Асимптотические разложения, ограниченность и устойчивость решений функционально-дифференциальных уравнений n-го порядка с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве

Широкий спектр приложений, где используются дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, особенно дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы с последействием, способствует увеличению интереса к изучению абстрактных функционально — дифференциальных уравнений.

Число разнообразных прикладных задач, поставленных с учетом запаздывания, возрастает из года в год. Такие задачи возникают в ' Н^ббСной механике, в физике, в биологии, экологии, в ряде экономических проблем и в других науках.

Наибольшее применение нашла эта теория в современной технике, где имеются колебательные процессы в системах с последействием и в системах с запаздывающими связями, в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем. Наличие запаздывания в авторегулируемой системе, например, может существенно сказаться на ходе процесса. Могут возникнуть самовозбуждающиеся колебания и даже не устойчивость системы.

Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, которыми описываются процессы в реальных системах, вообще говоря, являются нелинейными. Однако при решение задач, особенно практических, их приближенно заменяют линейными. Поэтому основное внимание обращают на линейные уравнения с отклоняющимся аргументом.

Основы теории операторно-дифференциальных уравнений были заложены в конце 40-х, в начале 50-х годов в работах Э. Хилле и Р. Филипса [44], К. Иосиды [23], Т. Като [25]. Хилле и Иосида получили первые теоремы существования решений задачи Коши для уравнения ял=Ах с неограниченным операторам, А в банаховом пространстве, сформулированные в терминах теории полугрупп операторов. В работе Като была получена теорема существования решения задачи Коши для уравнения х'= Ах с переменным неограниченным оператором A{t).

В последующие годы эта теория превратилась в большую самостоятельную область исследования. Ей посвящены целый ряд монографий отечественных и зарубежных математиков, занимающихся данными вопросами. Назовём здесь работы Э. Пинни [39], Р. Беллмана, К. Кука [17], Дж. Хейла [43], А. Д. Мышкиса [36] и Н. В. Азбелева [2], Р. Г. Алиева [11] и др.

Большой вклад в развитие этой теории внесли советские ученые. Систематическим изучением уравнений с отклоняющимся аргументом в нашей стране начал заниматься после 40-х годов А. Д. Мышкис [36,37], а с 50-х годов Л. Э. Эльсгольц [45], H.H. Красовский [30], С. Б. Норкин [38]. Ими изучались скалярные уравнения. Исследованию абстрактных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве посвящены работы М. Г. Крейна [21], С. Г. Крейна [31], Р. Г. Алиева [11].

Позже исследование в этом направлении продолжили такие математики, как В. Б. Колмановский [26], В. Г. Курбатов [32], Г. А. Каменский, А. Л. Скубачевский [24] и т. д.

С 60-х годов теорию уравнений с отклоняющимся аргументом успешно начала развивать группа математиков под руководством Н. В. Азбелева [2].

Одной из важных проблем при изучении дифференциальных уравнений и их приложений является проблема описания характера поведений решений при больших их значениях независимой переменной и по отношению к возмущениям начальных данных.

Устойчивость решений дифференциальных уравнений — понятие качественной теории, разрабатывающиеся особенно в связи с вопросами устойчивости в механике имеет важное значение для приложений в технике. Современную строгую теорию устойчивости равновесия и движения механических систем, определяемых конечным числом параметров, создал А. М. Ляпунов. С математической стороны этот вопрос сводится к исследованию предельного поведения решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений при стремлении независимого переменного к бесконечности. До работ Ляпунова вопросы об устойчивости обычно решались по первому приближению, т. е. путем отбрасывания всех нелинейных членов уравнений, причем не выяснялась законность такой линеаризации уравнений движения. Выдающаяся заслуга Ляпунова — построение общего метода для решения задач об устойчивости. Точная и строгая теория устойчивости создана А. М. Ляпуновым в 1892 году в основном труде — докторской диссертации «Общая задача об устойчивости движения».

Из работ, посвященных асимптотическому поведению решений в случае скалярного уравнения, укажем на монографию Р. Беллмана, К.Кука.

17], в которой установлена связь между распределением корней характеристического квазиполинома и поведением решения при больших г для случая уравнения с запаздывающим аргументом.

70м'(/) + 60 м (0 +^1М (/ -£У) = 0, / €(-00,00), где а0, Ь0УЬ1 — действительные числа, са> 0.

Вопросы асимптотического поведения решений в случае операторного уравнения = / е (-оо,+оо), И, =- —, где, А некоторый постоянный оператор, рассмотрены в работе Ш. Агмона и Л. Ниренберга [52]. В этой статье выведены асимптотические формулы для решений экспоненциального роста при условии, что спектр оператора, А состоит из собственных значений, расположенных (за исключением разве лишь конечного числа) в некотором двойном угле меньшем /г, содержащем мнимую ось.

