Функциональные инварианты в задачах локальной аналитической классификации

Величайшим открытием Ньютона был тот факт, что огромное количество окружающих нас эволюционных процессов описывается дифференциальными уравнениями. Однако в первой половине девятнадцатого века стало ясно, что большинство дифференциальных уравнений не решается в квадратурах. В 1880-х годах Пуанкаре [123], [124] предложил двоякую стратегию преодоления этой трудности. Во первых, он поставил задачу исследования свойств дифференциального уравнения непосредственно по его правой части. Так возникла качественная теория дифференциальных уравнений. Во вторых, Пуанкаре сформулировал следующий принцип: дифференциальные уравнения нужно не решать (всё равно это в большинстве случаев невозможно), а выбирать систему координат, в которой уравнение имеет по возможности простой вид. Так родилась теория нормальных форм.

Предлагаемая работа относится к теории нормальных форм дифференциальных уравнений и отображений, а также приложениям этой теории к исследованию особенностей отображений и родственным задачам локального анализа.

Опишем кратко историю развития теории нормальных форм. Первый вопрос, поставленный этой теорией и сохранивший актуальность до наших дней: в какой мере векторное поле или отображение в окрестности точки покоя похоже на свою линейную часть в этой точке? Первые достаточные условия эквивалентности векторного поля своей линейной части дал Пуанкаре [124]. Они состояли в отсутствии резонансов и малых знаменателей. Прошло 60 лет прежде чем были преодолены трудности, связанные с малыми знаменателями: Зигель доказал, что седло аналитически эквивалентно своей линейной части, если её собственные значения образуют так называемый Диофантов набор, [36]. Дальнейшие крупные продвижения в этой задаче связаны с работами Брюно [16] и Иоккоза [147]. Отметим, что статья [147] вошла в список работ, за которые Йоккоз был удостоен Филдсовской медали в 1994 году.

Необходимым условием аналитической эквивалентности векторного поля (отображения) своей линейной части является условие линейности формальной нормальной формы. В случае нелинейной формальной нормальной формы, аналитическая классификация векторных полей и отображений до начала 1970х годов не была развита даже в размерностях 1 для отображений и 2 для векторных полей.

Фундаментальный результат в аналитической теории нелинейных нормальных форм был получен Брюно [16]. Брюно указал необходимые и достаточные условия на нормальную форму резонансного векторного поля (отображения), при выполнении которых формальная нормальная форма может быть выбрана сходящейся и нормализующее преобразование также аналитично. Тем самым была полностью решена задача о соотношении аналитической и формальной классификаций векторных полей и отображений. Однако вопрос об аналитической классификации резонансных векторных полей и отображений оставался открытым. Этот вопрос можно сформулировать так: при каких условиях ростки двух векторных полей (отображений) аналитически эквивалентны? Другими словами, какова полная система инвариантов, совпадение которых необходимо и достаточно для аналитической эквивалентности двух ростков?

В 1981 году ответ на этот вопрос для простейшего класса так называемых одномерных параболических ростков отображений был дан н"^зависи мо: автором [20], февральЭкаллем [80], майМальгранжем [101], ноябрь. Оказалось, что аналитическая классификация ростков конформного: отоб-раэюений г I-) — я -1- аг2 + Ъг2, + ., а ф 0 имеет функциональные модули. После этого функциональные модули были обнаружены во многих других классификационных задачах: ^ задаче о классификации особых точек голоморфных слоений (седлоузлы [104] и резонансные седла [105]) на плоскости, Мартине-Рамисв аналогично^ задаче для векторных полей ([144], [30], [25], [26], [141]) — в задаче о классис^>икации исключительных разрешимых конечно порожденных групп ростков одномерных голоморфизмов [83], [149], и в других задачах (см. [22], [45], [74],.).

Описанию функциональных модулей в задачах аналитической кл-о, ссифи кации резонансных векторных полей и отображений посвящены пер>^ые ТрИ главы диссертации. Одномерные отображения рассматриваются ^ первой главево второй главе изучаются многомерные отображения, а в третьейвекторные поля на плоскости.

В диссертации обсуждаются также приложения полученой классификации к задачам теории особенностей. В конце 1970х годов В. И. Арнольд заметил, что в ряде локальных задач присутствует &bdquo-скрытая динамика". Это значит, что существует геометрические объекты, по которым инвариантным образом можно построить локальную динамическую систему. АрнолЬд указал несколько таких задач (задачу о парах инволюций, задачу о распаде симметрии, задачу об огибающей плоской кривой, и др.), с которыми инвариантным образом связаны ростки отображений (1). Таким образом, в этих задачах аналитическая эквивалентность геометрических объектов влечет аналитическую эквивалентность соответствующих &bdquo-скрытых Динамических систем". Автором были решены перечисленные выше задачи и, тем самым, найдены функциональные инварианты в задачах теории особенностей. Результаты эти излагаются во второй половине первой главы.

В.И.Арнольд указал также, что определенные инвариантным образом пары ростков (многомерных) инволюций встречаются и в других задачах теории особенностей, например, в задаче об обходе препятствия [11], или в так называемой задаче Дарбу-Уитни (задаче об одновременной нормализации симплектической структуры и гиперповерхности с особенностями), см. 11], [4], [3]. В этих задачах, возникающих в случаях малой коразмерности, инволюции имеют общее зеркало, так что их композиция является ростком отображения, неподвижные точки которого образуют гладкую гиперповерхность. Систематическому исследованию таких &bdquo-сильно вырожденных" ростков отображений посвящена вторая глава диссертации. Оказалось, что в этой классификационной задаче также возникают функциональные модули. В качестве приложения этих результатов, здесь же приводится решение задачи Дарбу-Уитни в аналитическом и гладком случаях (формальное решение было получено ранее В. И. Арнольдом [4]). В дальнейшем выяснилось, что полученные во второй главе диссертации результаты могут быть использованы и в других классификационных задачах (см. [9]), например, в задаче Биркхофа о классификации пар гиперповерхностей симплектическо-го пространства. На возможность приложения этих результатов при исследовании вырождений почти симплектических и почти контактных структур (см. [146]) указал автору М. Я. Житомирский. Обширный список возможных приложений результатов второй главы приводится в Заключении диссертации.

Стандартный способ исследования особой точки векторного поля состоит в рассмотрении соответствующего ей преобразования монодромии (отображения Пуанкаре, отображения последования, first return шар). Это позволяет понизить размерность задачи: орбитально эквивалентные векторные поля имеют эквивалентные преобразования монодромии, и наоборот, см. [33]. Именно с использованием этой схемы Мартине и Рамис [105] (см. также [42]) построили аналитическую классификацию седловых резонансных особых точек голоморфных слоений на плоскости. Однако для исследования аналитической (неорбитальной) классификации особых точек векторных полей информации о поле, которую содержит соответствующее полю преобразование монодромии, недостаточно. Автором было предложено вместо преобразования монодромии рассматривать &bdquo-преобразование ^монодромии" (надстройку над классическим преобразованием монодромии, показывающую, за какое время точка из трансверсали возвращается на трансверсаль). Классификация таких &bdquo-надстроек" (называемых ниже ^сдвигами) приводится в третьей главе. Эта классификация (в резонансном случае) также имеет функциональные модули (легко описываемые в терминах из первой главы). На основе этой классификации, в третьей главе получена аналитическая классификация (типичных) седловых резонансных особых точек голоморфных векторных полей на плоскости. Тем самым, получен аналог результата Мартине-Рамиса (для седел). В этой же главе получен аналог и другого результата Мартине-Рамиса (для седлоузлов, [104]), нос использованием другой техники (дело в том, что не все &bdquo-формально подходящие"^{-сдвиги} &bdquo-подходят аналитически"). По этой причине функциональные инварианты для седлоузлов строятся с помощью так называемых &bdquo-нормализующих атласов" - в частности, здесь доказана теорема о секториальной нормализации, обобщающая известный результат Хукухара, Кимура и Матуда [90].

В случае общего положения, (локальная) аналитическая и формальная классификации совпадают: типичное векторное поле (отображение) в окрестности его особой (неподвижной) точки эквивалентно линейному. При наличии резонансов, формальная нормальная форма, вообще говоря, нелинейна, а формальная и аналитическая классификации могут совпадать (резонансы в области Пуанкаре) или не совпадать (появляются функциональные инварианты — в случае резонансов в области Зигеля). В случаях более высокой коразмерности (нулевой спектр линеаризации поля в особой точке, например) уже формальная классификация необозрима (имеет функциональные модули). Оказалось, что, удивительным образом, в этой вырожденной ситуации аналитическая и формальная классификации вновь, как правило, совпадают. Результаты такого рода (формальная эквивалентность влечет аналитическую) принято называть теоремами о жесткости. Первая (нетривиальная, т. е., с нетривиальной формальной классификацией) теорема о жесткости была доказана для неразрешимых групп ростков одномерных отображений (см. [74],[125]- этот результат можно также получить из свойств нормализующих атласов, см. [83]- топологическая жесткость доказана в [58]). Результатам о жесткости посвящена четвертая глава диссертации.

