Свободные частично коммутативные супералгебры Ли
V, P. Gerdt, I. R. Akselrod, V. E. Kovtun, V.- N. Robuk. Construction of a Lie algebra by a subset of generators and commutation relations // Computer Algebra in Physical Researches — Singapore: World Scientific, 1991. — P. 306−312. N. A. Dobrynin, Free partially commutative color Lie superalgebra: on elimination of variables. In «Lie Algebras, Rings, and Related Topics. Ed. Yu. Fong, A. A… Читать ещё >
Свободные частично коммутативные супералгебры Ли (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Содержание
- В настоящее время комбинаторная алгебра (комбинаторная теория групп, колец и т. д.) представляет собой активно развивающееся направление с широким спектром
приложений как в алгебре, так и за пределами её. Интенсивно развивается алгоритмическая теория алгебраическихктур, исследующая существование алгоритмов для решения определённого класса задач (проблемы равенства и вхождения слов, изо-морфность, построение линейных базисов, и т. д.). Большой вклад в этой области принадлежит Д. Нильсену, О. Шрайеру, В. Магнусу, А. Г. Ку-рошу, А. И. Мальцеву, Р. Линдону, М. Шутценберже, Ф. Холлу, М. Холлу, А. А. Маркову, П. С. Новикову, С. И. Адяну, А. И. Кострикину,
A. JL Шмелькину, А. Ю. Ольшанскому, Ю. А. Бахтурину, Е. И. Зель-манову, А. И. Ширшову, Е. Витту, JL А. Бокутю, В. Н. Латышеву,
B. Н. Ремесленникову, К. Ройтенауеру, А. Р. Кемеру, О. Г. Харлам-пович, А. А. Михалёву и др.
Успешное применение компьютеров в последние 20—30 лет возобновило интерес к эффективным алгебраическим конструкциям. Были пересмотрены конструктивные результаты, полученные ранее, что привело к формированию новой самостоятельной области — Компьютерной алгебры, — выросшей на стыке математики, вычислительной математики и программирования (см., например, монографии [1,2,5,9,15,16, 26,29,31,45,60,61,63,67,89,91,112,114,129]).
При исследовании в компьютерной алгебре одним из основных моментов является построение алгоритмов, допускающих компьютерную реализацию. Хотя наиболее разработанным в настоящее время является коммутативный случай, за последние несколько лет возрос также интерес к некоммутативной компьютерной алгебре, (см., например, [7,18,38,39,44,51,54,55,62,76,85,87,88,90,92,93,98,108,109, 130−132,140,146,154,156,157,165]), что вызвано как потребностями внутри алгебры, как таковой, так и разнообразными
приложениями в теории дифференциальных уравнений и физике.
Идея рассмотрения, наряду с коммутирующими, некоммутирующих переменных восходит к Грассману (1844 г.) и Клиффорду. Изучение супералгебр Ли началось в 50-х годах нашего столетия. Основными источниками их изучения были теория супермногообразий, теория суперсим-метрий, деформации алгебраических систем, гомологическая алгебра, алгебраическая топология [3, б, 11,13,14,19,21,40,84,95,97,113,117,119, 128,135−137,145,155,162]. Заметим, что свободные супералгебры Ли естественным образом возникают в теории гомотопий при рассмотрении гомотопических групп с произведением Уайтхеда.
Систематическое изучение свободных алгебр Ли впервые было начато М. Холлом. Именно, в 1950-м году он построил базис свободной алгебры Ли, ныне известный как базис Холла [96]. Позже, в 1958-м году, был построен базис Линдона-Ширшова [33,56]. Затем различными авторами был построен ряд других базисов [34,48,122,150,151,153,158,160].
Теорема о свободе подалгебр свободных алгебр Ли была получена, основываясь на технике Куроша, А. И. Ширшовым в 1953 г. [32]. Аналогичный результат для свободных колец Ли и ограниченных алгебр Ли был получен Е. Виттом в 1956 г. [163]. Ширшовым была доказана лемма о композиции, которая явилась основой для решения серии алгоритмических задач теории алгебр Ли.