Эти результаты были распространены А. Пази [59] на уравнения, коэффициенты которых отличаются от постоянных на экспоненциально убывающие слагаемые.

Для решений параболических и эллиптических краевых задач в цилиндре подобные асимптотические формулы были получены В. А. Кондратьевым [28,29].

Асимптотические формулы для решений уравнения — = 0, /е (-оо,+оо), в случае, когда переменный оператор

Л (() стремится при / -> оо в некотором слабом смысле к постоянному оператору, А были получены М. А. Евграфовым [22]. Им же получены условия устойчивости по Ляпунову и различные их обобщения в случае уравнения с постоянными и переменными операторными коэффициентами. Вопросы устойчивости уравнения и{ 0 — А (ф (0 = О, / е (-оо,+оо), в случае когда /Л (/) является производящим оператором полугруппы или ограниченным оператором рассмотрены в работах Ю. Л. Далецкого, М. Г. Крейна [21] и С. Г. Крейна [31].

Дифференциальному уравнению произвольного порядка вида.

Ц⁰¹)^01пи (0+ХА"ут/и (0 = 0, Э/ 7 = 0/€(-оо,-ко).

7=0 Г Ш с неограниченными операторными коэффициентами AnJ, ] = 0,., л-1 в гильбертовом пространстве посвящены совместные работы В. Г. Мазья и Б. А. Пламеневского [33], Б. А. Пламеневского [40], З. И. Рехлицского [41,42]. Они обобщили асимптотическую формулу Агмона-Ниренберга на случай операторов с переменными коэффициентами, распространили теорему Евграфова на уравнения произвольного порядка.

В последние годы вопросы устойчивости решений скалярных т уравнений с запаздыванием вида *'(/) = ах (1) —^Ькх (1 — гк (/)), /> О, где к=1 а, Ьк, к = 1,., п -1 — вещественные числа, причем Ьк > О, к = 1,1, гк, к = -1 -измеримые, неотрицательные, ограниченные функции, рассматривались в работах В. В. Малыгиной [34].

Вопросами разрешимости и изучением свойств решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовых пространствах занимался В. В. Власов [19,20].

Операторно-дифференциальное уравнение первого порядка с отклоняющимся аргументом с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве т.

А/0) = /(0 (0.0.1) в пространствах с экспоненциальным весом изучено Р. Г. Алиевым.

9−12]. Получены асимптотические разложения решений этого уравнения. В этих же пространствах изучено уравнение первого порядка с линейным отклонением аргумента вида т у=0 и получены асимптотические разложения решений этого уравнения.

В работах [9,10] рассматриваются частные случаи уравнения (0.0.1) т о и т.

— 2 А] - (0) = Л0, получены условия, при которых решения этих уравнений являются ограниченными и устойчивыми. Глубокое исследование таких уравнений стало возможным благодаря успешному применению методов функционального анализа, метода преобразования Фурье и методов, подсказанных спецификой уравнений с отклоняющимся аргументом впервые примененных в этих работах.

В работе JI.M. Алиевой [13] исследовано асимптотическое поведение и устойчивость решений функционально-дифференциального уравнения второго порядка.

1−1 т.

Lpou (t) = D? u (t) —? YXA" + Akj{t)Sh h Dkt: u (0 = ДО, (0−0.2) o j=о с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Вопросы разрешимости уравнения (0.0.2) на всей оси рассмотрены в работе Асила М. [15], а в случае полуоси, т. е. начальной задачи, в работе Аджиевой Х. И. [1].

В настоящей диссертации исследовано асимптотическое поведение, ограниченность и устойчивость решений для уравнения пго порядка л-1 т.

А" и (0- I Zt4y + ^0]Vv<)D< «(<) = ДО, (0.0.3) к=0 j=0 получены асимптотические разложения решений этого уравнения (0.0.3) из некоторого класса по решениям однородного уравнения л-1 т.

А" и (0 -ES Л,•£>>(' - hkj) = 0, (0.0.4) а=О -=о где Ак, = lim Ак- (/), hkj = lim hkj (/), а также доказаны теоремы об.

7 /-«00 J J /—"со 7 устойчивости и ограниченности решений уравнений (0.0.3) и (0.0.4). Вопросам разрешимости уравнения (0.0.3) посвящены работы Чан Р. 45−47], Эмировой И. С. [49−51].

