Краевые задачи для бигармонического уравнения в клиновидной области при наличии дефектов и усложненных граничных условий

Актуальность темы

Пластинки находят многочисленные применения в строительстве, а также авиационной, караблестроительной и других отраслях промышленности. Значительный вклад в развитие методов решения задач изгиба пластинок внесен русскими и Советскими учеными: И. Г. Бубновым [ П], В. Г. Галеркиным [-/5], С. П. Тимошенко [50] и др. Проектирование и создание надежных в эксплуатации и достаточно экономичных конструкций приводит к необходимости рассматривать все более сложные краевые задачи изгиба пластинок, которые приводятся к интегрированию бигармонического уравнения.

Известно, что общим недостатком приближенных решений задач изгиба полигональных пластинок является слабая сходимость их вблизи угловых точек. Поэтому решая такие задачи, например, методом о конечного элемента следует выделять те элементы, которые содержат угловые точки, и задавать в них решения с осимптотикой, получаемой из точного решения для бесконечного клина. Аналогично следует поступать при решении таких задач методом граничных интегральных уравнений и методом потенциалов. Это позволит добиться лучшей сходимости приближенных методов расчета полигональных пластинок.

В настоящее время фундаментом науки о прочности является механика разрушения, которая базируется на выявлении характера особенности напряжений в окрестности концов дефектов типа трещин и тонких включений. Таким образом исследование краевых задач для бигармонического уравнения в клиновидной области при наличии дефектов и усложненных граничных условий является актуальной проблемой, представляющей большой теоретический и практический интерес.

Целью работы является: I) построение и исследование точных решений краевых задач для бигармонического уравнения, описывающих изгиб упруго закрепленных по контуру, а также подкрепленных упругими стержнями клиновидных пластинок- 2) построение и обоснование приближенных решений задач об изгибе пластин содержащих дефекты типа трещин и тонких включений.

Методика исследования. Краевые задачи для бигармонического уравнения, описывающие изгиб упруго по контуру закрепленных, а также подкрепленных упругим стержнем клиновидных пластинок методом интегральных преобразований сводится к задаче Карлемана для полосы, допускающей точное решение. Задачи об изгибе пластин содержащих дефекты типа трещин и тонких включений сводятся к интегральным уравнениям, приближенное решение которых строится методом ортогональных многочленов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

— Получены точные решения бигармонических краевых задач, описывающих изгиб упруго опертых или упруго защемленных клиновидных пластинок. Изучено поведение их в вершине клина и на бесконечности.

— Получены точные решения бигармонических краевых задач, описывающих изгиб клиновидных пластинок подкрепленных полубесконечным упругим стержнем. Изучено поведение их в вершине клина и на бесконечности.

— Получено асимптотическое представление изгибающих моментов и обобщенных поперечных сил вблизи точки пересечения тонких дефектов типа трещин и тонких включений.

— Исследованы на разрешимость в энергетических пространствах интегральные уравнения, описывающие задачи изгиба пластинок с дефектами.

— Получены приближенные решения задач изгиба пластинок с дефектами и оценена скорость сходимости их к точному.

Обзор литературы. Задача изгиба бесконечной клиновидной пластинки с защемленными краями была впервые решена И. Е. Сахаровым [49]. для случая произвольной нагрузки и неусложненных краевых условий (классических), под которыми будем понимать краевые условия, описывающие шарнирное опирание, защемление, свободный край и такое закрепление краев пластинки, при котором они защемлены против поворотов, но не сопротивляются прогибам, было получено Я. С. Уфляндом [54], путем непосредственного преобразования Меллина к неоднородному бигармоническому уравнению и граничным условиям задачи. Однако во многих случаях практики не обеспечиваются условия жесткого опирания и защемления и поэтому приходится рассматривать пластинки упруго защемленные или упруго опертые по контуру. Особенность этих задач заключается в том, что после преобразования Меллина они сводятся к краевой задаче Карлемана для полосы.

Ф (рс-п) Н (р") Ф (р") = б до, два ш.

Здесь И (р) и &-(р) — известные функции, — прямая параллельная мнимой оси, а ф (р) неизвестная функция, аналитическая в полосе С < 1? ер< С+П, С=Йер0 • Остановимся вкратце на работах посвященных развитию и применению задачи Карлемана для полосы.

