Группы, насыщенные прямыми произведениями конечных групп

Актуальность темы

За последние два десятилетия в теории групп получило развитие направление связанное с понятием насыщенности [30].

Пусть X — некоторое множество групп. Группа (7 насыщена группами из X (или насыщена множеством X), если любая конечная подгруппа из С содержится в подгруппе группы С, изоморфной некоторой группе из X.

В первоначальных исследованиях периодических групп с условием насыщенности предполагалось, что X — некоторое множество конечных простых неабелевых групп. Это привело к постановке вопроса 14.101 в Коуровской тетради [10]:

Верно ли, что периодическая группа, насыщенная конечными простыми группами лиева типа, ранги которых ограничишь в совокупности, сама является простой группой лиева типа конечного ранга?

При решении этого вопроса возникла необходимость характеризации групп, насыщенных прямыми произведениями конечных групп. А.К. Шлёп-кин в [33], изучая периодическую группу (7, насыщенную конечными простыми группами Де (3″), вначале рассматривал централизатор инволюции х из С. Как оказалось, Сс (х) насыщен прямыми произведениями конечных групп вида Ь2{Зп) х где ^ — группа порядка два. Используя этот факт, удалось показать, что Сс (х) ~ ($) х где ф — локально конечное поле характеристики три, а затем и доказать требуемый изоморфизм С ~ Яе (С}). Кроме того, как показали С. В. Иванов [40] и И. Г. Лысенок [17], бернсай-довы группы В (т, п) достаточно большого четного периода п не локально конечны и насыщены прямыми произведениями групп диэдра, взятых в конечном числе, причем число множителей прямого произведения может быть сколь угодно большим. Далеее, Б. Амберг и Л. С. Казарин [36] доказали, что периодическая группа, насыщенная группами диэдра, локально конечна. Таким образом, актуален общий вопрос о локальной конечности периодической группы, насыщенной прямыми произведениями различных конечных групп.

Группы, насыщенные прямыми произведениями конечных групп, изучались А. И. Созутовым, К. А. Филипповым, В. Д. Мазуровым, Д. В. Лыткиной, Д. Н. Панюшкиным [18−20,22−24,27].

В обзоре [16] приведена библиография работ, в которых исследовались группы с условием насыщености, в частности, группы, насыщенные прямыми произведениями конечных групп, и сфорулированы основные проблемы, связанные с изучением групп, насыщенных группами из заданного множества групп.

В 1954 году Б. Нойман опубликовал работу [41], в которой, в частности, доказал свою знаменитую лемму о том, что если группа покрывается конечным числом смежных классов по нескольким подгруппам, то индекс одной из этих подгрупп конечен. В том же году в [42] Б. Нойман специально рассмотрел вопрос о покрытии групп конечным числом п смежных классов и показал, что в случае, когда такое покрытие является несократимым, все участвующие в нем подгруппы имеют конечные индексы, ограничив сверху эти индексы функцией, зависящей только от п (теорема Ноймана).

Значение этих результатов Ноймана в исследованиях групп, насыщенных прямыми произведениями конечных групп, связано с тем, что они гарантируют существование в группе нормальной подгруппы конечного индекса при условии, что группа обладает конечным покрытием. Д. В. Лыткина и К. А. Филиппов в [18] исследовали периодическую группу С, насыщенную множеством прямых произведений конечных групп вида Ь2(рп) х В том случае, когда С содержит нормальную нетривиальную подгруппу, С ~ Ь^((2) х Z2, где Q — локально конечное поле характеристики 2. В противном случае, то есть когда G — простая группа, возникает целый класс периодических не локально конечных групп с указанным выше насыщающим множеством, существование которого представляет отдельную задачу в теории периодических групп [18−20]. В связи со сказаннным выше, доказательство существования в группе, насыщенной прямыми произведениями конечных групп, конечных несократимых покрытий является актуальной задачей.

Одной из известных проблем теории групп является проблема Бернсайда о периодических группах фиксированного периода, поставленная английским математиком У. Бернсайдом в 1902 году [37]. Пусть G — группа, порожденная m ^ 2 элементами, в которой каждый элемент в степени п равен единичному элементу группы. Будет ли такая группа конечной? Впоследствии свободные группы из соответствующего многообразия групп периода пет, образующими получили название свободных бернсайдовых групп и обозначение В (т, п). Перечислим известные к настоящему времени результаты по данным группам. Группа В (т, п) конечна для п — 2 (тривиальный случай), п = 3 (У. Бернсайд, 1902 [37]), п = 4 (при m = 2: У. Бернсайд, 1902 [37], для m > 2: И.H. Санов, 1940 [25]), п = 6 (М. Холл, 1958 [39]). В (т, п) бесконечна для нечетных п > 665 (С.И. Адян, П. С. Новиков, 1975 [1]) и для достаточно больших четных п (C.B. Иванов, 1994 [40], И. Г. Лысенок 1996 [17]). Для других периодов, наименьший из которых равен 5, вопрос о конечности В (т, п) остается открытым.