В основу получения результатов были положены методы, разработанные Р. Г. Алиевым, методы функционального анализа, теории функций комплексного переменного, теории устойчивости, теории линейных операторов, а также метод преобразования Фурье. В работе использованы следующие обозначения и определения: X, Y — гильбертовы пространства, X с Y, |-|| > |-|| ;

Z (X, Y) — множество линейных ограниченных операторов из X в VZ0(X, Y) — множество линейных замкнутых операторов изХ в УZ00(X, Y) — множество линейных вполне непрерывных операторов из Хв Y;

С-плоскость комплексного переменного;

C°°(G)-множество бесконечно-дифференцируемых на открытом множестве G функций.

Носителем определенной и непрерывной на открытом множестве G функции u (t) называется множество: u (t) ^ 0}n G.

Функция и (/) е X называется сильно непрерывной в точке /0, если ||w (0-" M|-r ->0 при /->/0.

Обозначим через L ((/0,со), Г) — пополнение множества сильнонепрерывных функций с компактными носителями и со значениями в Г по норме ||/||2=]||/(/)||2кЛ. о.

К° =('о>+00).

Введем пространства: J" -" - пополнение множества функций u{t), u (t) = О, / </0, с компактными носителями и со значениями в X, имеющие сильно непрерывные пе производные в К по норме я—I ««2 и 2.

U =.

Jexp (2aO (Z|KA) (0\х + ||и (я) (0||к)dt.

Vo *=° г О, а 2 а = const е R;

У пополнение множества сильно непрерывных функций «(/),.

О = 0, t.

V’o 2.

HJ — множество абсолютно непрерывных в J cz R скалярных функций hit), таких, что ht) < г < 1 в точках существования производнойSHl) u (t) = u{t — h{t)), Sh (t): L2 (Л J-«'o>, X)->L2 (R'+°, X) — м (Л) = (m (/)) — преобразование Фурье функции u{t).

Рассматривается начальная задача для уравнения пт Ик.

Lu (t) = D" u (t) — ]Г = (0−0-5) о у=о i at с начальными условиями и (4)(0 = я*(0, «(Л)(/о+0) = ^(/0), * = 0,1,., л-1, /</0, (0.0.6) где gk (г) — заданные функции.

Под решением уравнения (0.0.5) Lu (t) = f (t) понимается функция u{t), имеющая сильную абсолютно-непрерывную {п -1) производную в У и удовлетворяющая уравнению почти всюду.

Решение задачи (0.0.5), (0.0.6) обозначим через wg®(/), где g (0 = te0(0>gi (0v., g"-,(0).

Под начальной задачей для уравнения «-го порядка понимается задача, нахождения решения уравнения (рассматривающего) для t>t0> -оо, удовлетворяющего условиям и{к) (0 = gk (О, t < t о, и{к) (t0 + 0) = gk (/0), к-0,1,., /1−1, g (/)-вектор-функции g (0 = (?o (0, g|(0,., g"-i (0)ug (.t) W «решения начальной задачи.

Решение ug (/)(t) задачи (0.0.5), (0.0.6) называется устойчивым по.

Ляпунову, если для любого ?>0 существует S (t0,?) такое, что и из неравенства ||ед — gCO]^ ^ е)* ' - 'о> гДе любая другая начальная функция из А', следует неравенство ul (t) — «^(ОЦ^ - € ПРИ гДе под неравенствами понимаются п неравенств iM-Sk{t)\x k = 0,1,., nв каждом случае.

Если, кроме того, lim wf (i)(/)-wg (t)(/)]^ =0, то решение ug (t) (0 называется асимптотически устойчивым.

Линейный оператор А: Х ->У называется непрерывно обратимым, если выполнены условия: а) область значения ImA = Y б) оператор, А обратимв) А" 1 ограничен.

Если при Л = Л0 область значений ImЦЯ0) операторного квазипучка.

W-1 т плотна в пространстве X и оператор к=0 j=0.

ЦЛ0)обладает обратимым оператором Z," 1 (Я0) = Rp (Л0), то говорят, что комплексное число Я0 принадлежит резольвентному множеству р (Ар) оператора я-1 т.

А=0 у=0 +.

Оператор Лр (Я0) называется резольвентой оператора в точке.

Совокупность всех комплексных чисел Я, не принадлежащих резольвентному множеству р (Ар) называется спектром оператора Ари обозначается через аг (А).

Абстрактная функция. Пусть, А некоторое множество на числовой оси или на комплексной плоскости, а X — нормированное пространство (абстрактное). Функция м (/) с областью определения, А и областью значений в X принято называть абстрактной функцией числовой переменной или векторной функцией числовой переменной.