В 1931 году в докладе [58], прочитанном Цюрихскому международному математическому конгрессу, Т. Карлеман поставил задачу об отыскании аналитической функции в области, ограниченной замкнутой кривой Г, по краевому условию.

Ф*[ыМ] = ФЬ) (2) где с/{ ~ изменяющий ориентацию гомеоморфизм Г на себя.

Т. Карлеман предложил изучать задачу (2) при условиях г ?. а (±-).

Полное решение задачи (2) для ограниченной односвязной области получил в 1947 году с помощью метода интегральных уравнений Д. А. Квеселава [1в]. Задача (2) в более общей постановке рассматривалась в работах Г. С. Литвинчука [25], В. Г. Кравченко [20,24] и др.

Известны два метода решения задачи (I) для полосы: метод сведения к задаче Римана и метод канонических решений. Первый метод был положен Ю. И. Черским [55,54] и основан на идее сведения задачи Карлемана для полосы к задаче Римана на разомкнутом контуре. Сведение было осуществлено путем введения «склеивающей» функции, отображающей полосу на плоскость с разрезом. Согласно второму методу, предложенному Р. Д. Банцури [ 3], решение задачи (I) ищется в виде где ]((р) и ^(р) решения двух канонических задач: задачи факторизации.

Н (р.)=/(р.)хЬп) (4) и задачи о скачке.

Ф^п) + % (Р,)=ад, е, (р)^(р)Мр^) (5).

Решение канонических задач Р. Д. Банцури получил в виде р) = ехр[ J& Ш cty %(s-p)ds] (б) 2ni f SW%(s-p) в случае И (р) и Gip) удовлетворяющих условию Гельдера, включая бесконечную точку, на прямой Rep = С «И (р) Ф-0 и K (C-loo)~H (C+ioo), &-т G,(p) = 0. Он же в [5] обоб.

РЗОО ' ' щил решение для случая растущей на бесконечности плотности Qt (pJ.

Метод решения краевых задач математической физики, основанный на сведении к краевой задаче Карлемана для полосы применялся в работах.

Койтера (UoitevW.T) [59] ,.

Р.Д. Банцури [3//, 5], Г. Я. Попова и Л. Я. Тихоненко [38,39], Б. М. Нуллера [23, 29] .

Последнее время особую актуальность приобрели краевые задачи для бигармонического уравнения, описывающие изгиб пластинок с дефектами типа трещин и тонких включений. Понятие дефекта математически выражается в том, что при переходе через отрезок, например > lOCl^i, некоторые из величин: прогиб, угол поворота, изгибающий момент, либо обобщенная поперечная сила имеют разрывы первого рода, причем в ряде случаев величина скачка неизвестна. Подобным задачам посвящено много публикаций, подробный обзор которых дан в обзорной статье [38] и монографиях [ю] и [J6]. Остановимся на некоторых из них. В 1961 году Уильяме с помощью метода собственных функций, дал распределение напряжений вблизи прямолинейной трещины в изгибаемой пластинке ??2]. Однако результаты Уильямса оказались неполными в том смысле, что они содержали одну неопределенную постоянную, которая позже была оценена в [56]. В работе A.M. Линькова и В. А. Меркулова [2li] рассматривалась бесконечная пластинка с конечным числом трещин. Задача решалась методами теории аналитических функций. В работах Э. В. Белубекяна [8], О. М. Сапонджяна [48], Б. К. Михайлова [26] рассматривалась прямоугольная пластинка с трещиной. Интегральное преобразование применялось вдоль трещины, в результате чего задача сводилась к парным рядовым уравнениям. В работе [О] Л. Т. Бережницкого, М. В. Делявского, Л. П. Мазурака, В. В. Панасюка методом теории аналитических функций решена задача изгиба круглой пластины с центрально размещенной трещиной. В работах Г. Я. Попова и О. В. Онищука [34,ЗЪ, 5&-] обобщенным методом интегральных преобразований задачи изгиба прямоугольной пластинки с дефектами типа трещин или тонких включений были сведены к интегральным уравнениям относительно неизвестных скачков. Эти уравнения путем применения метода ортогональных многочленов приводились к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, которые решались методом редукции. Особую сложность составила задача о контакте пластинки с жестким включением, сводящаяся к интегральному уравнению первого рода с непрерывным ядром t) l?(oc-i)z&ilx-il + = W".

Здесь.

— бесконечнодифференцируемая функция в квадрате — У d, а jC (i) — неизвестные контактные напряжения между пластинкой и включением.