Изучение свободных супералгебр Ли было начато Р. Ри, И. К. Бабен-ко, И. Л. Кантором, А. А. Михалёвым, А. И. Штерном, А. И, Молевым и Л. М. Цаленко, Г. Мелансоном (см. [3,22,23,27,36,106,123,124,141]).
Отметим статьи, обзоры и монографии, отражающие различные аспекты применения супералгебр Ли в теоретической физике: [41,59,83, 94,99,103,134,161]. Кроме того, 22-градуированные алгебры (супералгебры) успешно применялись в исследованиях по алгебре.
Обобщённые (цветные) супералгебры Ли были введены Р. Ри в 1960 г. [141]. В теоретической физике и теории операторов они естественно возникают как обобщения алгебр и супералгебр Ли [28,116,133,143,144, 148]. Ряд общих аспектов этой теории отражён в обзоре [120]. Начато изучение тождеств в цветных супералгебрах Ли [42,43,47].
Отметим основные монографии, в которых затрагиваются различные аспекты комбинаторной теории алгебр Ли: [10] Н. Джекобсона, [35] Ж.-П. Серра, [4] Ю. А. Бахтурина, [17] А. И. Кострикина, [30] Ю. П. Раз-мыслова, [12] В. Г. Каца, [142] К. Ройтенауера, [49] Л. А. Бокутя и Г. П. Кукина, а также обзор [107] О. Г. Харлампович и М. В. Сапи-ра. По комбинаторной теории супералгебр Ли вышло две монографии: [47] Ю. А. Бахтурина, М. В. Зайцева, А. А. Михалёва и В. М. Петроградского и [127] А. А. Золотых и А. А. Михалёва. По общей теории супералгебр Ли следует упомянуть монографии [149] М. Шойнерта, [6] Ф. А. Березина, [19,20] Д. А. Лейтеса, [69] Б. де Витта.
Применительно к тематике, связанной со свободными алгебрами и супералгебрами Ли, естественными обобщениями. названных структур являются свободные частично коммутативные алгебры и супералгебры Ли. Интерес к их изучению в значительной мере обусловлен связью с ближайшим ассоциативным аналогом — свободным частично коммутативным моноидом, впервые введённым П. Картье и Д. Фоата в 1969 (см. [53]) как алгебраическая модель для изучения комбинаторики ассоциативных слов. С момента его введения, указанный объект стал предметом многих рассмотрений. В частности, принципиальной мотивировкой явилась интерпретация свободного частично коммутативного моноида как модели для параллельных вычислений. В самом деле, независимость и одновременность двух процессов может быть изображена коммутирующей парой переменных а, 6, кодирующей эти процессы. С другой стороны, указанный объект доставляет также весьма естественный инструмент для изучения формальных языков (формальных грамматик), также весьма разработанная в настоящее время область с многочисленными
приложениями. Теория компиляции, теория кодирования или, более общо, теоретические аспекты программирования — примеры таких
приложений.
Если брать чисто алгебраическую сторону вопроса, то интересно было бы отметить тот факт, что полугрупповая алгебра свободного частично коммутативного моноида может быть наделена структурой алгебры Хопфа со структурой антипода, ведущей к понятиям частично коммутативного подслова и «шаффл-произведения» (см., например, [68,152]).
Одним из ключевых моментов теории (супер-)алгебр Ли вообще и свободных (супер-)алгебр Ли в частности является вопрос о свободе подалгебр, который уже был упомянут выше. Как уже было отмечено, весьма хорошо исследованным в настоящее время является случай алгебр и колец Ли. В дополнение к тому, в [22,24] А. А. Михалёвым было доказано (см. также [127]), что любая подалгебра свободной (р-)супералгебры Ли (над полем характеристики, отличной от двух) также свободна. Основным инструментом при доказательстве этого факта служила, так называемая, теорема об исключении переменных (теорема об элиминации, если следовать английской терминологии). Сущность этой теоремы (если ограничиваться лишь алгебрами и супералгебрами Ли) состоит в алгоритмическом построении свободных порождающих множеств для идеалов свободных (супер-)алгебр Ли, порождённых некоторым подмножеством множества свободных образующих всей алгебры. Если такое построение удаётся, то говорят, что справедлива теорема об исключении переменных. В этом случае, как простое следствие, получается свобода названных подалгебр. Для классических (т.е. без супер структуры) свободных алгебр Ли техника исключения переменных восходит к Лазару и Ширшову. В случае супер- и р-супералгебр Ли, теорема об элиминации одной переменной была установлена А. А. Михалёвым. Как и в случае обычных алгебр Ли, доказательство этого утверждения привело к полному исследованию вопроса о свободе подалгебр, в смысле упомянутом выше.