Преобразование Фурье функций из Ь (К, Я), где Ягильбертово пространство: если /(/) е Ь2(Я, Н), то функция.

1 *.

Р (Л) = 1л.т. .— называется преобразованием Фурье функции л/2 я: д г где под /./.т. понимается предел по Ь2 норме.

Преобразовании Фурье для всякой функции ДО е Ь2(Я, Н) 1 00 определяется формулой /(Х) = —==]е~ш/(1)с11.Есп]. ДО е Ь2(К", Н), л/2 лоо то.

ДА) = (2л-)~* /е-'^ДОА, функция ДО = (2/г)" 2 /^^/(Л^Л.

Л" Л" называется обратным преобразованием Фурье функции £(Л).

Теорема Планшереля [231. Если ДО е Я — гильбертово 1 ^ пространство, то функция /(А) -И.т.—¦== Гехр (—/Д/)Д/)Л существует л/2 к и 7(0 еь2 (Я, Я). При этом ]||7(я£^ = ]||/(/)||^/,.

— с" -А/ 1.

ДО = /.!./и.-= [ехр (Ш)7(Я)^Я. л/2 лд г.

Если Im Я = а * 0, то.

— к"+/а 2 2 00 f ||7(Я)||наЯн J ||7(Л)||н dA = Jexp (2aOfl/(0||" dt.

— оо-на 1тЛ=ада.

Теорема Пели — Винера [23]. Целая голоморфная функция является ~ 1 00 преобразованием Фурье /(Я) = — |ехр (-*Я0/(0^ функции a/2/г оо i) е, носитель которой содержится в отрезке ^ Л пространства.

R тогда и только тогда, когда для любого целого N существует положительная постоянная CN такая, что.

7(Я)|я<�С"(1+И)~" ехр (а|1шЯ|).

Лемма РиманаЛебега [23]. Если.

00 00.

ДО е (Я, Я), то lim jДО sin ptdt = lim f ДО cos= О p—>00 J p—>00 -00 ' -oo.

Теорема Коши [35]. Если /(z) аналитическая в некоторой полосе, а < Im z < b,, причем /(z) равномерно стремится к нулю при |z| -> оо в этой полосе, то контур интегрирования можно произвольно деформировать в этой полосе. В частности, все контуры Im z — с эквивалентны между собой, т. е. интеграл J/(z)dz не зависит от с при а<�с<�Ь .

Im z=c.

Формула Коши [35]. Пусть /(z) регулярная функция внутри ограниченной области D, непрерывная в замкнутой области D = Dkj Г. Тогда функция /(z) имеет производные всех порядков в области Z), п) / ч и! f f (Z)d? которые выражаются gK '(z) J ^ * «= 1,2, — •.

Основная теорема теории вычетов [35]. Пусть f (z) является аналитической функцией всюду в замкнутой области G, за исключением конечного числа изолированных особых точек — полюсов 2к, к = 1,.,", лежащих внутри С. Тогда |/(г)йг — 2т^ гев/(г), 2к ] гв л=1.

Оператор А: Х -> У называется замкнутым, если из хп —> лг, хп е X, Ах&bdquo- —> у при л —" оо следуеует, что хеХ, Ах-у.

Оператор А'.Х —> У называется ограниченным, если для любого иеХ выполнено неравенство Аи < С||м||у. Наименьшее значение константы С называется нормой И^у оператора А. Ограниченный оператор непрерывен.

Непрерывный линейный оператор, определенный на всем пространстве X, ограничен. Замкнутый оператор, определенный во всем пространстве, ограничен.

Если оператор, А замкнутый и имеет обратный А~ то А'1- замкнут. Если, А — замкнутый оператор, то, А + В, где В ограниченный на области определения оператора, А оператор, также замкнутый оператор. Если оператор, А имеет ограниченный обратный, то Азамкнут. Вместе с оператором, А замкнут или не замкнут оператор (А — ЛЕ) (с областью определения В (А)), поэтому если существует ограниченный обратный оператор (А — ЛЕ)'1, то оператор, А замкнут.

Линейный оператор называется вполне непрерывен, если он определен на всем пространстве X и отображает каждое ограниченные в X множество в компактные множества в У.

Ограниченный линейный оператор А (1) называется сильно непрерывным, если ||/4(/ + к) — ->0 при Л-> 0. Оператор-функция.

А) называется регулярной функцией ЯеСсС, если в окрестности каждой точки Л0 е С имеет место разложения в сходящийся по равномерной норме степенной ряд R (A) =^Вк (А-А0)к, где Вкы о ограниченные операторы.