Перейдем теперь к подробной формулировке результатов.

В первой главе, как уже говорилось выше, рассматриваются задачи, связанные, в основном, с одномерной динамикой.

В первом разделе главы 1 рассматривается задача об аналитической классификации ростков конформных отображений (С, 0) —У (С, 0) с тождественной линейной частью.

Пусть /: г 1-" г+. — росток голоморфного отображения (С, 0) —> (С, 0) с тождественной линейной частью, Л — множество всех таких /. Ростки /, д е Л будем называть эквивалентными, если найдется локальная замена координат /г, сопрягающая их: о к = Н о д.

Соответственно виду замены Н будем различать аналитическую и формальную эквивалентность ростков из Л. Формальная классификация ростков из Л достаточно проста, и хорошо известна (см. [113], [94]). Также довольно давно было известно (это следует, например, из результатов работы [122], опубликованной в 1916 году), что аналитическая и формальная классификации ростков из Л не совпадают. Аналитическая классификация (типичных) ростков из Л будет получена ниже.

Пусть Л2 —класс всех ростков из Л вида (1).

Пусть Ф±-(£) =? + *52к>0Ске±2тк¹ ряды сходятся при некотором N > О в областях {?: ±-1т£ > Л7″ } соответственно. Рассмотрим множество М2 всевозможных наборов /2 = (Ф+, Ф) такого типа и отношение эквивалентности на М.2'. М эквивалентно Д = (Ф+, Ф-), если и только если Ф±-(£ + с) = Ф±-(£ + сг) для некоторых С2 6 С, ±-1т£ > N1, для некоторого N1. Множество Мч классов эквивалентности т = [/х] наборов ц 6 М² и есть пространство модулей аналитической классификации ростков из Л2¦ Именно, справедлива следующая теорема:

Теорема 1 (теорема 1.1.1) (об аналитической классификации ростков класса Л2.) Можно каждому / £Е Л2 таким образом сопоставить т/ € М2, что.

1) (эквивалентность и эквимодальностъ) / эквивалентно д если и только если — гпд;

2)(реализация) для каждого т е М2 найдется / 6 .А2 такое, что т = т/.

Этот результат является основным результатом раздела. Соответствие / га/ строится в пп. 1.1.4, 1.1.5 по следующей схеме. В п. 1.1.4 доказывается теорема о выпрямлении для одномерных отображений: конформное отображение Р: XI —Ь V на односвязной области I/ С С аналитически эквивалентно сдвигу на единицу (Основная лемма, п. 1.1.4). С помощью основной леммы в п. 1.1.5 для ростка / € Л2 на проколотой окрестности его неподвижной точки строится выпрямляющий атлас (пара отображений А3: 0,3 —ь С, 2 = 1,2, сопрягающих / со сдвигом на единицу). Функции перехода выпрямляющего атласа и доставляют искомый представитель щ модуля га/ (необходимость дополнительной факторизации М.2/ ~ объясняется неединственностью выпрямляющего атласа). В этом же пункте доказывается первое утверждение теоремы (теорема 1.1.5). Второе утверждение доказано в п. 1.1.6 (теорема 1.1.6).

Замечание 0.0.1. Из построений разделов 1.1.4 и 1.1.5 следует, что соответствие / т/ является непрерывным (и даже &bdquo-аналитическим", см. замечание 1.1.7) в некотором естественном смысле.

Замечание 0.0.2. Коротко утверждение теоремы можно сформулировать так: &bdquo-Пространство Мч есть пространство модулей в задаче аналитической классификации ростков из Из". Ниже такие краткие формулировки будем понимать в том смысле, что справедливы утверждения об эквивалентности и эквимодалыюсти, о реализации, а также (см. предыдущее замечание) и об аналитической зависимости. В? качестве простейшего: приложения теоремы 1, в конце раздела рассматриваются три классическиезадачи теории функциональных уравнений однойпеременной: задачао включении (отображения в поток), задача об извлечении (итерационного) корня и задача об описании централизатора (для ростков класса Д2)• Этими задачами (также как и &bdquo-основной" задачей о классификации ростков класса Л, или &bdquo-задачей" о сопряжении") занимались, в разное времяАбель, Фату, Сцзекер, Эрдёш, Жаботинский, Адамар, Бэкер, Кимур>а, Рэй,. Ливерпуль, Кучма, Биркгоф, Лё, Бэбидж, и др. (так, задача об итерационных корнях рассматривалась в работе Бэбиджа [63| 1815-го года.:.), см: обзоррезультатов в монографии [94]- Однако полное решение этих трех задач (причем достаточно простое, см. п. 1.1.7) удаемсяполучить только в терминах построенных в теореме 1 модулей.

Остальные: разделы г. Г. посвящены решению классификационных задач, со &bdquo-скрытой динамикой". Именно, рассматриваются следующие задачи:. 1Задача о парах: инволюций. Конформное отображение /: (С, 0) —> (С, 0) — называется инволюцией’у если I ^ 1(1и1о1== 1с1. Пусть X — множество всех инволюций и с> = X2. Две пары, инволюций (/, 7) и (Д, Л) из <5. будем называть эквивалентными, если, существует сопрягающая их голоморфная замена координат Н: (С, 0) —> (С, 0):

1 о Я = Я о 7, 71оЯ = Яо7.

Требуется дать классификацию пар инволюций из «5.

2. Задача о распаде симметрии. Пусть — —г — симметрия, 71 апали-тично в (С, 0), 7X0) = 71/(0) = 0, 71//(0) ф 0 и П — множество всех таких 7 Спрашивается, к какой нормальной форме Ё можно привести отображение 71 аналитическими заменами К, Я:

КоР=РоН при условии, что замена Я сохраняет симметрию 7о:

Я о 70 = 70 о Я.

3. Задача об огибающей семейства плоских кривых. Следуя [5], семейством кривых на плоскости будем называть диаграмму.

С, 0) (С2,0) (<С2,0).

Семейства (<7, 71) и (<71,71) будем называть эквивалентными, если можно найти такие голоморфные замены /г, Я и К что диаграмма.

0) 4г±— (С2,0) (С2,0) я к.

С, 0) (С2,0) (С2,0) коммутативна. Пусть Т> — множество семейств (д, 71) таких, что Р — складка, линейная часть отображения д невырождена и линия уровня <7−1(0) касается ядра отображения 71*. Требуется дать аналитическую классификацию семейств из Т>.

Задача о парах инволюций есть простейший пример задачи о классификации так называемых исключительных (см. [83], [149]) разрешимых (неа-белевых) конечнопорождепных групп ростков одномерных голоморфизмов. Полная классификация таких групп была получена позже в работе [83].

Задача о распаде симметрии является частным случаем (эквивалентным, впрочем, общему) задачи о классификации расходящихся диаграмм, см. [78] или п. 1.1 ниже.

Задача об огибающей поставлена В. И. Арнольдом, и рассматривалась в работе [5].

Бьшо известно (см. [78], [5]), что в каждой из этих трех классификационных задач, в вещественном гладком (и, конечно, формальном) случае классификация &bdquo-почти" тривиальна: все обшие элементы попарно гладко (формально) эквивалентны. Аналогичный результат несложно получить и в формальном комплексном случае. А вот в аналитическом случае, оказалось, классификация типичных элементов в каждой из этих задач — нетривиальна (и, в частности, не совпадает с формальной. Первым, по-видимому, предположил расходимость нормализующих рядов в задачах 2,3, а также и в других родственных задачах, см. п. 1.1, Дж.П. Дюфур). Точная формулировка результата об аналитической классификации приводится ниже.

Пусть ?>25 7^-2) — подмножества «общих элементов «пространств <5, Т> (требования общности положения состоят, фактически, в формальной эквивалентности некоторой простейшей нормальной форме, и явно указаны в разделах 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3 соответственно).

Пусть Ф±-(£) = С + о ряды сходятся для некоторого N в областях {?: ±-1т£ > ЛГ} соответственно. Пусть Л42 — множество всех таких пар (Ф+, Ф), что Ф+(£) = —Ф!1^) — (Ф+>Ф-) и (Ф+>Ф-) будем называть эквивалентными в М!2, если Ф±-(£) = Ф (£ + с) + с для некоторого с Е С при всех таких, что ±-1т£ > N для некоторого N. Пусть М2 — множество классов эквивалентности пар из Л42.

Пусть [?>2], ['Л2], [Т>2] — множество классов эквивалентности элементов ?>2, 72−2, Тогда справедлива следующая классификационная теорема (сформулированная здесь в соответствии с замечанием 0.0.2):

Теорема 2 (теорема 1.2.3) М2 есть пространство модулей в задачах об аналитической классификации для каждого из пространств.

И = Ш = ру — Mi.

Фактически здесь сформулированы три теоремы: для ?>2, и Т>2- доказываются они, соответственно, в разделах 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3 (теоремы 1.2.4, 1.2.5, 1.2.6).

