следует учитывать зависимость вязкости от температуры, что подтверждается экспериментально для многих реальных жидкостей типа глицерина, жидкого стекла и даже воды. К примеру, для воды v — 1.006-Ю-2 см2/сек. при 20 °C, v = 0.568 • Ю-2 см2/сек. при 50 °C, для глицерина v = 850 • Ю-2 см2/сек. при 20 °C, v = 350 • Ю-2 см2/сек. при 30 °C, для некоторых видов стекла v = 0.23 • Ю4 см2/сек. при 1000 °C, v = 0.0036 • 104 см2/сек. при 1400 °C ([25]). Здесь v — кинематическая вязкость и — ц/ро. Учет зависимости коэффициентов переноса, в частности, вязкости, от температуры является принципиально важным при решении задач гидродинамики при пониженной гравитации, что обосновывается также и в [20].

В качестве системы уравнений, описывающей конвективные движения, будем использовать уравнения, обобщающие уравнения Обербека — Бус-сипеска на случай переменной вязкости,.

Vt + (VV)V = 2 Div (v (T) ¦ D (V)) — p~lWp' - (ЗдГ, (0.6) div V = 0, (0.7).

Tt + V-VT = хЛТ. (0.8).

Здесь р' = р — род • х — отклонение от гидростатического давления. Эти уравнения получаются в результате аппроксимации общих уравнений гидродинамики (0.2)-(0.4) и представляют собой линейное приближение последних при условии стремления к нулю числа Буссинеска е = (ЗТ*, тогда как учет силы плавучести, пропорциональной числу Рэлея Ra = ег), предполагается обязательным в уравнении сохранения импульса (0.2). Здесь в качестве Т* обозначается характерная температура (или характерный температурный перепад). Классической моделью конвекции назовем уравнения (0.6)-(0.8) в случае постоянного коэффициента кинематической вязкости v.

Вопросам математического обоснования моделей динамики вязкой жидкости посвящено много работ. Различные аспекты теории уравнений вязкой несжимаемой жидкости, в том числе получение обобщенных решений, изложены в монографиях О. А. Ладыженской [53], Р. Темама [105] и в монографии С. Н. Аитоицева, А. В. Кажихова, В. Н. Монахова [3], посвященной вопросам неоднородных жидкостей (см. также цитированную там литературу). В большинстве работ получены важные результаты в области математической теории течений вязкой несжимаемой жидкости в случае постоянного коэффициента вязкости. Исследование корректности начально-краевых задач для уравнений Навье — Стокса с вязкостью, зависящей от тензора скоростей деформаций, в частности, модели Ладыженской, проводится в работах Бейрао да Вейга (Н. Beirao da Veiga) [120, 121] (см. также [130]). В задачах гидродииамики и теплои массообмена, возникающих при моделировании многих технологических процессов, существенным оказывается учет зависимости коэффициентов переноса от температуры. Актуальность рассмотрения математических моделей этих явлений подтверждается многочисленными приложениями, экспериментальными данными и численными исследованиями [45, 127, 148]. На изучение задач в случае зависимости от температуры коэффициентов переноса обращено внимание в работе Бема (М. Boehm) [122], где, видимо, впервые анонсирован результат о существовании по крайней мере одного обобщенного решения в некоторой модели неоднородной жидкости. Исследованию разрешимости некоторых краевых и начально-краевых задач и свойств решений системы уравнений, описывающей движение теплопроводной ньютоновской жидкости с учетом зависимости вязкости от температуры и диссипацией эиергии, посвящены работы Т. Н. Шилкина [153, 154] (см. также работы [125, 126, 138, 150, 151]). В работах С. Н. Аристова и его соавторов [4, 97, 119] получены интересные примеры точных решение уравнений конвекции в случае зависимости от температуры коэффициента вязкости.

Учет зависимости от температуры коэффициентов переноса в теоретическом анализе математических моделей вызывает трудности, связанные с дополнительной пелииейностыо уравнений. Изучению вопросов существования и единственности стационарных краевых задач для уравнений свободной конвекции в случае зависимости от температуры коэффициентов вязкости посвящены работы автора [158, 159]. В работе [160] доказано существование решения трехмерной нестационарной задачи для вышеназванных уравнений. Полученное решение представляет собой аналог слабого решения Хопфа в классической задаче для уравнений Навье—Стокса.

Одним из центральных результатов в теории уравнений, описывающих течения вязкой несжимаемой жидкости, является нахождение класса, в котором может быть доказана единственность решения. Вопрос о единственности решения нестационарной краевой задачи для уравнений (0.6)-(0.8) является принципиальным, поскольку стандартными приемами, с помощью которых доказывается теорема единственности для изотермических движений, здесь не удается воспользоваться.

В данной работе в Главе 1, как и в теории уравнений Навье — Стокса, решаются сначала вопросы, связанные с повышением гладкости полученного решения. Показывается справедливость более сильных оценок для температуры, а затем осуществляется повышение гладкости скорости. Существенным моментом в проведении последнего анализа является использование разбиения векторного пространства L2 на сумму ортогональных подпространств.