Если в каждой ограниченной части плоскости R (A) регулярна за исключением, быть может, конечного числа полюсов, то R (A) называется мероморфной функцией.

Функция, регулярная во всей комплексной плоскости, называется целой функцией.

Целая аналитическая функция /(z), удовлетворяющая неравенству |/(z)| < с exp (6|z|), где b = const, называется функцией экспоненциального типа.

Краткое содержание диссертации.

Объектом исследования диссертации является функционально-дифференциальное уравнение пго порядка с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве.

Ьро и{1) = ?>(/) — § X [Ац +Лу (0к,+М')А*" (0 = ДО, (0.0.7) о у=о где (Л^ + Ак] (/)): У -> У — замкнутые оператора, / е 7?, кц + Ик] (/) > 0, кц (0 е ЯЛ?, ?0 > -со,? = ОД-1 у = 0,1,., т. Кроме того.

Лу + Лу (ф: X У — ограниченный оператора, / е Я, к = 0,1,.и -1, у = 0,1,., т., X с. У, |х > Ц|у.

Наряду с уравнением (0.0.7) рассматривается и уравнение я-1 т.

Ьр и (0 = /)>(0-XX />,*"(/) = л/), (0.0.8).

А=0 у=0 получаемое из (0.0.7) приА^(г) = 0, ¿-¿-у (0 = 0, к = 0,1,.я -1, у = 0,1,., т. С уравнением (0.0.8) связан резольвентный оператор

I" ^ о у=о ;

У->Х. (0.0.9).

Полюсу резольвентного оператора Яр (Я) кратности р соответствует решение н,(0 = ехр (а, 0П (0 > (0−0.10) однородного уравнения (0.0.8), где РА (/) многочлен степени рс ограниченными операторными коэффициентами.

Исследуется асимптотическое поведение решений уравнения (0.0.7), а также рассматриваются вопросы ограниченности и устойчивости его решений.

Отдельно рассматривается уравнение с линейным отклонением аргумента п-1 т к=0 у=0 где Ak0(t) = Ак0= const, ак0 = 1, /с = 0, l,., m, 0<�а*у <1,.

Л/ (0″ (0||у ^ ехр{- а/^СОЦд, а = const, к = 0,1,., п -1, j = 0,1,., w, а также исследуется асимптотическое поведение решений этого уравнения.

Рассмотрены частные случаи уравнения (0.0.7): уравнение с постоянными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента л-1 т.

Lpu (t)^D?u (t)-j: ZAkJS. Dllu (0 = f (t), (0.0.8) к=0 j=о уравнение с переменными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента л-1 m.

L0u (t) = D? u (t)-Z = (0−0.11) к=О J=о.

В класс таких уравнений входят уравнения с частными производными с отклоняющимся аргументом и бесконечные системы уравнений.

Чтобы рассматриваемые уравнения содержали в себе дифференциальные уравнения без отклонения аргумента, полагаем также, что hk0(t) = hk0 = 0, к — 0,1,., л -1.

Для любых фиксированных значений t е R, X е С определим.

Rpo{X^{X" E-nt f. Akj+Akj{t)Y ехр{-ih{hkj + hkj (О)})-1, (0.0.12) к=0 у=0 называемый резольвентой оператора к=о у=о.

Для операторов п-1 /л А=0 У=0 И п-1 т А=0 у=0 частными случаями резольвенты оператора (0.0.12) будут.

1−1 /Я /• ч.

Яр (Я) Н (Д" £ - 2 2 ЛуА* ехр{- Шд,})-', (0.0.9).

Л=0 /=0 я-1 т г «.

Д0(Я,/) = (А" £- 2 I^(0А* ехр{- (О})" 1. к=о у=о.

Получены условия, при которых решения уравнения (0.0.7) из некоторого класса асимптотически приближаются решениями типа (0.0.10.). Получены условия, обеспечивающие ограниченность и устойчивость решений уравнений (0.0.7) и (0.0.8).

Диссертация состоит из двух глав, которые подразделены на 7 параграфов и списка литературы.

Первая глава посвящена вопросам асимптотического разложения решений начальной задачи (0.0.7), (0.0.6). Даются определения собственного элемента (р0 <=Х и присоединенных элементов (рх,(р2., Фкоператора.

1−1 т к=0У=0.

Доказано, что если Л0 -ккратный полюс резольвенты 11р (/1) из (0.0.9), то функция к-1.

0 = ехр (/Л0/)Ет1^-^ является решениями однородного уравнения (0.0.8). Устанавливается связь между решениями однородного уравнениями (0.0.8) и вычетами оператор-функции exp (iM)Rp (X)F (X), где F (X)-регулярная в некоторой полосе.

