Изоморфизм подгрупп абелевых групп

В теории групп большое значение имеет изучение расположения подгрупп в группе. В частности, значительный интерес представляет изучение Ввысоких подгрупп группы, А, т. е. подгрупп С С, А. максимальных относительно свойства С Л 8 = 0, где Вфиксированная подгруппа группы, А .Этим вопросом занимались различные авторы /см.например,[I] 8] /.Оказывается, что множество 8 -высоких подгрупп группы Аэто в точности множество слабо сервантных подгрупп в, А / [lj,[7] /.Но как связаны между собой 6 -высокие подгруппы, относящиеся к одной подгруппе 8? Установлено, например, что все высокие подгруппы /т.е. Авысокие, где, А — Л К, А / сервантны[8.1 и имеют одиfL «Г наковые ульмовские инварианты. Если при этом некоторая высокая подгруппа разложима в прямую сумму циклических групп, то все высокие подгруппы изоморфны между собой [2],.

Вопрос, всегда ли все высокие подгруппы периодической группы изоморфны, был решен отрицательно Хиллом [4] .

В работе [6J найдено новое достаточное условие, при котором в ргруппе, А все высокие подгруппы изоморфны. Рассматривались также вопросы, когда все 8 -высокие подгруппы сервантны [3], когда существует лишь конечное число Ввысоких подгрупп [5], и др.

Если 8 -подгруппа в Л, то, вообще говоря, среди 6 -высоких подгрупп может быть много неизоморфных между собой [4] .Ирвином был поставлен вопрос, для каких подгрупп 8 группы, А все Ввысокие подгруппы изоморфны между собой 4.20], с. 88,Проблема За/.Если фиксировать В, а в качестве, А брать всевозможные группы, содержащие В, и требовать, чтобы все В-высокие подгруппы оказывались изоморфными между собой, то ответ на этот вопрос получится такой: необходимо и достаточно, чтобы группа В была делимой /это следует из § 1.2,Т.З/.В главе 1,§ 1.1 рассматривается другой вопросгкаковы те группы, А, в которых для любой подгруппы В все Ввысокие подгруппы изоморфны? Класс таких групп /обозначим его через ОС/ описан в § 1.1 /см.также [50]/.Приведем полученный результат. Для краткости будем писать перед соответствующим утверждением /0ГК/, если оно справедливо при предположении, что выполнена обобщенная гипотеза континуума. Для произвольной группы, А через Т0(А) обозначим тип, содержащий характеристику (Д^ f ,.), где ~ = Lrt|(lip (.

1. Периодическая группа, А € ОС в том и только в том случае, если каждая ркомпонента/^группы / лежит в ОС. р-группа Ай ОС в том и. только в том случае, если А^ @4?(ра), где П4-С>о фиксировано.

2. Еслиранг факторгруппы группы, А по ее периодическои части tA/, то As 0L в том и только в том случае, если iAeOL и выполнены следующие условия: а/ под группа^Фд. (tA)p^, где I={l/'Ър (tA) >1}, прямое слагаемое в, А /здесьZp (X) -ранг группы Хгpi /, б/ если (tA)p-He делимая группа, то А/1 Ане рделимая группа, в/ для некоторого /а тогда и для любого/ & € A tA выполнено /t{(L) -тип элемента Cb/*.

3./огк/ Если г0(/->£, то л ?02. в том и только в том случае, если tAeCJl, A=H"tA и либо tAделимая группа, г0(Н)<^, Н&euro- 01, либо Нвполне разложимая однородная группа и Т (Н) 4 Т0 (А) .

4. Группа, А без кручения конечного ранга п>1 лежит в ОС в том и только в том случае, если либо Аоднородная группа, в которой каждая сервантная подгруппа ранга YI-1 вполне разложима, либо Асильно однородная группа [26], в которой каждая сервантная подгруппа рангаib-Z вполне разложима.