Таким образом, вопросы корректности рассматриваемой математической модели конвективного движения жидкости с учетом зависимости от температуры коэффициента вязкости решаются в двумерном случае. При дополнительном условии на начальную скорость доказываются теоремы существования и единственности глобального, но времени сильного решения, а затем и единственность исходного, слабого решения.

В.В. Пухпачсвым было замечено (см. [85]), что модель Обербека — Буссинеска непригодна к описанию конвекции, если параметр г] достаточно мал г] < 1. Параметр гназванный параметром микрокопвекции [2], определяется следующим образом: ri = —, при этом I — характерный размер уX области, х — коэффициент температуропроводности, х — -) 9 = dроср

Значение данного параметра было выяснено в 1991 г. В. В. Пухпачёвым, и с этого времени начинается математическое моделирование микрокоп-векции (см. [2, 85, 86]). Параметр микрокопвекции т] имеет простой физический смысл: он равен отношению порядков скоростей, порожденных объемным расширением жидкости и фактором плавучести. Термин «микроконвекция» был введен для описания коивекции жидкости при малой гравитации, в микромасштабах, а также для жидкостей, свойства которых обеспечивают большие значения произведения коэффициентов вязкости и температуропроводности. Вывод уравнений Обербека — Буссииеска из общих законов сохранения массы, импульса и энергии построен на упрощении этих законов на основе гипотезы об изотермической несжимаемости (0.5) и предположении о том, что движение жидкости подобно движению несжимаемой жидкости, когда иоле скоростей является соленоидальпым (0.7). При этом в уравнении сохранения импульса малые отклонения плотности от среднего значения, вызванные неоднородностью температуры, учитываются лишь в силе плавучести. В уравнении сохранения энергии не учитывается действие диссипативных сил. Если же теперь исходить из точных уравнений сохранения массы и импульса (0.3), (0.2), ио упрощенно, в виде (0.8), принимать уравнение сохранения энергии, предполагая постоянство всех коэффициентов переноса, то будет представлена для исследования модель микрокопвекции. Эта модель характеризуется несоленоидальностыо поля скоростей. Используя зависимость плотности от температуры вида можно записать модель микрокоивекции с новой искомой скоростью W.

W = V — PXVT. (0.10) 4.

Эта модифицированная скорость обладает уже свойством divW" = 0. Заметим, что с физической точки зрения зависимости (0.5) и (0.9) практически эквивалентны, т.к. в реальных конвективных течениях значения (3Т не превышают Ю-2, Ю-3 [2, 39]. Зависимость (0.9) позволяет не только перейти к соленоидальному нолю модифицированной скорости. Теплоемкость при постоянном давлении ср изотермически несжимаемой жидкости не зависит от давления в том и только том случае, когда уравнение состояния имеет вид (0.9) (см. [88, 115]).

Итак, модель микроконвекции изотермически несжимаемой жидкости состоит из системы дифференциальных уравнений divW = 0, (0.11).

Wt + W ¦ VW + Px (VT • VW — VW • VT) + /32×2(ATVT — V|VT|2/2) = (1 + /3T)(-Vq + и AW) — PTg, (0.12).

Tt + W’VT + PxV7f = (1 + PT) XAT, (0.13) а также начальных и граничных условий. Здесь q = р'/ро ~ (А/ро) divV — PxW ~ х)&Т = p/pQ — (3x^T (v + А/р0 — х).

Пусть движение возникает из заданного начального состояния.

У (я, 0) = 0, хеП, (0.14).

Т (х, 0) =Т0(х), хвП, (0.15) и рассматривается в замкнутой области Q с твердой непроницаемой границей dQ = Е, па которой выполняются условия прилипания v = o, хеп, te [о, г J. (0.16).

Тогда модифицированная скорость в начальный момент времени будет удовлетворять условиям.

W (x, 0) = Щ (х), хеП, (0.17) и вследствие условий прилипания граничные условия для W будут иметь следующий вид:

W = -PxVT, хбЕ, te [0Л]. (0.18).

Заметим, что в результате именно уравнения состояния вида (0.9) и уравнения (0.11), требуется задавать па границе поток тепла.

ОТ = f (x, t), zGE, t G [0, ?*], (0.19) при условии нулевого интегрального потока f{x, t) dZ = 0, V? G [0, U], (0.20) что обеспечивает необходимое условие разрешимости задачи. Избежать данное ограничение можно при рассмотрении конвективных движений в области со свободной или упругой границей [115, 116]. Вместе с тем, стационарная задача для уравнений микрокопвекции оказывается поставленной L корректно, как при температурном условии на границе области второго рода, так и при условии первого рода [87].

