Классификация интегрируемых краевых условий для нелинейных уравнений

В последнее время большой интерес вызывают нелинейные уравнения в частных производных, интегрируемые методом обратной задачи рассеяния (МОЗР) [1]. В данном методе существенную роль играет представление интегрируемого уравнения как условия совместности двух. линейных систем уравнений в частных производных первого порядка вида с матричными коэффициентами U и V, зависящими от функций и, их,. и от комплексного параметра Л. Идея использовать обратную задачу квантовой теории рассеяния для решения нелинейных уравнений в частных производных восходит к классической работе Гарднера, Грина, Крускала и Миуры «Метод для решения уравнения Кортевега-де-Фриза», опубликованной в 1967 году [2]. В становлении метода обратной задачи рассеяния важную роль сыграли следующие две работы: П. Лакса «Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и уединенные волны», опубликованной в 1968 году [3], в которой были формализованы результаты работы [2] и введено понятие L — А пары Лакса, и работа В. Е. Захарова и А. Б. Шабата «Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах» 1971 года [4], в которой были найдены новые примеры интегрируемых уравнений. В результате стало ясно, что понятие L — А пары не является специальным свойством уравнения Кортевега-де-Фриза, а применимо также и щ = G (u, ux, u.

1).

Yx = U (x, t,)Y, Yt = V (x, t,)Y,.

2) (3) к нелинейному уравнению Шредингера. Тем самым были открыты перспективы для применения метода и к другим уравнениям.

Характерным признаком уравнений, интегрируемых при помощи МОЗР, является наличие бесконечного множества явных решений (это солитонные, конечно-зонные и другие автомодельные решения). Выяснилось также, что интегрируемые уравнения обладают бесконечным числом локальных законов сохранения и высших симметрий.

С появлением все новых и новых примеров интегрируемых МОЗР систем возник вопрос: как выяснить, применим ли метод обратной задачи рассеяния к тому или иному уравнению? Симметрийный подход, заложенный еще в работах Э. Нетер, позволил выработать алгебраический критерий интегрируемости. В работах А. Б. Шабата, Н. Х. Ибрагимова, А. В. Жибера, В. В. Соколова, Р. И. Ямилова, С. И. Свинолупова, А. В. Михайлова и др. была решена задача полного описания классов интегрируемых уравнений типа Кортевега-де Фриза, нелинейного уравнения Шредингера, цепочки Вольтерра и др. В основу классификации был положен признак наличия симметрий сколь угодно высокого порядка.

Традиционно в методе обратной задачи рассматривались либо задача Коши для уравнения (1) в классе быстроубывающих при |а-| —> оо функций, либо периодическая по х задача. Однако, как правило, физические модели должны учитывать влияние некоторых пограничных взаимодействий. Математически это выражается в виде наложения на нелинейное уравнение (1) краевого условия в точке а: = жо вида.

Pa (t, u, ux,., um) x=x0 = 0, а = 1 (4).

Однако, как показывает теперь уже многолетняя история развития теории интегрируемости, граничные задачи не очень успешно решаются при помощи метода обратной задачи рассеяния. Выяснилось, что лишь для краевых условий весьма специального вида начально-краевые задачи для интегрируемых уравнений можно эффективно решать при помощи МОЗР. Сравнительно недавно была продемонстрирована возможность аналитического решения новых интересных краевых задач:

1) уравнение Шредингера на полуоси [5], [б], [7].

2) Уравнение sin-Gordon на полуоси [8].

3) Уравнение КдФ на полуоси [9] и др.