0 < Im Я < а функция, относительно полюсов Rp (Я) в этой полосе.

Во втором параграфе первой главе доказана Теорема 1.2.1. Пусть выполнены условия: a) AkJeZ0(V, Y), к = 0,1,.,"-1, У = 0,1,.,/я, AkJeZm (X, Y), к = 0,1,.," -1, / = 1,., т, ||^(0||у <�сехр (-£7/), t>tQ, к = 0,1,.," -1, j = 0,1,., т, а = const > 0- b) Rp (Я)-мероморфна, Ця" -1 RpWx = 0(1),|А| °о, 0 < 1шЯ < я, на прямой 1 т Л = <5 = а-£> 0, s > 0, нет полюсов Rp (Я) — с ехр (-я/), / > /0 + hkj, hkJ (/) g, sup п t+hkJ co, pkjQ) = t-hkJ-hkJ (t), k = 0,1,1, j = 0,1,., m, k + j>0- г) f (t)eY°R-°- д) u (t) — решение уравнения (0.0.7), uw (t)e LZ (R'+, Х), T= min inf>v (/)L = min t0, t0+hkJ, inf iZJZm I />/, J I i? jmin (t0,t0+hkJ).

Тогда для любого б> 0 имеется конечное число решений вида uv (t) = exp (Mvt)Pv (t), v = 1,2,., q, уравнение Lpu{t) = 0, где Лу — полюс резольвенты Яр (Л) в полосе 0<1шЯ1,<^', Pv (t) — многочлен с коэффициентами из X, степень которого на единицу меньше кратности полюса Л&bdquo-, что имеет место неравенство ехр (2(а — e) t) о.

U (k)(0−2>S4)(0 v=l С л-1 «» И о *=0'о где постоянная с не зависит от решения м (/) и его производных и (А)(0> к = 1,2,.л — 1.

В параграфе 1.3 рассматривается уравнение с линейным отклонением аргумента л-1 т.

Lu (t) = D>(0 — S S Лу CM V) = яо, h=0 y'=0.

0.0.13) где Ак0 (0 = = const, ак0 = 1, к = 1,2,., л -1, 0 < < 1, j = 1,2,., m КД0и (0||у ^сехр{-д/}||"(/)||^, д>0, к = 0,1,.," — 1, j = 0,1,2,-, m, с = const. Уравнение (0.0.13) перепишем в виде п;

Lxu (t) = D" u (t) —? Dt u{t) = 0, а также резольвента.

А=0 л-1.

Я, (Я) з (Я" £* - ^)" Для оператора. к=о.

Справедлива следующая Теорема 1.3.1. Пусть выполнены условия: a) Akj (t)Y.

— а akj к = 0,1,., п -1, j = 0,1,., m, а = const > 0- б)/?(Я) — мероморфна и.

B)/(i) s У°У;

Я" -1 Д (Я) 0(1), 0 < 1тЯ < аА г) Dt u (t)eL ((0,оо), ЛО, Л: = 0,1,., и-1, где u (t) решение уравнения (0.0.13).

Тогда для любого е > 0 существует конечное число решений вида м&bdquo-(/) = е'^у = 1,., <7 уравнения = 0, где Лу-полюс резольвенты (Я) в полосе 0 < 1 т Л < а —Б, ру (0- многочлен с коэффициентами из X, степень которого на единицу меньше кратности полюса Лу, что имеет место а-е)1 т (?)-±«1кЧ0я 2 с П-1 Ю.

1/(01^+1? К"(0]|гЛ.

О О Л к = 0,1,., п -1, где постоянная с не зависит от решения и его производных.

У" 0 (0.

Вторая глава посвящена изучению свойств решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве. Рассматривается уравнение.

0и (О = /(О, (0−0.14) где -0,? = 0,1,., л-1, еЯД?, ^(0:АГ->У.

— для любого фиксированного / е /?, /с = 0,1,., лг — 1, у = 1,2,., /и,.

0″ (0||у^для любого н (/)еХ к = 0,1,., п -1, ] = 0,1,2,., т.

Предполагается существование Нш, А (/) = А.-, Нш (/) = /и, причем.

->00 У J /—>00 7 7.

Х Увполне непрерывны и операторы, к = 0,1,., п -1, у = 0,1,2,., яг.

Наряду с уравнением (0.0.14) будем рассматривать «предельное» уравнение и (0 = /('). (0-°-15).

Доказательства основных теорем второй главы опираются на результаты вспомогательных лемм, доказательство которых приведено в первом параграфе.