Изучению конвективных процессов в слабом гравитационном поле посвящено много работ, например, [78, 79, 27]. С точки зрения строгого математического обоснования альтернативные теории конвекции развивались в работах Михаляпа (J.M. Mihaljan) [143], В. И. Юдовича [115], К.А. Надо-лина [G5, GG, 07]. Интерес к альтернативным моделям конвекции особенно стал заметным, начиная с 1995 г. Он вызван, в частности, необходимостью объяснить так называемые пебуссинесковские явления, наблюдаемые в экспериментах, выполненных на борту орбитальной станции и не находящих, видимо, подтверждения с использованием классической теории [8, 9, 10, 11, 19, 20, 42]. Подобная (0.11) — (0.13) иесолеиоидальная модель для концентрационной конвекции несколько позже была получена Перерой и Секеркой (P.S. Perera, R.F. Sekerka) [145]. В работах В. К. Андреева и его учеников [2, 12, 40] проводятся исследования устойчивости решений в модели микрокопвекции и исследования условий возникновения конвективных движений па основе модели микроконвекции. Групповой анализ уравнений микроконвекции был проведен А. А. Родионовым. Им же построен ряд точных решений уравнений микроконвекции [2, 89]. Интерес к математическому моделированию конвекции в условиях микрогравитации и в микромасштабах усилился в последние время. Эта тематика была широко представлена на международных конференциях «21-st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics» (Warsaw, Poland, August 1521, 2004) и «Second Conference on Interfacial Fluid Dynamics and Processes in Physico Chemical Systems» (Brussels, Belgium, July 14−17, 2004), а ее актуальность отражена в обзорах Хомси (G.M. Homsy) и В. В. Пухпачёва (см. [137, 147]).

В Главе 2 представлены начально-краевые задачи модели микрокоп-векции в областях с твердыми и свободными границами. Проведен сравнительный аиализ обеих моделей при численном исследовании конвективных течений жидкостей в условиях кратковременной невесомости.

В параграфе 1 второй Главы демонстрируется применение модели микроконвекции для отыскания инвариантного решения в бесконечной полосе, запятой жидкостью, в случае, когда поток тепла на границе колеблется в противофазе. При использовании полученных ранее В. В. Пухпачёвым выражений для компонент скорости [2] находятся траектории жидких частиц при различных значениях параметров течения. Графики траекторий позволяют сравнить решения, полученные в результате применения модели Обербска — Буссинеска и модели микрокопвекции. Поскольку инвариантные решения представляют собой точные решения линеаризованной модели микрокопвекции, проведен аиализ нетривиальной составляющей движения на основании метода усреднения Крылова — Боголюбова [21, 60].

Использование модели микрокопвекции порождает несколько нестандартных начально-краевых задач. В параграфе 2 Главы 2 исследуется их разрешимость. Одно из уравнений не является дифференциальным в обычном смысле. Уравнения подобного вида оригинально названы нагруженными [68], а в [22] исследуются разностные методы решения начально-краевых задач для нагруженных дифференциальных и интегро-диффе-репциальных уравнений. Частный случай задачи с нагруженным уравнением был рассмотрен в дипломной работе H. JI Воронина [86].

В параграфе 3 Главы 2 численно исследованы нестационарные режимы микрокопвекции в кольцевых областях и длинном прямоугольнике, вытянутом по направлению силы тяжести, для жидкостей типа глицерина, расплавов кремния и стекла. Границы области считаются твердыми. В случае круговых областей ускорение силы тяжести совершает периодические, но времени колебания. Конвекция в длинной прямоугольной области исследуется в условиях периодического потока тепла через длинные стороны. При этом суммарный поток равен нулю. Подтверждены количественные и качественные отличия в характеристиках течений, рассчитанных в рамках классической и новой моделей под действием микроускорений, достижимых на орбитальной станции. В частности, величины скоростей, рассчитанных по новой модели, могут на три порядка превышать те, что предписываются традиционной моделью. Кроме того, существенно различается структура течения, его топология, развитие во времени, а также траектории движения жидких частиц.

Модель микрокопвекции применяется в первую очередь для исследования нестационарных задач. Учет иесолепоидалыюсти в стационарных задачах микрокопвекции в замкнутых областях ведет к поправкам порядка числа Буссинеска, что согласуется с теоретическими результатами [87].

В параграфе 4 Главы 2 проведено исследование стационарных конвективных процессов в областях со свободными границами, когда уже оба механизма конвекции играют существенную роль. Течение предполагается стационарным. Рассчитана гравитационно-капиллярная конвекция в кольцевых областях и полукруге. Одна из границ, по-прежнему, считается твердой, а другая является свободной, подверженной действию термокапиллярного эффекта. В условиях невесомости и в случае, когда параметр, ответственный за деформацию свободной поверхности термокапиллярными силами (капиллярное число), довольно мал, рассмотрены педеформи-руемые свободные границы, приближенно определяемые как поверхности капиллярного равновесия. Поправка к свободной границе находится из динамического условия па свободной границе, подобно тому, как делается в [6, 157]. Расчеты проведены для различных значений чисел Прандтля, Марапгопи и Грасгофа, а также с учетом резко меняющегося граничного температурного режима. Исследована структура конвективных течений, проанализированы ситуации, когда топология течения существенно различается. Количественные же различия в величинах скоростей здесь значительно меньше, чем в нестационарном случае. Вместе с тем выявлены ситуации, когда даже в стационарных задачах микрокопвекции различия в результатах, полученных с использованием классической модели и модели микрокопвекции, проявляются довольно ярко. Эти ситуации предусматривают дополнительное моделирование больших градиеитов в тепловом граничном режиме.

