Двухфотонные надпороговые процессы в атомах и многозарядных ионах

Исследование однофотонных процессов взаимодействия атома с электромагнитным полем (фотоэффекта, поглощения и излучения кванта, тормозного излучения) было одной из первых задач квантовой механики [1,2]. Вскоре после создания квантовой механики были рассмотрены также некоторые двухфотонные процессы, например, рассеяние света на атоме [3], появляющееся лишь во втором порядке теории возмущений, и двухфотонный распад [4], преобладающий над однофотонным при запрете последнего правилами отбора. Расчет этих процессов основывался на малости постоянной электромагнитного взаимодействия и проводился по теории возмущений. В те же годы было указано на принципиальную возможность многофотонных процессов [I], однако их систематического исследования длительное время не проводилось в силу крайне малой вероятности таких процессов при использовании обычных оптических источников. Положение изменилось с созданием квантовых генераторов излучения, поскольку высокая интенсивность световых пучков, достигаемая в них, сделала возможным наблюдение многофотонной ионизации, генерации гармоник, вынужденного комбинационного рассеяния и других многофотонных процессов. Первоначально (в 1960;х — 1970;х гг.) напряженности полей F в лазерах хотя и были достаточны для проявления эффектов, нелинейных по интенсивности излучения, но не достигали внутриатомных Fat ^ 5×109 В/см. При этом взаимодействие атомов с лазерным излучением происходит в пертурбативном режиме, поэтому параметры лазер-атомного взаимодействия по-прежнему могли быть рассчитаны по теории возмущений (в ее высших порядках). В дальнейшем пиковые значения напряженности поля в коротких лазерных импульсах стали достигать и даже превосходить характерные внутриатомные напряженности. В таких полях возникают качественно новые закономерности в нелинейных взаимодействиях атома с полем (например, наличие платообразной структуры в спектрах фотоэлектронов при надпороговой ионизации и в спектрах высших гармоник), которые принципиально не могут быть описаны в рамках теории возмущений.

В современных лазерных экспериментах с атомарными газами используется интенсивное когерентное излучение в ультрафиолетовой области частот. Его получают генерацией высоких (вплоть до 27-й) гармоник лазеров оптического диапазона (см., напр., [5,6]) и в лазерах на свободных электронах [7,8,9,10,11]. Несмотря на то, что интенсивность I излучения этих источников может достигать атомной, Iat «1016 Вт/см2, процессы в таких полях протекают в пертурбативном режиме, так что взаимодействие атома с полем можно учитывать в рамках теории возмущений. (Так, в недавней работе [8] приводятся результаты по многоэлектронной ионизации ксенона в поле лазера на свободных электронах с интенсивностью порядка 1016 Вт/см2 при энергии фотона hu = 93 эВ, которые полностью описываются в рамках теории возмущений [12]). Это связано с тем, что применимость теории возмущений в сильном поле определяется не его интенсивностью, а отношением средней колебательной энергии свободного электрона в волне Up = е2F2/(4тю2) к энергии фотона Ни [13], которое, например, в условиях работы [8] имеет малость ~ 1СГ3. Таким образом, создание лазерных источников с большой энергией кванта привело к «возвращению» пертурбативных методов в теорию взаимодействия электромагнитного излучения (даже достаточно высокой интенсивности) с атомами.

Создание источников излучения в ультрафиолетовой области частот, о которых говорилось выше, а также развитие методов нелинейной лазерной спектроскопии высоковозбужденных атомных уровней (для которых уже энергия фотонов оптических частот превосходит энергию связи) делают актуальным исследование надпороговых процессов в атомах.

Термин «надпороговый» означает, что в случае перехода между связанными состояниями атома (напр., рэлеевское или рамановское рассеяние фотонов) энергия падающего фотона превышает энергию связи Eq начального состояния атома (так что открыт канал однофотонной ионизации), а в случае многофотонной ионизации — что ионизация происходит с поглощением большего числа фотонов N + К (К = 1, 2,.), чем это необходимо в соответствии с законом сохранения энергии: Eq + NFuj > 0. В условиях применимости теории возмущений наибольшие вероятности среди многофотонных надпороговых процессов имеют двухфотонные, изучению которых посвящена настоящая диссертация. Главную трудность при расчете характеристик многофотонных процессов (атомных восприимчивостей и сечений) представляет вычисление сумм по промежуточным состояниям, которое очевидным образом усложняется в надпороговом случае. В настоящее время задача расчета двухфотонных процессов (в нерелятивитском дипольном приближении) полностью решена лишь для атома водорода. Компактное аналитическое выражение для поляризуемости основного состояния было получено в [14] (см. также [15]), а его обобщение на случай произвольных состояний в [16] (только для скалярной части a (w)) и в [17]. В [17] получено также замкнутое аналитическое выражение для сечения двухфотонной ионизации состояний с произвольными квантовыми числами п, I.

