Анализ и синтез линейной системы автоматического управления электроприводом

1. Анализ исходной САУ

1.1 Определение передаточной функции (ПФ) САУ в разомкнутом состоянии

1.2 Определение требуемого коэффициента усиления разомкнутой САУ из условия статической точности

1.3 Определение ПФ замкнутой САУ по управляющему, возмущающему воздействиям и по ошибке

2. Анализ устойчивости исходной САУ

2.1. Характеристическое уравнение системы

2.2. Анализ устойчивости исходной САУ с помощью критерия Рауса

2.3. Анализ устойчивости исходной САУ с помощью критерия Найквиста

2.4. Диаграмма Боде (с определением запасов устойчивости)

2.5. Определение влияния величины коэффициента усиления САУ на ее устойчивость методом корневого годографа

3. Синтез корректирующих устройств

3.1. Синтез последовательного КУ

3.2. Синтез параллельного КУ

3.3 Структурно-параметрическая синтез оптимизированной САУ

4. Анализ синтезированных САУ

4.1 Анализ синтезированной САУ при последовательной коррекции

4.2 Анализ синтезированной САУ при параллельной коррекции

4.3 Анализ синтезированной САУ при структурно-параметрической оптимизации

4.4 Сравнительный анализ различных способов коррекции

Библиографический список

1. Анализ исходной САУ

1.1 Определение передаточной функции (ПФ) САУ в разомкнутом состоянии

Рассмотрим структурную схему исходной САУ:

Имеем двухконтурную систему подчиненного регулирования. Найдем ПФ разомкнутой системы, применив правила преобразования структурных схем при помощи [Макаров, стр. 88, табл. 3.2]:

Упростив данное выражение, получим:

Система может быть представлена состоящей из 3-х звеньев: усилительного, апериодического и звена второго порядка. Для звеньев 2-го порядка декремент затухания Таким образом, мы имеем колебательное звено.

1.2 Определение требуемого коэффициента усиления разомкнутой САУ из условия статической точности

Требуемый коэффициент усиления с учетом необходимого диапазона регулирования:

где С учетом полученной выше ПФ разомкнутой системы и определения статического режима как режима, в котором приращения координат равны 0, можно записать:

Зная, , и, найдем требуемый коэффициент передачи предварительного усилителя :

Технически требуемый может быть реализован следующей схемой на основе операционного усилителя:

Для подобных схем Таким образом, несложно подобрать значения и, обеспечивающие требуемое значение .

Найдем величину статической ошибки при найденном

:

Видно, что при данном статическая ошибка меньше допустимой. Это означает, что исходная система в статическом режиме устойчива.

1.3 Определение ПФ замкнутой САУ по управляющему, возмущающему воздействиям и по ошибке

а) ПФ замкнутой системы по управляющему воздействию:

автоматический управление функция корректирующий С учетом численных значений (см. задание):

б) ПФ замкнутой системы по возмущающему воздействию:

С учетом численных значений:

в) ПФ замкнутой системы по ошибке.

Ошибка:

Передаточная функция:

С учетом численных значений:

2. Анализ устойчивости исходной САУ

2.1 Характеристическое уравнение системы

Как было показано выше, передаточная функция разомкнутой САУ имеет вид:

Представим эту ПФ в виде:

В нашем случае

и

Найдем характеристическое уравнение системы. Для этого мысленно представим исходную САУ как систему с одной единичной ООС и единственным задающим воздействием:

Для такой системы справедливо выражение:

Отсюда получим характеристическое уравнение системы:

причем должно быть выражено в виде Применив данные преобразования к нашей системе и подставив численные значения, получим:

В соответствии с общим видом, ,, .

2.2 Анализ устойчивости исходной САУ с помощью критерия Рауса

Для полученного характеристического уравнения составим таблицу Рауса [Нетушил, стр. 147−148]. Любой из коэффициентов таблицы Рауса при (k — номер столбца, i — номер строки) можно найти по формуле

где

Таблица Рауса для полученного характеристического уравнения (по образцу [Воронов, стр. 206, табл. 5.1]):

Критерий устойчивости Рауса: «Для того, чтобы система была устойчива по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса были положительны».

Как видно из таблицы, коэффициент меньше 0, т. е. критерий устойчивости Рауса не выполняется, следовательно, исходная САУ при заданных параметрах и требуемом коэффициенте усиления неустойчива.

2.3 Анализ устойчивости исходной САУ с помощью критерия Найквиста

Построим годограф Найквиста для. Для построения применим среду технических вычислений MATLAB 2007.