Во втором параграфе получены условия, при которых решения уравнения (0.0.15) ограничена «и устойчивы. Справедлива следующая.

Теорема 2.2.1. Пусть выполнены условия: а) Яр{X) регулярна в нижней полуплоскости 1 т, А < 0,.

0(1), ||Ял/гр (А)||у =0(1), |А| -" оо, 1 т, А < О, к = 0,1,.," -1, й sup.

1тл=0 dX.

Xя RAX)) оо, причем RP (X) может иметь конечное число полюсов на Im, А = 0- б) (1 + И5)/(/)е?2(Д, У), s>±.

Тогда каждое решение уравнения (0.0.15) ограничено и устойчиво по Ляпунову.

В третьем параграфе второй главы при дополнительных требованиях доказана теорема об ограниченности и устойчивости решений уравнения (0.0.13) с запаздывающим аргументом с переменными операторными коэффициентами.

Теорема 2.3.2. Пусть выполнены условия а) Akj е ZQ (У, У), к = 0,1,., /I -1, j = 0,1,., т, AkJ е Z" (.X, У), к = 0,1,.," -1, j = 1,2,., w,.

К (0 «А, \у — hkj (0| * с0 (1 +, о- > 0, t > tQ > -оо, к = 0,., п-, у = 0, l,., mб) резольвенты Rp (X), R0(X, t) регулярны в полуплоскости ImA<0,.

XkR0(X^x =0(1), ||АяДр (А)||г =0(1), = Л = 0Д,., я-1.

XnR0(X, t) I^ = O (l), |А| оо, IwA <0, t > /0, Rp (X) может иметь конечное число простых полюсов на Im, А = 0, д0 (Л, о равномерно ограничены по 1шЯ<0, Бир

1тЛ=0 У.

А" «с!А оов)(1 + М'|/(01у€ 12(Г0,»), г) Бир

1>'о л&bdquoсо. сг>0, =? = 0,1,.,/*-1,./ = 1,., т.

Тогда каждое решение уравнение (0.0.15) ограничено и устойчиво по Ляпунову.

1. Аджиева Х. И. О существовании решений функционально-дифференциального уравнения второго порядка, исчезающих на полуоси. Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Материалы первой Международной научной конференции. Махачкала, 2003, с. 8−9.

2. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматулина Л. Ф.

Введение

в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М., «Наука», 1991.

3. Алиев Р. Г. Айгубов С.З. Об асимптотическом разложении решений функционально-дифференциального уравнения и их производных в гильбертовом пространстве. ВНТИЦ, № 73 200 000 063, 11июля 2002 г.

4. Айгубов С. З. Уравнения с линейным отклонениям аргумента в гильбертовом пространстве. Сборник молодых ученых и аспирантов, Махачкала, 1993.

5. Алиев Р. Г. Асимптотические разложения решений уравнений с отклоняющимся аргументом в банаховом пространстве // Матем. заметки, Т. 13, № 6. 1973, с 829−838.

6. Алиев Р. Г. Об асмптотическом разложении решений начальной задачи в банаховом пространстве // Матем. заметки, Т.16, № 5, 1974, с.725−730.

7. Алиев Р. Г. Об асимптотическом поведении решений уравнений с отклоняющимся аргументом в гильбертовом пространстве // Дифференциальные уравнения, Т. 17, № 3, 1981,. с. 558−562.

8. Алиев Р. Г. Функционально-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве. Махачкала, ИПЦ, ДГУ, 2001,256 с.

9. Алиева Л. М. Об устойчивости решений дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве // Вестник ДГУ. Естественные науки. Вып. 1, Махачкала, 1998.

10. Алиев Р. Г., Алиева Л. М. Об устойчивости решения дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. Тез. Докладов Пятой Крымской Международной математической школы. Метод функций Ляпунова и его приложения, Алушта, 2000.

11. Асила М. К вопросу о разрешимости функционально-дифференциальных уравнений второго порядка.-Тез. докладов XII республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Дагестана. Махачкала. ДГУ им. Ленина, 1988,. с. 290.

12. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М., Изд. Иностранной литературы. 1954.

13. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М., «Мир», 1967.

14. Валеев К. Г. Линейные дифференциальные уравнения с запаздыванием, линейно зависящим от параметра // Сиб. Матем. Журнал. Т.5, № 2,. 1964, с. 290−309.

15. Власов В. В. О некоторых свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве // УМН.-. Т.49, № 3, 1994, с. 175−176.