Методы расчета многофотонных процессов в сложных атомах можно разделить на многочастичные и одночастичные. В многочастичных расчётах, проводимых ab initio, в большинстве случаев используют хартри-фоковский подход и его модификации, позволяющие более точно учесть межэлектронное (корреляционное) взаимодействие при вычислении волновых функций и дипольных матричных элементов. В последние годы был предложен ряд таких подходов. Так, в [18] для расчета поляризуемости атома кислорода использовался многоконфигурационный метод Хартри-Фока. Хорошие результаты дает нерелятивистское и релятивистское «одинарно-двойное приближение» (single-double approximation) в рамках метода Хартри-Фока [19]. Этот подход использовался в [19] для расчёта спектроскопических характеристик атома рубидия, а в [20] — цезия и франция, но уже с более точным учётом межэлектронного взаимодействия. В работе [21] постоянные ван-дер-ваальсова взаимодействия атомов щелочных металлов с атомами гелия рассчитывались с учётом поляризации атомного остова в рамках хартри-фоковского метода и приближения случайных фаз. Следует иметь в виду, что несмотря на достаточно детальное развитие многочастичные методы не позволяют с высокой точностью вычислять волновые функции высоковозбужденных уровней. Поэтому при расчёте амплитуд приходится вычислять линейный отклик атома на внешнее возмущение путём прямого численного интегрирования уравнения Шредингера, добавляя оператор возмущения к гамильтониану атома, или ограничиваться учётом конечного числа членов в сумме по промежуточным состояниям, пренебрегая вкладом непрерывного спектра. Последний вариант технически проще первого, но он не может корректно учесть специфику надпороговых переходов.

В одночастичных методах расчёта поляризуемостей, которые развиваются с середины 1950;х г. г. (см. обзор [22]), принимаются во внимание только переходы оптического электрона в поле атомного остова с куло-новской асимптотикой на далёких расстояниях. Учёт многоэлектронных эффектов в этих методах осуществляется косвенно, например, через эмпирические значения энергии атомных уровней. Конкретные расчёты в одночастичном приближении основаны или на неявном суммировании по промежуточным состояниям путём решения неоднородного уравнения Шредингера для поправки к волновой функции в 1-ом порядке теории возмущений [23,24,25], или на использовании явных полуэмпирических выражений для функции Грина (ФГ) оптического электрона атома. Второй подход реализуется в методе квантового дефекта [26, 27] и методе модельного потенциала (ММП) Фьюса [28], причём в последнем случае удаётся существенно продвинуться в аналитических вычислениях и представить амплитуду процесса в виде однократного ряда гипергеометрических функций. Одночастичные методы не только технически значительно проще многочастичных, но и позволяют последовательно провести суммирование по промежуточным состояниям дискретного и непрерывного спектра. Не претендуя на прецизионную точность, одно-частичные методы позволяют сравнительно просто выполнить расчёты в широком интервале параметров задачи, а полученные результаты имеют приемлемую точность для использования в различных приложениях, не требующих прецизионных данных. Использование и развитие одно-частичных методов продолжается и в настоящее время. В частности, в работе [29] в рамках теории квантового дефекта предложена уточняющая процедура, основанная на замене волновых функций основного и нескольких возбуждённых состояний в ФГ на более точные волновые функции из ab initio расчётов. Использование указанной процедуры для расчёта поляризуемостей ряда атомов на частотах до первого резонанса [29] показывает хорошее согласие как. с результатами более строгих расчётов, так и с экспериментальными данными.