С появлением новых примеров возникла задача выделения именно тех краевых условий, при которых соответствующая начально-краевая задача может быть решена при помощи метода обратной задачи рассеяния. Естественно называть такие краевые условия интегрируемыми. Первой работой в этом направлении является работа Е. К. Склянина [10]. В ней предложен метод поиска интегрируемых граничных условий и найдены новые примеры. В основу метода кладется совместимость граничного условия с гамильтоновой структурой уравнения. Используется понятие классической и квантовой г — матрицы. Стоит упомянуть наблюдение А. И. Бобенко, состоящее в том, что интегрируемое граничное условие, как правило, можно записать в виде условия треугольности V-оператора в уравнении по t для вспомогательной линейной задачи ([8]). Это обстоятельство трудно использовать для построения общего решения краевой задачи, однако в том случае, когда решение вспомогательной линейной задачи известно явно (это имеет место, например, в теории конечнозонно-го интегрирования), этот подход позволяет эффективно выделить частные решения краевой задачи.

В работе И. Т. Хабибуллина [11] интегрируемые краевые условия исследовались с помощью высших симметрий уравнения (1). Пусть в точке х = xq задано краевое условие (4), и ит = д (и, их,., Um) (5).

— высшая симметрия уравнения (1). Продифференцировав соотношение (1) по переменной т, получим соотношение вида к ар 0,(1 = 1, .л (6) г=0 ОЩ где производные по т следует заменить в силу уравнения (5).

Определение ОД ([11]-) Граничная задача (1), (4) называется совместимой с симметрией (5), если соотношение (6) выполняется тождественно в силу (4) и его дифференциальных следствий, получающихся при дифференцировании по переменной t в силу самого уравнения (1).

Оказывается, что известные классы интегрируемых граничных условий совместны с бесконечным количеством высших симметрий. Так, например, у уравнения КдФ щ = иххх — 6иих, (7) имеется интегрируемое краевое условие вида их=о = а, иххх=о = 6, (8) которое совместно с бесконечным количеством высших симметрий вида «г = /9 — 6fc/5 + 6/c2/l, UT = /15 — 10kfи + 30k2f7,.

UT = /21 — Ukfn + 70k2 fn — 770k4 f5 4- 868fc5/i,. где к = За2 + b и utj = fj высшие потоки j-ro порядка.

В работе [12] данный симметрийный тест перенесен на бесконечные цепочки уравнений. На примере уравнения Тоды qxy{n) = eq (n+1)~q{-n) —, оо < n < +00, (9) построены обрывы вида q{ 1) = g (q (0), qx (0), Яу (0), q{— 1)), совместные с симметриями второго и третьего порядка вида где &i (n), b2{n) — нелокальные функции. При этом интегрируемые условия для Тоды имеют вид.

Данные обрывы сводят интегрируемую бесконечную цепочку уравнений Тоды к полубесконечной, опять таки интегрируемой ([12]). С другой стороны, интерес представляет задача нахождения интегрируемых «обрывов» цепочки уравнений по пространственным переменным. В работе [25] для периодического уравнения Тоды в лабораторных координатах t = х + y, z = х — у, в которых оно примет вид qtl (n) = bi (n) + 6i (nl) + gx (n)2, (Ю).

Qtiji) = b2(n — 2) + b2(n — 1) + b2(n) + b!(n)[2qx (n) + +qx (n + 1)] + bi (n — l)[2gx (n) + qx (n — 1)] + qx (nf, (11).

1) = 0, MO) = 0.

2) 9(1) = const., b2(0) = 0;

5) e'^-V = 0, h{0) = qxx (0) + const. qtt (n) = qzz (n) + - еяМ-ф-1) j q (n-{-N)=q (n), построено краевое условие в точке z = 0 вида.

12).

41 п ч (п+1)-д (п) д (п)-д (п-1) qz{n) |z=o = A"e 2 -Pn-ie 2.

7(n+l)-q (n).

13).

Условие (13) в точке z = 0 разбивает задачу для уравнения (12) на всей оси — оо < z < +оо на две: на полуоси 2>0hz<0. В настоящем исследовании доказано, что данное краевое условие совместно с симметрией второго порядка бесконечной цепочки Тоды (12).