В [34,33,3б] было показано, что интегральное уравнение (7) не имеет интегрируемых решений. Здесь же было предложено искать решение в пространстве функций имеющих неинтегрируемые особенности вида (i-x2)3/2 с применением аппарата регуляризации расходящихся интегралов. В [33] была дана механическая интерпри-тация регуляризованного интеграла. В работах [30,3б] этот же аппаратбыл применен для построения приближенного решения в случае упругого включения. Дополнительная сложность такой задачи заключается в том, что в интегральном уравнении (7) ядро D (X, t) не является бесконечнодифференцируемым. Наличие неинтегрируемых особенностей вблизи жесткого включения было отмечено также в [52J Однако остались невыясненными вопрос о классе единственности, разрешимости и устойчивости решения уравнения (7), а также вопрос об оценке скорости сходимости приближенных решений к точному.

Интегральные уравнения с сингулярным ядром исследовались в пространствах типа Lp многими авторами, например, В. М. Александровым [ 1,2].

Интегральные уравнения в классах обобщенных функций рассматривались в работах B.C. Рогожина [4б], Р. Д. Банцури, Г. А. Джанашия [6], Ю. И. Черского [55], В. В. Пальцева [3V.35], М. Ортона с М, Oitopi) [60,61] и др.

Отметим, также, что обычно для замыкания постановки смешанных задач теории упругости оговаривают поведение искомого решения в особых точках (точках смены граничных условий, в угловых точках 'и на бесконечности). И. И. Ворович [ Ш] предложил вместо этого более естественное условие конечности потенциальной энергии деформации. Эта идея реализуется в настоящей работе для случая задач изгиба пластинок с дефектами.

Аннотация глав диссертации. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней построены функции Грина для клиновидных областей и разрывные решения для бигармонического уравнения, под которыми понимаются решения имеющие заданные скачки искомой функции и ее производных (угол поворота, изгибающий момент и обобщенная поперечная сила). Такие решения записываются с помощью так называемой формулы Сомилианы. Их обычно [42, 43] выводят из формулы Грина. В § 1.1 дан новый вывод этой формулы с помощью обобщенного метода интегральных преобразований. В § 1.2 построены функции Грина бигармонических краевых задач с классическими краевыми условиями в клиновидной области.

Вторая глава посвящена построению точных решений бигармонических краевых задач, описывающих изгиб упруго закрепленных по контуру, а также подкрепленных упругим стержнем клиновидных пластинок. В § 2.1 описан класс краевых задач, к которым приводится изгиб клиновидных пластин, имеющих упруго опертую грань и допускающих точное решение. Типичной из этих зддач является следующая 191 <оС (8).

При этом, А — оператор Лапласа, (^(7,0) — заданная функция,.

К, I) — заданные постоянные, М0 и — дифференциальные операторы.

Искомая функция 13(4,9) должна удовлетворять условиям.

— и'?мСгы)+№(?,-<*)] + Ц (го)'2с1е}с1г2 =о.

— ы. о.

С помощью интегрального преобразования Меллина задача (8−10) сводится к краевой задаче Карлемана для полосы (I), допускающей точное решение. Выявлена асимптотика решения краевой задачи (8−10) в вершине клина и на бесконечности. Доказано, что асимптотика решения задачи вблизи вершины клина не изменится, ее' ли второе краевое условие в (10) заменить на условие.

С точки зрения механики это означает, что характер асимптотики напряжений вблизи вершины клина не изменится если условие грань пластинки упруго сопротивляется прогибам, заменить условием грань пластинки не сопротивляется прогибам. К этому же классу относятся краевые задачи для уравнения (8), у которых при 9- сС одно из краевых условий является условием упругого опирания, а остальные краевые условия — классические.

В § 2.2 описан класс задач, к которым приводится изгиб клиновидных пластинок, имеющих упругозащемленную грань и допускающих точное решение методом сведения к краевой задаче Карлемана для полосы. При этом грань 9 = о1 называется упруго защемленной, если на ней одно из краевых условий имеет вид.

9 = ± о1, = и, га + нУку =-о е.

II) где И — константа.

Исследована асимптотика таких задач в вершине клина и на бесконечности. Доказано, что асимптотика решения задачи вблизи вершины клина не изменится если краевое условие (II) заменить условием.