Надпороговая ионизация (НПИ) состоит в отрыве связанного электрона (с энергией связи 1^))' при поглощении им большего числа фотонов, чем минимально необходимо по закону сохранения энергии. Исследования НПИ были инициированы в 1979 г., когда при измерении энергетического спектра фотоэлектронов, образующихся при ионизации атомов Хе излучением, 2-й гармоники' неодимового лазера (fru> = 2.34 эВ) с интенсивностью / ~ 1013 Вт/см2, были обнаружены электроны с энергией Ei + 7Нш при пороговом числе фотонов К — б [30]. В дальнейшем такого рода эксперименты неоднократно проводились с другими атомами при значительно большей интенсивности оптического излучения (см., напр., ссылки в книге [31]), причём при минимально необходимом для ионизации числе фотонов N ж 10 добавочное число поглощённых фотонов К достигало значительной величины. Попытки теоретического описания этих результатов в рамках теории возмущений по взаимодействию атома с полем не приводили к согласию теории с экспериментом, а после обнаружения в спектрах надпороговых электронов ярко выраженных эффектов плато (неубывания сечений ионизации в широком диапазоне значений К) [32] стало ясно, что процесс НПИ в интенсивном поле оптической частоты (с fru- <�С носит существенно непертурбативный характер и определяется не столько структурой спектра конкретного атома, сколько движением свободного электрона в сильном световом поле.

Иная ситуация сложилась в последние годы с появлением достаточно интенсивных источников когерентного излучения в ультрафиолетовом диапазоне с энергией фотонов вплоть до десятков эВ и интенсивностью до 106 Вт/см2 в частности, с использованием высших гармоник интенсивного излучения фемтосекундных лазеров, а также лазеров на свободных электронах. В этом случае ионизация возможна уже при поглощении одного фотона, причём, если энергия фотона существенно превосходит Ei, то теория возмущений применима для полей с интенсивностью /, сравнимой с внутриатомной (см., напр., [33]), так что сечение НПИ существенно определяется структурой атома. Сечения двухфотонной НПИ в высокочастотном поле впервые были измерены в недавних экспериментах по ионизации благородных газов (Не, Аг и Хе) 5-й гармоникой KrF лазера (с энергией фотона 25 эВ) [34] и гелия 27-й гармоникой титан-сапфирового лазера (с fiw = 41.8эВ) [35]. Аналогичные исследования проводились также с использованием лазеров на свободных электронах [8,9, 10,11]^. Поэтому представляет интерес дальнейшее развитие методов расчёта НПИ многоэлектронных атомов с учётом структуры конкретного атома в рамках теории возмущений по полю. В этом подходе НПИ атома водорода, как двухфотонная [38,39,40,41], так и многофотонная [42,43,44], была подробно исследована более 20 лет назад.

В [36] сообщается также о наблюдении двухфотонной НПИ гелия лазером на свободных электронах с tiuj = 13 эВ, однако эти результаты сомнительны (см. работу [37] и ссылки в ней).

Однако пертурбативный расчёт двухфотонной НПИ многоэлектронных атомов даже в приближении одного активного электрона представляет собой значительно более сложную и менее исследованную проблему. В частности, при fko > Ег использование известного метода Далгарно-Левиса [23] для расчёта поправочных функций ф^пг) n-го порядка теории возмущений, основанного на численном интегрировании зацепляющихся неоднородных дифференциальных уравнений для поправочных функций г) (к = 1,2,., п), становится неэффективным, поскольку в надпороговом случае уже является осциллирующей функцией г в отличие от подпорогового случая, когда функции экспоненциально затухают при больших г). В работе [45] амплитуда НПИ атомов щелочных металлов в рамках теории квантового дефекта исследована с помощью специальной вычислительной процедуры, основанной на разделении функции конечного состояния на слагаемые с асимптотикой расходящихся и сходящихся волн и повороте контура интегрирования в комплексной плоскости г. В [46,47] предложен метод расчета многофотонных матричных элементов НПИ в многоэлектронном приближении, основанный на дискретизации состояний непрерывного спектра и использовании В-сплайнов. Процесс двухфотонной одноэлектронной НПИ гелия является конкурирующим при исследованиях двухфотонной двух-электронной ионизации, которые активно ведутся в ряде лабораторий, и в этой связи анализировался в ряде работ на основе различных методов численного решения точного уравнения Шрёдингера для атома гелия в электромагнитном поле [48,49] (см. также [50,51]). Однако точные методы расчёта НПИ достаточно громоздки, требуют большого объёма вычислений и, как результат, сечения НПИ могут быть получены лишь в весьма ограниченном интервале параметров лазерного излучения (преимущественно для случая линейной поляризации).