Солепоидальиость модифицированной скорости W позволяет ввести аналог функции тока для плоских и осесимметричпых задач и выполнять расчеты конвективных течений в переменных «функция тока-вихрь». На соответствующих рисунках представлены для наглядности поля скоростей, линии тока, изотермы, графики траекторий жидких частиц.

Рассмотрим теперь иную аппроксимацию уравнения состояния (0.1), а именно, = 1 + Р (Т — То)' (0'21).

Выберем I в качестве характерного масштаба длины, v4 — x/l ~ скорости,.

U — l/v* = 12/х — времени, р* = pov^Pr = Pqvx/12 — давления и Т* — температуры, и обозначим через Тир отклонения Т — То и р — ро от некоторых равновесных значений То, ро, соответственно (см. [88], ро = р (То, ро)). Заметим, что введение подобной характерной скорости v4 обеспечивает ее независимость от температурного граничного условия. Тогда уравнение состояния в безразмерной форме имеет вид.

Р = ±%, (0.22) н 1+f-T' v 1 а система уравнений (0.2)-(0.4) в безразмерной форме записывается следующим образом:

1+SpdV г,, Лт71, т]Рг (1 + 6р).

1 +еТ dt = Рг.

V (-p + Miv V) + ДК + 7 4 (0.23).

1 + ?1 dp? dT + dWV = 0, (0.24).

1 + 6р dt 1 + еТ dt 1 + 6р dT е2 + eeT dp AT + 61Ф. (0.25).

1 + еТ dt 1 +еТ dt Здесь для безразмерных функций оставлены прежние обозначения, 6 =.

7р* — параметр сжимаемости, е = (ЗТ* — число Буссинеска, в = vv*/(lCpT*) = uX/l2cpT" е2 = ?€То/Т* = puXT0/(l2cp%), = /(Pou) — отношение коэффициентов второй и первой вязкости, до = д/д, безразмерная диссипативиая функция Ф определяется равенством.

Ф = ?(div V)2 + 2D: D.

Коэффициенты переноса fi, к предполагались постоянными, Pr = vjx ~~ число Праидтля.

Для того, чтобы получить в дальнейшем разложения только по малому параметру сжимаемости, полагаем е = ai6, 62 = 0.26, ai = 0(1), (г = 1,2) при 5 —> 0. Тогда уравнение (0.25) запишется следующим образом:

1 + sTdt 1 +еТ dt к J.

Таким образом, искомой системой уравнений для неизвестных функций.

V, р, Т будут уравнения (0.23), (0.24), (0.26).

В [88] проводится аиализ критериев подобия задачи и характерных величин процесса, в том числе, и характерных времен. При построении модели конвекции, справедливой в условиях микрогравитации, выбираются характерные внутренние времена (время релаксации температуры) и t" = l2/v (время релаксации вязких напряжений), которые имеют один порядок, вообще говоря, при Pr ~ 1, а также характерное время tf (время изменения функций, определяющих граничный тепловой режим). Условие Pr ~ 1 определяет достаточно широкий класс жидкостей, включая воду и газы, применяемые в космических экспериментах для изучения конвекции.

Введение

отношения? = t*/tf в граничные температурные условия может позволить рассмотреть ситуации, когда эти характерные времена существенно различаются. Краевые условия для уравнений (0.23), (0.24), (0.26) запишем в форме.

V = 0, ieS, t > 0, (0.27) дТ = f (x,(t), xGS, ?>0, (0.28) либо, ,.

Г = h (x, Сt), x e ?, t > 0. (0.29).

Начальные условия для замыкания постановки задачи примем в виде.

V = V0(x), хеП, t = 0, (0.30) т = т0(х), хеп, t = о, (0.31) р = р0(х), хеп, t = 0, (0.32).

Отметим, что моделирование конвекции для слабо сжимаемой жидкости в условиях микрогравитации предполагает автоматически малость параметра микроконвекции г] за счет значений g ~ Ю-2,103 (см/сек2) и I ~ 1 (см). Следующий безразмерный параметр, число Буссинеска, является величиной порядка 10~3, Ю-4 и даже Ю-5, благодаря малости коэффициента Р даже при значительном, например, 50 К, перепаде температур. Параметр 5, пропорциональный изотермическому коэффициенту сжимаемости 7, будет величиной порядка 109-f Ю-11 и даже Ю-14, поскольку для обычных жидкостей 7 6 [Ю-9, Ю-10] (см. [25, 39, 88]). Очень малыми по сравнению с е получаются и значения параметров е, 62. Параметры ei, 62 имеют тот же порядок, что и 5. Используя малость параметров 5, е, 62, В. В. Пухначёв получил асимптотическое упрощение системы (0.22)-(0.24) [88].

Асимптотическое разложение решения системы (0.23), (0.24), (0.26) строится по параметру сжимаемости 6 —> 0 и при условии, что е, Pr, г], qi, 0:2 сохраняют конечные значения. Другими словами, решение системы (0.23), (0.24), (0.26) ищется в виде формальных степенных рядов k=0 k=0 A-=0.

0.33).