Если группа 8 не делимая, то, тем не менее, в какой-то содержащей ее группе, А все Ьвысокие подгруппы могут оказаться изоморфными между собой, причем этот факт может зависеть не только от того, как устроена группа /3, но и от того, как она вложена в, А. Пример: А = <$> $ Q, где 0(ё)= оо } Q, -группа всех рациональных чисел. Выберем и положим в = <�ё>, а, — <&,>. ввысокие подгруппы Q, и) группы, А не изоморфны между собой, авысокие подгруппы, являющиеся в то же время Q, -высокими, все изоморфны между собой. В главе1,§-1.2 рассматривается случай, когда подгруппа В вложена в, А в качестве прямого слагаемого. Доказывается, что если, А = С (В В, то все 6 -высокие подгруппы группы, А изоморфны между собой в том и только в том случае, если С = для области определения любого максимального частичного гомоморфизма ifl С—>В /см.§ 1.2,Т.з/.

Рассматриваются следующие примеры:

I/ В ^ ф Z (рл), /г < о?. in I.

2/ В * е Z. пг.

3/ В ^ Ф L «где L? Q-подгруппа идемпотентного типа т Г и пг > (и).

В этих случаях все 6 -высокие подгруппы в группе, А = С (9 В изоморфны в том и только в том случае, если соответственно I/ С для любой такой существенной подгруппы Т) Q С, что и C/DР-группа ранга не больше т.

2/ C*F (c)K для любой такой существенной подгруппы F&K в С, что гсвободная группа ранга не больше — лг и с/к-группа без кручения. 3/ С = Z) для любой такой существенной подгруппы Т) — С, что tC С0 и (C/D)p = 0, если рВ =8. Замечание. Вопрос об изоморфизме групп без кручения конечного у ранга с их подгруппами, факторыпо которымргруппы, рассматл ривается в главеШ^Сл.26.

Далее в главе1,§-1.2 дается описание класса почти само-иньективных групп без кручения, т. е. таких групп без кручения С, что все Свысокие подгруппы в группе, А — С Ф С изоморфны. Другими словами, Спочти самоиньективная группа, если С ^Tk^dj)) для всякого максимального частичного эндоморфизма ip: С—.

Для любой группы, А = ВФ С тривиальным является тот факт, что все слагаемые. дополнительные к В, изоморфны между собой. Используя кольцо эндоморфизмов, Уорфилд [36J охарактеризовал все такие группы С, для которых слагаемые С^ С и Сг произвольной группы, А изоморфны между собой лишь тогда, когда они имеют общее дополнительное прямое слагаемое в, А /для этого необходимо и достаточно, чтобы кольцо эндоморфизмов Е (С) группы С имело I в стабильном ранге/.То условие, что Е© имеет I в стабильном ранге, оказывается также необходимым и достаточнымУдля того, чтобы из В^ ф — Ф С^ «С^ = С = С2 всегда следовало существование общего дополнения к Вл и /и тем самым /.

В главен,§-2.1 /см.также [54]/ показано, что если С-такая счетная абелева группа, что*Ь0 (С)<, ульмовские инварианты tc конечны и рС — С для почти всех простых чисел р, то кольцо Ее С) имеет I в стабильном ранге. Эта теорема решает Проблему 6 Уорфилда [35] и дает достаточно широкий класс групп С, для которых, с одной стороны, два изоморфных группе С прямых слагаемых произвольной группы, А всегда имеют общее дополнение^ с другой стороны, из В^ Ф С = Bg (&-С всегда следует 8^ = R.

Если указанный класс групп расширить, отказавшись от требования почти делимости группы С, то С будет обладать степенным подстановочным свойством /см. 34] / и тем самым из Вл Ф С = всегда будет следовать Ф = Ф для некоторого П, t /V/ см. 54]/.Это-решение Проблемы 7 Уорфилда [35] и Проблемы С Гудерла[34] .

Из изоморфизма Вф С = Вл Ф С. очевидно, отнюдь не всегда следует В = В^ .Однако из результатов Лейди[30] ясно, что если 6 и Сгруппы без кручения конечного ранга, то существует лишь конечное число неизоморфных групп со свойством В Ф С ~ = В-L$C .Группы без кручения конечного ранга 6,8^ со свойством Вф С ~ Вл Ф С для некоторой группы С без кручения конечного ранга Фукс назвал эквивалентными и поставил Проблему 71: выяснить связь между понятием эквивалентности и понятием квазиизоморфизма /[21], с.219/.