Особо следует отметить задачу расчёта спектроскопических характеристик многозарядных ионов, состоящих из относительно небольшого количества электронов в поле массивного ядра. Актуальность таких t расчётов обусловлена тем, что с созданием источников высокочастотного излучения (о которых говорилось выше) появилась реальная возможность экспериментального наблюдения упругого и неупругого рассеяния рентгеновского излучения, включая рассеяние на внутренних оболочках тяжёлых атомов или многозарядных ионов. Интерес к многозарядным ионам обусловлен также исследованиями высокотемпературной плазмы, задачами астрофизики и др. Важной особенностью многозарядных ионов, отличающих их от нейтральных или слабоионизованных атомов, является их существенно релятивистский характер, особенно заметно проявляющийся с увеличением заряда ядра Z и уменьшением числа электронов иона. Так, характерная скорость электрона в Н-ионе с зарядом Z составляет aZc. Поэтому последовательная теория таких систем должна строиться на релятивистской основе, с учётом того, что релятивистские эффекты в них составляют не малые поправки, а существенно определяют порядки и спектральных характеристик (частот переходов, интенсивностей спектральных линий, сечений рассеяния света и др.). Таким образом, теория многозарядных ионов (в т.ч. их взаимодействия с электромагнитным полем) фактически является одним из приложений квантовой электродинамики и требует развития как общего формализма вычисления вероятностей переходов, так и методов расчета фейнмановских диаграмм для связанного электрона. К настоящему времени детально исследованы однофотонные процессы в Н-подобных ионах [2]. Общий формализм, позволяющий получать расчётные формулы (в том числе) для амплитуд многофотонных процессов в многозарядных ионах, был развит в [52] с использованием методов квантовой теории поля (S'-матричного подхода в картине Фарри, т. е. в случае, когда электроны находятся в связанных состояниях). Его существенной составляющей является использование релятивистских кулоновских функций Грина (РКФГ). В [52] получены штурмовские разложения для радиальных частей РКФГболее компактные формы для них получены в [53]. Расчёты со штурмовскими разложениями РКФГ во многом аналогичны нерелятивистским: при энергиях функции Грина из области дискретного спектра они дают быстро сходящиеся’ряды для матричных элементов связанно-связанных переходов, при энергиях функции Грина из области непрерывного спектра эти ряды расходятся.

Основной целью диссертации является развитие методов расчёта амплитуд надпороговых переходов в атомах и многозарядных ионах и расчета на их основе: динамических поляризуемостей сложных атомов (щелочных металлов и благородных газов) на частотах, превышающих порог ионизации атомаполных сечений и угловых распределений фотоэлектронов в процессах двухфотонной ионизации атомов (щелочные металлы и гелий) на частотах, превышающих порог ионизации атомарелятивистских динамических поляризуемостей многозарядных водоро-доподобных ионов.

Вычисление поляризуемостей и сечений двухфотонной ионизации при надпороговых частотах проводится в настоящей работе на основе наиболее удобного в техническом отношении ММП Фьюса, о котором говорилось выше. Псевдопотенциал Фьюса, моделирующий воздействие атомного остова на валентный электрон [28], впервые был использован в [54, 55] для расчёта сил осцилляторов и сечений фотоионизации атомов. В [56,57] (см. также [58]) метод модельного потенциала был обобщён для расчёта матричных элементов высших порядков теории возмущений на основе техники функции Грина для потенциала Фьюса, для которой известно удобное представление (штурмовское разложение) в виде ряда по полиномам Лагерра. Однако использование штурмовского разложения приводит к расходящимся рядам для амплитуд надпороговых процессов (когда энергетический параметр функции Грина является положительным). Штурмовские ряды для динамической поляризуемости при надпороговых частотах удается сделать сходящимися, используя специальное переразложение функции Грина потенциала Фьюса, содержащее свободные параметры. При расчете по ММП амплитуды двух-фотонной НИИ этот метод неприменим из-за наличия осциллирующей волновой функции конечного состояния фотоэлектрона в континууме, > поэтому численное суммирование штурмовского ряда для амплитуды мы проводим с использованием стандартного^{-алгоритма} [59], аналогично вычислению амплитуды двухфотонной НПИ атома водорода [39]. Для вычисления релятивистской поляризуемости водородоподобных ионов в диссертации получено обобщенное штурмовское разложение (ОШР) ку-лоновской функции Грина уравнения Дирака, во многом аналогичное ОШР функции Грина в ММП Фыоса.