Задача о парах инволюций сводится к задаче о классификации ростков из Лг естественным образом: каждой паре т = (I, J) € ?>2 ставится в соответствие росток /т = / о J G ЛСимметричность (т.е., принадлежность классу М^) соответствующего ростку /т инварианта ш/г следует из симметричности пространства орбит ростка /т: инволюция I переставляет орбиты /т:/о/т = /-1о/.

Задача о распаде симметрии легко сводится к задаче о парах инволюций: у нас уже есть инволюция /о, а по одномерной складке F ЕЖ2 инвариантно определяется вторая инволюция Jp, переставляющая прообразы точек при отображении F.

Редукция задачи об огибающей к задаче о парах инволюций несколько сложнее, и, геометрически, может быть описана так. Пусть (g, F) — семейство из Т>2. Для складки F инвариантно определена (двумерная) инволюция I = переставляющая прообразы точек при отображении F. Рассмотрим слоение Т окрестности нуля на линии уровня ростка g, Т = {д = const}, и симметричное ему слоение Т = = {д о I = const'}. Пусть кривая.

I состоит из точек касания слоев слоения Т и слоев слоения ясно, что кривая I 7—симметрична: 1(1) = I. Тогда на кривой I (инвариантно) определены две (одномерные) инволюции: первая из них есть просто сужение на I симметрии /- вторая переставляет точки касания с кривой I слоев слоения Т. Полное описание редукции (в несколько иной терминологии) см. в пункте 1.2.3- технически, задача оказалась достаточно тяжелой (редукция занимает 7 страниц текста).

Во второй главе рассматриваются задачи многомерной динамики. Основной объект исследования этой главы — ростки голоморфных отображений (Сп, 0) —> (Сп, 0), удовлетворяющие следующим двум условиям:

1°. Неподвижные точки ростка образуют гладкую гиперповерхность в.

Сп, 0).

2°. Мультипликаторы (собственные значения линеаризации ростка в особой точке) постоянны вдоль гиперповерхности неподвижных точек.

Каждое из этих условий налагает на коэффициенты тейлоровскогоразложенияростка в нуле бесконечно много ограниченийоднако, как это будет показано ниже, ростки указанного вида естественным ¿-образом, — возникают, в некоторых геометрических задачах в случаях конечной коразмерности. Собственно говоряименно" ради этих приложений и было предпринято исследование классификации ростков отображений в рассматриваемом случае, имеющем бесконечную коразмерность. Именно, В. И. Арнольд показал, как в простых геометрических задачах (см.' 1.1) возникает: скрытая динамика (инвариантно определенная-, пара одномерных инволюций). В дальнейшемв этих задачах были? обнаружены функциональные модули аналитической классификации: Далее, во время беседы с авторомВладимир Игоревич предположил, что аналогичное явле-, ние имеет место и в более сложных (многомерных) задачах. Одной из таких задач являлась исследовавшаяся им ранее так называемая задача Дарбу-Уитни (см. ниже п. 2.1.4). В этой задаче также возникает пара инволюций: (их, видимо, уместно будет называть инволюциями Арнольда). Композиция-инволюций Арнольда как раз и удовлетворяет сформулированным выше двум жестким условиям (отягощенным еще и &bdquo-резонансностью": линейная /часть композиции во всех её неподвижных точках тождественна). Так что в основе всех исследований этой главы, фактически, лежит упомянутое выше замечание В. И. Арнольда.

Аналитическая и формальная классификации ростков указанного вида рассматриваются в разделе 2.Г.2.

Пусть В — пространство обратимых ростков голоморфных отображений (Сп, 0) —> (Сп, 0), п > 2, неподвижные точки которых образуют гладкую гиперповерхность в (Сп, 0), а мультипликаторы постоянны вдоль гиперповерхности неподвижных точек. Из теоремы Пуанкаре-Дюлака [2] несложно получить (см. пп. 2.1.2, 2.2), что каждый росток из В формально эквивалентен либо ростку линейного отображения, либо ростку вида.

А: (х, у, г) (Аж, у + я?9, г), х, у Е С, г е С71″ 2,? ? М, А € С такому, что А9 = 1.

Аналитическая классификация формально линеаризуемых ростков из В в точности аналогична одномерному случаю, см. 2.1.2, теорема 2.1.3. Однако для приложений, о которых говорилось выше, более интересны формально нелинеаризуемые ростки.

Пусть В’ъ д — класс ростков из В, формально эквивалентных ростку Несложно проверить, (см. лемма 2.1.1), что каждый росток из В’дХ голоморфной заменой координат можно привести к виду ж, у, г) ^ у, г) + о (хд) (2).

Поэтому задача об аналитической классификации ростков класса В’д Х сводится к такой же задаче для класса Вд, д, состоящего из ростков вида (2). Решение этой последней задачи дается следующей теоремой (и является основным результатом второй главы):

Теорема 3 (теорема 2.1.5) Аналитическая классификация ростков клас-саВд^х имеет функциональные модули: существуют бесконечномерное (функциональное) пространство и отображение Ф: ^ тр? -М^л такие, что:

1. ростки? Вд> аналитически эквивалентны, если и только если тр — то;

2. для любого т? существует Р? такой, что т — тр;

3. для любого аналитического семейства ростков С Вд7 семейство тр1 является аналитическим.

Опишем коротко функциональное пространство Л4Ч, и соответствие .Р тр.

Полуформальным рядом (отображением) будем называть степенной ряд по переменной х, коэффициенты которого являются (вектор-) функциями, голоморфными в некоторой окрестности нуля в Сп1, одной и той же для всех коэффициентов. Оказывается, формальная нормализующая замена Н ч. /"ч для ростка класса Вч, д, нормированная условиями Н (х, 0) = (ж, 0), ИН (х, 0) = Е, существует, единственна, и являются полуформальным отображением (теорема 2.1.2).

Далее, область V вида х 6 С: 0 < |ж| < Д, а < aтgx < /3} X {ю е Сп-1: ю < В.} будем называть секториальной областью радиуса Я, направления [о-,/3] и раствора (3 — а.

Полуформальное отображение Н (х, и-) = Х^о Нь{и))хк будем называть асимптотическим в II С С" для голоморфного отображения Н: и —>• Сп, если 0? II, и.

Н{х, Нк (™)хк = °{хт) к=0 для любого т? N при (х, ги)? 17, х 0.

В работе показано (теорема о секториальной нормализации 2.1.4), что для любого Р? Вд, и любой секториальной области и данного направления, раствора, меньшего и достаточно малого радиуса найдется голоморфное в и отображение Я, сопрягающее (на II) отображение Р с его формальной нормальной формой Рд^ при этом (полуформальное) нормированное нормализующее отображение Н является асимптотическим для Н на С/.

Пространство модулей Л4д> и соответствие 71 н->- тр строится далее в соответствии со схемой, описанной выше (и уже использовавшейся в первой главе). Именно, возьмем конечное число секториалЁных областей малого радиуса и раствора, меньшего покрывающих окрестность нуля в (Сп, 0), из которой удалены неподвижные точки ростка ^ Е На этих областях в соответствии с теоремой о секториальной нормализации построим нормализующие росток ^ замены координат. Полученныйобъект назовем пор-атласом*ростка-.Р. Система функций" перехода этого атласасостоит из отображений, коммутирующих с Ед^х и имеющих тождественное отображение асимптотическим. " .

Назовем 1-коциклом любую систему отображений, обладающих этими двумя 'свойствами, ипусть~ пространство всех 1-коциклов. Назовем 0-коцепъюпроизвольный нормализующий атлас формальной нормальной формы, Отображения, составляющие 0-коцепь, коммутируют, с .Р^дпространство (ростков) 0-коцепёй является группой с операцией суперпозицияНа пространстве 1-коциклов естественным образом определяется действие: группы 0-коцепей. Орбиты этого действия и являются элементамипространства Л4д, х', модуль гпр ростка 71 Е Вдгх есть, орбита,! содержащаясистему функций перехода некоторого нормализующего атласаэтого ростка;

Доказательство-теоремы 3 (т.е., теоремы 2.1.5) приведенов разделе 2.5 (для случая д — А = 1, Теорема В±-) и в пунктах 2.8.1 (Теорема Вд), 2.8.5 (ТеоремаЩ, х)• Теорема о секториальной нормализации доказывается с использованием техники операторов конечного порядка из [2]. Доказательство теоремы о реализации модулей основано на теореме Ньюлендера-Ниренберга [115] о почти комплексных, структурах.

Замечание 0.0.3. Пространство модулей ЛЛ, их из теоремы 3. выглядит намного сложнее по сравнению с пространством модулей М2 из теоремы 1.1.1. Однако оно действительно является &bdquo-функциональным" (содержит подмножества, которые можно &bdquo-отождествить" с пространством всех функций, голоморфных в некоторой области). Бесконечномерность пространства, модулей Л4qí-x (т.е., его &bdquo-функциональность") доказывается в разделе 2.6 (для случая д = Л = 1) и пунктах 2.8.2 и 2.8.5 (общий случай).