В главен,§-2.2 мы займемся изучением групп без кручения конечного ранга BL эквивалентных группе В /дополнительные результаты по этому вопросу см. в [51]и [53]/.Нами будет введена в рассмотрение некоторая конечная группа К (В) .Для широкого класса слабо сократимых групп В /см.§-2.2/ порядок группы К (В) равен числу неизоморфных групп Вi эквивалентных В. Так как в процессе доказательства некоторых результатов мы вынуждены обращаться к модулям, то все результаты формулируются для некоторого класса модулей. Вводится понятие эндомак-симального модуля и показывается, что В и Вл эквивалентны в том и только в том случае, если Й^фЮ для произвольного эндомаксимального модуля Z), квазиизоморфного В .Для примера, если Впочти вполне разложимая группа без кручения конечного ранга, то Вэндомаксимальная группа в том и только в том случае, если Ввполне разложимая группа.

На частном случае почти вполне разложимой группы В демонстрируется вычисление относительной группы классов SK (B) /см. § 2.2/.Показывается, что в рассматриваемом случае SK (B)~0. Равенство SK (A) = 0 эквивалентно тому, что для группы, А совпадают понятия эквивалентности и почти изоморфизма /см.§-2.2/ с произвольной группой Ai .Это означает, что для почти вполне разложимой группы В у нас В жВл почти изоморфны в том и только в том случае, если В и Влэквивалентные группы, а именно для некоторой вполне разложимой группы и .Тем самым известные результаты Ле иди [31] о почти вполне разложимых группах вытекают из общих фактов.

Вычисление группы К (В) для простоты проводится для самосократимых модулей. Однако, во-первых, это можно сделать и в общем случае /[53j/, a во-вторых, общий случай сводится к самосократимым модулям /см.§-2.2/.

Полученные результаты можно применять для определения числа разложений модуля, А на «слабо» отличающиеся прямые слагаемые, а точнее, для определения числа неизоморфных разложений, А = = В В-, где Аи В: почти изоморфны = /.

Для примера, если Агруппа без кручения ранга 3, то все ее разложения удовлетворяют вышеприведенному условию /см. 29] или [32]/ и потому можно определить число всех неизоморфных разложений такой группы /см.§ 2.2/.Тем самым получаем результат работы [32].

В главе1 мы видели, что в некоторых ситуациях бывает полезно знать, какие группы изоморфны всем своим подгруппам с каким-то определенным свойством. Вопросами изоморфизма группы с подгруппами занимались разные авторы /см.например, [9] - [16] /. В главеШ исследуется класс УЬ таких групп, А без кручения конечного ранга, что, А ^ С для любой подгруппы конечного индекса С — А .Для групп без кручения конечного ранга последнее эквивалентно тому, что из квазиизоморфизма, А навсегда следует изоморфизм, А и D /здесь!) -произвольная группа без кручения конечного ранга/. Класс таких групп рассмотрен Мерли [16], Хорошо известно,/см. [12], Т.3/, что вполне разложимая группа, А лежит в TL в том и только в том случае, если для любых несрав.

НИМЫХ ТИПОВ С., г, е TiA) выполнено Жр (Ъл, Zz) — t (Q) .Все известные примеры групп из УЬ ограничивались до сих пор лишь некоторыми суммами групп Л-, имеющих рранг tp (Ai)61 для любого простого р. Группы Ас последним свойством изучались, например, в работах [17], [18], [19]и были названы Арнольдом [28] группами Мерли. Однако, как мы увидим в главеШ, класс УЬ отнюдь не исчерпывается такими группами.