В 1950 году В. Магнусом была поставлена еще одна проблема, известная как «ослабленная проблема Бернсайда». В ней требовалось выяснить, существует ли максимальная конечная периодическая группа В$(т, п) с данным числом m порождающих элементов и фиксированным периодом п. Связь ослабленной проблемы Бернсайда с основной проблемой сводится к тому, что если В (т, п) < оо, то В (т, п) = Во (т, п). Решение ослабленной проблемы Бернсайда для периода 5 приведено в [9]. Наибольший интерес представляет группа В (2,5), поскольку эта группа имеет наименьший период и наименьшее число порождающих элементов в сравнении с другими бернсайдовыми группами, конечность которых не определена. Отметим вопрос о подгруппах группы 5(2,5) при условии ее бесконечности, поставленный Ч. Симсом [43], ответ на который к настоящему времени не известен.

Вопрос 1: Существуют ли в В (2, 5) двупорожденные нециклические подгруппы, неизоморфные В (2,5) ?

Ч. Симсом в [43] были получены два соотношения длины 30 (соотношения 1, 2 из таблицы 1) как необходимые условия существования в В (2, 5) конечных нециклических подгрупп порядка 25. Однако сами эти подгруппы он не указывает. A.A. Кузнецов в своей докторской диссертации приводит ряд тождеств, минимальное из которых имеет длину 47, являющихся достаточными условиями существования в В (2, 5) подгрупп порядка 25 [12, теорема 11]. Для каждого из полученных соотношений он указал соответствующую подгруппу. Более того, A.A. Кузнецов и А. К. Шлёпкин показали, что невыполнение соотношений длины 30 из таблицы 1 влечет бесконечность В (2,5) [15].

Таким образом, результаты Ч. Симса, A.A. Кузнецова и А. К. Шлёпкина позволяют сформулировать следующую гипотезу.

Если в В (2,5) есть подгруппы порядка 25, то В (2,5) конечна.

В свете высказанной гипотезы нахождение условий существования (несуществования) прямых произведений в В (2,5) является актуальной задачей.

Основные результаты диссертации.

1. Установлено существование и строение периодической части группы Шункова, насыщенной группами вида ?2(2″) х.

Imi где Im элементарная абелева 2-группа порядка 2 т (здесь натуральное п фиксируется, а т не фиксируется) (Теорема 1).

2. Дано описание периодических групп Шункова, насыщенных прямыми произведениями групп вида L2(2n) xV, где V — конечная циклическая группа нечетного порядка, натуральное п и |У| не фиксируются (Теорема 2).

3. Дано описание бесконечной 2-группы, насыщенной сплетенными группами (Теорема 6).

4. Получено новое доказательство теоремы Ноймана, на основе которого установлена связь между индексами подгрупп из несократимых покрытий в теореме Ноймана с элементами последовательности Сильвестра (Теорема 9).

5. Получены достаточные условия существования в 5(2,5) нециклических двупорожденных подгрупп, неизоморфных В (2,5) (Теорема 10).

Диссертация состоит из введения и пяти глав.

1. Адян, С. И. Проблема Бернсайда и тождества в группах / С. И. Адян. — Москва: Наука, 1975. — 335 с.

2. Беляев, В. В. Группы с почти регулярной инволюцией / В. В. Беляев // Алгебра и логика. 1987. — Т. 26, № 5. — С. 531−536.

3. Бусаркин, В.М., Конечные расщепляемые группы. /В.М. Бусаркин Ю. М. Горчаков. — Москва: Наука, 1968. — 111 с.

4. Горенстейн, Д. Конечные простые группы. / Д. Горенстейн. Москва: Мир, 1985. — 560 с.

5. Каргаполов, М.И. О проблеме О. Ю. Шмидта /М.И. Каргаполов // Сиб. мат. журн. 1963. — Т. 4, № 1, — С. 232−235.

6. Каргаполов, М. И. Основы теории групп. /М.И. Каргаполов Ю. И. Мерзляков. Санкт-Петербург: Лань, 2009. — 287 с.

7. Кондратьев, A.C. 2-сигнализаторы конечных простых групп / A.C. Кондратьев, В. Д. Мазуров // Алгебра и логика. — 2003. — Т. 42, № 5. — С. 594−623.

8. Кондратьев, A.C. Группы и Алгебры Ли /A.C. Кондратьев. — Екатеринбург: изд-во УрОГАН, 2009. — 310 с.