Замечание 0.0.4. В определениях 0-коцепей и 1-коциклов выше, все отображения коммутировали с формальной нормальной формой Поэтому естественным является желание профакторизовать все рассматриваемые там области по действию .^д, и работать на полученных фактор-пространствах. В результате мы получим другую, несколько более компактную, модель для пространства модулей, см. п. 2:5.7. Т.к. наши построения в точности сооветствуют схеме построения когомологий со значениями в пучке некоммутативных групп (см. [48], с.40), построенную таким образом модель для пространства модулей будем называть локальной группой когомологий-отображений на фактор-пространстве.Зто (пространство модулей в задаче об аналитической классификации ростков, формально эквивалентных данному ростку /о, совпадает с локальной группой когомологий-отображений фактор-пространства окрестности. нуля с удаленными из нее^неподвижными точками ростка /о, по действию /о), возможно, и есть универсальный ответ в задачах аналитической классификации. Отметим, наконец, что (обычную, см. 53]) (первую) группу когомологий на фактор-пространстве л можно трактовать как &bdquo-касательную" к построенной нами локальной группой когомологий-отображений, см. замечания в п. 2.5.9. Т.к. на многообразиях Штейна первая группа когомологий тривиальна, то нетривиальность аналитической классификации следует ожидать в задачах, для которых соответствующее пространство .Рас/0 не штейново. Во всяком случае, для рассматриваемых здесь задач это так: в задаче о классификации параболических ростков из г. 1 для фактор-пространства Рас/0, /о 6 А-2 нарушается условие голоморфной отделимости (оно даже не хаусдорфово!), а Расрч Х не является псевдовыпуклым, см. замечание 2.6.5.

Следующие три раздела первой главы имеют иллюстративный характер, и, фактически, посвящены &bdquo-доказательству" актуальности рассматриваемой задачи. Именно, оказалось, что, помимо задачи Дарбу-Уитни, ростки отображений указанного вида естественным образом возникают (в случаях малой коразмерности!) и в других задачах аналитической классификации. Эти задачи (вместе со вспомогательной задачей об орбитальной классификации векторных полей, преобразованиями монодромии которых и являются ростки отображений рассматриваемого типа) рассматриваются в п. 2.1.32.1.5.

Далее, оказалось, что (как и в первой главе при исследовании пар инволюций) отображения класса В, ь, возникающие в прикладных задачах, обладают некоторыми дополнительными свойствами типа сохранения некоторых дополнительных структур (и классифицировать их надлежит также по действию группы замен координат, сохраняющих эти структуры). Поэтому, для нужд приложений, во второй главе приводятся также решения и соответствующих классификационных задач, отягощенных дополнительными структурами. Именно.

1. Геометрической структурой в (С", 0) будем называть (при четном п) (почти) симплектическую структуру ак = хк+1(1х, А ¿-у + п-3 А йгп-2 х, у 6 С, г Е С71−2 (а также и а^ = ±-а^) .

.

2. Симметрией (стандартной) будем называть инволюцию.

0: (х, у, г) (-х, у, г), х, у Е С, г € Сп~2;

3. Антиимметрией (стандартной) будем называть антиголоморфную инволюцию &bdquo-комплексное сопряжение": и: (ж, у, г) М- (х, у, г), х, у Е С, я € Сп~2;

Эти три структуры будем называть элементарными структурами. Структурой будем называть любой набор элементарных структур.

Соответственно трем элементарным структурам определим пространства Ву Х, состоящие из всех ростков^: (Сп, 0) —>• (Сп, 0) класса Вд, согласованных с соответствующей структурой в в следующем смысле:

1. Е*ак = схк.

2. /00^ = ^0/0, где с =(-1)9;

3. а о ^ = Р о а.

Пусть, далее, группа состоит из всех локальных голоморфных замен координат Н в (С", 0), сохраняющих структуру 5 в следующем смысле:

1. Н*ак = ак.

2. /0 о Н = Н о 70.

3. а о Н = Н о сг.

Для неэлементарной структуры б, пространства В^х и определим как пересечения пространств, соответствующих элементарным структурам струкуры е.

Требуется: получить классификацию ростков класса В^х по действию группы (соответствующая формальная классификация тривиальна: любой росток из непустого класса В^х формально я-эквивалентен^а, см. пункт 2.8.5).

Теорема 4 (Теорема 2.1.6) Классификация ростков класса В^х по действию группы имеет (в случае В^ х ф 0) функциональные модули.

Обозначим через М. въ пространство модулей из теоремы 4. Это пространство строится точно так же, как и пространство Л4д>: надо только дополнить определения 1-коциклов и 0-коцепей соответствующими условиями сохранения структуры Как и в теореме 3, пространство модулей в теореме 4 бесконечномерно (является &bdquo-функциональным").

Полное доказательство теоремы 4 (2.1.6) проводится, в случае д = А = 1, в разделе 2.7, и в общем случае — в пунктах 2.8.3 и 2.8.5.

Последние три пункта второй главы посвящены так называемой задаче Дарбу-Уитни.

Ласточкиным хвостом называется (см. [4]) поверхность с особенностями Г, состоящая из всех точек (А, В, С) &euro-Е М3, таких, что уравнение х4 + Ах2 + Вх + С = 0 имеет кратные корнипроизведение, А = Г х Ж С Ж4 называется расширенным ласточкиным хвостом.

Симплектической структурой в (М4,0) называется росток в нуле невырожденной замкнутой 2 — формы с вещественно-аналитическими коэффициентами. Две симплектические структуры называют эквивалентными (гладко, аналитически, формально), если одну из них можно перевести в другую локальным диффеоморфизмом (соответственно гладким* аналитическим или формальным).

Теорема.(Формальная теорема Дарбу-Уитни, [4, 11]) Симплектическая структура общего положения (— невырожденная на плоскости В=С=0) приводится к стандартному виду и)0 = йА/ (10 +¿-С, А с1 В формальным диффеоморфизмом, сохраняющим расширенный ласточкин хвост.

Замечание 0.0.5. Этот результат можно понимать и как утверждение о возможности одновременной нормализации симплектической структуры («по Дарбу») и гиперповерхности с особенностями («по Уитни»), что и объясняет название задачи.

Пусть Оццг — пространство типичных симплектических структур из формальной теоремы Дарбу-Уитни. А — диффеоморфизмом будем называть росток замены координат Н: (Ж4, 0) —> (М4, 0), переводящий росток в нуле расширенного ласточкина хвоста в себя. Задачей Дарбу-Уитни будем называть задачу о классификации симплектических структур из по действию группы, А — диффеоморфизмовпри этом будем рассматривать формальный, гладкий и аналитический варианты задачи, (а также и её комплексную версию) .

Формальное решение задачи Дарбу-Уитни (в вещественном случае) дается сформулированной г выше теоремой: Ясно, что аналогичный результат справедлив (и в комплексном случае. Решение аналитической задачи Дарбу-Уитии' дается следующей теоремой ¦¦•¦¦¦

Теорема 5 (Теорема 2.9.9,2- теорема 2.9.10) (Аналитическая теорема Дарбу-• Уитни.) Аналитическая задача ДарбуУитниимеет функциональные модулипространством модулей является пространство при и структурами в — (То, ац) в вещественном (и в = (/о, сио) — в комплексном) случаях. ' Замечание ОЮ^бВ качестве следствия вещественной версий! этой теоремы (точнееиз существования соответствующих 5—нормализующих атласов) легко получить, что: в вещестенном случае все симплектические структупы из Орцг гладко А-эквивалентньт, см. теорему 2.9.9,1.

Схему редукции задачи Дарбу-Уитни к соответствую! I |-ей классифи каци-онной задаче для классов >5® л, предложенную В. И. Арнольд ом, можно грубо, описать так. Пус ть 7 — линия самопересечения зтсточкшт хвостя, Г (она состоит из точек (А, В, С), соответствующих уравнениям с двумя кратными корнями),' и.7 = 7 х М — расширенная линия самопересечения Пересечение малой окрестности точки р? 7, р ^ 0 с, А состоит из двух -&bdquo-листов". Первая инволюция Арнольда переставляет эти листы (и действует она на пространстве 7 пар (точка из 7, зглист" в этой точке)). Далее, характеристики (= ин-г тегральные кривые поля ядер сужения симплектической структуры на А) уходят с 7 по одному листу, и возвращаются на 7 по другомуэто определяет на 7 вторую инволюцию Арнольда. Композиция инволюций Арнольда и есть соответствующее симплектической структуре отображение класса Вч.

Точное описание редукции и полная схема решения задачи Дарбу-Уитни приводятся в п. 2.9, &bdquo-доказательной «части посвящены последние два раздела главы.