Годограф Найквиста Этот же годограф с увеличением окрестностей критической точки:

Годограф на области неотрицательных частот:

2.4 Диаграмма Боде (с определением запасов устойчивости)

Из диаграммы Боде видно, что система устойчива в статике (на области низких частот), однако в окрестностях рабочей частоты система неустойчива и требует коррекции.

2.5 Определение влияния величины коэффициента усиления САУ на ее устойчивость методом корневого годографа

С помощью системы MATLAB построим корневой годограф разомкнутой системы. Для этого найдем значения полюсов ПФ:

>> W=tf ([0 0 0 155.333],[0.144 0.189 0.055 1])

Transfer function:

155.3

1.44e-005 s³ + 0.189 s² + 0.055 s + 1

>> tzero (W)

ans =

Empty matrix: 0-by-1

>> pole (W)

ans =

— 100.0000

— 15.6250 +21.2204i

— 15.6250 -21.2204i

Представим ПФ как zpk-объект:

>> Wzp=zpk ([],[-100 (-15.6250+21.2204i) (-15.6250−21.2204i)], 155.33)

Zero/pole/gain:

155.33

(s+100) (s² + 31.25s + 694.4)

и построим для него корневой годограф:

>> rlocus (Wzp)

На годографе найдем критическое значение коэффициента усиления (gain) с помощью курсора (в точках пересечения ветвей годографа с мнимой осью).

Видно, что система находится на границе устойчивости при увеличении k до. Таким образом, диапазон изменения k составляет 1-. Очевидно, что найденный нами попадает в диапазон допустимых значений.

3. Синтез корректирующих устройств

3.1 Синтез последовательного КУ

Для синтеза последовательного КУ построим асимптотическую ЛАХ исходной разомкнутой системы W, желаемую ЛАХ Wж в соответствии с требованиями. Графическим методом найдем ЛАХ корректора:

Lк=Lж-Lисх

(построениесм. рисунок).

По виду ЛАХ корректора по [Бесекерский, стр. 542,табл.П.7] найдем схему последовательного КУ. Данное КУ является пассивным RC-четырехполюсником.

Рис. 3.2 Схемная реализация корректирующего устройства

Рис. 3.1 ЛАХ корректирующего устройства

Передаточная функция корректора:

Постоянные времени и определяются через частоты и (см. построение ЛАХ корректора) по общей формуле Найдем численные значения постоянных времени:

с; с Из схемы КУ:

;

Отсюда:

Зная эти соотношения, нетрудно подобрать соответствующие схемные элементы.

Выберем по [Конденсаторы] в качестве конденсатор К50−6-100мкФ с номинальной емкостью 100 мкФ. Тогда

Ом. По справочнику [Резисторы, табл.2.2, стр. 20; табл. стр.83] выберем в качестве резистор типа МЛТ с номинальным сопротивлением 450 Ом.

Найдем: Ом. По тому же справочнику [Резисторы, табл.2.2, стр. 20; табл. стр.83] в качестве выберем резистор МЛТ с номинальным сопротивлением Ом (ряд допусков Е96).

Постоянные времени КУ с учетом стандартных значений R и C:

с с

3.2 Синтез параллельного КУ

Параллельная коррекция реализуется за счет подключения к какому-либо элементу схемы КУ в качестве обратной связи.

Для синтеза параллельного КУ используем желаемую ЛАХ, построенную в предыдущем пункте.

Корректирующей ОС целесообразно охватить тиристорный преобразователь и предварительный усилитель. Таким образом, скорректированная схема будет выглядеть следующим образом:

В этой схеме:

— коэффициент передачи предварительного усилителя;

передаточная функция тиристорного преобразователя;

— передаточная функция двигателя;

— коэффициент передачи датчика скорости;

— искомая передаточная функция корректирующего устройства.

Передаточная функция звеньев, охваченных корректирующей ОС:

Общая передаточная функция звеньев, охваченных корректирующей ОС, и корректирующего звена:

Передаточная функция звеньев, не охваченных корректирующей ОС:

ПФ скорректированной системы при параллельной коррекции:

Переходя к ЛАХ:

где — ЛАХ скорректированной системы (желаемая ЛАХ, см. последовательную коррекцию);

— ЛАХ нескорректированной (исходной) системы;

— ЛАХ звеньев, охваченных корректирующей ОС;

— ЛАХ корректирующего устройства.

Отсюда найдем ЛАХ корректирующего устройства:

Решение осуществим графически (см. рисунок).

Из рисунка видно, что ЛАХ корректирующего устройства имеет следующий вид:

Из [Бесекерский, стр. 542,табл.П.7] по виду ЛАХ найдем схемное решение данного корректирующего устройства:

Данное КУ имеет передаточную функцию вида

Параметры, и можно определить непосредственно из построения асимптотической ЛАХ корректора.