В случае супер- и р-супералгебр Ли, теорема об элиминации одной переменной была установлена А. А. Михалёвым. Как и в случае обычных алгебр Ли, доказательство этого утверждения привело к полному исследованию вопроса о свободе подалгебр, в смысле упомянутом выше.
Интересный подход к элиминации в свободном частично коммутативном (ассоциативном и неассоциативном) случае предложили Ж. Душами и Д. Кроб (см. [77−79]). Снова ограничиваясь лишь алгебрами Ли, отметим тот их результат, что свободная конечно порождённая частично коммутативная алгебра Ли (как всегда, над достаточно хорошим кольцом), как линейное пространство, разложима в прямую сумму некоторого семейства своих подпространств, каждое из которых есть свободная (не частично коммутативная!) алгебра Ли. Доказательство ведётся через предъявление конструктивного алгоритма. Из этого результата немедленно извлекается то, что многие алгоритмы, которые были первоначально получены лишь для свободных алгебр Ли (например, вопросы построения базисов, вычисления рангов и т. д.), могут быть непосредственно перенесены на частично коммутативный случай.
Хотя упомянутый результат и выявляет некоторый класс свободных подалгебр в частично коммутативном случае, в отличие от полностью свободного случая, к полному описанию свободных (частично коммутативных) подалгебр он не ведёт, и проблема получения такого рода критериев всё ещё весьма актуальна, в контексте чего техника исключения переменных в свободных частично коммутативных супер- и р-супералгебрах Ли, предлагаемая в настоящей работе, является очередным шагом на пути к такого рода исследованиям.
Последнее, на чём мы здесь в деталях остановимся — это вопросы вычисления размерностей однородных компонент, выделенных по тому или иному принципу. Классическим результатом здесь являются известные формулы Витта (см. [8]), дающие размерности однородных компонент в свободной алгебре Ли. В частично коммутативном случае интересно отметить работу Д. Доковича [73], предлагающую явные формулы для указанных размерностей в свободном произведении полностью коммутативной и полностью некоммутативной алгебр Ли. Ж. Душамп и Д. Кроб рассматривают общий случай свободных частично коммутативных алгебр Ли [77] и дают алгоритм (но не явные формулы) для однородных компонент в них.
Перейдя к случаю супералгебр Ли, различные варианты суперформул Витта размерностей однородных компонент (абсолютно) свободных супералгебр Ли были в различных формах получены Р. Рее [141], И. К. Ба-бенко [3], И. Л. Кантором [106], А. А. Михалёвым [47,126], А. И. Молевым и Л. М. Цаленко [27], С. Кангом [104,105], В. М. Петроградским.
В связи с алгебрами Ли, частично коммутативный аспект рассмотрен, например, в [73,76−78]. Кроме того, обширный круг вопросов по данному предмету содержится в [57,64−66,70−72,74,75,79−82,110,111, 115,121,125,138,139,147,158,159,164].
Таким образом, в рамках комбинаторной алгебры сформировалось активно развивающееся новое направление — комбинаторная теория алгебр и супералгебр Ли, к которой относится и данная диссертация.
Диссертация имеет своей целью разработку техники исключения переменных в свободных частично коммутативных цветных супералгебрах и р-супералгебрах Ли, с одной стороны, и вычисление размерностей однородных компонент в указанных алгебрах, с другой.
В диссертации использованы методы теории ассоциативных колец, алгебр и супералгебр Ли, теории полугрупп, компьютерной алгебры.
Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1) доказано, что идеалы свободных частично коммутативных супералгебр Ли, порождённые полностью некоммутативным подалфави-том, есть свободные супералгебры Ли (Теорема 1.21) —
2) установлена свобода подалгебр, являющихся идеалами, порождёнными полностью некоммутативным подалфавитом в свободных частично коммутативных р-супералгебрах Ли (Теорема 2.21) —
3) описаны пути построения вычислительных алгоритмов (в зависимости от различных нормальных форм), явно описывающих свободное порождающее множество идеалов, порождённых полностью некоммутативным подалфавитом, применительно к обычным и р-супералгебрам Ли (Леммы 1.20, 2.20) —
4) проведено алгоритмическое вычисление размерностей однородных компонент в свободных частично коммутативных (р-)супералгеб-рах Ли (Теорема 3.6) —
5) показано, что размерности однородных компонент независимы от основного поля (Следствие 3.7).
Работа носит теоретический характер. Полученные алгоритмические результаты могут быть использованы в системах компьютерной алгебры для символьных вычислений в частично коммутативных алгебрах и супералгебрах Ли. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам Московского Государственного Университета, Санкт-Петербургского Государственного Университета, Московского Государственного Педагогического Университета, Института Математики СО РАН, Лаборатории Вычислительной Техники и Автоматизации Объединённого Института Ядерных Исследований.
Все результаты имеют алгоритмический характер и могут быть использованы в реальном вычислительном процессе.
Результаты диссертации докладывались на алгебраических семинарах в МГУ, на Международной Алгебраической Конференции им. А. Г. Куроша в МГУ (1998 г.), на Второй Международной Алгебраической Школе Москва-Тайнань (Тайвань, 1997), а также на международной алгебраической конференции FPSAC’OO (Формальные Степенные Ряды и Алгебраическая Комбинаторика- МГУ, 2000).
В основу диссертации положены пять работ автора.
Список указанных работ прилагается в конце диссертации и автореферата.
Диссертация состоит из введения, главы, посвящённой основным определениям, и трёх глав, раскрывающих математическое содержание работы. Общий объём диссертации — 88 страниц.
Список литературы состоит из 170 наименований.
1. А. Акритас. Основы компьютерной алгебры с приложениями. — М.: Мир, 1994.
2. А. Ахо, Дж. Хопкрофт, Дж. Ульман. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. — М.: Мир, 1979.
3. И. К. Бабенко. Аналитические свойства рядов Пуанкаре пространств петель*// Матем. заметки. —1980. — Т. 27. — С. 751−765.
4. Ю. А. Бахтурин. Тождества в алгебрах Ли. — М.: Наука, 1985.
5. Г. Биркгоф, Т. Барти. Современная прикладная алгебра. — М.: Мир, 1976.
6. Ф. А. Березин.
Введение
в алгебру и анализ с некоммутирующими переменными. — М.: Изд-во МГУ, 1983.
7. Л. А. Бокуть. Вложения в простые ассоциативные алгебры // Алгебра и логика. — 1976. — Т. 15, № 2. — С. 117−142.
8. Н. Бурбаки. Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли. — М.: Мир, 1976.
9. Дж. Давенпорт, И. Сирэ, Э. ТУрнье. Компьютерная алгебра. — М.: Мир, 1991.
10. Н. Джекобсон. Алгебры Ли. — М.: Мир, 1964.
11. С. И. Гельфанд, Ю. И. Манин. Методы гомологической алгебры. I. — М.: Наука, 1988.
12. В. Кац. Бесконечномерные алгебры Ли., М.: Мир, 1993.
13. М. В. Карасёв, В. П. Маслов. Нелинейные скобки Пуассона. — М.: Наука, 1991.
14. А. Картан, С. Эйленберг. Гомологическая алгебра. — М.: ИЛ, I960.
15. Д. Кнут. Искусство программирования для ЭВМ. М.: Мир, Т. 1: 1976; Т. 2: 1977; Т. 3: 1978.
16. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. — М.: Мир, 1986.
17. А. И. Кострикин. Вокруг Бернсайда. — М.: Наука, 1986.
18. В. Н. Латышев. Комбинаторная теория колец, стандартные базисы. — М.: Изд. МГУ, 1988.
19. Д. А. Лейтес. Теория супермногообразий. — Петрозаводск: изд-во К ФАН СССР, 1983.
20. Д. А. Лейтес. Супералгебры Ли // ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 25. — М.: ВИНИТИ, 1984. — С. 3−50.
21. Ю. И. Манин. Калибровочные поля и комплексная геометрия. — М., Наука, 1984.