В третьей главе исследуется аналитическая классификация резонансных седели седлоузлов. Пусть V — класс ростков голоморфных векторныхполей в (С2, 0) с невырожденной? особой точкой 0. Два ростка из V называются аналитически (формально) эквивалентными,.если один росток можно перевести в другой локальной голоморфной (формальной) заменой координат.. :. Дна ростка из V называются аналитически (формально) орбитальное эквивалентными, если один росток можно перевести в другой локальной голоморфной (формальной) заменой координат с последующимумножением на обратимый росток голоморфной-функции- (формальный степенной ряд с ненулевым свободным членом). • ! Росток V € V называется седловым (седловым резонансным), если отношение собственных значений его линеаризациив нуле есть отрицательное.- вещественное (отрицательное, рациональное) число:

Через № и V. обозначим: класс седловых. ростков из V. и класс сед- - ловых резонансных ростков из У, соответственно. Известно, что типичный росток из можно линеаризовать голоморфной заменой координат.

Из теоремы Пуанкаре-Дюлакаследует, что типичный росток.: класса нелинеаризуем (даже формально), однако его можно значительно упростить формальной заменой координат (см. [2]). Более того,'несложно проверить (см. п. 3.2), что типичный росток из У'" 311 формально эквивалентен одному из ростков • .¦¦- ': д д у, с = Ага-(Ци) — + Х2у{1 + схи + с2и2)—, где, А = (ЛЬЛ2), ^ = р, д е К, ^ несократимая дробь, и = х (]ур,.

C= (ci, c2) Е С2, с Ф 1.

Пусть VjC — класс формальной эквивалентности ростка v) C. В работе показано, что аналитическая классификация ростков класса Vfi имеет функциональные модули.

Пусть Л4 — пространство всех наборов {</?±, ф±-} таких, что (р+ и ф+ голоморфны в (С, 0), +(0) = <р+(0) = Ф+{0) = 0- ipи ф голоморфны в (С, оо), ср-(оо) = ^(оо) = 0.

Два набора {<�р±, ф±} и {ф±, ф±} из Л4 назовем эквивалентными, если для некоторого с? С*.

P±(cz) = сф±(г), ф±(сг) =.

Пусть М — пространство классов эквивалентности наборов из Л4.

Основным результатом первой части третьей главы является следующая теорема (формулировка которой приводится здесь в соответствии с замечанием 0.0.2):

Теорема 6 (Теорема 3.1.2) (Теорема об аналитической классификации резонансных седел). Пространство М есть пространство модулей в задаче об аналитической классификации ростков класса V? c.

Замечание 0.0.7. Орбитальная аналитическая классификация резонансных седел была получена Мартине-Рамисом в [105] (см., впрочем, также препринт [42]). Как это следует из построения (см. п. 3.1.4), &bdquo-^-компонента" модуля из теоремы 6 является, фактически, модулем Мартине-Рамиса орбитальной аналитической классификации из [105] (мы только удалили у модулей Мартине-Рамиса их линейые компоненты — они определяются формальными параметрами). Т.о., видим, что аналитическая классификация (типичных) резонансных седел имеет в два раза больше модулей (как числовых, так и функциональных) по сравнению с орбитальной аналитической.

Замечание 0.0.8. В теореме 6 автору принадлежит основной частный случай р = q = 1- в общем случае (а также и в случаях более высокой коразмерности, см. [30]) теорема доказана его соавтором А. Гринчий, см. [144]).

Опишем коротко схему доказательства теоремы 6. Пусть V — росток класса, А = (АьЛг) — спектр его линеаризации в нуле. Пусть — его сепаратриса, соответствующая собственному значению Лх, и Г — трансверсаль к5"в точке РоЗаметим, что все интегральные кривые ограничения V на б’и периодичны, с периодом ¿-о =^{ХГПоэтому} интегральная кривая поля V, выходящая из точки Р Е Г, близкой к Ро, через время ¿-(Р), близкое к ¿-о, возвращается на Г (приходит в некоторую точку (5 Е Г). Назовем преобразованием Ь—монодромии ростка V отображение 8: (Р, ?) 1-> (ф,?-М (Р)) (его первая компонента — обычное преобразование монодромии). Оказывается, преобразование ¿-—монодромии при исследовании аналитической эквивалентности векторных полей играет в точности ту же роль, что классическое преобразование монодромии — при исследовании орбитальной эквивалентности.

Отождествляя (Г, Ро) с (С, 0), видим, что преобразование ¿-—монодромии имеет вид 1-" (Д (*), 4+ а (*)), ¿-:(С, 0) х С (С, 0) хС (3).

Назовем Ь—сдвигом любое (голоморфное) отображение вида (3) — два сдвига будем называть эквивалентными, если их можно сопрячь некоторым ¿-—сдвигом. Наконец, пустьОд, скласс всех ¿—сдвигов, (формально) эквивалентных преобразованию ¿—монодромии формальной нормальной формы г? д)С.

Теорема 7 (Теорема 3.3.1) (Теорема о редукции) Преобразование Ь-моно-дромии ростка из У) С является Ь-сдвигом из Д>с. Два ростка из аналитически эквивалентны, если и только если аналитически эквивалентны их преобразования Ь-монодромии. Любой 1-сдвиг из Од1С является преобразованием Ь-монодромии некоторого ростка из Уд) С.

Эта теорема аналогична &bdquo-орбитальной" теореме о редукции из [33, 105]. Эта теорема сводит задачу об аналитической классификации ростков класса.

Ух, С к задаче об аналитической классификации сдвигов из ?>а, сДоказывается теорема о редукции в п. 3.3.

Аналитическая классификация Ь—сдвигов исследуется в п. 3.4 третьей главы. Основным результатом этого пункта является следующая.

Теорема 8 (Теорема 3.4−1) (Теорема об аналитической классификации Ь—сдвиг Пространством модулей в задаче об аналитической классификации сдвигов из ?>д)С является пространство М из теоремы 6.

Замечание 0.0.9. Теорема 6 есть простое следствие теорем 7 и 8.

Остальная часть третьей главы посвящена аналитической классификации седлоузлов.

Пусть Уо — класс ростков голоморфных векторных полей в (С2,0) с изолированной вырожденной элементарной особой точкой 0 (т.е. таких, что линейная часть ростка в нуле вырождена, но не все ее собственные значения равны 0).

Как известно (см. [104, 91]) каждый росток из Уо формально орбитально эквивалентен одному из ростков вида д ур+1 д.

Обозначим через УР-а — класс ростков, формально орбитально эквивалентных ростку Ур>.

Также несложно проверить (см. п. 3.5.1), что каждый росток из УР) а формально эквивалентен одному из ростков вида р

Ур, х, а = Ур, х ¦ а (у), где а (у) = ^ акук, а0 ф 0, ак е С к=о.

Через УРгх, а обозначим класс ростков из Уо, формально эквивалентных ростку уРгх, аАналитическая классификация ростков класса УР, х, а дается приводимой ниже теоремой.

Пусть Л4Р, — пространство всех наборов (с, ф, ф) таких, что с € Срф = ((/?!,., (рр), ф = (фъ ., фр), щ и Фз голоморфны в (С, 0) — .

Пусть ра — наибольший общий делитель р и всех тех к € {1,., р}, для которых ак ф 0- па = р/раДва набора (с, ф, и (с, ф) из А4Р, будем называть эквивалентными, если для некоторого С 6 С*, С = (С,., Ср) и некоторого в € 0 < 8 < ра с^'+впа = с, ¦ с,-, ?,-+вПв (г) = Фз+8па (г) = ф{С]~1г) (4) нумерацию считаем циклической).

Пусть МР) х, а ~ пространство классов эквивалентности из А4Р).

Теорема 9 (Теорема 3.5.4)[Теорема об аналитической классификации ростков из Ур^а/ Пространство Мр^а есть пространство модулей в задаче об аналитической классификации ростков класса Ур^а.

Замечание 0.0.10. Орбитальная аналитическая классификация седло-узлов была получена Мартине-Рамисом в [104]. Как это следует из построения (см. 3.7.1)," с" и &bdquo-ф" - компоненты модуля из теоремы 9 являются, фактически, модулем Мартине-Рамиса орбитальной аналитической классификации из [104]. Т.о., видим, что, как и в случае резонансных седел, аналитическая классификация седлоузлов имеет в два раза больше модулей (как числовых, так и функциональных) по сравнению с орбитальной аналитической.

Замечание 0.0.11. В теореме 9 автору принадлежит основной частный случай р = 1- в общем случае теорема доказана его соавтором Ю. Мещеряковой, см. [25, 26].

Замечание 0.0.12. Независимо и одновременно, классификационная теорема 9 была доказана Л. Тессье ([140, 141]), но совершенно иным способом.

Именно, Тессье классифицирует ростки, пропорциональные данномувместе с теоремой Мартине-Рамиса это дает классификационную теорему 9. Мы же следуем традиционной (для данной работы) схеме построения функциональных инвариантов: строим нормализующий атлас, из функций перехода которого затем и. изготавливаются модули аналитической классификации. Отметим, что доказанная при этом теорема о секториальной нормализации ростков класса Ур, А, а является обобщением аналогичной теоремы из [90], и имеет самостоятельное значение.. ' Теорема о секториальной нормализации доказывается? разделе 3:5−2 с помощью теоремы о сжимающих отображениях. Полное доказательство теоремы 9 приведено в п. 3.7- доказательство утверждения о реализации модулей проводится, с помощью почти комплексных структур, и — использует аналогичные результатыиз второй главы работы. В четвертой главе работы исследуются неэлементарные особые точки голоморфных. векторных полей на плоскости.