С точки зрения механики это означает, что характер асимптотики напряжений вблизи вершины клина не изменится если условие грань пластинки упруго сопротивляется поворотам заменить условием грань пластинки не сопротивляется поворотам.

В § 2.3 описан класс бигармонических краевых задач, к которым приводится изгиб клиновидных пластинок подкрепленных упругим стержнем, допускающих точные решения путем сведения их к краевой задаче Карлемана для полосы. При этом считается, что ось стержня лежит в срединной плоскости пластинки. Типичной среди этих задач является следующая. Ищется функция ьОСос^), удовлетворяющая уравнению.

X)?Ъ0(гг, 0) = фъе), (1г) и краевым условиям.

0 = -р, ы (13) а также условиям сопряжения пластинки и стржня, имеющим, в случае стержня работающего только на изгиб, вид.

0=0. Ц ^ +Уо э-г" (14) иг-сг-м'-о №).

Здесь ?>0 — заданная постоянная, С^С?, ?0 — заданная функция, а.

V*?) = <�У6Ш?, о)), М*=<�Мвты) ц>'п) = ((Я м% о)>, гл-*= <�г^С7,о)>

Г7.0)> -/сг-о) -/а-о).

В случае стержня работающего только на кручение условия сопряжения преобретают вид.

Рассмотрены также другие условия сопряжения стержня и пластинки (15, 15 а), а также другие краевые условия (13) пластинки. Рассмотрен также случай, когда стержень подкрепляет грань пластинки.

Построены точные решения этих задач и исследована асимптотика полученных решений в вершине клина и на бесконечности. Доказано, что асимптотика решения вблизи вершины клина не изменится, если краевые условия (14) и (14 а) заменить краевыми условиями соответственно. С точки зрения механики это означает, что асимптотика напряжений вблизи вершины клиновидной пластинки не изменится, если упругий стержень заменить на абсолютно жесткое включение. Используя полученные точные решения задач изгиба подкреп-лннных пластинок изучен характер поведения изгибающего момента и обобщенной поперечной силы вблизи точек пересечения линейных дефектов. В частности получены трансцендентные уравнения, описы.

14 а).

15 а).

9 = 0, Ш = 0 вающие характер поведения внутренних усилий в изгибаемой пластинке вблизи: I) конца стержня- 2) конца отслоившейся балки- 3) точки пересечения двух балок- 4) точки соприкосновения концов двух балок- 5) точки соприкосновения концов балки и трещины- 6) конца балки упирающегося в трещину- 7) точки соприкосновения конца стержня и пластического шарнира.

В случаях I) и 2) результаты в совпали с результатами работы.

32] и [33] .

В третьей главе исследованы краевые задачи для бигармоничес-кого уравнения, описывающие изгиб пластинки с дефектами типа трещин и тонких включений. В § 3.1 поставлены задачи изгиба пластин с дефектами: о жестком тонком включении при действии на него силы (задача о контакте пластинки с включением) или моментом (задача о поворачивающемся включении), задача о тонком упругом включении (балки) при действии на включение равномерно распределенной нагрузки (задача о контакте пластинки с упругим включением), задача о трещине, берега которой загружены моментами одного знака (задача об изломе пластинки), задача о трещине берега которой загружены поперечными усилиями одного знака (задача о раскрывающейся трещине).

Постановка этих задач отличается от постановки их в («#, 33,36] тем, что пластинка имеет произвольное очертание, симметричное относительно дефекта, и тем, что вблизи концов дефекта не оговаривается характер поведения искомых прогибов и напряжений, а следуя Н. И. Воровичу [№] требуется конечность потенциальной энергии изгиба пластинки. С помощью формулы эти задачи сводятся к интегральным уравнениям вида.

Я* = | 1П №)+Т)(х4](ШсИ = Л (а).

— I где /7(ЭС, О полиномиальное ядро, для которого справедливо билинейное разложение оо.

ПШ) Ц t? I для всех задач, кроме задачи о контакте пластины с жестким включением, в которой она представима в виде суммы бесконечно дифференцируемой функции и функции (С — константа). Условие конечности потенциальной энергии пластинки определяет банахово пространство функций ]С (.ОС) в котором введена норма.

II/II = (/м4×1/(ф (хЛ).

М2.

16).

— 1 -1.

Это пространство будем называть энергетическим.

В § 3.2 исследуются полученные интегральные уравнения на разрешимость во введенных энергетических пространствах. Для этого вводится пространство? как пополнение пространства основных функций с носителем (—1,0 по норме.