Параметры элементов схемы связаны с параметрами ЛАХ следующими соотношениями:

Из построения:. Отсюда:

Кроме того, из построения видно, что частоты сопряжения (а, следовательно, и соответствующие им постоянные времени) равны соответствующим для последовательной коррекции, т. е.

с; с Зная, и, найдем параметры реальных элементов схемы параллельной коррекции. Для нахождения этих параметров составим систему уравнений:

Очевидно, что данная система неразрешима, так как число переменных больше числа уравнений. Поэтому зафиксируем параметр Ом. Решение системы осуществим с помощью системы MathCAD.

По справочнику [Конденсаторы] выберем в качестве конденсатор типа К50−6-100мкФ с номинальной емкостью 100 мкФ. По справочнику [Резисторы, табл.2.2, стр. 20; табл. стр.83] выберем в качестве резистор МЛТ с номиналом 100 Ом, в качестве — резистор типа МЛТ с номиналом 40.2 Ом (ряд допусков Е96), в качестве — резистор типа МЛТ с номиналом 196 кОм (ряд допусков Е96).

Постоянные времени КУ с учетом стандартных значений R и C:

с с

3.3 Структурно-параметрическая синтез оптимизированной САУ

Синтез будем проводить в соответствии с рекомендациями [Лукас, стр. 253−256].

Выделим в схеме контуры подчиненного регулирования — внутренний (контур тока) и внешний (контур скорости). Кроме того, введем в схему ООС по току якоря (датчик тока) и регуляторы тока и скорости вращения.

Пунктиром выделен контур тока.

На данной схеме: — коэффициент передачи предварительного усилителя; (рад/с)/В — коэффициент, характеризующий двигатель; В/(рад/с) — коэффициент передачи датчика скорости; В/А — коэффициент передачи датчика тока.

Передаточные функции звеньев схемы:

— передаточная функция тиристорного преобразователя;

— передаточные функции, характеризующие электрические и механические свойства двигателя;

— искомая передаточная функция регулятора скорости;

— искомая передаточная функция регулятора тока якоря.

В контуре тока объектом управления является инерционное звено 2-го порядка:

.

В соответствии с [Лукас, стр. 247, табл. 7.2] целесообразным является применение ПИ-регулятора, настроенного по критерию модульного оптимума (МО), т. е. с полной компенсацией наибольшей постоянной времени ОУ, т. е. с.

Передаточный коэффициент регулятора [там же]:

В/В

Таким образом:

При выбранных настройках достигается компенсация и эквивалентная ПФ замкнутого контура тока зависит только от и равна В соответствии с рекомендациями [Лукас, стр. 255] членом можно пренебречь из-за малости. Таким образом:

Контур тока является внутренним для контура скорости. С учетом последнего приближения объект регулирования в контуре скорости можно представить как:

Данным ОУ можно управлять при помощи настроенного на СО ПИ-регулятора [Лукас, стр. 247, табл. 7.2] вида [Лукас, стр. 248, ф. 7.45]:

с коэффициентом передачи:

В/В и постоянной времени:

с.

Таким образом:

Однако, согласно [Лукас, стр. 256] в этом случае будут возникать значительные перерегулирования, в этом случае в схему требуется включить сглаживающий фильтр [Лукас, стр. 252, ф. 7.69] вида:

Постоянная времени фильтра: с.

Схемная реализация ПИ-регуляторов будет выглядеть следующим образом [Терехов, стр. 149−150]:

В этой схеме звено 1 реализует требуемые значения и, а звено 2 — соответственно и. Для подобной схемы (в общем виде):

;

Таким образом, не составляет труда подобрать соответствующие схемные элементы.

4. Анализ синтезированных САУ

В качестве критериев анализа примем устойчивостьсинтезированных систем, их запасы устойчивости по модулю и фазе и показатели качества переходных процессов.

4.1 Анализ синтезированной САУ при последовательной коррекции

Построим ЛАЧХ скорректированной системы (в MATLAB):

>> W=tf ([0 0 0 155.333],[0.144 0.189 0.055 1])

Transfer function:

155.3

1.44e-005 s³ + 0.189 s² + 0.055 s + 1

>> wku=tf ([0.0124 1], [17.4 1])

Transfer function:

0.0127 s + 1

17.83 s + 1

>> Wsk=W*wku

Transfer function:

1.973 s + 155.3

0.2 567 s⁴ + 0.3 371 s³ + 0.9824 s² + 17.88 s + 1

Видно, что после применения КУ система устойчива и имеет удовлетворительные запасы устойчивости по модулю и фазе.

