Асимптотические свойства решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малой нелинейностью

Проблема условной устойчивости по первому приближению является одной из основных в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты, полученные в этой области, имеют широкое применение при решении практических задач.

Сформулируем основную задачу, решаемую в настоящей работе. Рассматриваются линейная система размерности п с кусочно-непрерывной при t ^ t0 матрицей коэффициентов и нелинейная гладкая по х вектор — функция /(?,#), обращающаяся в 0 при х = 0. Выясняется, каким условиям должны удовлетворять система (0.1) и возмущение /, чтобы пространству размерности к, состоящему из всех решений системы (0.1) с характеристическими показателями, меньшими некоторого заданного числа а, соответствовало к — мерное многообразие начальных данных, определяющих решения системы имеющие характеристические показатели, меньшие некоторого числа ?3.

Основополагающие результаты в этой области были получены Ляпуновым [26] и Перроном [62]. A.M. Ляпунов в своей знаменитой диссертационой работе доказал теорему об условной устойчивости нулевого решения системы (0.2) в случае, когда система (0.1) является правильной, а функция f (t, x) при любых t ^ to удовлетворяет условию, 0) = 0 и равномерно аналитична по х в цилиндре х = A (t)x.

0.1) х = A (t)x + f (t, ж),.

0.2).

Я = [t0, со) х U С R х R' П где 11 — некоторая окрестность нуля в М.п. Автору в работе [21] удалось ослабить последнее требование.

О. Перроном был получен результат об условной устойчивости нулевого решения системы (0.2) в случае, когда система (0.1) гиперболична, а возмущение / удовлетворяет в некоторой окрестности нуля в К&tradeусловию Липшица для достаточно малой положительной константы /. (Здесь и далее символ || • || обозначает некоторую векторную норму в М. п и соответствующую ей матричную норму.).

Важные результаты, связанные с рассматриваемой задачей, были получены Б. Ф. Быловым [6, 7], Р. Э. Виноградом [6, 9], Д. М. Гробма-ном [6, 10], Н. А. Изобовым [5, 7], [14] — [20], В.М.Миллионщико-вым [28] — [38], А. М. Нурматовым [42], В. А. Плиссом [46] — [49], Р. А. Прохоровой [50], А. С. Фурсовым [56] — [59] и другими авторами.

Целью данной работы является формулировка и доказательство ряда новых критериев условной устойчивости по первому приближению, обобщающих приведенные выше.

В главе 1 вводятся классы так назваемых слабо гиперболических линейных систем \ГН (А,?), определенные при, А > 0 и е ^ 0. Система (0.1) считается принадлежащей классу? Н (А, г), если существует такое число К > 0, что если вектор — функция д{1) при? ^ ?0 Удовлетворяет оценке.

0.3) <�ехр (-А (1+е)*) то система х = А (Ь)х + д (г).

0.4) имеет решение ср^) такое, что.

И*)||<*ехр (-А*).

Кроме того, введены более узкие классы 8Н (Л, е) линейных систем, для которых упомянутое выше решение (р{£) может быть найдено по конкретным формулам (1.17).

Главным результатом диссертации является теорема 4.1, обобщающая теоремы Ляпунова, Перрона и Гробмана, а также позволяющая рассмотреть ряд малоисследованных проблем, связанных с условной устойчивостью про первому приближению. В частности, результаты вышеупомянутой теоремы применимы в ситуации, когда матрица коэффициентов системы (0.1) неограничена, или, например, в случае, когда коэффициент неправильности системы (0.1) велик, но возмущение /(¿-, ж) в системе (0.2) имеет достаточно высокий порядок малости по х в окрестности нуля.

Утверждение теоремы 4.1 сводится к следующему. Если линейная часть (0.1) системы (0.2) принадлежит классу? Н (А, е), а возмущение /(?, х) удовлетворяет некоторому условию малости по х, также зависящему от, А и ?, то нулевое решение системы (0.2) условно устойчиво по первому приближению.