Научная новизна работы заключается в следующем. Предложен новый эффективный метод классификации интегрируемых краевых условий для нелинейных уравнений в частных производных. При этом оказывается, он дает, во первых, краевые условия, совпадающие с ранее известными, и, во вторых, позволяет получить новые результаты. При помощи этого метода найдено новое интегрируемое краевое условие для уравнения Буссинеска. Предъявлен бесконечный набор высших симмет-рий, совместимых с этим краевым условием. Построены классы частных решений краевой задачи для уравнения Буссинеска.

Работа носит теоретический характер. Автору представляется, что имеется в перспективе возможность применения полученных результатов в качестве основы для дальнейших исследований. Например, интерес представляет задача применения техники МОЗР к уравнению Буссинеска с интегрируемым краевым условием на полуоси.

Текст диссертации состоит из введения, 11 параграфов, разбитых на 4 главы, и списка литературы.

1. В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, Л. П. Питаевский. Теория солитонов. Метод обратной задачи. Москва, Наука, 1980.

2. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteveg-de Vries equation. Phys. Rev. Lett., 1967, v. 19, p. 1095−1097.

3. Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves. Comm. Pure Appl. Math., 1968, v.21, № 5, p. 467−490.

4. Захаров B.E., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах. ЖЭТФ, 1971, т. 61, №, .с. 118−134.

5. В. О. Тарасов. Начально-краевая задача для нелинейного уравнения Шредингера. Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1988. Т. 169. С. 151−165.

6. Fokas A.S., An initial-boundary value problem for the nonlinear Shrodinger equation, Physika D 35 (1989), 167−185.

7. Бикбаев Р. Ф., Итс A.P., Алгебро-геометрические решения краевой задачи для нелинейного уравнения Шредингера, Мат. заметки 45, вып. 3 (1989), 3−10.

8. Р. Бикбаев, В.Тарасов. Неоднородная краевая задача на полуоси и на отрезке для уравнения sine-Gordon. Алгебра и анализ, 3 (1991), с 78−93.

9. И. Т. Хабибуллин. Начально-краевая задача для уравнения КдФ на полуоси с однородными краевыми условиями. Теор. и матем. физика, 2002, т.130. № 1. с. 31.

10. Е. К. Склянин. Граничные условия для интегрируемых систем. Функц. анализ и его прилож. 1987. Т. 21. № 2. С. 86−87.

11. I.T. Habibullin, Symmetries of boundary problems, Physics Letters A, 1993, v.178, p.369−373.

12. B. Gurel, I. Habibullin, Phys. Letts A, 233 (1997), 68−72.

13. V. Adler, B. Gurel, M. Gtirses, I. Habibullin, Boundary conditions for integrable equations, J. Phys. A: Math. Gen. v.30, 1997, p. 35 053 513.

14. А. Дегасперис, С. В. Манаков, П. М. Сантини. Смешанные задачи для линейных и солитонных уравнений в частных производных. Теор. и матем. физика, 2002, т. 133. №. с. 184−201.

15. A.V. Mikhailov, V.S. Novikov. Perturbative symmetry approach. Journal of Physics A: Math. Gen., vol. 35, 22, pp. 4775 4790 (2002).

16. Habibullin I.T., Vil’danov A.N. Boundary conditions consistent with L-A pairs. Материалы международной конференции «Modern Group Analysis for the new millenium», ред. В. А. Байков и др., г. Уфа, Россия, 2000 г, с80.

17. А. О. Смирнов. Вещественные конечнозонные регулярные решения уравнеия Каупа-Буссинеска. Теор. и матем. физика, 1986, т.66, № 1, с. 33.

18. I.T. Habibullin, A.N. Vil’danov. Integrable Boundary Conditions for Nonlin-ear Lattices. CRM, Proceedings and Lecture Notes, ed. D. Levi, Montreal, v. 25, 2000, p. 173 -180.

19. S. Ghoshal, Alexander B.Zamolodchikov. Boundary state and boundary S matrix two-dimentional integrable field theoryRU-93−20, hep-th/9 306 002.