Пусть V — класс ростков голоморфных векторных полей в (С2, 0) с изолированной особой точкой 0. Пусть Уп — класс ростков из V с нулевой (п — 1)-струёй в нуле, 71 > 2., :, :. Основным результатом этой главыявляется следующая^ теорема.

Теорема 10 (Теорема 4−1-1) (Теорема о 'жесткости для класса? п).

Из формальной орбитальной эквивалентности типичных ростков классамиследует их аналитическая^ орбитальная эквивалентность.

•.',. Замечание 0.0.13. При дополнительномпредположении, о существовании голоморфного семейства попарно формально орбитальио эквивалентных ростков, содержащем два данных ростка (и существенно менее обременительных, ограничениях общности положения) это утверждение доказано в [86](см. также [107]).. ... ' .

Доказательство теоремы 10 приводится в п. 4.2. Оно основано на теореме о жесткости для конечнопорожденных неразрешимых групп ростков одномерных голоморфизмов Серво-Муссю-Рамиса [74]. О связи теорем о жесткости с проблемой функциональных инвариантов в задачах аналитической классификации см. [91].

Проблемой Тома для задачи об аналитической классификации объектов данного класса называют задачу об отыскании минимальной системы инвариантов, однозначно определяющей аналитический тип объекта (см. [83], р.98- [149], р.411). Для ростка г? класса Уп, инвариантом орбитальной аналитической эквивалентности является класс [Сь] аналитической сопряженности его проективной группы монодромии бч, а также и класс [5^] аналитической эквивалентности его сепаратрисного множества В течении некоторого времени считалось, что эта пара инвариантов (удовлетворяющих некоторым естественным условиям согласованности с классом Уп, см. п. 4.1.7) и является инвариантами Тома в задаче об орбитальной аналитической классификации (типичных) ростков из Уп. И, хотя позже эта гипотеза и была опровергнута (см. [110]), вопрос о независимости этих двух инвариантов оставался актуальным. Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой.

Теорема 11 (Теорема 4−1-3) (Теорема о реализации).

Для любой пары ((7,5), удовлетворяющей естественным условиям согласованности, найдется росток V класса такой, что Б = и (7 =.

Замечание 0.0.14. Эта теорема является усилением известной теоремы Л. Нето [114] (см. также [83]) о реализации монодромии.

Доказывается теорема о реализации в п. 4.3. Доказательство реализуемости монодромии основано (как и в теореме Л. Нето) на теореме Грауэр-та о &bdquo-схлопывании" [89]. Однако необходимость одновременно реализовать и сепаратрисное множество потребовало довольно тонкой &bdquo-хирургической" работы (отрезания и переклеивания) на построенном &bdquo-по Грауэрту" многообразии.

Благодарности. Автор благодарен Ю. С. Ильяшенко за постановку задач, постоянное внимание к работе и многочисленные ценные обсуждения. Автор благодарен В. И. Арнольду и М. Я. Житомирскому — за постановку задач и ценные обсуждения. Автор благодарен своим младшим коллегам — Алене Гринчий, Юле Мещеряковой, Наташе Пазий и Алеше Воронину — за помощь в наборе текста.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 10−01−587-а и ФЦП 02.740.110 612.

1. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. М. «Мир», 1969.

2. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:Наука, 1978. 304 с.

3. Арнольд В. И. Перестройки особенностей потенциальных потоков в бесстолкновительной среде и метаморфозы каустик в тр^ссмерном пространстве 11 Тр. семинара им. И. Г. Петровского, 1982. 8. —С. 21−57.

4. Арнольд В. И. Лагранжевы многообразия с особенностями, (Асимптотические лучи и раскрытый ласточкин хвост // Функц. аналтиз и его прил. 1981. — 15, № 4. С. 1−14.

5. Арнольд В. И. О теории огибающих // Успехи мат. наук. 1976. -315 № 3. — С. 249.

6. Арнольд В. И. Замечания об особенностях конечной коразмерности в комплексных динамических системах. Функциональный анализ и его приложения, т. З, вып.1 (1969). 1 6.

7. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. 1. М. гНаука, 1982. 304 с.

8. Арнольд В. И., Васильев В. А., Горюнов В. В., Ляшко О. В. Особенности. П. Классификация и приложения // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Соврем, пробл. матем. Фундам. направл. 1989. — 39. -С. 5−254г.

9. Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.4. ВИНИТИ, М., 1985. С.7−139.

10. Арнольд В. И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах. Успехи математических наук, 27, вып.5 (167), 1972, с 119−184- ¦

11. Арнольд В. И. Особенности в вариационном исчислении. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения-/ Т.22. ВИНИТИ, М., 1983. С.3−55.

12. Арнольд В. И., Ильяшенко ТО.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.1. ВИНИТИ, М., 1985. С.7−150:

13. Белинский П. П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск, «Наука», 1974. ' ¦

14. Белицкий Г. Р. Нормальные формы, инвариант, ы и локальные: отображения. &bdquo-Наукова Думка", Киев. 1979.

15. Б ере Л, Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М., «Мир», 1966.

16. Брюно А. Д. Аналитическая форма, дифференциальных уравнений // Труды ММО. Т.25. (1971). С. 119−262, Т.26.(1972). С.199−239.

17. Брюно А. Д, Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. 256с.

18. Владимиров B.C. Методы теории: функций многих комплексных neper манных. М.: Наука, 1964.

19. Воронин ОМ. Аналитическая классификация ростков конформных отображений в нуле с тождественной линейной частью. Успехи математических наук, т.35 № 4 (1980), 152−153.

20. Воронин С. М. Аналитическая классификация ростков конформных отображений (С, 0) —> (С, 0) с тождественной линейной частью. Функц. анализ, 1981, т. 15, вып. 1, с. 1—17.

21. Воронин С. М. Три задачи аналитической классификации. Депонированная рукопись, МГУ, М., 1981, 29 стр. (Рукопись депонирована в ВИНИТИ 8 июля 1981 г., № 3333−81 Деп.).

22. Воронин С. МАналитическая классификация пар инволюций-и* ее при-ложенйя // Функц: анализ-игвго прил.-1982^- С.- 21−29^.

23. Воронин С. М. Аналитическая классификация ростков голоморфных отобраэюений с неизолированными неподвижными точками и постоянными мультипликаторами, и ее приложения^ Вестник Чел У, Сер. 3 Мат., Мех., 1999,2(5), с. 12−30.

24. Воронин С. М. Орбитальная аналитическая эквивалентность вырожденных особых точек голоморфных векторных полей, на комплексной плоскости. Тр.Мат.Инст. им Стеклова.213 (1997), Дифференциальныеуравнения с вещественным и комплексным временем, с. 35−55.

25. Воронин С. М., Мещерякова Ю. ИАналитическая классификация типичных вырожденных элементарных особых точек ростков голоморфных векторных полей на комплексной плоскости // Известия вузов. Математика, 2002, № 1, С. 13−16.

26. Воронин С. М., Мещерякова Ю. И. Аналитическая классификация сед-лоузлов. Тр. ММО, 66 (2005), с.93−113.

27. Воронин С. М., Л. Ортис-Бобадилла, Э. Росалес-Гонсалес Проблема Тома в задаче об орбитальной аналитической классификации вырожденных особых точек голоморфных векторных полей на плоскости. ДАН 2010, т. 434, № 4, с. 443−446.

28. Ганнинг Р., Росси X. Аналитические функции многих комплексные*^: переменных. М.:Мир, 1969. 395 с.

29. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображении и их oco6e. sr-ni, o-сти. М.: Мир, 1977.

30. Гринчий A.A. Аналитическая классификация седловых резонанс озхгных особых точек на комплексной плоскости. Деп. в ВИНИТИ 24.05, № 1690 -В96, 24 С.

31. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления ций в комплексной области. М., 1966.

32. Дюлак А. О предельных циклах. М. Наука, 1980, 160с.

33. Елизаров П. М., Ильяшенко Ю. С. Замечания об орбитальной сь’г-е^сгли-тической классификации ростков векторных полей Матем. сбо^>1ник, 121(1983), С.111−126.

34. Житомирский М. Я. Особенности и нормальные формы уравт-е, gtluu Пфаффа // XIII Всесоюзн. школа по теории операторов и функцио:^з:еи1ь-ных пространствах. Тез. докл. Куйбышев, 1988. — С. 69−70.

35. Зигель K. J1. Лекции по небесной механике. М., 1959.

36. Зигель K. J1. О нормальной форме аналитических дифференциауг-^>'н, ых уравнений в окрестности положения равновесия. Математика,-, 5:2 (1961), 119−128.

37. Ильяшенко Ю. С. Предельные циклы полиномиальных векторнъе^с полей с невырожденными особыми точками на вещественной плоск: с^> сти. Функц. анализ и его приложения, Т.18, ВЫП.1(1984), С.1−17.