В первой главе изложены основные положения метода модельного потенциала Фьюса. В разделе 1.1 выписаны волновые функции для дискретного и непрерывного спектра, а также функция Грина (ее штурмовское разложение) для потенциала Фьюса. В разделе 1.2 приведено обобщённое штурмовское разложение функции Грина, позволяющее вычислять поляризуемости сложных атомов в надпороговой области частот.

Вторая глава посвящена вычислению динамических поляризуемо-стей (ДП) атомов щелочных металлов и благородных газов в широком диапазоне частот (в том числе и превышающих порог ионизации атома). В разделе 2.1 приведены некоторые соотношения, которыми поляризуемость определяет отклик атома на монохроматическое возмущение (в частности, квадратичный штарковский сдвиг) и выписаны общие формулы для поляризуемостей через радиальные матричные элементы. В разделе 2.2 изложена техника расчетов этих матричных элементов в ММП Фьюса при надпороговых частотах, основанная на ОШР функции Грина. В разделе 2.3 обсуждаются результаты численных расчётов.

В третьей главе вычисляются дифференциальные и полные сечения надпороговой двухфотоной ионизации атомов гелия и щелочных металлов. В разделе 3.1 приведены выражения для угловых распределений и полных сечений через радиальные матричные элементы. В разделе 3.2 показано, что амплитуды двухфотонной НПИ в методе модельного потенциала может быть рассчитана с использованием численных алгоритмов аппроксимации Паде. в разд. 3.3 приведены численные результаты для полных и дифференциальных сечений двухфотонной надпорого-вой ионизации. Анализируется зависимость угловых распределений фотоэлектронов от знака степени эллиптичности излучения (явление эллиптического дихроизма) в надпороговой области частот. в последней четвёртой главе рассматривается динамическая поляризуемость многозарядных водородоподобных ионов при надпороговых частотах. в разд. 4.1 излагаются основные положения релятивистской теории водородоподобного иона. В разд. 4.2 получены обобщённые штур-мовские разложения для радиальных частей функции Грина. в разд. 4.3 получено явное выражение для релятивистской скалярной ДП через радиальные матричные элементы, приведены результаты численных расчетов ДП и сравнение их с результатами других работ.

Приложение содержит справочный математический материал и некоторые выкладки.

Основные результаты гл. 2 опубликованы в работах [60,61,62,63], гл. 3 — в работах [64,65,66,67], гл. 4 — в работах [68,69,70].

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ.

ДП динамическая поляризуемость.

ДФИ двухфотонная ионизация.

ММП метод модельного потенциала.

НПИ надпороговая ионизация.

ОШР обобщённое штурмовское разложение.

РКФГ релятивистская кулоновская функция Грина i.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Разработана техника расчёта амплитуд связанно-связанных двухфотонных надпороговых переходов в атомах, основанная на обобщенном штурмовском разложении функции Грина для модельного потенциала Фьюса.

2. Рассчитаны динамические поляризуемости атомов щелочных металлов и благородных газов в области надпороговых частот.

3. Предложен алгоритм расчета амплитуд связанно-свободных двухфотонных надпороговых переходов в рамках метода модельного потенциала Фьюса, основанный на применении аппроксимаций Паде к суммированию расходящегося штурмовского ряда для амплитуды.

4. Рассчитаны полные и дифференциальные сечения надпороговой двухфотонной ионизации атомов щелочных металлов и атома гелия.

5. Получены обобщенные штурмовские разложения (со свободным параметром) радиальных частей кулоновской функции Грина уравнения Дирака.

6. С использованием обобщенного штурмовского разложения релятивистской кулоновской функции Грина рассчитаны дипольные динамические поляризуемости многозарядных ионов в области частот, превышающих энергию связи электрона в ионе.

Заключение

.

В диссертации развиты специальные методы для расчета параметров двухфотонных процессов в атомах и многозарядных ионах при надпороговых частотах и на их основе проведён количественный анализ поляризуемостей и сечений двухфотонной ионизации некоторых многоэлектронных атомов, а также поляризуемостей многозарядных водородо-подобных ионов.