9. Кострикин, А. И. Решение ослабленной проблемы Бернсайда для показателя 5 /А.И. Кострикин // Изв. АН СССР. Сер. Матем. — 1995. — Т. 19, № 3. С. 233−244.

10. Коуровская тетрадь, Нерешенные вопросы теории групп. 16 издание, — Новосибирск: изд-во ИМ СО РАН, 2006.

11. Курош, А. Г. Теория Групп. /А.Г. Курош. — Москва: Наука, 1967. — 648 с.

12. Кузнецов, А. А. Комплекс алгоритмов моделирования дискретных алгебраических систем: дис.. д-ра физ.-мат. наук: 01.01.09 / Кузнецов Александр Алексеевич. — Красноярск, 2009. — 191 с.

13. Кузнецов, А. А. О соотношениях в бернсайдовых группах Д)(2,5) и .6(2,5) / A.A. Кузнецов А. К. Шлепкин // Математические системы. — Красноярск: изд-во КрасГАУ. 2011. № 9. — С. 95−148.

14. Кузнецов, А. А. Сравнительный анализ бернсайдовых групп Д)(2,5) и 5(2,5) / A.A. Кузнецов А. К. Шлепкин //Труды ИММ УрО РАН. -2009. Т. 15, № 2. — С. 125−132.

15. Кузнецов, А. А. О различии бернсайдовых групп Bq (2,5) и В (2,5) / A.A. Кузнецов А. К. Шлепкин //Труды ИММ УрО РАН. 2010. — Т. 16, № 2. — С. 133−138.

16. Кузнецов, А. А. Группы, насыщенные заданным множеством групп / A.A. Кузнецов К. А. Филиппов //Сибирские электронные математические известия. 2011. — № 8. — С. 230−246.

17. Лысёнок, И. Г. Бесконечные бернсайдовы группы четного периода / И. Г. Лысёнок // Изв. РАН. Сер. матем., 1996. — Т. 60, № 3. С. 3−224.

18. Лыткина, Д.В. О периодических группах, насыщенных ?2(К. А. Филиппов // Матем. системы. — Красноярск: изд — во КрасГАУ. — 2006. — № 5. — С. 35−45. .

.

19. Лыткина, Д. В. Периодические группы, насыщенные прямыми произведениями конечных простых групп /Д.В. Лыткина// Сиб. мат. журнал. 2011. — Т. 52, № 2. — С. 340−349.

20. Лыткина, Д. В. Периодические группы, насыщенные прямыми произведениями конечных простых групп. II /Д.В. Лыткина// Сиб. мат. журнал. 2011. — Т. 52, № 5. — С. 1096−1112.

21. Рубашкин, А.Г. О периодических группах насыщенных Ь2 = (рп) /А.Г. Рубашкин, К. А. Филиппов // Сибирский математический журнал. -2005. Т. 46, № 6. — С. 1388−1392.

22. Панюшкин, Д.Н. О группе Шункова, насыщенной центральными расширениями циклических групп посредством проективных специальных линейных групп / Д. Н. Панюшкин, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов // Труды МММ УрО РАН. 2010. — Т. 16, № 2. — С. 177−185.

23. Панюшкин, Д. Н. Группы Шункова, насышенные прямыми произведениями различных групп: дисс.. канд. физ.-мат. наук: 01.01.06 / Панюшкин Денис Николаевич. — Красноярск, 2010. — 66 с.

24. Санов, И. Н. Решение проблемы Бернсайда для периода 4 / И. Н. Санов // Учен, записки ЛГУ Сер. Матем. 1940. — № 55. — С. 166−170.

25. Сучков, Н.М. О периодических группах с абелевыми централизаторами инволюций /Н.М. Сучков // Матем. сб. РАН. 2002. — Т. 193, № 2. -С. 153−160.

26. Филлипов, К. А. Группы с условиями насыщенности: дис.. д-ра. физ,-мат. наук: 01.01.06 / Филиппов Константин Анатольевич. — Красноярск, 2012. 121 с.

27. Череп, А. А. О множестве элементов конечного порядка в бипримитивно конечной группе /А.А. Череп// Алгебра и логика. 1987. — Т. 26, № 4. С. 518−521.

28. Шлепкин, А.К. О сопряженно бипримитивно конечных группах с условием примарной минимальности, /А.К. Шлепкин // Алгебра и логика.- 1983. Т. 22, № 2. — С. 232−231.

29. Шлепкин, А. К. Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержащие конечные неразрешимые подгруппы / А. К. Шлепкин // Сб. тезисов 3-й междунар. конф. по алгебре. Красноярск. — 1993. — С. 363.

30. Шлепкин, А.К. О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простыми подгруппами / А. К. Шлепкин // Матем. тр. ИМ СО РАН. 1998. — Т. 1, № 1. — С. 129−138.