Введем в рассмотрение класс Jft таких абелевых групп, А без кручения конечного ранга, что из квазиизоморфизма, А и D всегда следует почти изоморфизм/4 и Ъ /здесь Т) -группа без кручения конечного ранга/.Изучение класса TL сводится к изучению класса Ttt /главаШ/: А? ТЬ в том и только в том случае, если, А € Tft и B (A)/v/(E (А)) -кольцо главных правых идеалов /здесь IV (R) -наибольший ниль-идеал кольца R/.

Определим также классы Tftp посредством условия АеЖр в том и только в том случае, если, А почти изоморфна С для любой такой подгруппы С — А, что А/Сконечная^" -группа.Так как Ж — /Ч Tftp /главаШ/, то нам достаточно описать классы Tftp .в главеШ даются две характеризации класса Tftp и приводится способ построения всех групп, А € Tftp .

Класс Tftp замкнут относительно квазиизоморфизма и прямых слагаемых и потому его изучение сводится к исследованию сильно неразложимых групп, А € Tftp. Любая такая группа каноническим образом представима в виде последовательных расширений рспециальных групп /см.главуЩ/.Отсюда получаем ряд следствий:

I. Если X iA) i з, то AeWp в том и только в том слу.

II. ^ чае, если группа, А квазиизоморфнаА", где ь-1 г и множество {A-LJ в определенном смысле линейно упорядочено /глава III, Сл.22/. Если >3, то группа, А может быть устроена значительно сложнее. Однако если рранг 4, piA) достаточно близок к Ъ (А), то имеет место аналогичный результат.

2. Допустим,.

Тогда В ТОМ и только в том случае, если группа, А квазиизоморфна.

Ф А-, где ХлА-,) 47 /1 = 1.&bdquo-)т/ и множество {А-} 1−1 ь г линейно упорядочено /глава Ш, Сл.23/.

3. Допустим, %р (.А)= %(А) .Тогда следующие условия эквивалентны: а/АеШр, б/ Ае %, в/А=^ А^, гдеТ (/4^=7и множество {t (А-ь)} линейно упорядочено. Напомним, что группа, А называется рредуцированной, если р№А = о.

4. рредуцированная группа, А? 7/tр вполне разложима в том и только в том случае, если «Ър (А) — Ъ (А).

5. Допустим, группа, А без кручения конечного ранга обладает тем свойством, что, А = В для любой такой подгруппы.

ЧТО.

А/в.

— ргруппа / р фиксировано/.Тогда, А — рредуцированная вполне разложимая группа с линейно упорядоченными типами элементов /обратное верно в силу /[44], Т.2//. Как мы отмечали, группы, А?^-р могут быть устроены довольно сложным образом. Подтверждением этому служит приводимая в главеШ теорема существования сильно неразложимых групп, А € 7Tip. Другие теоремы существования^ также дополнительные сведения о введенных нами классах п, т, тР см. в [47J, [49], [52] .

Те определения и обозначения, которые не поясняются, взяты из[20] и [21] .Посредством Л., Т., Пр. мы будем сокращенно обозначать слова Лемма, Теорема, Предложение.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доценту А. П. Мишиной за постоянную помощь и поддержку.

1. Ixufin ЯМ. WcdkmE.A. «О-гь N-kidi tbdcfiouM oi аЫиоигь fiobupS Рол. IMaiA., 196v. И, ЛЧ, 1363−1342.1tufin <}. M, — Р-ежси С., Walh/i E. «Splitting piopwtiM of как lubioti*' бuM. Sac. M.

2. Plana R. S. «СгпЪт ot puutitu in cdtlian огиоыоъ «Рас. I Май., 1963, v: i3jl?Z15-M9, 7 Г.

3. ШМ P. i/italri рьш ш&дпоирз of ргЬталу опоиръ" Topics иг (lUdian угоирз, СЯ’сса^о^Шиго^/дбЗ^ЗН-ЗЯ.

4. Кривонос Ф. В. «Об А/ -высоких подгруппах абелевой группы» Вест. МГУ, Мат., Мех., Щ1 /1975/, 58−64.