38. Ильяшенко Ю. С. Слоения на аналитические кривые. Мат.сб., 1972 т.88, с.558−577.

39. Ильяшенко Ю. С. Расходимость рядов, приводящих аналитическое дифференциальное уравнение к линейной нормальной форме в особой точке. Функциональный анализ и его приложения, т.13, вып. З (1979), 87−88.

40. Ильяшенко Ю. С. В теории нормальных форм аналитических дифференциальных уравнений при нарушении условий А. Д. Брюно расходимость правило, сходимость — исключение. Вестник Московского университета, серия 1, № 2 (1981), 10−15.

41. Ильяшенко Ю. С. Топология фазовых портретов аналитических дифференциальных уравнений на комплексной проективной плоскости. Труды семинара имени Петровского, вып.4 (1978), 83−136.

42. Ильяшенко Ю. С. Особые точки и предельные циклы дифференциальных уравнений на вещественной и комплексной плоскости НИВЦ АН СССР.: Пущино, препринт, 1982. 39с.

43. Картан Э. Геометрия римановых пространств. М. — Л., 1936.

44. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1988. — 304с.

45. Лазуткин В. Ф. Аналитические интегралы полустандартного отображения и распад сепаратрис // Алгебра и анализ. 1989. — I, № 2. — С. 116−131.

46. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968. — 564с.

47. Мещерякова Ю. И. Формальная классификация вырожденных элементарных особых точек // Уравнения соболевского типа: Сб. науч. работ. Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 2002 г., С. 197−206.

48. Онищик А. Л. Методы теории пучков и пространства Штейна // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Современ. пробл. матем. Фундам. направл. 1986. — 10. — С. 5−73.

49. Привалов И. И. Субгармонические функции. -М. -Л., 1937.

50. А. О. Ремизов, Геодезические на двумерных поверхностях с псевдори-мановой метрикой: особенности смены сигнатуры Матем. сб., 2009, 200:3, 75−94.

51. Рохлин В. А., Фукс Д. В. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М., «Наука», 1977.

52. В. И. Савельев Вложения нулевого типа сферы в комплексную поверхность, Вестник МГУ, Сер.1 Мат.Мех., 1982, «№ 4,28−32,85.

53. Хейман, Уолтер, Кеннеди. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980.

54. Хермандер Л.

Введение

в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1968. — 279с.

55. Шабат Б. В .

Введение

в комплексный анализ. П. М.: Наука, 1976. — 400с.

56. Щербаков А. А. О ростках отображений, аналитически не эквивалентных своей нормальной форме. Функц. анализ, 1982, т. 16, вып. 2, с. 94−95.

57. Щербаков А. А. Топологическая классификация ростков конформных отображений с тождественной линейной частью. Вестник МГУ, серия 1 (Мат. Мех.), 37,(1982), № 3, 52−57.

58. Щербаков А. А. Топологическая и аналитическая сопряженность некоммутативных групп конформных отображений. Тр. семинара им. И. Г. Петровского, 10 (1984), 170−192.

59. Экалль Ж. П. Решение двух задач, связанных с теорией итерации. Вестник Ленинградского государственного университета, Серия Математика-механика-астрономия, № 13, вып. З (1973), 166−167.

60. Ahern Р., Gong X. A Complete Classification for Pairs of Real Analytic Curves in the Complex Plane with Tangential Intersection. J.Dyn. and Control Syst., 11,1, 2005. P. l-71.

61. Ahern P. and J.P.Rosay Entire function, in the classification of germs tangent to identity, in one and two variables. Transaction AMS, 347(1995), p. 543−72.

62. Arnol’d V.I. Wave front evolution and equivariant Morse lemma. Comm. pure and appl. Math., 1975, v. 29, p. 557—581.

63. Babbage Essay Towards the calculus of functions. Philosoph. Transact, 1815, 389−423.

64. Baker I.N. Permutable power series and regular iteration. Journal Australian Math. Soc., v.2, N 3 (1962), p.265−294.

65. Baker I.N. Zusammensetzungen ganser Functionen. Math. Zeitschr., 69 (1958), p.121−163.

66. Baker I.N. Fractional iteration near a fixpoint of multiplier 1. Journal Australian Math. Soc., 1964, v.4, p. 143−148.

67. Bricman L., Thomas E.S. Conformal Equivalence of Analytic Flows. Journal of Differential Equations, v.25 (1974), p.310−324.

68. Bendicson I. Sur les courbes definies par des equations differentielles. Acta Math. 25 (1901), 1−88.

69. Bibikov Yu.N. Lokal theory of nonlinear analytic ordinary differential equations. Lecture Notes in Mathematics, vol. 702, Springer-Verlag, Berlin, 1979.

70. Birkhoff G.D. On the periodic motions of dynamical systems. Acta Math. 1927. p.48.

71. G.D.Birkhoff Deformations analytiques et fonctions auto-equivalentes. Annales 9 (1939), 51−122.

72. Bochner S. Compact groups of differentiate transformations. Ann. Main., Ser. 2, 1945, v. 46 .V 3, p. 372−381.

73. C. Camacho and P. Sad, Invariants varieties through singularities of holo-morphic vector fields, Ann. of Math. (2) 115 (1982), 579−595.

74. Cremer H. Uber die Haufigkeit der Nichtzentren. Math.Ann., v. H5,(1938), 573−580.

75. Dumortier F. Singularities of vector fields in the plane. J. Diff. Equat. 23 (1977), 53−106.

76. Dufour J.-P. Bi-stabilite des fronces. Analyse differ. Univ. du Montpellier, France, 1977.

77. Dufour J/P/ Sur la stabilite des diagrammes d’applications differentialles // Ann. scient. Ecole Norm. Super. 1977. -10. № 2 — p. 153−174.

78. Dufour J.-P. Diagrammes d’applications differentiates. Tese. Univ. du Montpellier, France, 1979.

79. Ecalle J. Sur les fonctions resurgentes. 1,11 Orsay. 1981. — p. 1−250, 251−531.

80. Ecalle J. Theorie iterative. Introduction a la theorie des invariants holomorphes. J. Math, pures et appl., 1975, v.54, p. 183−258.

81. Ecalle J. Introduction aux fonctions analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac, Actualites Mathematiques, Herman, Paris, 1992.

82. Erdos P., Jabotinsky E. On analytic iteration. J. Analuse Mathe, 8, (1960/1961), p.361−376.

83. P. Fatou Sur les equations fonctionelles. Bull.Soc.Math.France 47 (1919), p. 161−271- 48 (1920), p. 33−94- 48 (1920), p. 208−314/.

84. L. le Floch Theorem de rigidite pour une famile a un parametre d’equations differentielles holomorphes, C. R. Acad. Sei. Paris, t. 319, Serie I (1994), 1197−1200.

85. Genzmer Y.- Paul, E., Normal forms of foliations and curves defined by a function with a generic tangent cone. arXiv:0907.3140.Gr. Granger, J.M., Sur un espace de modules de germe de courbe plane, Bull. Sc. Math., 2 serie, 103 (1979), p.3−16.

86. A. A. Glutsuk Stokes Operators via Limit Monodromy of Generic Perturbation. J. Dynam. Control Systems, 5 (1999), no. 1, p. 101−135.

87. Grauert, H .?Uber modificationen und exzeptionelle analytishe Mengen, Math. Ann., 1962, vol 146, p.331−368.

88. M. Hukuhara, T. Kimura and T. Matuda Equations differentielles ordinaires du premier ordre dans le champ complexe. Math.Soc. of Japah, Tokyo, 1961.

89. Yu.S. Il’yashenko, Nonlinear Stokes Phenomena // Nonlinear Stokes Phenomena. -Adv. in Sov.Math., 13, Amer. Math. Soc., Providence, 1992. P. l-55.

90. Yu.S. Il’yashenko Finetness theorem for limit cycles. AMS, Providence, RI, 1991.

91. Koenigs G. Recherches sur les integrales de certaines equations fonctionnelles. Ann.Sci.Ecole Norm.Sup.(3), v. l (1884), Supplement, p.3−41.

92. M. Kuczma Functional equations in a single variables. Monogr. Matem., v.46, PWN, Warsawa, 1968.

93. M. Kuczma Functional equations in a single variables. Monogr. Matem., v.46, PWN, Warsawa, 1968.

94. L. Leau Etude sur les equations fonctionelles a une ou plusieurs variables. Ann. Fac. Sci. Touluse 11 (1897), 1−110.

95. Loray, F. Analytic normal forms for non-degenerate singular points of planar vector fields, Preprint, Institute Estudis Catalaus, 2003.

96. Loray, F. A preparation theorem for codimension-one foliations. Ann. of Math. (2) 163 (2006), no. 2, 709−722.

97. F. Loray and R. Meziani, Classification des certaines feuilletages associes a un cusp, Bol.Soc.Bras.Mat. 25 (1994), 93−106.