11/и *(1'/мсЬс1/а)П (х1щ.

— 1 ч 2.

17).

Доказывается, что система функций £згкполна в ЗГ и, следовательно, изоморфно ?

Доказывается, что однородное интегральное уравнение.

7/= П 1хХ) /а) сН =0 имеет в пространстве 3 единственное решение.

Строится Н: пространство на которое оператор П отображает пространство 3″ «.

Доказывается, что оператор П, отображающий Э7 на Н имеет ограниченный обратный.

Далее предполагается, что £)(эсД) таково, что интегральный оператор

Ъ/-(1Хос^/ШсИ отображает пространство 3- в Н и является вполне непрерывным.

Вводится в пространстве основных функций с носителем (-1,4) еще одна норма (16).

Доказывается, что в пространстве основных функций с носителем 1) нормы (16) и (17) эквивалентны. Откуда следует единственность решения уравнения (15) в 3.

Из вышеуказанного вытекает.

Теорема. Интегральный оператор $ отображает пространство 3- на пространство И и имеет ограниченный обратный.

Из доказанной теоремы следует, что интегральное уравнение (15) при выполнении требований относительно Ю (Х, 1) и для правых частей из Н имеет единственное и притом устойчивое решение в 3″ .

В § 3.3 доказывается, что при сделанных выше ограничениях на 1)(осЛ) интегральное уравнение (15) в 3 равносильно бесконечной системе линейных алгебраических уравнений вида оо.

Хп + ¿-/к Дк = П = 07оо к = 0.

Далее доказывается, что во всех поставленных задачах ядро таково, что оператор отображает пространство Т в И, вполне непрерывный и.

Оо С.

К П—0.

Полученные бесконечные системы можно решать методом редукции. При этом приближенное решение = стремиться в вг.

V (VI к точному решению К—причем быстроту сходимости можно оценить.

II Х-срЛ <�см-т.

18) 0,.

Для каждой из задач доказано, что приближенное решение интегрального уравнения (15).

М = у&trade- (19).

Сходится в к точному решению, причем скорость сходимости можно оценить.

АЛ II 0 ,-уу.

И/(а) -/Ъс)|| <СЯ.

20).

Доказано, что приближенное решение Ъб (ЭС, у) каждой из поставленных задач сходится в пространстве ТЛ^Й?) к точному решению, причем скорость сходимости можно оценить.

Ш (х, у) — II ур^С N.

При этом в формулах (18), (19), (20),(21) число т — любое наперед заданное во всех задачах, кроме задачи о контакте пластинки с упругим включением, где л¡-2.

Апробация работы и публикации. Материалы диссертации докладывались на П и Ш Республиканских симпозиумах по дифференциальным и интегральным уравнениям (Одесса, 1978 и 1982 гг.), на Республиканском симпозиуме «Концентрация напряжений» (Донецк, 1983 г.), на семинаре кафедры теории упругости МГУ в ноябре 1982 г. (научный руководитель профессор Б.Е. Победря), на семинаре кафедры интегральных уравнений РГУ (научный руководитель профессор С.Г. Самко), на семинаре кафедры теории упругости РГУ (научный руководитель чл.-кор. АН СССР Ворович И.И.), на семинаре по математической физике ОГУ (научный руководитель профессор Г. Я. Попов).

По теме диссертации опубликовано шесть научных работ ?37,4/~{&].

Автор благодарит Г. Я. Попова за руководство в работе и постановку задач.

1. Александров В. М. О приближенном решении некоторых интегральных уравнений теории упругости и математической физики.- ПММ, т. 31, № 6, 1967, с. 1117−1131.

2. Александров В. М., Коваленко Е. В. О двух эффективных методах решения линейных смешанных задач механики сплошных сред.- ПММ, т. 41, № 4, 1977, с. 688−698.

3. Банцури Р. Д. Контактная задача для клина с упругим креплением. ДАН СССР, т. 211, № 4, 1973;, с. 797−800.

4. Банцури Р. Д. Контактная задача для анизотропного клина с упругим креплением.- ДАН СССР, т. 222, № 3, 1975, с. 568−571.

5. Банцури Р. Д. Об одной, задаче изгиба балки, лежащей на упругом основании.- Сообщ. АН ГССР, т. 80, № 2, 1975, с. 317−320.