5. CuUm D. 0. «PtLmcuiu oJ>e?iaii жоиръ kavlao allkiсиг mlqnouLpb (лопгогрАю * thoc. dmsJi. МаЖ, S oc.,.

6. HoJVbiAO-n B. K. Jutirb M., PwtCU C. L. J V/cSm E. A .Uial exUibdlorud о/ cuUlaiiz anoupi «CLcia MatK, OlSoA. Sci. Нипуал., 14(1963) f319- 330.

7. Ixufin M., V/cdhi E.A. 'Оя, иo-ty^ 4и&уьоиръoi afyidn аьоирз" BuM. So-c. (iatk. Fiance 89(1981)^4, 451−460.

8. Bixan L «O-ri иотогр/ьсбпг of сцюдьио/погрЛес icyvdlo-n Рш aMian опоиръ Comm. Math. Univ.CojioI., 9(1968), 109−119*13. ftьо-сАалЛа L, 'Nob, on уиаль-иъотогрукшп oftcш1оп fnu aA&iidn, o/ioupi of finite шпк'' Comm. Kail.

9. Q^Mitk P, «Extension/) of /tee олоирз $ч io-baion yioLpt» /hoc, Qmm. Math. ЗЛс.^идщ/ч, Ш-619.

10. РасАз L ^Л/o-fe 0-/1 wtenAioriA of a^e?iaa onoapAЦ pumcuiy fcmpi*.

11. Мыnli^C.E, 'Tfa dtmLficcdio-n of aniain domedof tavdio-n fun oJUtlari g&oupd" Pao. Matk.}.

12. ОоьтлЬьоаа «On р-рилг udywup* о/'bki p-acLiс aiteaew ToplcA in d^-dian Gtoupi^ Chicago, 1шпои- 19ьЗ} 315я.

13. MwvlzuCE, «Dvrnct product* and шш o-ftouionfiu aAelian апоарб* Ргос.&пм. Haih, Soc. y Ш19Щ/2, ZZS-Z41.

14. Куликов JI.Я." Абелевы группы, рранги которых не больше единицы" Вестник МГУ Дат., Мех., 4/1980/, 93.

15. Фукс JI." Бесконечные абелевы группы" Т. I, М.," Мир", 1974.

16. Фукс Л." Бесконечные абелевы группы" Т.2,М.," Мир", 1977.22. bican L. «Hind aidian апоарз of toidion Agg гап1 OWL* (лгсАо^.

17. Blcayi L. '' СотрШеЛу dsLcompo6oJ)^i оЛеЛсагъcfioupi anu njLQidoJi Аи&оп, оирл of i/AlcA Unphtd^cUcompo^M 0исАМШ.1р (19ЩД 11−1424. 1-Ш Р. «О-ч tfa f>uzrm of aldian g/ioupi, Ci q#rwialuz.cdLori ol Pord/tyqin/s i№ot?inf/afrwi, м atk. Soc4imiofJw) ни-mo.

18. Gb’JfiiA P, A. «Шсотроаиоа of рилг ъиЛд/iOLLpi of l&uiori-fm мойр*' Ж?. Mail., ШШ), №>433−421 d26. (hbnoldL V.M. «Sinorialu komoaenzou/s tola ion /W cJLdian Woupd of finite, РъосЛггт. МаЦ Sen., 56 (1946), W-W.

19. СЬиьоЫ Z). M. «Gene/ia and d’mct шт cUcompoiLtLotiA of ioiAion f*tu moduli^* Uci. N<�№ Mail., G16(19W, W-Z1i.

20. CbtnoM V. M, «Finite lank ttmLon fui abdian ywupi and Ud. No-Ы ИаЖ., 931 (19²).

21. CUnoid d.M.j L&du E.L. «Endomoip/inm гьпдд and d’md шт of tcmionfue a&di&n fioipi» Тит.drnm.Math.sос., гишщгж-гз?.

22. Lady E.L. «SummandA of finiti tank torsion-f%ee Mian fioupi» IQicjdtd, зг (19ЩЛ, S1-S2.

23. Lady E.L. 'ШтолЬ comp&telu dtcompoiaMl iozcio-n fnu aXdidn aioapi* Plot. CLmt/i. Matk, Soci}.

24. B'^nMAcoidt MutzJaaM, 0, «ШсотраэСйопл of tobiLon fnu aidian gfioapi of iank 3* Cbick, MatA.} ЪЬ (1980))по.6−501−5'011(1дМ.