20. П. Олвер. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. Москва, Мир, 1989.

21. В. Э. Адлер, И. Т. Хабибуллин, А. Б. Шабат. Краевая задача для уравнения КдФ на полуоси. Теор. и матем. физика, 1997, т.130. № 1. с. 98−113.

22. Э. Т. Уиттекер, Дж.Н.Ватсон. Курс современного анализа. 4.2. Москва, 1963.

23. И. Т. Хабибуллин. Уравнение sin-Гордон на полуоси. Теор. и матем. физика, 1998, т.114. № 1. с. 115.

24. Р.Хирота. Прямые методы в теории солитонов. В сборнике «Со-литоны», под ред. Р. Буллафа, Ф. Кодри. Москва, Мир, 1983.

25. E. Corrigan, P.E.Dorey, R.H.Rietdijk, R. Sasaki, Phys. Letts В 333 (1994), 83.

26. В. Giirel, M. Giirses, I.T.Habibullin. Boundary value problems, compatible with symmetries, Phys. Lett. A, 190, 1994, 231−237.

27. Лезнов A.H. Теор. и мат. физика, 1980, № 3, 343−349.

28. С. П. Новиков, Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза, Функц. анализ и его прилож.1974, т.8, вып. 3, с.54−66.

29. Б. А. Дубровин, В. Б. Матвеев, С. П. Новиков, Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия. УМН, 1976, т.31, вып. 1, с.55−136.

30. P.D.Lax, Periodic solutions of Korteweg-de Vries equation, Comm. Pure Appl. Math., 1975, V.28, p.141−188.

31. В. А. Марченко, Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения, Киев: Наукова думка, 1977.

32. В. Е. Захаров, С. В. Манаков, Асимптотическое поведение нелинейных волновых систем, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния, ЖЭТФ, 1976, т.71, N1, с.203−215.

33. A.R.Its and V.Yu.Novokshenov, The Isomonodromic Deformation Method in the Theory of Painleve Equations, Lect. Notes in Math., A. Dodd and Eckmann ed., Springer Verlag, 1191, (1986).

34. В. Е. Корепин, Л. Д. Фаддеев, Квантование солитонов, в кн. Фи" зика элементарных частиц, Материалы XII Зимней школы Ленингр. ин-та ядерной физики. Ленинград, 1977, с. 130−146.

35. М. Тода, Теория нелинейных решеток. М. Мир. 1984.1 у/2.

36. Moutard Т, Sur la construction des equations de la forme ^^^ = X (x, y), qui admittent une integrate g6nerale explicite, J. Ecole Polytechnique 45 (1878), 1−11.

37. G. Darboux, Legons sur la theorie generale des surfaces et les applications geometrique du calcul infinitesimal, T.2. Paris: Goutier-Villars, 1915.

38. С. В. Манаков, О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах, ЖЭТФ, 1974, т.67, N2, с.543−555.

39. Н. Flashka, On the Toda lattice. Inverse scattering solution, Progr. Theor. Phys., 1974, v.51, N3, p.703.

40. А. Б. Шабат, Задача Римана и нелинейные уравнения. Труды Всесоюзной конференции, посвященной памяти И. Г. Петровского (Москва, 1976), Издат. Москов. Гос. Унив., М., 1978, с.242−248.

41. Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев, Гамильтонов подход в теории со-литонов, М. Наука, 1986.

42. А. П. Веселов, Интегрируемые отображения, УМН, 46, 1995, 5(281), с.3−45.

43. И. М. Кричевер, Аналог формулы Даламбера для уравнений главного кирального поля и уравнения sine-Gordon., ДАН СССР, т.253, 1980, Т2, с.288−292.

44. И. Р. Габитов, В. Е. Захаров, А. В. Михайлов, Уравнение Максвелла-Блоха и метод обратной-задачи, ТМФ, 1985, т.63, N1, с.11−31.