6. Банцури Р. Д., Джанашия Г. Я. Об уравнениях типа свертки для полуоси.- ДАН СССР, т. 155, № 2, 1964, с. 251−253.

7. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции.- М.: Наука, 1973 т. I, с. 296.

8. Белубекян Э. В. Изгиб свободно опертой по контуру прямоугольной пластинки с симметричным разрезом.- Изв. АН Арм. ССР, мех., т. 21, № 2, 1968, с. 28−41.

9. Бережницкий Л. Т., Делявский М. В., Мазурак Л. П., Панасюк В. В. Изгиб круглой пластины с трещиной.- В кн.: Тр. X Всесоюзной конф. по пластинкам и оболочкам.- Харьков, 1977, с. 72−77.

10. Бережницкий Л. Т., Делявский М. В., Панасюк В. В. Изгиб тонких пластин с дефектами типа трещин.- Киев: Наукова думка, 1979;с. 391.

11. Бубнов И. Г. Труды по теории пластин.- М.: Гостехиздат, 1953;с. 472.

12. Вайнберг Д. В., Вайнберг Е. Д. Расчет пластин.- Киев: Буд1вельник, 1970; с. 541.

13. Верюжский Ю. В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики.- Киев: Вища школа, 1978; с. 267.

14. Ворович И. И., Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости.- М.: Наука, 1974; с. 455.

15. Галеркин Б. Г. Собрание сочинений.- М.: Изд-во АН СССР, 1953 т. 2, с. 382.

16. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними.- М.: Гостехиздат, 1958 с. 383.

17. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.- М.: Физматгиз, 1962 с. 1100.

18. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.- М.: Наука, 1977, с. 736.

19. Квеселава Д. А. Некоторые граничные задачи теории функций.-Труды матем. ин-та АН Груз. ССР, т. 16, 1948, с. 39−80.

20. Кравченко В. Г. О сингулярном интегральном операторе со сдвигом.- ДАН СССР, т. 215, № 6, 1974, с. 1301−1304.

21. Кравченко В. Г., Литвинчук Г. С. О символе сингулярного интегрального оператора со сдвигом Карлемана.- Укр. матем. ж., т. 25, № 4, 1973, с. 541−545.

22. Коллатц Л. Задачи на собственные значения.- М.: Наука, £968-с. 503.

23. Кулаков В. М., Толкачев В. М. Изгиб пластин произвольного очертания, — Докл. АН СССР, т. 230, № I, 1976, с. 56−59.

24. Линьков А. М., Меркулов В. А. Задачи об изгибе пластин с разрезами.- Изв. АН СССР, МТТ, № I, 1975, с. 111−118.

25. Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом.- М.: Наука, 1977 с. 448.

26. Михайлов Б. К. Изгиб пластинки с разрезами.- В сб.: РасчетIпространственных конструкций, В. 5, Куйбышев, 1975, с. 96 106.I.

27. Михлин С. Г. Интегральные уравнения и их приложения к некоторым проблемам механики, математической физики и техники.-М.-Л.: Гостехиздат, 1949 с. 380.

28. Нуллер Б. М. Деформация упругого клина, подкрепленного балкой. ПММ, т. 38, № 5, 1974, с. 876−882.

29. Нуллер Б. М. 0 деформации упругой клиновидной пластинки, подкрепленной стержнем переменной жесткости, и об одном методе решения смешанных задач.- ПММ, т. 40, № 2, 1976, с. 306−316.

30. Онищук О. В. Неинтегрируемые решения в теории пластин и оболочек.- Аннот. докл. У всес. съезда по теоретич. и прикл. мех.-Алма-Ата: Наука, 1981, с. 277.

31. Онищук О. В., Попов Г. Я. 0 некоторых бигармонических проблемах с неинтегрируемыми решениями.- В кн.: Второй республиканский симпозиум по дифференциальным и интегральным уравнениям. Тезисы докл., Одесса, 1978, с. 60.

32. Онищук О. В., Попов Г. Я. 0 некоторых задачах изгиба пластин с трещинами и тонкими включениями.- Изв. АН СССР, МТТ, 1980,4, с. I4I-I50.

33. Онищук О. В., Попов Г. Я. Неинтегрируемые решения в задачах изгиба пластин (случай отслоившегося включения).- ХШ Всес. конф. по теории пластин и оболочек, ч. 4. Таллин: ТПИ, 1983, с. 5459.