При доказательстве этой теоремы использован новый вариант метода последовательных приближений, сходимость которого обеспечивается тем, что система (0.1) принадлежит классу? Н (А, г).

В главе 1 приведены результаты, показывающие, что введенные классы слабо гиперболичных систем достаточно широки, и обосновывающие тем самым практическую ценность теоремы 4.1. Исследовано, как меняются константы, А и е слабой гиперболичности системы (0.1) при линейных преобразованиях фазовых координат. Приведен ряд результатов о существовании у линейных неоднородных систем ограниченных решений и решений с неположительным характеристическим показателем. Показано, каким образом, используя данные теоремы, можно привести необходимые и достаточные условия слабой гиперболичности линейной системы. Решена задача В. М. Миллионщикова [36].

В параграфе 3 главы 1 выяснено, что в классы ШН (А, е) входят системы, приводимые к гиперболическим на каждом из отрезков семейства, дающего в объединении луч [¿-о, сю).

Утверждения теорем 1.2, 1.6 и 2.4 показывают связь между константами слабой гиперболичности системы (0.1) и ее коэффициентом неправильности.

Теоретическую ценность полученных результатов иллюстрирует теорема 2.7. С использованием свойств классов 8Н (А, г) доказывается предельный случай теоремы Былова-Винограда [б, теорема 15.2.1]. Выяснено, что если в условии интегральной разделенности [6, с. 208, формула (15.4)] положить соответствующую константу, а равной нулю и допустить в условии самой теоремы обобщенные ля-пуновские преобразования вместо ляпуновских, то при возмущениях порядка малости выше первого утверждение об условной устойчивости нулевого решения остается справедливым.

Исследовано поведение решений, начинающихся вне устойчивых поверхностей. Методами, близкими к тем, что используются при изучении свойств решений систем с гиперболической линейной частью, получаются результаты о свойствах решений систем со слабо гиперболической линейной частью, начинающихся вне устойчивой поверхности ]У8, близкие к теореме 2.2 из книги [45].

В первом параграфе главы 3 доказывается необходимость условий устойчивости решений нелинейных систем по первому приближению, предложенных Б. Ф. Быловым, Р. Э. Виноградом, Д. М. Гроб-маном и В. В. Немыцким в книге [6]. Основной результат этого параграфа представляет собой обобщение известной теоремы В. М. Миллионщикова о достижимости центральных показателей, приведенной в работе [29].

В параграфе 2 этой главы изучается задача о сохранении спектра линейной системы при добавлении линейного возмущения с экспоненциально убывающей по норме матрицей коэффициентов. Показано, что для того, чтобы для систем (0.2) с фиксированной линейной частью и произвольными возмущениями порядка малости выше 1 было справедливо утверждение теоремы об условной устойчивости по первому приближению необходимо, чтобы при добавлении экспоненциально убывающих линейных возмущений количество ее отрицательных показателей не уменьшалось. Таким образом, требования, изложенные в статье [42], также являются необходимыми и для условной устойчивости нулевых решений систем вида (0.2).

Исследованы достаточные условия сохранения характеристических показателей линейной системы, полученные В.М. Миллионщи-ковым. В частности, получен критерий принадлежности линейной системы классу GROD [34] в зависимости от свойств ее фундаментальной матрицы. Показано, что в случае, когда все характеристические показатели линейной системы имеют кратность 1, необходимые условия сохранения спектра, полученные A.M. Нурматовым, и достаточные условия Миллионщикова совпадают.

Итак, в работе получены следующие основные результаты.

Пусть линейная однородная система такова, что при добавлении любой экспоненциально убывающей неоднородности полученная система имеет экспоненциально убывающее решение. Тогда для любой нелинейной системы, имеющей данную своей линейной частью, с нелинейностью, удовлетворяющей некоторому условию малости по х, локальное многообразие начальных данных, которым соответствуют экспоненциально убывающие решения, может быть найдено с помощью метода последовательных приближений, обобщающего тот, что используется при доказательстве теоремы Перрона.