45. С. В. Манаков, В. Ю. Новокшенов, Полное асимптотическое представление электромагнитного импульса в длинном двухуровневом усилителе, ТМФ, т.69, N1, с.40−53.

46. A.S.Fokas, A.R.Its, An initial-boundary value problem for the sine-Gordon equation in laboratory coordinates, TMF, v.92, 1992, N3, p386−403.

47. E.D.Belokolos, General formulae for solutions of initial and boundary value problems for the sine-Gordon equation, TMF v.103,1995, N.3, c.358−367.

48. А. Л. Сахнович, Нелинейное уравнение Шредингера на полуоси и связанная с ним обратная задача, Укр. мат. журнал, 1990, т.42, N.3.

49. А. Л. Сахнович, Задача N-волн на полуоси, УМН, т.46, 1991, N.4, с.171−172.

50. J. Moser (1985) Finitely many mass points on the line under the influence of an exponential potential integrable system, Lecture Notes in Physics, 38, 467−498.

51. М. А. Ольшанецкий, A.M.Переломов, Функцион. анализ и его прилож. т.10, 1976, в. З, d.86.

52. А. Н. Лезнов, М. В. Савельев, Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем, М., Наука, 1985.

53. А. Н. Лезнов, М. В. Савельев, В. Г. Смирнов, Теория представлений групп и интегрирование нелинейных динамических систем, ТМФ, т.48, 1981, N.1, с.3−12.

54. Р. Ф. Бикбаев, С. Б. Куксин, Периодическая краевая задача для уравнения синус-Гордон, ее малые возмущения и КАМ-деформации конечнозонных торов, Алгебра и анализ, 1992, т.4, в. З, с.70−111.

55. В. А. Козел, В. П. Котляров, Почти-периодические решения уравнения utt ихх = sin и, ДАН УССР, т.10, А, с.878−881.

56. Р. Ф. Бикбаев, А. Р. Итс, Алгебро-геометрические решения краевой задачи для нелинейного уравнения Шредингера, Мат. заметки, т.45, 1989, N.3, с.3−10.

57. I.T. Habibullin, in: Proc. IV Int. Workshop on nonlinear and turbulent processes in physics, Vol.1, Kiev, 1989, (Singapore, 1990), p.259.

58. И. Т. Хабибуллин, Преобразование Беклунда и интегрируемые начально-краевые задачй, Матем. Заметки, т.49, 1991, N4, с.130−138.

59. И. Т. Хабибуллин, Об интегрируемыех начально-краевых задачах, ТМФ, т.86, 1991, N1, с.43−51.

60. И. Т. Хабибуллин, Граничные задачи на полуплоскости для уравнения Ишимори, совместимые с методом обратной задачи рассеяния, ТМФ, т.91, 1992, N3, с.363−376.

61. И. Т. Хабибуллин, Начально-краевая задача на полуплоскости для уравнений Ишимори и Деви-Стюартсона, в сб. Задачи математической физики и асимптотика их решений, под ред. Л. А. Калякина, Уфа, 1991, с.50−59.

62. A.B.Borisov, Vortices in the sine Gordon system and solution of the boundary value problem by the inverse scattering problem, Physics Lett. A, v.143, 1990, N. l, p.52−56.

63. M. Jaworski, D. Kaup, Direct and inverse scattering problem associated with the elliptic sinh-Gordon equation, Inverse Problem, v.6, 1990, N.4, p.543−556.

64. G. Costabile, R.D.Parmantier, B. Savo, D.W.McLaughlin, A.C.Scott, Exact solutions of the sine-Gordon equation, describing oscillationsin a long (but finite) Josephson junction. Appl. Phys. Lett., v.32, 1978, p.587−589.

65. H. Saleur, S. Skorik, N.P.Warner, The boundary sine-Gordon theory, USC-94−013, hep-th/9 408 004.

66. J. Ishimori, Multi Vortex Solutions of a Two-Dimentional Nonlinear Wave Equation, Progress of Theoretical Physics, v.72,1984, p.33−37.