98. B. Malgrange, Travaux d’Ecalle et de Martinet-Ramis sur les syst’emes dynamiques, S’eminaire Bourbaki, vol. 1981/1982, Ast’erisque, vol.92−93, Soc.Math. France, Paris, 1982, pp.59−73.

99. Malgrange B. Travoux d’Ecalle et de Martinet-Ramis sur les systemes dinamique. Sem. Bourbaki, 34-e anne, 1981/1982, n.582, Novembre 1981.

100. P. Mardesic, R. Roussarie, and C. Rousseau. Modulus of Analytic Classification for Unfoldings of Generic Parabolic Diffeomorphisms Mose. Math. J. 4 (2004), no. 2, 455−502.

101. Marin, D.- Mattei, J.F.Incompressibility of leaves of singular holomorphic foliation germs. Annales scientifiques de TENS, serie 441, fasc.6, 2008.

102. J. Martinet and J.P.Ramis, Probl’eme de modules pour des 'equations differentielles non lin’eaires du premier ordre, Inst. Hautes 'Etudes Sei.PublMath.(1982 55, pp.63−164).

103. Martinet J., Ramis J.P. Classification analytique des equations differentielles non lineaires resonnantes du premier ordre. Ann. Sei. Ecole norm, super., 1983, 16, № 4, p. 571−621.

104. Mattei, J.F. Modules de feuilletages holomorphes singuliers. I. Equisingularite. (French) Moduli of singular holomorphic foliations. I. Equisingularity] Invent. Math. 103 (1991), no. 2, 297−325.

105. Mattei J .F., Quasi-homogeneite et equireductibilite de feuilletages holomorphes en dimension 2. Asterisque No.261, (2000), 253−276.

106. Mattei, J.-F.- Moussu, R. Holonomie et integrales premieres. (French) Holonomy and first integrals] Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. (4) 13 (1980), no. 4, 469−523.

107. Mattei, J. FSalem, E. Classification formelle de feuilletages singuliers de (C2, 0). (French) Formal classification of singular foliations of (C2, 0)] C. R. Acad. Sei. Paris Ser. I Math. 325 (1997), no. 7, 773−778.

108. J.F.Mattei and E. Salem Complete system of topological and analytical invariants for a generic foliation of (C2,0). Math.Res.Letters 4 (1997), No 1, 131−141.

109. Melrose R. Equivalence of glancing hypersurfaces // Invent. Math. 37. -1976. — P.165−191.

110. Moussu, R., Holonomie evanescente des equations differentielles degenerees transverses, in «Singularities and Dynamical Systems» (S.N. Pnevmaticos, ed.) North-Holland, Amsterdam, 1985, p. 161−173.

111. Muckenhoupt B. Some results on analytic iteration and conjugacy. Amer.J.Math., 84(1962), p.161−169.

112. Lins-Neto, A. Construction of singular holomorphic foliations in dimension two J. Diff. Geom. 26 (1987), 1−31.

113. Newlander A., Nirenberg L. Complex analytic coordinates in almost complex manifolds // Ann. of Math. 65 (1957). — P.391−404.

114. Ortiz-Bobadilla, L.- Rosales-Gonzalez, E.- Voronin, S.M. Rigidity theorem for degenerated singular points of germs of holomorphic vector fields in the complex plane. J. Dynam. Control Systems 7 (2001), no. 4, 553−599.

115. Ortiz-Bobadilla, L., Rosales-Gonzalez, E., Voronin, S. Rigidity theorem for degenerated singular points of germs of dicritic holomorphic vector fields in the complex plane. Mosc. Math. J. 5 (2005), no. 1, 171−206.

116. L. Ortiz-Bobadilla, E. Rosales-Gonzalez, S.M.Voronin. Extended Holonomy and Topological invariance of Vanishing Hlonomy Group. J. Dynam. Control Systems, Vol. 14, No.3, (2008), no. 4, pp. 299−358.

117. Ortiz-Bobadilla, L. — Rosales-Gonzalez, E. — Voronin, S. M. Analytic normal forms of germs of holomorphic dicritic foliations. Mosc. Math. J. 8 (2008), no. 3, 521−545, 616.

118. Ortiz-Bobadilla, L. — Rosales-GonzFyiez, E. — Voronin, S.M. On Camacho-Sad's Theorem about the existence of a separatrix. Int.J.Math., vol.21, 9, p.1−8.

119. Paul, E. Formal normal forms for the perturbations of a quasi-homogeneous hamiltonian vector field. Journal of Dynamical and Control Systems, Vol.10, N.4, 2004, p.545−575.

120. Pfeifer G.A. Existeme of divergent solutions of the functional equations ipog (x) = a-(p (x), f°f (x) = g (x), where g (x) is a given analytic function, in the irrational case. Bull.Amer.Math.Soc., 22(1916), p.163.

121. Poincare H. Sur les points singuhers des equations differentielles. C.r.Acad.sci., 1882, 94, 416−418. Oeuvres, t. XI, p.3−5.

122. J. -P. Ramis, Confluence et resurgence, J. Fac. Sci. Univ. Tolcyo Sect IA Math. 36 (1989), 706−716.

123. J. Ribon. Modulus of Analytic Classification for Unfoldings of Resonant Diffeomorphisms. Mosc. Math. J. 8 (2008), no. 2, 546−588/.

124. C. Rousseaua, The root extraction problem J. of Diff. Equations, Vol. 234 (2007), Issue 1/ P. 110−141.

125. C. Rousseaua, C. Christopher Modulus of analytic classification for the generic unfolding of a codimension 1 resonant diffeomorphism or resonant saddle. Annales de l’institut Fourier, 57 no. 1 (2007), p. 301−360.

126. C. Rousseaua Modulus of analytic classification for a family unfolding a saddle-node, Moscow Mathematical Journal, 5, (2005), 245−268.

127. C. Rousseaua and L. Teyssier. Analytical Moduli for Unfoldings of Saddle-Node Vector Fields. Mosc. Math. J. 8 (2008), no. 3, 547−614.

128. C. Rousseaua The moduli space of germs of generic families of analytic diffeomorphisms unfolding of a codimension one resonant diffeomorphism or resonant saddle, J. Differential Equations, 248 (2010), 1794−1825.

129. Seidenberg A. Reduction of singularities of differential equation Ady=Bdx. Amer. J. Math., 1986, 90, 1, 248−269.

130. Siegel C.L. Iteration of analytic functions. Ann. Math., v.43, 1942, 607−612.

131. Schroder E. Uber iterierte Functionen. Math.Ann., 3,1871, 296−322.

132. Szeker G. Fractional iteration of entire and rational functions. J.Austr.Math.Soc. 4(1964), 129−142.

133. E. Strozyna and H. Zoladek, The analytic and formal normal forms for the nilpotent singularity, J.Diff.Equat.179 (2002), 479−537.

134. Teixeira M. A. Local and simaltaneous structural stability of certain diffeomorphisms. Univ. Estadual de Campinas, Brasil, Rel. Int., 1978, № 164, Novembro.

135. Teixeira M. A. Generic singularities of discontinuous vector fields. Univ. Estadual de Campinas, Brasil, Rel. Int., 1979, № 139, Abril.

136. L. Teyssier Equation holomologique et cycles asymptotiques dune singularite neoud-col. Preprint I.R.M.A. Lille, vol. 55, ch. Ill, 2001.

137. L. Teyssier Classification analytique des champs de vecteurs noeud-cols. C.R.Acad.Sci.Paris, Ser. 1 336 (2003), No 8, 619−624.

138. L. Teyssier Analytical classification of singular saddle-node vector fields. Journal of Dynamical and Control Systems. 2004, Vol.10, N. 4, P.577−605.

139. Voronin S.M. Darboux-Whitney's Problem and Related Questions // Nonlinear Stokes Phenomena. Il’yashenko Yu., editor. Adv. in Sov.Math., 14, Amer. Math. Soc., Providence, 1993. P. 139−233.

140. Voronin, S. M. Invariants for singular points of holomorphic vector fields on the complex plane. The Stokes phenomenon and Hilbert’s 16th problem (Groningen, 1995), World Sei. Publ., River Edge, NJ, 1996. P.305−323,.

141. Voronin S.M., Grinchii A.A. An analytic classification of saddle resonant singular points of holomorfic vector fields in the complex plane. J. Dynam. Control Systems, 1996. 2, №. P. 21−53.

142. M. Zhitomirskii, «Local normal forms for constrained systems on 2-manifolds», Bol. Soc. Bras. Mat. 24 (1993), 211−232.

143. Zhitomirskii M. Typical singularities of differential 1-forms and Pfaff equations. AMS, Providence. — 1992.

144. Yoccoz J. -C. Linearisation des germes de diffeomorphismes holomorphes de (C, 0), C. R. Acad. Sei. Paris 306. P.55−58.

145. J.-C.Yoccoz Theoreme de Siegel, nombres de Briuno et polynomes quadratiques. Asterisque 231 (1995), 3−88.

146. Zoladek, H. The Monodromy Group, Monografie Matematyczne, Vol 67, New Series,(2006) Birkhauser, Basel, Boston, Berlin, pp.580.