Функция p имеет сингулярную составляющую, когда 5 —> 0, а величину (P (t) — 1)5−1 отождествляют со средним по области Г2 давлением жидкости. Если стенки полости неподвижны и непроницаемы, то масса заключенной в ней жидкости сохраняется. При отличном от пуля суммарном тепловом потоке через границу и конечному изменению вследствие этого средней, но области температуры, мы наблюдаем в силу уравнения состояния (0.21) изменения среднего давления па величину порядка при.

Подстановка разложений (0.33) в уравнения (0.23), (0.24), (0.26) приведет к рекуррентной системе для функций р^к к = 0,1,. Разрешимость некоторой начально-краевой задачи исследуется в параграфе 1 Главы 3.

Главные члены разложений удовлетворяют системе уравнений [88].

1 + еТ (°) уМ + у (о). Vy (о)^ = Pr [v (V0) + Idiv V<�°>) + д v?(°>] + ^^Ь, (°-34) TT^W (Tf (0) + ^'VT (0))+ div ^ = (0,35).

24 р т/0) + v<�® • vr<�°>) — р = дт<°>, (0.36) которые называются уравнениями конвекции слабо сжимаемой жидкости. При этом Р= dP (t)/dt. Начально-краевая задача для системы (0.34)-(0.36) может быть сформулирована следующим образом. В начальный момент времени задаются вектор скорости и температура.

V (°x, 0) = V0(x), Т (°)(х, 0) = Т0(х), хеП. (0.37).

Рассматриваются условия прилипания для вектора скорости и условия второго рода для температуры, задающие поток тепла на границе области Е: ят (°) i/(°) = о, —— = f (x, Ct), X е Е, ?>0. (0.38) on.

Разрешимость этой задачи в классе гладких функций установлена в [88], а для нахождения функции P (t) выведено обыкновенное дифференциальное уравнение рассматриваемое с начальным условием.

Р (0) = 1, (0.40) что согласуется с предположением о конечности значений функции ро (х) при <5 —> 0.

Заметим, что в предельном случае при? = 0 уравнения (0.34)-(0.36) превращаются в уравнения Навье — Стокса несжимаемой жидкости.

Корректность сформулированной начально-краевой задачи исследуется в [88], где показывается, что построенное приближенное решение может рассматриваться, как аппроксимация порядка 0(6) при? —> 0 решения соответствующей начально-краевой задачи для исходной системы (0.23)-(0.26) па временах t > 1. Формальная асимптотика (0.33) не работает па малых временах, но для уравнений (0.23)-(0.26) может быть осуществлена линеаризация вблизи состояния изотермического равновесия. Так возникает для изучения линейная модель переходного процесса (см. [88]). Асимптотическое решение линейной задачи переходного процесса пе имеет поточечного предела при? —> 0, но может быть рассмотрено в качестве главного члена внутреннего разложения линеаризованных уравнений движения (0.23)-(0.26), описывающего начальный этап конвекции. Переходный процесс сопровождается распространением нелинейных акустических волн высокой частоты. Подчеркнем, что высокочастотные акустические колебания «отфильтрованы» в результирующих уравнениях модели слабо сжимаемой жидкости, они учитываются лишь на начальном этапе движения. Характеристика осцилляций, их локализация изучаются в [88].

Следует заметить, что процедура фильтрации звука в уравнениях конвекции осуществлялась и в работах [5G, 70, 123, 144]. (См. также [71, 157].) Процедура фильтрации звука в уравнениях конвекции впервые была осуществлена S. Paolucci [144] и независимо А. Е. Кузнецовым и М. Х. Стрельцом [50]. В [99, 100] излагается модель сплошной среды, применимая для существенно дозвуковых течений. Гидродинамическое приближение с «фильтрацией акустики» используется для описания околокритических явлений. В указанных работах речь шла о конвекции в газах, где предположение о слабой сжимаемости среды не является столь естественным, как для жидкостей. В. Б. Мосеепков [61] называет неоднородной жидкость с уравнением состояния вида (0.1) и рассматривает слабо сжимаемые жидкости, как жидкости с малыми коэффициентом теплового расширения и параметром сжимаемости, выступающими множителями при температуре и давлении, соответственно, на этапе формулировки термодинамического уравнения состояния. Им проведено математическое моделирование, носящее асимптотически обобщающий характер для классической модели Обербека — Буссипеска, исследована разрешимость некоторых осесим-метрических и общих трехмерных задач, а также вопросы устойчивости решений.

В первом параграфе Главы 3 исследуется корректность начальпо-крае-вой задачи для уравнений конвекции слабо сжимаемой жидкости с граничным условием третьего рода для температуры вместо условия (0.38). При выполнении естественных условий гладкости и согласования начальных и граничных функций доказывается теорема существования гладкого решения. Эта теорема относится к так называемым локальным теоремам существования и выполняется в условиях малости числа Буссипеска. Доказательство основано на построении решения задачи в виде рядов по степеням малого параметра е (числа Буссипеска) и доказательству разрешимости получаемых рекуррентных задач. Последовательно решаются третья начально-краевая задача для линейного неоднородного уравнения теплопроводности, задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения и первая начально-краевая задача для нестационарной системы.