67. Л. В. Овсянников, Групповой анализ дифференциальных уравнений, М.: Наука, 1978.

68. У. Миллер, Симметрия и разделение переменных, М.:Мир, 1981.

69. Н. Х. Ибрагимов, Группы преобразований в математической физике, М.:Наука, 1983, 280 с.

70. А. В. Жибер, А. Б. Шабат, Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой, Докл. АН СССР, т.247, 1979, N.5, с.1103−1107.

71. S.I. Svinolupov (1989) On the analogues of the Burgers equation, Phys. Lett. A, 135(1), 32-.36.

72. S.I. Svinolupov (1992) Generalized Schrodinger equations and Jordan pairs, Commun. Math. Phys., v.143, 559−575.

73. I.T.Habibullin, S.I. Svinolupov, Integrable boundary value problem for the multicomponent Schrodinger equations, Physica D, v.87, 1995, p.101−106.

74. А. В. Михайлов, А. Б. Шабат, Р. И. Ямилов, Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем, УМН, 1987, т.42, В.4(256), с.3−53.

75. I.T.Habibul-lin. Boundary problems for integrable equations, Proceedings of VIII International Workshop NEED’S92, Dubna near Moscow 1992, World Scientific, Singapore, 1993.

76. A. Medina, Sur quelques algebres symetriques a gauche l’algebre de Lie sous-jacente est resoluble, C.R.Acad.Sci., Paris, Ser. A 286, 1978, N.3, p. 173−176.

77. О. В. Мельников, В.H.Ремесленников, В. А. Романьков, JI.A.Скорняков, И. А. Шестаков, Общая алгебра, М.:Наука, 1990.

78. В. В. Соколов, С. И. Свинолупов, Векторное и матричное обобщения классических интегрируемых уравнений, ТМФ, т. 100, 1994, N2, с.214−218.

79. S.I. Svinolupov, R.I. Yamilov (1991) The multi-field Schrodinger lattices, Phys. Lett. A, 160, 548−552.

80. О. И. Богоявленский, Интегрируемые уравнения на алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики, Известия АН СССР (сер. мат.) т.48, 1984, N.5, с.883−938.

81. А. Б. Шабат, Р. И. Ямилов, Симметрии нелинейных цепочек, Алгебра и анализ, т.2, 1990, в.2.

82. A.B.Shabat, Higher symmetries of two-dimensional lattices, Phys. Letters A, v.200, 1995, p. 121−133.

83. F. Calogero, A. Degasperis, Reduction technique for matrix nonlinear equations solvable by the spectral transform, preprint Instituto di Fizica G. Markoni Univ. di Roma, 151, 1979, p.1−37.

84. С. И. Свинолупов, В. В. Соколов, Р. И. Ямилов, О преобразованиях Беклунда для интегрируемых эволюционных уравнений, ДАН СССР, 271, 1983, N.4, с.802−805.

85. M. Bruschi, O. Ragnisco, P.M.Santini, Tu Gui Zhang, Integrable symplectic maps, Physica D 49, 1991, 273−294.

86. V.E.Adler, I.T.Habibullin (1995) Integrable boundary conditions for the Toda lattice, solv-int/9 505 003.

87. Р. И. Ямилов, Классификация дискретных эволюционных уравнений, УМН, 38:6, 1983, с.155−156.

88. Ю. Мозер, Некоторые аспекты интегрируемых гамильтоновых систем, УМН, т.36, 1981, в.5, с.109−151.

89. И. Т. Хабибуллин, Граничные условия для нелинейных уравнений, совместимые с интегрируемостью, Теор. Мат. Физ., 96,1993, N1, с.109−122.

90. Б. Б. Кадомцев, В. И. Петвиашвили, Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах, ДАН СССР, 192, 4, 753 756, (1970).