22. А. А. Михалёв, Подалгебры свободных цветных супералгебр Ли. Матем. заметки, 1985, Т. 37, № 5, 653−661.
23. А. А. Михалёв, Свободные цветные супералгебры Ли. Доклады АН СССР 1986, Т. 286, № 3, 551−554.
24. А. А. Михалёв, Подалгебры свободных р-супералгебр Ли. Матем. заметки, 1988, Т. 43, № 2, 178−191.
25. А. А. Михалёв, Вложение супералгебр Ли счетного ранга в супералгебры Ли с двумя образующими. УМН 1990, Т. 45, № 6, 139−140.
26. А. В. Михалёв, Е. В. Панкратьев. Компьютерная алгебра. Вычисления в дифференциальной и разностной алгебре. — М.: Изд-во МГУ, 1989.
27. А. И. Молев, Л. М. Цаленко. Представление симметрической группы в свободной (супер)алгебре Ли и в пространстве гармонических многочленов // Функцион. анал. и прилож. — 1986. — Т. 20, № 2. — С. 76−77.
28. М. В. Мосолова. О функциях от некоммутирующих операторов, порождающих градуированную алгебру Ли // Мат. заметки. — 1981. — Т. 29, № 1.— С. 35−44.
29. Е. В. Панкратьев. Компьютерная алгебра. Факторизация многочленов. — М.: Изд-во МГУ, 1988.
30. Ю. П. Размыслов. Тождества алгебр и их представлений. — М., Наука, 1989.
31. Э. Рейнгольд, Ю. Нивергельт, Н. Део. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. — М.: Мир, 1980.
32. А. И. Ширшов. Подалгебры свободных лиевых алгебр // Мат. сб. — 1953. — Т. 33, № 2. — С. 441−452.
33. А. И. Ширшов. О свободных кольцах Ли // Мат. сб. — 1958. — Т. 45, № 2. — С. 113−122.
34. А. И. Ширшов. О базах свободной алгебры Ли // Алгебра и логика. Семинар. — 1962. — Т. 1, № 1. — С. 14−19.
35. Ж.-П. Серр. Алгебры Ли и группы Ли. — М.: Мир, 1969.
36. А. С. Штерн. Свободные супералгебры Ли // Сиб. мат. ж. — 1986. — Т. 27, № 1. — С. 170−174.
37. W. W. Adams, Ph. Loustaunau. An Introduction to Grobner Bases. — Providence: Amer. Math. Society, 1994.
38. D. J. Anick. On the cohomology of associative algebras // Trans. Amer. Math. Soc. — 1986. — V. 296. — P. 641−659.
39. J. Apel, W. Lassner. Computation and simplification in Lie fields // Lecture Notes in Comput. Sci. — 1989. — V. 378. — P. 468−478.
40. L. L. Avramov. Free Lie subalgebras of the homology of local rings // Trans. Amer. Math. Soc. — 1982. — V. 270. — P. 589−608.
41. J. Bagger, J. Wess. Supersymmetry and Supergravity. — Princeton Univ. Press, 1983.
42. Yu. A. Bahturin, V. S. Drensky. Identities of the soluble color Lie superalgebras // Algebra i Logika. — 1987. — V. 26. — P. 403−418.
43. Yu. A. Bahturin, M. V. Zaicev. Residual finiteness of color Lie superal-gebras // Trans. Amer. Math. Soc. — 1993. — V. 337. — P. 159−180.
44. G. M. Bergman. The diamond lemma for ring theory // Adv. Math. — 1978. — V. 29. — P. 178−218.
45. G. Birkhoff and Т. C. Bartee, Modern Applied Algebra. McGraw-Hill Book Company, 1970.
46. B. Buchberger, R. Loos. Algebraic simplification // Comput. Suppl. — 1982. — V. 4. — P. 11−43- Computer Algebra. Symbolic and Algebraic Computation. — Wien-New York: Springer-Verlag, 1983.
47. Yu. A. Bahturin, A. A. Mikhalev, V. M. Petrogradsky, and M. V. Zaicev, Infinite Dimensional Lie Superalgebras. Walter de Gruyter, Berlin, New York, 1992.