25. Фейс К." Алгебра: кольца, модули и категории" Т.1,М," Мир", 1977.

26. Qoocka/il К. P. 'Poufen, canceMatio/г of (j/ioup$ and35. module" Рас. I MatktJ 64(1916), 3fl-411.V/aitAeld R,&, *Th otuLctuni tfuoiu o-fmiud oMian yuupi* tid. Nob* MatA.,%16(19W-1−39.

27. Wa/ufidd CarbcMaXion of module and and stcMi гагкж of endomoipAtiwi iLnQA" Рас.1.Май9К19Щ j/г, Ч51-№. J.

28. СмиЛйи P, «TAe odncdiatCon of 1огл1ог о&Лсапуимр* in cLi/uct шш ' У. Cdg. j Z (1965), 43ZЧЧ2.

29. Beaumont R.A. Pim^R.S. 'TowLon гСпм" lU. l Mail., 5(1961), 61−9 f.

30. Si/an-R.G. «QJtajdmii K-ifootu* Uct ЫоЫ Hoik., 76(19Ш d.

31. Swfan R.Q.j Ev&n/> E. G, «K-ilnoiu of fundi moupo and otdm» Ud. Note Mbth. fm 11 910) d.

32. FioMicb K. «Locally fnu modules ov&i cuiitAmetcc опАшл» f. uim una anazuf Matfi*, 1915 ZJ4/21S, 112−124.

33. Херстейн И." Некоммутативные кольца" М.," Мир", 1972.

34. Ван дер Варден Б. Л. «Алгебра» М.," Наука", 1976.

35. Bic&ii L. «Sortu piope/itieA of сошр&Ы^ clumnpoiaMi tov^Lon /ш аЛе? сап д/соирз «Oitd.MatA, t, 19(196Ю} 51Я-533*.

36. Каш Ф. «Модули и кольца» М.," Мир", 1981.

37. Кравченко А. А. «Об изоморфизме Nвысоких подгрупп» 15 Всес.алг.конф., Тезисы, ч.1,Красноярск, 1979, с. 79.

38. Кравченко А. А. «О квазиизоморфизме абелевых групп без кручения конечного ранга» 16 Всес.алг.конф., Тезисы, ч.1, Ленинград, 1981,84−86.

39. Кравченко А. А. «О вполне разложимых группах» Мат.зам., 31/1982/,#2,171−185.

40. Кравченко А. А. «О специальных группах и кольцах» 5 Всес. симпозиум по теории колец, алгебр и модулей, Тезисы, Новосибирск, 1982,78−79.

41. Кравченко А. А. «Об изоморфизме Nвысоких подгрупп» -В сб.: Абелевы группы и модули, Томск, 1983,24−39.

42. Кравченко А. А. Почти изоморфизм и эквивалентность некоторых модулей" 17 Всес.алг.конф., Тезисы, ч.2,Минск, 1983, II4-II5.

43. Кравченко А. А. «0 квазиизоморфизме абелевых групп без кручения конечного ранга.1» М., 1983,45с., Рукопись представлена МГУ, Дел. в ВИНИТИ 28.10.1983 г. ,№ 5867−83.

44. Кравченко А. А. «Почти изоморфизм и эквивалентность абелевых групп без кручения конечного ранга» М., 1983,44с., Рукопись представлена МГУ, Деп. в ВИНИТИ 28.10.1983 г., № 5866−83.

45. Кравченко А. А. «Степенная подстановочность и сокращение в классе абелевых групп» М., 1984,12с., Рукописьпредставлена МГУ, Деп. в ВИНИТИ 18.07.1984 г.,№ 5165−84.

46. Кравченко А. А. «Почти самоиньективные абелевы группы без кручения» Вестник МГУ, Мат., мех., 4 /1984/, 22−26.