Стокса. Используются извсстиые результаты В. А. Солонникова по разрешимости в классах функций Гельдера вышеназванных задач [51, 101]. Принципиальным моментом является использование представления скорости (для каждого приближения) в виде суммы солепоидальпой и градиентной части и нахождение потенциала (для каждого приближения), как решения задачи Неймана для уравнения Пуассона. Сходимость выбранных разложений по степеням параметра е устанавливается в подходящих гельдеровских нормах при малых значениях е.

Определенное представление о характере движения может быть получено при изучении линейной модели (0.34)-(0.3G). В частности, замечено, что линеаризованные уравнения конвекции слабо сжимаемой жидкости допускают группу с прибавлением к давлению произвольной функции времени. В параграфе 2 Главы 3 рассматриваются точные решения конвекции в вертикальном слое, когда поток тепла на границе колеблется в фазе, а не в нротивофазе, как было для уравнений микроконвекции изотермически несжимаемой жидкости.

Обширный раздел гидродинамики вязкой жидкости представляет собой вычислительная гидродинамика. В этой области развиваются численные методы применительно к различным задачам конвекции, обосновываются различные подходы к созданию вычислительных алгоритмов, проводится апробация последних на тестовых задачах, а также численно моделируются различные конвективные движения. Уравнения Навье — Стокса, составляющие основу классических уравнений конвекции, обладают рядом специфических особенностей, которые необходимо учитывать при их численной реализации. Эти особенности, а также преодоление сложностсй, возникающих при расчетах задач конвекции, изложены в известных работах и монографиях Д. Андерсона, А. Ф. Воеводина, В. И. Полежаева, П. Роуча, E.JI. Тарунина и их соавторов (см., например, [1, 29, 77, 78, 79, 90, 103, 104]).

Для численного решения уравнений Навье — Стокса в приближении Обербека — Буссипеска в данной работе применяются методы, развиваемые в работах [28, 29, 30, 32, 34, 35, 1G9, 171], прежде всего для исследования конвекции в замкнутых объемах. Они связаны с введением для двумерных задач функции тока ф и вихря скорости uj и преобразованием исходной системы уравнений к системе уравнений относительно ф, uj. При таком подходе пет необходимости заботиться о солепоидальпо-сти вектора скорости, так как это условие выполняется автоматически. Известным фактом являются трудности, возникающие при задании граничного условия для вихря па границе с прилипанием. Среди численных методов и алгоритмов, разработанных применительно к системе уравнений, записанных в переменных «функция тока-вихрь», следует отметить работы [5, 17, 24, 34, 35, 58, 90, 103]. Эти методы отличаются друг от друга выбором разностной схемы, видом граничных условий, способом решения уравнения Пуассона и т. д. Для большинства использующихся на практике алгоритмов характерно раздельное решение разностных уравнений для и) и ф [17, 103]. Такой способ организации вычислений ещё называют двухнолевым методом [103]. Типичным в большинстве вычислительных алгоритмов является прием, когда в уравнении и граничных условиях для вихря функция тока ф берётся с нижнего временного слоя. Полученное уравнение относительно значений uj на верхнем слое решается методом переменных направлений, а затем при помощи эффективных итерационных или прямых методов решения уравнения Пуассона вычисляется функция г[) па верхнем слое. Однако, при использовании подобных алгоритмов возникают довольно жесткие ограничения на шаг по времени. Обнаружено также, что устойчивость вычислительного процесса существенным образом зависит от способа вычисления вихря на твердой границе. В ряде работ решаются вопросы снятия ограничений на временной шаг, усовершенствования двухполевого метода решения и улучшения сходимости (см. [24, 78, 81, 103]). Большое внимание уделено тестированию вычислительных алгоритмов, построенных в том числе и с использованием переменной «функция тока», в работах Г. Г. Черных и соавторов [62, 109, 124], где рассмотрены тесты для трехмерной мантийной конвекции. Трехмерная конвекция численно моделируется в переменных «векторный нотеициал-ротор скорости» в работе [112], там же предлагаются граничные условия для новых искомых фуикций и тестируются вычислительные алгоритмы.

Будем рассматривать классические уравнения конвекции (0.6)-(0.8) с постоянной вязкостью. Так называемые конвективный и диффузиопый переносы естественным образом выделяются как в уравнениях движения, так и в уравнении переноса тепла. Тогда вполне обосновано применение идеи расщепления по физическим процессам в уравнениях па каждом временном слое. Идея метода расщепления по физическим процессам базируется на методе слабой аппроксимации [117] и аддитивности этих процессов для достаточно малых шагов по времени. С математической точки зрения расщепление разностного уравнения на составляющие, а затем обоснование аддитивности процессов, описываемых отдельными частями, рассматривается в [91] и проводится доказательство суммарной аппроксимации исходного уравнения вследствие расщепления.

Общая теория расщепления наиболее полно изложена в [59]. Основополагающими работами в этом направлении являются работы Дугласа (J. Douglas), Г. И. Марчука, Рэчфорда (Н.Н. Rachford), А. А. Самарского, Н. Н. Янснко (см. также [26, 131, 132, 47, 48, 57, 59, 93, 105, 117] и ци-тироваипую там литературу). Явная схема расщепления по физическим факторам используется в работах О. М. Белоцерковского, В. А. Гущииа, В. В. Щеииикова [14, 15, 16] и заключается в трехшаговой реализации, включающей расчет давления. Физическая интерпретация расщеиления приводится в [16].