34. Пальцев Б. В. Уравнения свертки на конечном интервале для одного класса символов, имеющих степенную асимптотику на бесконечности. Изв. АН СССР, сер. матем., т. 44, № 2, 1980, с. 322−394.

35. Пальцев Б. В. Об одном методе построения канонической матрицы решений задачи Гильберта, возникающей при решении уравнений свертки на конечном интервале.- Изв. АН СССР, сер. матем., т. 45, № 6, 1981, с. 1332−1389.

36. Попов Г. Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений.- М.: Наука, 1982 -342 с.

37. Попов Г. Я., Реут В. В. О характере особенности напряжений в изгибаемых пластинках возле точек пересечения линейных концентраторов.- В кн.: Республиканский симпозиум «Концентрация напряжений». Тезисы докл., Донецк, 1983, с. 93−94.

38. Попов Г. Я., Толкачев В. М. Проблема контакта жестких тел с тонкостенными элементами, — Изв. АН. СССР, МТТ, № 4, 1980, с.

39. Попов Г. Я., Тихоненко Л. Я. Плоская задача о контакте полубесконечной балки с упругим клином, — ПММ, т. 38, в. 2, 1974, с. 312−320.

40. Попов Г. Я., Тихоненко Л. Я. Точное решение плоских задач о контакте полубесконечных балок с упругим клином.- ПММ, т. 39, № 6, 1975, с. 1100−1109.

41. Реут В. В. Бигармоническая задача лоя клиновидной области при наличии тонкого отслоившегося включения.- В кн.: Третий республиканский симпозиум по дифференциальным и интегральным уравнениям. Тезисы докл., Одесса, 1982, с. 93,.

42. Реут В. В. Изгиб клиновидной пластинки, ослабленной абсолютно жестким включением.- Одесса, 1980, с. 15. Рукопись деп. в ВИНИТИ 15,01.81 г., № 235−81 Деп.

43. Реут В. В., Тихоненко Л. Я. Взаимодействие полубесконечной балки с двумя смежными клиновидными пластинками.- В кн.: Смешанные задачи механики деформируемого тела. Тезисы докл. 4.2., Ростов-на-Дону, 1977, с. 63−64.

44. Реут В. В., Тихоненко Л. Я. Бигармоническая краевая задача со смешанными граничными условиями.- В кн.: Второй республиканский симпозиум по дифференциальным и интегральным уравнениям. Тезисы докл., Одесса, 1982, с. 84.

45. Реут В. В., Тихоненко Л. Я. Изгиб клиновидных пластинок с упруго закрепленными или подкрепленными гранями, — ПММ, т. 44, 1980, № I, с. 151—160.

46. Рогожин B.C. Краевая задача Римана в классе обобщенных функций.- Изв. АН СССР, сер. матем., т. 28, в. 6, 1964, с. 13 251 344.

47. Савин Г. Н. Концентрация напряжений около отверстий.- М.-Л.: Гостехиздат, 1951 с. 496.

48. Саподжян О. М. Об одном случае изгиба тонкой прямоугольной плиты. Докл. АН Арм. ССР, т. 37, № 3, 1983, с. I37-I4I.

49. Сахаров И. Е. Изгиб клиновидной защемленной пластинки под действием произвольной нагрузки.- ПММ, т. 12, № 4, с. 407 411.

50. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки,-М.: Наука, 1966 с. 521.

51. Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости.- Л.: Наука, 1967 с. 402.

52. Хрущ Я. П., Делявский М. В., Бережницкий Л. Т. Локальное напряженно-деформированное состояние при изгибе тонких пластин с жесткими остроконечными включениями.- Докл. и науч. сообщен. Львов, политехи, ин-та, 1978, в. 9, с. 21−24.

53. Черский Ю. И. Краевые задачи со стационаным сдвигом, разрешимые в квадратурах.- В кн.: Вторая респ. конференция матем. Белоруссии. Тезисы докл., Минск, 1967, с. 93.

54. Черский Ю. И. Нормально разрешимое уравнение плавного перехода.- ДАН СССР, № I, 1970, с. 57−60.

55. Черский Ю. И. К решению краевой задачи Римана в классах обобщенных функций.- ДАН СССР, т. 125, № 3, 1959, с. 500−503.

56. A ncjD.b., W tit Hams M. L Comkned shess in oMohopic piaie having a finite съаск. ?f.Appf.Meck, vo? tfS, 1961 r p. 437 — Ш.