48. D. Blessenohl, H. Laue. A basis construction for free Lie algebras // Exposition. Math. — 1993. — V. 11. — P. 145−152.
49. L. A. Bokut', G. P. Kukin. Algorithmic and Combinatorial Algebra. — Dordrecht, Kluwer Academic Publ., 1994.
50. B. Buchberger. An Algorithm for Finding a Basis for the Residue Class Ring of a Zero-Dimensional Polynomial Ideal: Ph. D. Thesis, Univ. of Ihnsbruck, 1965.
51. P. Beckman, J. Stuckrad. The concept of Grobner algebras //J. Symbolic Comput. — 1990. — V. 10. — P. 465−479.
52. Th. Becker, V. Weispfenning. Grobner Bases. A Computational Approach to Commutative Algebra. — Berlin: Springer-Verlag, 1993.
53. P. Cartier, D. Foata. Problemes combinatoires de commutation et de rearrangements. // Lecture Notes in Mathematics. — V. 85, Springer-Verlag, Berlin/New-York, 1969.
54. R. Cecchini, M. Tarlini. Symbolic superalgebra manipulation using common LISP // Comput. Phys. Comm. — 1990. — V. 60, № 2. — P. 265−270.
55. R. Cecchini, M. Tarlini. A Computer Algebra System for Lie and Poisson Superalgebras Manipulation. — Univ. di Firenze, Italy.
56. К. Т. Chen, R. Н. Fox, R. С. Lyndon. Free differential calculus. IV. The quotient groups of the lower central series // Ann. of Math. (2). — 1958. — V. 68. — P. 81−95.
57. C. Choffrut. Free partially commutative monoids. // LITP Report 86−20. — Paris. — 1986.
58. Computational Aspects of Commutative Algebra / Ed. L. Rob-biano. — Academic Press, 1989.
59. L. Corwin, Y. Ne’eman, S. Sternberg. Graded Lie algebras in mathematics and physics (Bose-Fermi symmetry) // Rev. Modern Phys. — 1975. — V. 47. — P. 573−603.
60. Computers in Algebra. Ed. M. C. Tangora. Marcel Dekker. — New York.— 1988.
61. Computer Algebra. Marcel Dekker. — New York. — 1989.
62. Computers in Nonassociative Rings and Algebras / Ed. R. E. Beck and B. Kolman. — New York: Academic Press. — 1977.
63. Computers in Mathematics. Marcel Dekker. — New York. — 1990.
64. R. Cori, Y. Metivier, W. Zielonka. Asynchronous Mappings and Asynchronous Cellular Automata. // LABRI Report 89−97. — Bordeaux. — 1989.
65. R. Cori, D. Perrin. Automates et commutations partielles. // RAIRO Inform. Theor. Appl. 19. — 1985. — P. 21—32.
66. H. Coxeter, W. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups. Springer-Verlag. — Berlin/New-York. — 1965.
67. J. Demetrovics, E. Knuth, and P. Rado, Computer-Aided Specification Techniques. World Scientific, Singapore, 1986.
68. J. Desarmenien, G. Duchamp, D. Krob, and GMelancon. Quelques remarques sur les super-algebres de Lie fibres. // C. R. Acad. Sci. Paris. — Ser. I Math. — 318. — 1994. — P. 419−424.
69. B. DeWitte. Supermanifolds. — Cambridge Univ. Press, 1984.
70. V, P. Gerdt, I. R. Akselrod, V. E. Kovtun, V.- N. Robuk. Construction of a Lie algebra by a subset of generators and commutation relations // Computer Algebra in Physical Researches — Singapore: World Scientific, 1991. — P. 306−312.
71. К. O. Geddes, S. R. Czapor, G. Labahn. Algorithms for Computer Algebra. — Kluwer Academic Publ., 1992.
72. С. Itzykson, J. В. Zuber. Quantum Field Theory. — New York: McGraw-Hill Book Company, 1980.
73. V. G. Kac, A sketch of Lie superalgebras theory. Comm. Math. Phys. 53 (1977), 31−64.
74. V. G. Kac, Classification of simple Z-graded Lie superalgebras and simple Jordan superalgebras. Comm. In Algebra 13 (1977), 1375−1400.