С помощью этого метода последовательных приближений для нелинейных систем, обладающих приведенными выше свойствами, доказана теорема об условной устойчивости по первому приближению. Исследовано поведение решений, начинающихся вне устойчивого многообразия.

Выяснено, что этот результат обобщает теоремы Ляпунова, Перрона и Гробмана и дает критерий условной устойчивости по первому приближению для нелинейных систем в зависимости от малости их нелинейной части. Одним из следствий этой теоремы является утверждение, обобщающее теорему Былова-Винограда.

Кроме того, в данной работе изучается, какие именно линейные системы обладают упомянутым выше свойством. В частности, как оказывается, для этого достаточно гиперболичности, либо правильности, или гиперболичности на семействе отрезков, либо обобщенной приводимости к одному из указанных выше классов линейных систем. Также приведены условия, необходимые для условной устойчивости по первому приближению и приведен критерий сохранения спектра линейной системы при экспоненциально убывающих возмущениях в общем случае.

Заключение

.

Сформулируем основной результат диссертационной работы полученный в главе 2, в виде одной теоремы, обобщающей теоремы 2.1, 2.3, 2.10, 2.12 и следствие 2.1.

Теорема 4.1. Пусть, А > 0, е ^ 0, II — некоторая окрестность начала координат в Мп, а система (0.1) слабо гиперболична с константами, А и е. Предположим, что возмущение /(?,#), определенное в цилиндре Н = [£о5°°) х и, таково, что.

1. /(?, 0) = 0 для любого? ^ ?0;

2. для некоторого, а ^ 1 выполнено: а. /(£, ж) принадлежит классу См по х в области Н для любого целого числа М такого, что 0 М < аб. для любого мулътииндекса т, удовлетворяющего условию т < а, выполнено: яН / в. если мулътииндекс т таков, что т — М < а М 1, то дтх дт* Цг)\хг — х2 а-М. ?

3. существуют такие числа /3 ^ 0 и I > 0, что Ь (Ь) ^ /ехр (—(ЗЬ) при достаточно больших.

Пусть справедливо неравенство Л.

Если системы (0.1) и (0.2) удовлетворяют перечисленным выше условиям, то при достаточно малых I в случае, когда (4.1) обращается в равенство, и при любых I в противном случае справедливо следующее утверждение об условной устойчивости системы (0.2).

Существует См — гладкое и взаимно однозначное отображение д некоторой окрестности нуля из в К" такое, что выполнены следующие условия.

1. д (0) = 0.

2. Если Ф (£) = (Х[(£),., Хп (£)) — нормальная фундаментальная система решений (0.1) такая, что характеристические показатели вектор — функций Х (?),., Хп (?) равны Ах,., Лп соответственно, а, а > 1, то ] = (Х^о),., Х^(£0)) — матрица Якоби отображения д в точке 0. Если.

У. = 1, то для функции Ь (у) — д (у) — Ту справедливо условие Липшица причем константа И определяется исключительно свойствами системы (0.1).

3. Для любого .то, для которого существует уо Е такое, что х0 = д (у0), (4.2) решение системы (0.2) с начальными данными а (*о) = % (4.3) имеет при I —>¦ +оо характеристический показатель, не превосходящий —А.

4- Существуют, а > 0 и 7 > 0 такие, что для любого удовлетворяющего условию ||т0|| < сг, и такого, что равенство (4.2) не выполнено ни для какого уо, решение соответствующей задачи Коши для уравнения (0.2) с начальными данными (4.3) не удовлетворяет ни при каком I ^ оценке х (£)|| < 7ехр (—А?).

Замечание Доказательство данной теоремы в случае, когда (4.1) не обращается в равенство, аналогично доказательству теоремы 2.1, а в противном случае — доказательству теоремы 2.3. Справедливость утверждения пункта 4 этой теоремы доказывается тем же способом, что и теорема 2.10.

Автор благодарит своего научного руководителя В. А. Плисса за постановку задач и внимание к работе.