Оценим показатели качества переходных процессов в скорректированной системе. Для этого воспользуемся системой MATLAB.

а) Канал управления.

Видно, что время переходного процесса составляет 0.41 с, что значительно меньше допустимого значения 0.7 с. Перерегулирование составляет 1.6%.

б) Возмущающее воздействие.

Видно, что длительность переходного процесса составляет 0.36 с, что меньше допустимого. Перерегулирование равно 0.

Таким образом, данное последовательное КУ обеспечивает устойчивость исходной системы, приемлемые запасы устойчивости и отличные показатели качества при относительной простоте реализации КУ.

4.2 Анализ синтезированной САУ при параллельной коррекции

Проверим запасы устойчивости скорректированной САУ. ПФ скорректированной САУ будет иметь вид:

где — ПФ корректируемых звеньев,

— ПФ корректирующего устройства, Построение (с учетом всех параметров) осуществим в MATLAB.

Запасы устойчивости составляют 12 дБ по амплитуде и 21.9 град по фазе.

Построим переходную характеристику:

Время переходного процесса составляет 0.26 с, перерегулирование — 0.488%.

По возмущающему воздействию:

Время переходного процесса — 0.39 с, перерегулирование — 0.478%

4.3 Анализ синтезированной САУ при структурно-параметрической оптимизации

За основу при построении характеристик примем расчет из п. 3.3. Осуществив построение в системе MATLAB, получим ЛАФЧХ скорректированной разомкнутой системы:

>> Wtp=tf ([0 22],[0.01 1])

Transfer function:

0.01 s + 1

>> Wya=tf ([0 1.4286],[0.032 1])

Transfer function:

1.429

0.032 s + 1

>> Wm=tf ([0 8.867],[1 0])

Transfer function:

8.867

s

>> kpu=232.838

kpu =

232.8380

>> kd=0.57

kd =

0.5700

>> kds=0.0532

kds =

0.0532

>> kdt=0.12

kdt =

0.1200

>> WOI=kdt*Wtp*Wya

Transfer function:

3.772

0.32 s² + 0.042 s + 1

>> TI=0.032

TI =

0.0320

>> Kpt=0.424

Kpt =

0.4240

>> FI=tf ([0 1/kdt],[0.02 1])

Transfer function:

8.333

0.02 s + 1

>> Wpc=tf ([0.03*0.08 0.03],[0.08 1])

Transfer function:

0.0024 s + 0.03

0.08 s + 1

>> Wf=tf ([0 1],[0.08 1])

Transfer function:

0.08 s + 1

>> km=8.867

km =

8.8670

>> Wraz=Wf*Wpc*Wow

Transfer function:

0.1 132 s + 0.1 415

1.536e-005 s³ + 0.1 152 s² + 0.0216 s + 0.12

>> margin (Wraz)

Видно, что система, подвергнутая структурно-параметрической оптимизации, абсолютно устойчива в широком диапазоне частот.

а) Канал управления.

Время переходного процесса равно 0.336 с, перерегулирование равно 0%.

б) Канал возмущения

4.4 Сравнительный анализ различных способов коррекции

Из таблицы видно, что наилучшими характеристиками обладает система, синтезированная по методу структурно-параметрической оптимизации. Недостатком данного способа является сравнительно сложная реализация регуляторов.

Если применение структурно-параметрической оптимизации затруднительно, то предпочтение следует отдать последовательной коррекции, как более простой схемно и в то же время обеспечивающей больший запас устойчивости по фазе.

Библиографический список

1. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления / Под ред. В. А. Бесекерского — М. «Наука» 1972.

2. Башарин А. В., Голубев Ф. Н., Кепперман В. Г. Примеры расчета автоматизированного электропривода. — Л. «Энергия». 1972.

3. Лукас В. А. «Теория автоматического управления» —. М.: «Недра», 1990. — 416 с.

4. Конденсаторы: Справочник / И. И. Четвертаков, М. Н. Дьяконов, В. И. Присняков и др.: Под ред. И. И. Четвертакова, М. Н. Дьяконова — М.: Радио и связь, 1993. — 392 с.

5. Резисторы: Справочник / В. В. Дубровский, Д. М. Иванов, Н. Я. Пратусевич и др.; Под ред. И. И. Четверткова и В. М. Терехова. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Радио и связь, 1991. — 528 с.

6. Терехов В. М. «Элементы автоматизированного электропривода» — М.: Энергоатомиздат, 1987. — 224 с.