75. V. G. Kac, Lie superalgebras. Adv. Math. 26 (1977), 8−96.
76. V. G. Kac, J. M. van der Leur. Super boson-fermion correspondense // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). — 1987. — V. 37, > 4. — P. 99−137.
77. S.-J. Kang, Graded Lie superalgebras and the superdimension formula. J. Algebra 204 (1998), 597−655.
78. S.-J. Kang, Free Lie superalgebras and the generalized Witt formula. In The Monster and Lie Algebras, Walter de Gruyter, Berlin, 1998, 207−219.
79. I. L. Kantor. An Analogue of E. Witt's Formula for the Dimensions of Homogeneous Components of Free Lie Superalgebras. — Deposited at VINITI, № 2384−84.
80. O. G. Kharlampovich, M. V. Sapir. Algorithmic Problems in Vari-etis // Intern. J. Algebra and Computation. — 1995. — V. 5, № 5.
81. P.-V. Koseleff. Jeux de mots dans les algebres de Lie fibres: quelques bases et formules. // Theoret. Comput. Sci. — 1991. — V. 79. — P. 241−256.
82. G. Lallement. Theory of Semigroups and Combinatorial Applications. Wiley. — New York. — 1979.
83. M. Lazard. Groupes, anneaux de Lie et probleme de Burnside. Inst. Mat. dell’Universita Roma. — 1960.
84. Ph. Le Chenadec. Canonical Forms in Finitely Presented Algebras. Pitman, London-New York, 1986.
85. J. M. Lemaire. Algebres Connexes et Homologie des Espaces de Lacets. Lecture Notes in Math. 422. — 1974.
86. J. D. Lipson. Elements of Algebra and Algebraic Computing. — Addison-Wesley, 1981.
87. M. Lothaire. Combinatorics on words. — Addison-Wesley. — Reading. — MA. — 1981.
88. J. Lukierski, V. Rittenberg. Color-de Sitter and color-conformal super-algebras // Phys. Rev. D. (3). — 1978. — V. 18. — P. 385−389.
89. S. MacLane. Homology. — Berlin: Springer-Verlag, 1963.
90. W. Magnus, A. Kharass, D. Solitar. Combinatorial Group Theory. Dover. — New York. — 1976.
91. Yu. I. Manin. Topics in Non-Commutative Geometry. — Princeton Univ. Press, 1991.
92. W. Mareinek. Generalized Lie algebras and related topics, I, II // Acta Univ. Wratislav. Mat. Fiz. Astronom. — LV, № 1170. — P. 3−52.
93. A. Mazurkievitch. Concurrent Program Schemes and Their Interpretations. // DAIMI Report. — PB. 78. — Aarhus University. — 1977.
94. H. Meier-Wunderli. Note on a basis of P. Hall for the higher commutators in free groups // Comment. Math. Helv. — 1952. — V. 26. — P. 1−5.
95. G. Melangon. Reecritures dans le Groupe Libre, l’Algebre Libre et l’Algebre de Lie Libre: Ph.D. Thesis, Univ. du Quebec a Montreal, 1991.
96. G. Melangon, Ch. Reutenauer. Une presentation combinatoire de la super-algebre de Lie libre // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. —1992. — V. 315. — P. 1215−1220.
97. Y. Metivier. Contribution a 1'etude des monoi’des de commutation. — These Universite de Bordeaux I. — 1987.
98. A. A. Mikhalev and A. A. Zolotykh, On Witt’s superformula and Kly-achko's theorem. 6th All-Union Conf. on the Theory of Varieties of Algebraic Systems. Abstracts of Reports. Magnitogorsk, 1990, p. 16.
99. A. A. Mikhalev and A. A. Zolotykh, Combinatorial Aspects of Lie Superalgebras. CRC Press, Boca Raton, New York, 1995.
100. J. W. Milnor, J. C. Moore. On the structure of Hopf algebras // Ann. of Math. (2). — 1965. — V. 81. — P. 211−264.
101. B. Mishra. Algorithmic Algebra. — Berlin: Springer-Verlag, 1993.
102. A. Montorsi, M. Rasetti. Symbolic manipulation techniques for (Z2-graded) Lie, Hopf and Hecke algebras // Rend. Sem. Fac. Sci. Univ. Cagliari. — 1991. — V. 61, № 1. — P. 107−110.