В параграфе 1 четвертой Главы предлагается численный метод исследования конвективных движений жидкости в замкнутых двумерных областях, обладающий свойством энергетической нейтральности поля скоростей, благодаря кососимметричности конвективного оператора и сохранении этого качества при конечно-разностной аппроксимации. Свойство энергетической нейтральности поля скоростей заключается с математической точки зрения в сохранении среднеквадратичной нормы скорости при переходе со слоя па слой [81, 34]. Сохранение энергии в скоростях, а не в вихре является преимуществом такого расщеиления. Расщепление па два этапа (конвективный и диффузионный переносы) проводится для уравнений конвекции, записанных в исходных, физических, переменных. Следовательно, этап конвекции реализуется для вектора скорости и состоит в вычислении «конвективной» скорости. На этапе диффузии осуществляется уже переход к новым искомым функциям: вихрю и функции тока для так называемой «диффузионной» скорости. В этом подходе проявляется основное отличие от метода расщепления по физическим процессам, развиваемом активно в работах Т. В. Протопоповой [34, 35, 81].

Поскольку этап конвекции реализуется для переменной типа «вектор скорости», то за ней и оставляется условное название «конвективной» скорости. «Конвективная» скорость является лишь вспомогательной функцией. Особенность реализации этапа конвекции в замкнутых областях с твердыми непроницаемыми границами состоит в том, что из условий прилипания и гиперболичности системы следует, что граничные условия на этапе конвекции являются следствием уравнений. На этапе диффузии осуществляется переход к вихрю и функции тока, что позволяет, во-первых, исключить расчет градиента давления для определения поля скоростей и, во-вторых, обеспечить соленоидальиость вектора скорости, при этом «диффузионная» скорость и принимается, в итоге, в качестве искомой, истинной. В дальнейшем будем опускать кавычки в терминах конвективная или диффузионная скорость. Тестирование метода проводится па известной задаче о свободной конвекции в квадратной полости при подогреве сбоку.

Во втором параграфе четвертой Главы численный метод, основанный па идее расщепления, но физическим процессам, предлагается для исследования конвективных движений жидкости в трехмерных областях с твердыми непроницаемыми границами. Этап конвекции, по-прежнему, реализуется для компонент скорости, а на этапе диффузии осуществляется переход к новым искомым функциям. Для трехмерных задач эти функции являются ротором скорости и векторным потенциалом скорости. Заметим, что этан диффузии представляет возможность расщепления по направлениям, которое является типичным для всех компонент, что, в свою очередь, дает возможность организовать экономичный алгоритм параллельных вычислений.

Поскольку вычисляемыми функциями являются, как компоненты скорости, так и новые искомые функции, то принципиальным моментом в организации расчета является введение смещенных сеток (см., например, [13]). Смещенные сетки позволяют проследить за автоматическим выполнением условия несжимаемости ноля скоростей и организовать восстановление скорости через векторный потенциал. Для трехмерных задач еще большей проблемой становится запись условий прилипания па границе в терминах новых искомых функций. Эти трудности обсуждаются в [13, 43, 90], варианты граничных условий для векторного потенциала и завихренности предлагаются в [18, 112], а сами условия являются чаще следствием условий пепротекапия и идеального проскальзывания [43]. В данном параграфе па твердых непроницаемых границах используются условия, выражающие равенство пулю касательных составляющих векторного потенциала и производной по нормали его нормальной составляющей. Тестирование метода расщепления по физическим процессам в трехмерных задачах проводится па известных задачах о свободной конвекции в кубической полости или параллелепипеде при подогреве одной грани [18, 142].

Другой отличительной особенностью вычислительного алгоритма является организация прогонки с параметрами в двумерном случае. Оригинальный алгоритм метода прогонки с параметрами применяется для реализации условий прилипания и имеет целыо точно реализовать эти условия [28, 29, 34, 30]. Прогонка с параметрами, предложенная А. Ф. Воеводиным, получила недавно достаточно строгое математическое обоснование, благодаря результатам Т. В. Протопоповой [81], и может быть реализована также и в трехмерном случае. Метод расщепления, но физическим процессам может быть эффективно применен для численного исследования конвекции с учетом зависимости вязкости от температуры, а также в произвольной области с достаточно гладкой границей.

Таким образом, тема диссертации является актуальной как с точки зрения математического моделирования конвективных процессов, так и с точки зрения численного моделирования движений в слабых силовых полях и построения численных алгоритмов для исследования задач конвекции.

Диссертация состоит из Введения, четырех Глав, Заключения и Списка литературы и изложена на 243 страницах. В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [161]-[174].

Основные результаты, полученные в диссертации.

1. Исследована корректность начально-краевой задачи для классических уравнений конвекции (уравнений Навье —Стокса в приближении Обербека —Буссинеска) с вязкостью, зависящей от температуры. Вопрос о единственности решения является принципиальным, поскольку стандартными приемами, с помощью которых доказывается теорема единственности для изотермических движений, здесь воспользоваться не удается. В двумерном случае доказаны теоремы существования и единственности глобального по времени сильного решения, а затем и единственность слабого решения типа Хоифа.