91. В. Е. Захаров, А. Б. Шабат, Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи теории рассеяния, Функц. анализ и его прилож. т. 8, вып. 3, 43−53, (1974).

92. С. И. Свинолупов, И. Т. Хабибуллин, Интегрируемые граничные условия для многокомпонентного уравнения Бюргерса, Матем. Заметки, 1995.

93. I.T.Habibullin, Boundary conditions for integrable chains, Phys. Letts. A, v.207, 1995, N.5', p.263−268.

94. В. Э. Адлер, А. Б. Шабат, Р. И. Ямилов, Симметрийный подход к проблеме интегрируемости, ТМФ, т.125, N3, с. 355−424, 2000.

95. М. Д. Рамазанов. Матем.сб., 1964 г, т. 64, № 2, с. 234.

96. А. В. Фаминский. Труды ММО, 1988, т. 51, с. 54.

97. Б. Г. Конопельченко. Интегрируемые уравнения: группы симметрии, Бэклунд-преобразования и динамические группы. Сибирское отделение АН СССР, Институт ядерной физики, препринт 80−147, 1980 г.

98. D.J.Kaup. On the inverse scattering problem for cubic eigenvalue problems of the class фххх + 6Qipx + 6 В, ф = A ф. Studies in applied mathematics, 1980, 62, p. 189−216.

99. Ф. Х. Мукминов, В. В. Соколов. Интегрируемые эволюционные уравнения со связями. Мат. сб., т. 133, с. 392−414, 1987 г.

100. В. В. Соколов. О симметриях эволюционных уравнений. Успехи математических наук, т. 43, вып. 5, с. 133−163, 1988 г.

101. И.Лорис. Билинейные представления интегрируемых уравнений. Теор. и матем. физика, 2002, т.133. № 2. с. 270−278.

102. Б.Пеллони. О корректных граничных задачах для интегрируемых эволюционных уравнений на конечном интервале. Теор. и матем. физика, 2002, т.133. № 2. с. 327−336.

103. Ф. Женье, Ж.Леон. Спектральное преобразование Захарова-Шабата на полупрямой. Теор. и матем. физика, 2002, т.133. № 2. с. 218−232.

104. А. Дегасперис, Д. Д. Холм, А.Н. И. Хон. Новое интегрируемое уравнение с пиконными решениями. Теор. и матем. физика, 2002, т.133. № 2. с. 170−183.

105. А. Г. Рейман, М.А.Семенов-Тян-Шанский. Интегрируемые системы. АНО «Институт комьпьютерных исследований», Ижевск, 2004 г.

106. В. И. Лагно, С. В. Спичак, В. И. Стогний. Симметрийный анализ уравнений эволюционного типа. АНО «Институт комьпьютерных исследований», Ижевск, 2004 г.

107. М. В. Павлов. Уравнение Буссинеска и преобразования типа Ми-уры. Фундаментальная и прикладная математика, 2004, том 10, № 1, с. 175−182.

108. Вильданов А. Н. Начально-краевая задача на полуоси для уравнения КдФ. // Материалы международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы». г. Уфа, 2000 г. с. 38−41.

109. Хабибуллин И. Г., Вильданов А. Н. Краевые задачи для интегрируемых уравнений. //4-ый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ -98). Новосибирск, Издательство Института мат. СО РАН. 2000, с. 85.

110. Вильданов А. Н. Краевое условие для уравнения Буссинеска, совместное с интегрируемостью. // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. 30−31 октября 2003, г. Уфа. с. 24−32.

111. Вильданов А. Н. Интегралы движения уравнения Кортевега-де-Фриза на полуоси. // Материалы республиканская научно-практической конференции «Актуальные проблемы вузовской науки», г. Нефтекамск, 2004, с. 63−67.

112. Вильданов А. Н. Интегрируемая граничная задача для уравнения Буссинеска. Теор. и матем. физика, 2004, т.141. № 2. с. 192−207.