31. Шлепкин, А. К. Об одном классе периодических групп / А. К. Шлепкин, А. Г. Рубашкин // Алгебра и логика. 2005. — Т. 44, № 1. — С. 114−125.

32. Шлепкин, А. К. Группы Шункова с дополнительными ограничениями: дисс.. д-ра физ.-мат. наук: 01.01.06 /Шлепкин Анатолий Константинович. — Красноярск, 1998. — 163 с.

33. Шунков, В. П. Об одном классе р — групп. /В.П. Шунков// Алгебра и логика. 1970. — Т. 9, № 4. — С. 484−496.

34. Шунков, В.П. О периодических группах с почти регулярной инволюцией / В. П. Шунков // Алгебра и логика. — 1972. — Т. 11, № 4. —C. 470−494.

35. Amberg, В. Periodic groups saturated by dihedral subgroups / B. Arnberg, L. Kazarin // Book of abstracts of the international algebraic conference dedicated to 70-th birthday of Anatoly Yakovlev. Saint-Petersburg, — 2010. P. 79−80.

36. Burnside, W. On an unsettled question in the theory of distonctinupns groups, /W. Burnside //J. Pure Appl. Math. 1902 — № 33. — P. 230−238.

37. Alperin, J.L. Finite simple groups of 2 rank two,/J.L. Alperin, R. Brauer, D. Gorenstein // Scripta math. 1973. — V. 29, № 3 — 4. — P. 191−214.

38. Hall, M. Jr. Solution of the Burnside problem for exponent six /М. Hall// Illinois J. of Math. 1958. — V. 2, issue 4B. — P. 764−786.

39. Ivanov, S.V. The free Burnside groups of sufficiently large exponents / S.V. Ivanov // Int. J. of Algebra and Computation. 1994. — № 4. — P. 1−308.

40. Neumann, B.H. Groups with finite classes of conjugate elements /В.Н. Neumann// Proc. London Math. Soc. 1951 — V. 1(3), № 1. — P. 178 187.

41. Neumann, B.H. Groups covered by finitely many cosets, /В.Н. Neumann// Publl. Math. Debrecen. 1954 — V. 3 — P. 227−242.

42. Sims, C.C. The Knuth-Bendix Procedure for Strings as a Substitute for coset Enumeration /С.С. Sims// Journal of symbolic computation. — 1991. V. 12, issue 4−5. P. 439−442.Работы автора по теме диссертации, опубликованные в изданиях из перечня ВАК.

43. Дуж, A.A. О периодической группе Шуикова, насыщенной прямыми произведениями конечных элементарных абелевых 2 групп и ?2(2″) / A.A. Дуж, A.A. Шлепкин // Труды ИММ УрО РАН. — 2011. — Т. 17, № 4. — С. 83−87.

44. Сабодах, И. В. Группы, насыщенные прямыми произведениями конечных простых неабелевых групп. /И.В. Сабодах A.A. Шлепкин// Вестник НГУ. Серия: математика, механика и информатика. — 2012. — Т. 12, № 2. С. 123−126.

45. Дуж, A.A. О группах Шункова, насыщенных прямыми произведениями групп. / A.A. Дуж, A.A. Шлепкин // Владикавказкий математический журнал. 2012. — Т. 14, № 2. — С. 35−38.

46. Шлепкин, A.A. О лемме Ноймана и последовательности Сильвестра. /A.A. Шлепкин // Сибирские электронные математические известия.- 2012. Т. 9. — С. 439−444.

47. Шлепкин, A.A. О подгруппах свободной двупорожденной бернсайдовой группы периода пять / A.A. Шлепкин// Вестник СибГАУ. — 2012. — № 4. С. 70−75.

48. Шлепкин, A.A. Периодические группы, насыщенные сплетенными группами. /A.A. Шлепкин // Сибирские электронные математические известия. 2013. — Т. 10. — С. 56−64.Прочие работы автора по теме диссертации.

49. Сабодах, И. В Группы, насыщенные прямыми произведениями линейных групп размерности два /И.В. Сабодах A.A. Шлепкин// Тезисы 42-й всероссийской молодежной школы-конференции «Современные проблемы математики». — ИММ УрО РАН. — Екатеринбург, 2011. — С. 240.

50. Сабодах, И. В. Группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями группы ½(5) /И.В. Сабодах A.A. Шлепкин// Материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения В. В. Морозова «Алгебра и математическая логика». — К (П)ФУ. — Казань,.

51. Шлепкин, А. А О группах, представимых в виде объединения конечного числа смежных классов. /A.A. Шлепкин// Материалы 50-й международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. — НГУ. — Новосибирск, 2012. —.