2. Для модели микрокопвекции изотермически несжимаемой жидкости, используемой для исследования конвекции в слабых силовых полях и в микромасштабах и характеризуемой песолепоидальпостыо ноля скоростей, изучены инвариантные решения в бесконечной полосе, занятой жидкостью, в случае, когда поток тепла па границе колеблется в нротивофазе.

Изучена нестандартная начально-краевая задача для нагруженного уравнения, возникающая при построении данного инвариантного решения.

3. В канонических областях с твердыми непроницаемыми границами численно исследованы нестационарные режимы микрокоивекции для модельных жидкостей типа глицерина, расплавов кремния и стекла. Подтверждены количественные и качественные отличия в характеристиках течений, рассчитанных в рамках классической модели и модели микрокоивекции изотермически несжимаемой жидкости. Величины скоростей, рассчитанных по модели микрокоивекции, могут па три порядка превышать те, что предписываются традиционной моделью. Существенно различается структура течения, его топология, развитие во времени, а также траектории движения жидких частиц.

4. Численно исследована стационарная микроконвекция в областях со слабо деформируемой свободной границей. Расчеты проведены для различных значений чисел Праидтля, Марангопи и Рэлея, а также с учетом резко меняющегося граничного температурного режима. Количественные различия в величинах скоростей значительно меньше, чем в нестационарном случае. Численно подтверждено, что учет несолепоидальности в стационарных задачах микрокоивекции ведет к поправкам порядка числа Буссинеска. Выявлены ситуации, когда в стационарных задачах микрокоивекции различия в результатах, полученных с использованием классической модели и модели микрокоивекции, проявляются довольно ярко. Эти ситуации предусматривают дополнительное моделирование большого градиента в тепловом граничном режиме.

5. Изучены уравнения конвекции слабо сжимаемой жидкости, которые могут применяться и для исследования конвекции в условиях микрогравитации и в микромасштабах. Построены инвариантные решения в бесконечной полосе, занятой жидкостью, в случае, когда поток тепла на границе колеблется в фазе, а не в противофазе, как того требовала модель микроконвекции изотермически несжимаемой жидкости. Исследована корректность в классах гельдеровских функций начально-краевой задачи для уравнений конвекции слабо сжимаемой жидкости с температурным условием третьего рода на границе области.

6. Предложен численный метод исследования конвективных движений жидкости в замкнутых областях с твердыми непроницаемыми границами па основе расщепления по физическим процессам. Расщепление на два этапа, условно названных конвективным и диффузионным переносами, проведено для уравнений конвекции, записанных в физических переменных. Этап конвекции реализован для вектора скорости. На этапе диффузии осуществлен переход к новым искомым функциям — вихрю и функции тока для двумерных задач и ротору скорости и векторному потенциалу для трехмерных задач. Расчет организован с использованием прогонки с параметрами (двухполевого безытерациопиого метода расчета вихря скорости и функции тока), позволяющей точным образом в разностном смысле удовлетворить на границе следствиям условий прилипания. Предлагаемый метод расщепления обладает также свойством энергетической нейтральности ноля скоростей, а его реализация позволяет экономично организовать процесс вычисления. Тестирование метода проведено па известных задачах о свободной конвекции в кювете при подогреве одной грани.

Полученные результаты в первую очередь связаны с исследованием конвективных движений жидкости в условиях микрогравитации, по могут быть использованы при анализе течений в микромасштабах и выявлении пебуссииесковских эффектов. Результаты получены благодаря развитию и применению математических методов для исследования корректности задач в теории конвекции, с выводом новых математических моделей конвекции, с построением точных инвариантных решений, а также с разработкой численных алгоритмов решения задач конвекции. Они имеют весьма общий характер и широкий диапазон применения в различных прикладных вопросах. Результаты исследования нашли свое отражение в ряде статей, обзоров, монографий, представлены в докладах и трудах многих научных конференций. По материалам исследований прочитаны спецкурсы и проведены спецсеминары по математическому моделированию движений жидкостей в слабых силовых нолях, по численным методам исследования конвективных движений. Некоторые аспекты математического моделирования конвекции предложены в качестве тем исследования, по которым выполнены курсовые и дипломные работы.

В 1995;2005 гг. работа поддерживалась грантами Российского Фонда Фундаментальных Исследований, программой Комплексных Интеграционных Проектов СО РАН, грантами Президента Российской Федерации поддержки ведущих научных школ РФ, Фондом Гумбольдта.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Исследованы новые математические модели в теории конвекции: модель микрокопвекции изотермически несжимаемой жидкости и модель конвекции слабо сжимаемой жидкости. Для классических уравнений конвекции с учетом зависимости вязкости от температуры в двумерном случае, как и в теории уравнений Навье — Стокса, полностью решены вопросы, связанные с корректностью постановок начально-краевых задач. Для классических уравнений конвекции предложены методы численного исследования двумерных и трехмерных задач на основе расщепления по физическим процессам.