103. T. Mora. Grobner Basis for Non-Commutative Polynomial Rings // Lecture Notes in Comput. Sci. — 1986. — V. 229. — P. 353−362.
104. T. Mora. Seven Varitions on Standard Bases. — Report Dip. Mat. Univ. Genoa, 1988.
105. W. Nahm, V. Rittenberg, M. Scheunert. Generalized superalgebras. Phys. Lett. В. V. 61. — 1976.
106. Y. Neeman. The application of graded Lie algebras to invariance considerations in particle physics // Lecture Notes in Math. — 1977. — V. 570. — P. 109−144.
107. A. Nijenhuis, R. W. Richardson. Cohomology and deformations of algebraic structures // Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.). — 1964. V. 70. — P. 406−411.
108. A. Nijenhuis, R. W. Richardson. Cohomology and deformations in graded Lie algebras // Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.). — 1966. — V. 72, № 1, part 1. — P. 1−29.
109. A. Nijenhuis, R. W. Richardson. Deformation of Lie algebra structures // J. Math. Mech. — 1967. — V. 17, № 1. — P. 89−105.
110. E. Ochmanski. Regular Trace Languages. // These, Institute of Computer Science, Varsovie — 1985.
111. D. Perrin. Partial commutations. // Lecture Notes in Computer Science. — V. 372. Springer-Verlag, Berlin/New York. —1978.
112. D. W. Rand. Pascal programs for identification of Lie algebras. 3. Levi decomposition and canonical basis // Comput. Phys. Comm. — 1987. — V. 46. — P. 311−322.
113. V. A. Ufnarovsky. Calculations of growth and Hilbert series by computer // Comput. Algebra. — Marcel Dekker, 1993.
114. M. Vaughan-Lee. An algorithm for computing graded algebras // J. Symbolic Comput. — 1993. — V. 16. — P. 345−354.
115. G. Viennot. Algebres de Lie Libres et Monoi’des Libres. Lecture Notes in Math. V. 691. — .1978.'.
116. G. Viennot. Algebres de Lie libres et monoi’des libres. // Lecture Notes on Mathematics. — Springer-Verlag, Berlin/New York. — 1978. — V. 691.
117. M. A. Ward. Basic commutators // Trans. Roy. Philos. Soc. London A. — 1969. — V. 264. — P. 343−412.
118. P. West. Introduction to Supersymmetry and Supergravity. — World Scientific, 1990.
119. G. Whitehead. Elements of Homotopy Theory. — Springer-Verlag, 1972.
120. E. Witt. Die Unterringe der freien Lieschen Ringe // Math. Z. — 1956. — V. 64. — P. 195−216.
121. W. Zielonka. Notes on finite asynchronous automata and trace languages // RAIRO Inform. Theor. Appl. — 1987. — V. 21. P. 99−135.
122. A. A. Zolotykh. On calculations of integer-valued characteristics of representations of simple Lie algebras. // 4th Internat. Conf. on Computer Algebra in Phys. Researches. Abstracts of Reports. — Dubna, 1990. — P. 75. Работы автора по теме диссертации.
123. Н. А. Добрынин, Теоремы об исключении переменных для свободных частично коммутативных супералгебр Ли. В «Kurosh Algebraic Conference'98. Abstracts of Talks» (под ред. Ю. А. Бахтурина, А. И. Кострикина, А. Ю. Ольшанского), Москва, 1998, стр. 168.
124. N. A. Dobrynin, Free partially commutative color Lie superalgebra: on elimination of variables. In «Lie Algebras, Rings, and Related Topics. Ed. Yu. Fong, A. A. Mikhalev, E. Zelmanov», Springer-Verlag, Hong Kong, 2000, P. 32−48.
125. Н. А. Добрынин, Свободные частично коммутативные супералгебры Ли: размерности однородных компонент. Фунд. и Прикл. Матем., т. 6, № 2, 2000, стр. 1−9.
126. Н. А. Добрынин, Free partially commutative Lie superalgebras: dimensions of homogeneous components. Формальные Степенные Ряды и Алгебраическая Комбинаторика. 12-я межд. конф. Дополнительные тезисы. Москва, 2000, стр. 13−15.