16. Власов В. В. О некоторых свойствах решений линейных дифференциальных уравнений с последействием в гильбертовом пространстве // Изв. вузов. Математика. № 5, 1993, с. 24−35.

17. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М., «Наука», 1970.

18. Евграфов М. А. Структура решений экспоненциального роста для некоторых операторных уравнений // Труды Матем. института им. В. А. Стеклова, № 10, 1961, с. 145−180.

19. Иосида. К. Функциональный анализ. М., «Мир», 1967.

20. Каменский Г. А. Скубачевский А.Л. Линейные краевые задачи для дифференциальноразностных уравнений. М., Изд-во МАИ, 1992.

21. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М., «Мир», 1972.

22. Колмановский В. Б., Носов В. П. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последствием. М., «Наука», 1981.

23. Колмогоров А. Н., Фомин С. З. Элементы теории функций и функционального анализа. М., «Наука». 1981.

24. Кондратьев В. А. Краевые задачи для параболических уравнений в замкнутых областях // Труды Моск. матем. общества. № 115, 1966.

25. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений и областях с коническими или угловыми точками // Труды Моск. матем. общества. № 16, 1967.

26. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М., «Гостехиздат» 1959.

27. Крейн. С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М., «Наука», 1967.

28. Курбатов В. Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. Воронеж., Изд-во ВГУ, 1990.

29. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Об асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве.// Изв. АН СССР. Сер. матем, Т. 36(11 972), № 5.

30. Малыгина В. В. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с последействием // Изв. вузов. Математика. № 5, 1993.

31. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т.1 и 2. М., 1968.

32. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М., «Наука». 1972.

33. Мышкис А. Д. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // УМН. T. XXXII, вып,. 2(193), 1977.

34. Норкин С. Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М., «Наука», 1965.

35. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М., ИЛ, 1961.

36. Пламеневский Б. А. О существовании и асимптотике решений дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве // Изв. АН СССР. Сер. матем. Т. 36 (11 972), № 6.

37. Рехлицкий З. И. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве. ДАН. СССР. Т. 111, № 1, 1956, с. 29−32.

38. Рехлицкий З. И. Признаки ограниченности решений линейных дифференциальных уравнений с переменным запаздыванием аргумента. ДАН. СССР, Т. 118, № 3, 1959, с. 447−499.

39. Хейл. Дж. Теория функциональнодифференциальных уравнений М., 1984.

40. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы МИЛ, 1962.

41. Чан Р. О разрешимости уравнения с постоянными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента в гильбертовом пространстве. Сборник статей студентов, аспирантов и преподавателей университета, Махачкала, 1993, с. 184−187.

42. Чан Р. Уравнения с маловозмущенными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента в гильбертовом пространстве. Сборник статей студентов, аспирантов и преподавателей университета, Махачкала, 1993, с. 188−192.

43. Чан Р. О существовании решений одного уравнения в гильбертовом пространстве. Сборник функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Махачкала, 1993.

44. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б.

Введение

в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М., «Наука», 1971.

45. Эмирова И. С. О разрешимости функциональнодифференциальных уравнений п-го порядка с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве. Сб. Труды молодых ученных. Махачкала, 1996. с. 55−59.

46. Эмирова И. С. О разрешимости функционально-дифференциальных уравнений пго порядка с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве. Межвузовский научно-тематический сб., Махачкала, 1996, с. 227−241.

47. Эмирова И. С. Оценка характеристического показателя решения функционально-дифференциального уравнения n-го порядка с операторными коэффициентами. Тез. доклада. Четвертой СевероКавказской региональной конференции. Махачкала, 1997, с. 104−105.

48. Agmon S., Nirenberg L. Properties of solutions of ordinary differential equatios in Banach Space. Comm. on Pure and Appl. Math., 1963, v 16, p.121−239.

49. Kato T. On linear differential equations in Banach Spaces. Comm. On Pure and Appl. Math., 1956, v.9, p. 479−486.

50. Kato Т., Vcleod J. The functional-differential equation y'(x) = ay (x) + by (Ax).- Bull. Am er. Math. Soc., 1971,7736, p.891−937.

51. Mahler K. On a special functional equation.-J. London Math. Soc., 1940,15,358, p. l 15−123.

52. Pandolfi L. Some observation on the asymptotic behavior the solutions of the equations x'(t) = A (t)x (Xt) + B{t)x (t), X > 0. J. Math. Anal. And Appl., 1979, v 67, p 483−489.

53. Pasy A. Asymptotic expansions of the solutions of ordinary differential equation in Hilbert Sparces. Arch. Rat. Mech. And Amal. 24.3 (1967), p. 1993;218.